1. Capítulo 8
INTEGRAÇÃO DUPLA
8.1 Integração Dupla sobre Retângulos
Denotemos por R = [a, b] × [c, d] = {(x, y) ∈ R2 /a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} um retângulo em R2 . Consideremos P1 = {x0 , x1 , ...., xn } e P2 = {y0 , y1 , ...., yn } partições de
ordem n de [a, b] e [c, d] respectivamente, tais que:
e
a = x0 < x1 < . . . . . . < xn = b
e xi+1 − xi =
c = y 0 < y 1 < . . . . . . < yn = d
d−c
b−a
, yj+1 − yj =
.
n
n
d
yj+1
yj
R
R ij
c
xi
a
x i+1
b
Figura 8.1: Partição de R.
O conjunto P1 × P2 é denominada partição do retângulo R de ordem n. Sejam os n2
sub-retângulos Rij = [xi , xi+1 ] × [yj , yj+1 ] e cij ∈ Rij arbitrário (i, j = 0, ...., n − 1).
Considere a função limitada f : R −→ R. A soma
n−1 n−1
f (cij ) ∆x ∆y,
Sn =
i=0 j=0
onde ∆x =
d−c
b−a
e ∆y =
é dita soma de Riemann de f sobre R.
n
n
203

2. CAPÍTULO 8. INTEGRAÇÃO DUPLA
204
Definição 8.1. Uma função f : R −→ R limitada é integrável sobre R se
lim Sn ,
n→+∞
existe independente da escolha de cij ∈ Rij e da partição; em tal caso denotamos este limite
por:
f (x, y) dx dy,
R
que é denominada integral dupla de f sobre R.
Teorema 8.1. Toda f : R −→ R contínua é integrável.
A prova deste teorema pode ser vista em [EL].
8.2 Significado Geométrico da Integral Dupla
Se f é contínua e f (x, y) ≥ 0 para todo (x, y) ∈ R, a existência da integral dupla de
f sobre R tem um significado geométrico direto. Consideramos o sólido W ⊂ R3
definido por:
W = {(x, y, z) ∈ R3 / a ≤ x ≤ b,
c ≤ y ≤ d,
0 ≤ z ≤ f (x, y)}
Figura 8.2: O sólido W .
W é fechado e limitado superiormente pelo gráfico de z = f (x, y), inferiormente
por R e lateralmente pelos planos x = a, x = b, y = c, y = d. Se denotamos por
V (W ) o volume de W , então:
f (x, y) dx dy
V (W ) =
R
De fato, escolhendo cij como o ponto onde f atinge seu máximo sobre Rij (pois R
é fechado, limitado e f é contínua), então f (cij ) × ∆x × ∆y é o volume do paralelepípedo de base Rij e altura f (cij ).

3. 8.2. SIGNIFICADO GEOMÉTRICO DA INTEGRAL DUPLA
205
Figura 8.3: Partição e os paralelepípedos de W , respectivamente.
n−1 n−1
f (cij ) ∆x ∆y
Sn =
i=0 j=0
é o volume do sólido circunscrito a W . Analogamente se eij é o ponto onde f atinge
seu mínimo sobre Rij (pois R é fechado, limitado e f é contínua), então:
n−1 n−1
f (eij ) ∆x ∆y
sn =
i=0 j=0
é o volume do sólido inscrito em W . Como f é integrável, os limites das somas de
Riemann Sn e sn independem da escolha de cij e eij :
f (x, y) dx dy.
lim Sn = lim sn =
n→∞
n→∞
R
Em outras palavras os volumes dos sólidos inscritos e circunscritos a W , tendem
ao mesmo limite. Portanto, é razoável chamar este limite de volume de W .
Figura 8.4: Reconstrução do sólido.

4. CAPÍTULO 8. INTEGRAÇÃO DUPLA
206
Figura 8.5: Reconstrução do sólido.
Novamente notamos que é possível mostrar rigorosamente que o significado geométrico da integral dupla independe da escolha da partição e dos pontos cij e eij .
A integral dupla tem propriedades análogas às das integrais das funções de uma
variável.
Proposição 8.1.
1. Linearidade da integral dupla. Se f e g são funções integraveis sobre R então
para todo α, β ∈ R, α f + β g é integrável sobre R, e:
g(x, y) dx dy.
f (x, y) dx dy + β
α f (x, y) + β g(x, y) dx dy = α
R
R
R
2. Se f e g são integráveis sobre R e g(x, y) ≤ f (x, y), para todo (x, y) ∈ R, então:
R
g(x, y) dx dy ≤
f (x, y) dx dy.
R
3. Se R é subdividido em k retângulos e f é integrável sobre cada Ri , i = 1, ..., k então
f é integrável sobre R e,
k
f (x, y) dx dy.
f (x, y) dx dy =
R
i=1
Ri
8.3 Integrais Iteradas
Uma integral iterada de f sobre R é uma integral do tipo:
b
d
f (x, y) dx dy.
c
a
b
f (x, y) dx como integral de uma
Para calculá-la fixamos y e calculamos a integral
a
veriável em x; o resultado é uma função de y que é novamente integrada em y, com
limites de integração c e d.
b
d
A integral
f (x, y) dy dx é calculada de forma análoga.
a
c

5. 8.3. INTEGRAIS ITERADAS
207
Exemplo 8.1.
3
2
[1] Calcule
1
0
3
x2 y dy dx.
3
x2 y dy = x2
y dy = 4x2
2
e
3
0
cos(x + y) dx = sen(x + y)
x=π
x=0
1
π
4x2 dx =
0
1
1
2
x2 y dy dx =
32
.
3
π
[2] Calcule
cos(x + y) dx dy.
0
0
π
0
e
π
π
π
cos(x + y) dx dy =
0
= sen(y + π) − sen(y),
0
0
1
1
−1
(sen(y + π) − sen(y)) dy = −4.
−2
[3] Calcule
(x2 + y 2 ) dx dy.
1
(x2 + y 2 ) dx =
−2
x=1
x3
+ x y2
3
= 3 + 3 y2
x=−2
e
1
−1
π
3
[4] Calcule
4
π
6
1
−2
4
1
(x2 + y 2 ) dx dy =
(3 + 3 y 2 ) dy = 8.
−1
3
ρ2 eρ sen(φ) dρ dφ.
0
4
3
ρ2 eρ sen(φ) dρ = sen(φ)
3
3
ρ2 eρ dρ = sen(φ)
0
0
eρ
3
4
= sen(φ)
0
e64 − 1
3
e
π
3
π
6
4
0
e64 − 1
ρ e sen(φ) dρ dφ =
3
0
0
√
1
[5] Calcule
√
π
3
2 ρ3
0
1−y 2
1−
y 2 dx
π
6
√
(e64 − 1) ( 3 − 1)
.
sen(φ) dφ =
6
1−y 2
1 − y 2 dx dy.
2
=1−y , e
√
1
0
0
1−y 2
1
1 − y 2 dx dy =
0
(1 − y 2 ) dy =
2
.
3

6. CAPÍTULO 8. INTEGRAÇÃO DUPLA
208
[6] Seja a função f : [0, 1] × [0, 1] −→ R definida por:
se x ∈ Q
se x ∈ Q.
/
1
2y
f (x, y) =
Então:
1
dy =
0
1
Logo,
1
dy dx = 1.
0







1
dy = 1
se x ∈ Q
2 y dy = 1
0
se x ∈ Q.
/
1
0
0
1
Por outro lado
0
1
f (x, y) dx não existe, exceto quando y = ; logo,
2
1
1
dx dy
0
0
não existe. Em geral, nada garante a existência das integrais iteradas.
8.4
Teorema de Fubini
O seguinte teorema fundamental relaciona a integral dupla com as integrais iteradas, o que facilitará seu cálculo.
Teorema 8.2. (Fubini): Seja f : R −→ R contínua sobre R. Então:
R
d
b
b
d
f (x, y) dy dx
f (x, y) dx dy =
f (x, y) dx dy =
c
a
a
c
Prova: Veja o apêndice.
Uma visualização geométrica do teorema de Fubini pode ser feita usando o princípio de Cavalieri: “ Dado um sólido, se denotamos por A(y) a área da seção transversal ao sólido, medida a uma distância y de um plano de referência, o volume do
d
sólido é dado por: V = c A(y) dy, onde c e d são as distâncias mínima e máxima
ao plano de referência”.
Se f é uma função contínua e f (x, y) ≥ 0 em todo R, então
senta o volume do sólido W :
W = {(x, y, z) ∈ R3 /a ≤ x ≤ b,
c ≤ y ≤ d,
f (x, y) dx dy repreR
0 ≤ z ≤ f (x, y)}.

7. 8.4. TEOREMA DE FUBINI
209
c
d
a
R
b
Figura 8.6:
Se intersectamos o sólido por um plano paralelo ao plano yz a uma distância x da
d
origem, obtemos uma seção plana que tem como área A(x) = c f (x, y) dy. Pelo
princípio de Cavalieri, o volume total do sólido é:
d
b
b
f (x, y) dy dx.
A(x) dx =
f (x, y) dx dy =
c
a
a
R
Analogamente, se intersectamos o sólido por um plano paralelo ao plano xz a uma
b
distância y da origem obtemos uma seção plana de área A(y) = a f (x, y) dx e pelo
princípio de Cavalieri:
d
d
b
A(y) dy =
f (x, y) dx dy =
f (x, y) dx dy.
c
c
R
a
Exemplo 8.2.
[1] Calcule
R
dx dy, onde R = [a, b] × [c, d].
b
dy dx =
a
R
b
d
dx dy =
a
c
(d − c) dx = (b − a) (d − c);
dx dy, corresponde a área de R ou ao volume
numericamente a integral dupla
R
do paralelepípedo de base R e altura 1.
[2] Calcule
R
positiva.
f (x, y) dx dy, onde R = [a, b] × [c, d] e f (x, y) = h, h constante
f (x, y) dx dy = h
R
R
dx dy = h × A(R) = h (b − a) (d − c),
onde a última igualdade expressa o volume do paralelepípedo de base R e altura
h.
[3] Calcule
R
(x y + x2 ) dx dy, onde R = [0, 1] × [0, 1].
1
(x y + x2 ) dx dy =
0
R
0
1
(x y + x2 ) dx dy =
0
1
=
1
7
y 1
+
dy = .
2 3
12
0
x2 y x3
+
2
3
x=1
dy
x=0

8. CAPÍTULO 8. INTEGRAÇÃO DUPLA
210
7
representa o volume do sólido limitado superiormente pelo gráfico
12
da função f (x, y) = x y + x2 e pelos planos coordenados. ((x, y) ∈ [0, 1] × [0, 1]).
O número
0
1
1
0
Figura 8.7: Exemplo [4].
[4] Calcule
R
x y 2 dx dy, onde R = [−1, 0] × [0, 1].
1
x y 2 dx dy =
0
R
[5] Calcule
R
−1
x y 2 dx dy = −
1
2
1
0
1
y 2 dy = − .
6
sen(x + y) dx dy, onde R = [0, π] × [0, 2π].
2π
2π
π
(cos(y)−cos(y +π)) dy = 0.
sen(x+y) dx dy =
sen(x+y) dx dy =
0
R
0
0
0
[6] Calcule o volume do sólido limitado superiormente por z = 1−y e inferiormente
pelo retângulo definido por 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1.
0.0
0.5
1.0
1.0
0.5
0.0
0.0
0.5
1.0
Figura 8.8: Sólido do exemplo [6].
O sólido está limitado superiormente pelo plano z = 1 − y e inferiormente pelo
retângulo R = [0, 1] × [0, 1]; então, o volume V é:
1
V =
R
(1 − y) dx dy =
0
1
0
1
(1 − y) dx dy =
0
(1 − y) dy =
1
u.v.
2

9. 8.4. TEOREMA DE FUBINI
211
[7] Calcule o volume do sólido limitado por z = x2 + y 2 e pelos planos x = 0, x = 3,
y = 0 e y = 1.
Figura 8.9: Sólido do exemplo [7].
R = [0, 3] × [0, 1]. O volume é:
1
(x2 + y 2 ) dx dy =
V =
0
R
3
1
(x2 + y 2 ) dx dy =
(9 + 3y 2 ) dy = 10 u.v.
0
0
u.v. =unidades de volume.
[8] Calcule o volume do sólido limitado por z = 1−y 2 e pelos planos x = −1, x = 1,
y = −1 e y = 1.
Figura 8.10: Sólido do exemplo [8].
R = [−1, 1] × [−1, 1]. O volume é:
V =
R
8.4.1
(1 − y 2 ) dx dy =
1
1
−1
−1
(1 − y 2 ) dx dy = 2
1
−1
(1 − y 2 ) dy =
8
u.v.
3
Extensão do Teorema de Fubini
Antes de estudar a integral dupla em regiões mais gerais enunciaremos uma genereralização do teorema 8.1.

10. CAPÍTULO 8. INTEGRAÇÃO DUPLA
212
Definição 8.2. Seja A ⊂ R, R = [a, b] × [c, d]. O conjunto A ⊂ R tem conteúdo
nulo se existe um número finito de sub-retângulos Ri ⊂ R, (1 ≤ i ≤ n) tais que A ⊂
R1 ∪ R2 ∪ . . . ∪ Rn−1 ∪ Rn e:
n
lim
n→+∞
i=1
|Ri | = 0;
onde |Ri | é a área de Ri .
Exemplo 8.3.
[1] Se A = {p1 , p2 , ......., pm }, pi ∈ R, (1 ≤ i ≤ m). O conjunto A tem conteúdo nulo.
Utilizando uma partição de ordem n de R como antes, temos:
|Ri | =
(b − a) (d − c)
,
n2
1 ≤ i ≤ n. Como cada ponto pode estar no máximo em quatro sub-retângulos,
então:
n
4 m (b − a) (d − c)
.
|Ri | ≤
0<
n2
i=1
n
Logo lim
n→+∞
i=1
|Ri | = 0.
[2] ∂R tem conteúdo nulo.
d
yj+1
yj
R
Rij
c
a
xi
x i+1
b
Figura 8.11: ∂R.
Os pontos de ∂R estão distribuido em 4 n − 4 sub-retângulos Rij :
n
0<
i=1
pois
n−1
n
|Ri | ≤
(4 n − 4) (b − a) (d − c)
4 (b − a) (d − c)
≤
,
2
n
n
< 1. Logo:
n
lim
n→+∞
i=1
|Ri | = 0.
É possível provar que o gráfico de uma função contínua f : [a, b] −→ R tem conteúdo nulo.

11. 8.5. INTEGRAÇÃO DUPLA SOBRE REGIÕES MAIS GERAIS
213
Figura 8.12: G(f ).
Teorema 8.3. Se f : R −→ R é uma função limitada e o conjunto onde f é descontínua
tem conteúdo nulo, então f é integra´ el sobre R.
v
Prova: Veja [EL] na bibliografia.
8.5 Integração Dupla sobre Regiões mais Gerais
Definiremos três tipos especiais de subconjuntos do plano, que serão utilizados
para estender o conceito de integral dupla sobre retângulos a regiões mais gerais
8.6
Regiões Elementares
Seja D ⊂ R2 .
Regiões de tipo I
D é uma região de tipo I se pode ser descrita por:
D = {(x, y) ∈ R2 /a ≤ x ≤ b, φ1 (x) ≤ y ≤ φ2 (x)}
sendo φi : [a, b] −→ R (i = 1, 2) funções contínuas tais que φ1 (x) ≤ φ2 (x) para todo
x ∈ [a, b].
φ
2
φ2
D
D
φ
a
φ1
1
b
a
Figura 8.13: Regiões de tipo I.
b

12. CAPÍTULO 8. INTEGRAÇÃO DUPLA
214
Regiões de tipo II
D é uma região de tipo II se pode ser descrita por:
D = {(x, y) ∈ R2 /c ≤ y ≤ d, ψ1 (y) ≤ x ≤ ψ2 (y)}
sendo ψi : [c, d] −→ R (i = 1, 2) funções contínuas tais que ψ1 (y) ≤ ψ2 (y) para todo
y ∈ [c, d].
d
ψ
D
ψ
ψ
1
D
1
2
ψ
2
c
Figura 8.14: Regiões de tipo II.
Regiões de tipo III
D é uma região de tipo III se pode ser descrita como região de tipo I ou de tipo II.
As regiões de tipos I, II ou III são chamadas elementares. As regiões elementares
são fechadas e limitadas.
Exemplo 8.4.
[1] A região limitada pelas curvas y = x2 e y = 4 x − x2 pode ser descrita como de
tipo I:
A interseção das curvas é dada pela solução do sistema:
y = x2
y = 4 x − x2 ,
do qual obtemos: x = 0 e x = 2; logo, D = {(x, y) ∈ R2 / 0 ≤ x ≤ 2, x2 ≤ y ≤
4x − x2 }.
5
4
3
2
1
0.5
1.0
1.5
2.0
Figura 8.15: Região de tipo I.

13. 8.6. REGIÕES ELEMENTARES
215
[2] Seja a região D limitada pelas seguintes curvas: y 2 − x = 1 e y 2 + x = 1.
A região pode ser descrita por:
D = {(x, y) ∈ R2 / − 1 ≤ y ≤ 1, y 2 − 1 ≤ x ≤ 1 − y 2 };
D é uma região de tipo II.
1.0
0.5
1.0
0.5
0.5
1.0
0.5
1.0
Figura 8.16: Região de tipo II.
[3] A região D limitada pela reta x + y = 2 e pelos eixos coordenados, no primeiro
quadrante, pode ser descrita como de tipo II:
D = {(x, y) ∈ R2 /0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ x ≤ 2 − y}.
2.0
1.5
1.0
0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
Figura 8.17: Região de tipo III.
[4] A região D limitada pelas curvas y = x − 1 e y 2 = 2 x + 6, pode ser descrita
como de tipo II.
A interseção das curvas é dada pela solução do sistema:
y =x−1
y 2 = 2 x + 6,
do qual obtemos: x = −1 e x = 5; logo:
D = {(x, y) ∈ R2 / − 2 ≤ y ≤ 4,
y2
− 3 ≤ x ≤ y + 1}.
2

14. CAPÍTULO 8. INTEGRAÇÃO DUPLA
216
3
2
1
1
2
3
Figura 8.18: Região de tipo II.
[5] Seja D a região limitada pela curva x2 + y 2 = 1; esta região é do tipo III. De fato:
De tipo I:
D = {(x, y) ∈ R2 / − 1 ≤ x ≤ 1, φ1 (x) = −
1 − x2 ≤ y ≤ φ2 (x) =
1 − x2 }.
1 − y 2 ≤ x ≤ ψ2 (y) =
1 − y 2 }.
De tipo II:
D = {(x, y) ∈ R2 / − 1 ≤ y ≤ 1, ψ1 (y) = −
8.7 Extensão da Integral Dupla
Seja D uma região elementar tal que D ⊂ R, onde R é um retãngulo e f : D −→ R
uma função contínua (logo limitada). Definamos f ∗ : R −→ R por:
f ∗ (x, y) =
f (x, y) se (x, y) ∈ D
0
se (x, y) ∈ R − D.
f ∗ é limitada e contínua, exceto, possivelmente, em ∂D; mas se ∂D consiste de uma
união finita de curvas que são gráficos de funções contínuas, pelo teorema 8.1, f ∗ é
integrável sobre R.
R
R
D
D
Figura 8.19: Gráficos de f e f ∗ , respectivamente.
Definição 8.3. f : D −→ R é integrável sobre D se f ∗ é integrável sobre R e em tal caso
definimos:
f ∗ (x, y) dx dy.
f (x, y) dx dy =
D
R

15. 8.8. INTEGRAL DUPLA E VOLUME DE SÓLIDOS
217
∗
Se R1 é outro retângulo tal que D ⊂ R1 e f1 : R1 −→ R é definida como antes,
então:
f ∗ (x, y) dx dy =
R1
R
pois
f∗
=
∗
f1
∗
f1 (x, y) dx dy,
= 0 onde R e R1 diferem.
f* =f* =0
1
R
D
R1
Figura 8.20:
Logo,
8.8
D f (x, y) dx dy
não depende da escolha do retângulo.
Integral Dupla e Volume de Sólidos
Proposição 8.2. Se f : D −→ R é uma função contínua e limitada sobre D, então:
1. Se D é uma região de tipo I:
φ2 (x)
b
f (x, y) dy dx
f (x, y) dx dy =
φ1 (x)
a
D
2. Se D é uma região de tipo II:
ψ2 (y)
d
f (x, y) dx dy
f (x, y) dx dy =
ψ1 (y)
c
D
Para a prova, veja o apêndice.
Corolário 8.4. Se f (x, y) = 1 em todo D, então:
dx dy = Área(D)
D
b
De fato, se D é de tipo I, temos
dx dy =
D
a
φ2 (x) − φ1 (x) dx = A(D).

16. CAPÍTULO 8. INTEGRAÇÃO DUPLA
218
Se f (x, y) ≥ 0 e é contínua em D, podemos novamente interpretar a integral dupla
de f sobre D como o volume do sólido W limitado superiormente pelo gráfico de
f e inferiormente por D.
W = {(x, y, z) ∈ R3 /(x, y) ∈ D, 0 ≤ z ≤ f (x, y)}
D é a projeção de W sobre o plano xy e:
f (x, y) dx dy
V (W ) =
D
8.8.1 Exemplos
1
[1] Calcule
0
1
2
ex dx dy. A integral não pode ser calculada na ordem dada.
y
Observe que:
1
2
ex dx dy =
0
D
1
2
ex dx dy.
y
A região D, onde está definida a integral, é de tipo II: 0 ≤ y ≤ 1 e y ≤ x ≤ 1.
1
1
Figura 8.21: A região D.
A região D é de tipo III; logo, D também é de tipo I. De fato: 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ x
e:
1
2
ex dx dy =
0
D
1
1
x
0
1
2
ex dy dx =
0
1
2
x ex dx = (e − 1).
2
sen(y)
dy dx.
y
x
0
A região D, onde está definida a integral é de tipo I: 0 ≤ x ≤ 1 e x ≤ y ≤ 1. Por
outro lado, D é de tipo III, logo D também é de tipo II: 0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ x ≤ y:
[2] Calcule

17. 8.8. INTEGRAL DUPLA E VOLUME DE SÓLIDOS
219
1
1
Figura 8.22: A região D.
1
1
0
x
1
sen(y)
dy dx =
y
[3] Calcule
D
meiro quadrante.
y
0
0
1
sen(y)
dx dy =
y
0
sen(y) dy = 1 − cos(1).
1 − y 2 dx dy, onde D é a região limitada por x2 + y 2 = 1 no pri-
1
1
Figura 8.23: A região D.
Consideramos D como região de tipo II:
D = {(x, y) ∈ R/0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤
1 − y 2 }.
Pela proposicão:
√
1
D
1−
y 2 dx dy
=
0
0
1−y 2
1
1 − y 2 dx dy =
0
2
(1 − y 2 ) dy = .
3
Note que se escrevemos D como região de tipo I, a integração é muito mais complicada.
(x + y)2 dx dy, se D é a região limitada por y = x, 2 y = x + 2 e o
[4] Calcule
eixo dos y.
D

18. CAPÍTULO 8. INTEGRAÇÃO DUPLA
220
1
1
2
Figura 8.24: A região D.
As retas se intersectam no ponto (2, 2). Escrevendo D como região de tipo I:
x
0 ≤ x ≤ 2, x ≤ y ≤ + 1.
2
x
+1
2
2
2
(x + y) dx dy =
0
D
(x + y)2 dy dx =
x
1
3
2
0
3x
+1
2
3
− 8x3 dx =
21
.
6
[5] Determine o volume do sólido limitado por y − x + z = 1 e pelos planos coordenados.
Para ter uma visão geométrica do problema, fazemos o desenho do sólido, que é limitado superiormente pelo plano que passa pelos pontos (0, 0, 1), (0, 1, 0), (−1, 0, 0)
e inferiormente pelo plano z = 0.
1
-1
Figura 8.25: O sólido e a região, respectivamente.
A integral dupla representa o volume do sólido limitado superiormente pelo gráfico da função z = f (x, y) = 1 + x − y e, inferiormente pela região D projeção de W
no plano xy.
W = {(x, y, z) ∈ R3 / (x, y) ∈ D,
onde D = {(x, y) ∈ R2 / − 1 ≤ x ≤ 0,
volume é:
0 ≤ z ≤ 1 + x − y},
0 ≤ y ≤ x + 1} é região do tipo I. Seu
0
(1 + x − y) dx dy =
V (W ) =
=
1
2
D
0
−1
(x + 1)2 dx =
1
u.v.
6
−1
x+1
0
(1 + x − y) dy dx

19. 8.8. INTEGRAL DUPLA E VOLUME DE SÓLIDOS
221
[6] Determine o volume do sólido limitado por z = 2 x + 1, x = y 2 e x − y = 2.
5
5
4
4
3
3
2
2
1
-2
1
0
0
-2
0
4
0
4
2
2
2
0
4
2
0
4
-2
-2
Figura 8.26: O sólido do exemplo [6].
1
1
2
-1
Figura 8.27: A região D.
Observe que z = f (x, y) = 2 x + 1 e
(2 x + 1) dx dy,
V (W ) =
D
onde D é a projeção do sólido no plano xy. Considerando D como região do tipo
II, ela é definida por:
D = {(x, y) ∈ R2 / − 1 ≤ y ≤ 2, y 2 ≤ x ≤ y + 2}.
O volume é:
2
y+2
(2 x + 1) dx dy
(2x + 1) dx dy =
V (W ) =
D
2
=
−1
(5 y + 6 − y 4 ) dy =
−1
y2
189
u.v.
10
[7] Calcule o volume do sólido que está acima do plano xy e é limitado por
z = x2 + 4 y 2 e x2 + 4 y 2 = 4.

20. CAPÍTULO 8. INTEGRAÇÃO DUPLA
222
O gráfico de z = x2 + 4 y 2 é um parabolóide elítico e o de x2 + 4 y 2 = 4 é um cilindro
elítico.
y
y
0.5
1
0
-0.5
-1
3
-0.5
0.5
0
1
3
2
2
z
z
1
1
0
-2
-2
0
-1
-1
0
x
0
1
x
2
1
2
Figura 8.28: O sólido do exemplo [7].
1
-1
1
2
-1
Figura 8.29: A região do exemplo [7].
Pela simetria do sólido, calculamos o volume no primeiro octante e multiplicamos
o resultado por 4.
1
1
2
Figura 8.30: A região D.
√
4 − x2
D é a projeção do cilindro no plano xy. D é do tipo I: 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤
2

21. 8.8. INTEGRAL DUPLA E VOLUME DE SÓLIDOS
223
e,
2
√
2
2
(x + 4y ) dx dy = 4
V =4
0
D
2
=2
4−x2
2
(x2 + 4 y 2 ) dy dx
0
3
x
2
4−
0
x2
(4 − x2 ) 2
+
dx = 4 π u.v.
3
[8] Calcule a área da região plana limitada pelas curvas y = x2 e y = 4 x − x2 .
Os pontos de interseção das curvas são: (0, 0) e (2, 4).
5
4
3
2
1
0.5
1.0
1.5
2.0
Figura 8.31: A região D.
D é do tipo I: 0 ≤ x ≤ 2 e x2 ≤ y ≤ 4x − x2 .
2
4x−x2
D
2
dy dx = 2
dx dy =
A=
0
x2
0
(2x − x2 ) dx =
8
u.a.
3
[9] Calcule o volume do sólido obtido pela interseção dos cilindros: x2 + y 2 = a2 e
x2 + z 2 = a2 , a = 0.
O sólido é simétrico em relação à origem.

22. CAPÍTULO 8. INTEGRAÇÃO DUPLA
224
Figura 8.32: Interseção dos cilindros.
Calculamos o volume da porção do sólido no primeiro octante e multiplicamos o
resultado por 8.
Figura 8.33: O sólido no primeiro octante.
Claramente D é região do tipo I: 0 ≤ x ≤ a e 0 ≤ y ≤
√
W é dada por z = f (x, y) = a2 − x2 e:
V =8
D
a
√
a2 −x2
0
a
=8
0
a2 − x2 . A altura do sólido
a2 − x2 dx dy
=8
0
√
a2 − x2 dy dx
(a2 − x2 ) dx =
16 a3
.
3

23. 8.8. INTEGRAL DUPLA E VOLUME DE SÓLIDOS
225
[10] Calcule o volume do sólido limitado por 3 x + 4 y = 10, z = x2 + y 2 e situado
acima do plano xy, no primeiro octante.
0
1
2
3
8
2
6
4
1
2
0
3
2
1
1
0
2
3
Figura 8.34: Sólido e região do exemplo [10], respectivamente.
D é uma região do tipo II: 0 ≤ y ≤
2
0
D
2
81
2
=−
81
5
2
0
5
2
0
10−4 y
3
5
2
2
(x + y ) dx dy =
V =
=−
5
10 − 4y
e0≤x≤
; logo:
2
3
(x2 + y 2 ) dx dy
0
[2 y − 5] [43 y 2 − 80 y + 100] dy
[86 y 3 − 375 y 2 + 600 y − 500] dy =
15625
u.v.
1296
[11] Calcule o volume do sólido limitado por z − x y = 0, z = 0, y = x2 e y 2 − x = 0.
Figura 8.35: Sólido do exemplo [11].
D é uma região do tipo I: 0 ≤ x ≤ 1 e x2 ≤ y ≤
√
x,

24. CAPÍTULO 8. INTEGRAÇÃO DUPLA
226
1
1
Figura 8.36: Região D.
Logo:
1
√
x y dx dy =
V =
x y dy dx =
0
D
x
x2
1
2
1
0
[x2 − x5 ] dx =
1
u.v.
12
8.9 Exercícios
f (x, y) dx dy, se:
1. Calcule
R
(a) f (x, y) = x2 y 3 e R = [0, 1] × [0, 1]
(b) f (x, y) = (x + y)2 (x2 − y 2 ) e R = [0, 1] × [0, 1]
(c) f (x, y) = x2 + 4 y e R = [0, 2] × [0, 3]
x2
e R = [−1, 1] × [−1, 1]
y2 + 1
(e) f (x, y) = ex y (x2 + y 2 ) e R = [−1, 3] × [−2, 1]
(d) f (x, y) =
(f) f (x, y) = x y − y 2 e R = [0, 5] × [0, 4]
(g) f (x, y) = 5 x y 2 e R = [1, 3] × [1, 4]
(h) f (x, y) = 2 x + c2 y e R = [−2, 2] × [−1, 1]
(i) f (x, y) = x2 − y 2 e R = [1, 2] × [−1, 1].
2. Calcule o volume do sólido limitado superiormente pelo gráfico da função e
inferiormente pelo retângulo dado:
(a) z =
9 − y 2 e R = [0, 4] × [0, 2]
(b) z = x2 + y 2 e R = [−2, 2] × [−3, 3]
(c) z = y 2 − x2 e R = [−1, 1] × [1, 3]
(d) z = 2 x + 3 y + 6 e R = [−1, 2] × [2, 3]
(e) z = a cos(2 θ) + b sen(2 α) e R = [0, π ] × [0, π ]
2
2
(f) z = x sen(y) e R = [0, π] × [0, π]

25. 8.9. EXERCÍCIOS
227
3. Calcule as seguintes integrais mudando a ordem de integração:
1
(a)
0
1
y
2
(b)
√
1
0
0
1 − y 2 dy dx
1
y
3
3y
9
0
(f)
sen(y 2 ) dy dx
x
1
(e)
1−x2
0
1
(d)
x2
dy dx
y2
x
1
1
(c)
tg(x2 ) dx dy
2
ex dx dy
y cos(x2 ) dx dy
y2
0
4. Calcule as seguintes integrais sabendo que D é limitada pelas curvas dadas:
(a)
D
(b)
y dx dy; y = 2 x2 − 2, y = x2 + x
x y dx dy;
D
x2
a2
+
y2
b2
= 1, x, y ≥ 0
D
x dx dy; x − y 2 = 0, x = 1
D
dx dy
; y − x2 = 0, y = 1
x2 + 1
(c)
(d)
D
(x2 + y 2 ) dx dy; y = 0, y = x − 1 e x = 1, x = 0
D
ex+y dx dy; y = 0, y = x e x − 1 = 0
(e)
(f)
x cos(y) dx dy; y = 0, y = x2 e x = 1
(g)
D
D
4 y 3 dx dy; y = x − 6 e y 2 = x
D
(y 2 − x) dx dy; y 2 = x e x = 3 − 2 y 2
(h)
(i)
(x2 + 2 y) dx dy; y = 2 x2 e y = x2 + 1
(j)
D
(1 + 2 x) dx dy; x = y 2 e y + x = 2
(k)
D
dx dy; y 2 = x3 e y = x
(l)
D

26. 228
CAPÍTULO 8. INTEGRAÇÃO DUPLA

27. Capítulo 9
MUDANÇA DE COORDENADAS
9.1 Introdução
Seja D ∗ ⊂ R2 uma região elementar no plano uv e:
x, y : D ∗ −→ R,
onde x = x(u, v) e y = y(u, v) são funções contínuas e com derivadas parciais
contínuas num retângulo aberto R tal que D ∗ ⊂ R. Estas duas funções determinam
uma transformação do plano uv no plano xy. De fato:
T : D ∗ −→ R2 ,
onde T (u, v) = (x(u, v), y(u, v)). A transformação T é também denotada por:
x=
y=
x(u, v)
y(u, v),
(u, v) ∈ D ∗ .
Denotemos a imagen de D ∗ por T como D = T (D ∗ ), contida no plano xy.
v
y
T
D*
u
D
x
Figura 9.1: Mudança de coordenadas.
Exemplo 9.1.
Seja D ∗ = [0, 1] × [0, 2π] e T (r, t) = (r cos(t), r sen(t)), Determinemos D = T (D ∗ )
no plano xy.
x = r cos(t)
y = r sen(t);
229

28. CAPÍTULO 9. MUDANÇA DE COORDENADAS
230
logo: x2 + y 2 = r 2 ≤ 1; então D = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 ≤ 1}.
t
y
2π
T
L
D
D*
1
1
x
r
Figura 9.2:
Definição 9.1. Uma transformação T é injetiva em D ∗ se T (u1 , v1 ) = T (u2 , v2 ) implica
em u1 = u2 e v1 = v2 , para todo (u1 , v1 ), (u2 , v2 ) ∈ D ∗ .
No exemplo 9.1, temos que:
D∗ = [0, 1] × [0, 2π]
e
T (r, t) = (r cos(t), r sen(t)).
A transformação T não é injetiva: De fato, T (0, t1 ) = T (0, t2 ) = (0, 0) para t1 = t2 .
Observe que:
T (L) = (0, 0),
onde
L = {(0, t)/0 ≤ t ≤ 2 π}.
Mas se D ∗ = (0, 1] × (0, 2π], T é injetiva.
9.1.1 Jacobiano da Mudança de Coordenadas
Seja T : D ∗ −→ D uma transformação definida por:
x=
y=
x(u, v)
y(u, v),
(u, v) ∈ D ∗ .
Considere a seguinte matriz:
∂x
 ∂u

J =
 ∂y
∂u


∂x
∂v 


∂y 
∂v
onde as derivadas parciais são calculadas nos pontos (u, v) ∈ D ∗ . J é chamada
matriz Jacobiana (de Jacobi) da transformação T .
Definição 9.2. O determinante da matriz J, dito jacobiano de T , é denotado e definido
por:
∂x ∂y ∂x ∂y
∂(x, y)
= det(J) =
−
∂(u, v)
∂u ∂v
∂v ∂u
onde as derivadas parciais são calculadas nos pontos (u, v) ∈ D ∗ .

29. 9.1. INTRODUÇÃO
231
A importância da matriz Jacobiana de uma transformação deverá ser estudada com
mais rigor, em disciplinas mais avançadas. Por enquanto citaremos a seguinte proposição, sem prova:
Proposição 9.1. Se:
∂(x, y)
(u0 , v0 ) = 0,
∂(u, v)
(u0 , v0 ) ∈ D ∗ ,
então existe uma vizinhança do ponto (u0 , v0 ) tal que a restrição de T a esta vizinhança é
injetiva.
Exemplo 9.2.
[1] No exemplo 9.1, temos que D ∗ = [0, 1] × [0, 2π] e T (r, t) = (r cos(t), r sen(t)).
Logo,
∂(x, y)
= r.
∂(r, t)
Note que para todo (r, t) ∈ L temos
∂(x, y)
= 0.
∂(r, t)
[2] Seja o quadrado D ∗ = [0, 1] × [0, 1] e T (u, v) = (u + v, u − v).
x
y
=u+v
= u − v.
Se u = 0, então y = −x; se v = 0, então y = x, se u = 1; então y = 2 − x e se v = 1,
então y = x − 2. A região D = T (D ∗ ) é a região do plano xy limitada pelas curvas
y = x, y = −x, y = x − 2 e y = 2 − x. O jacobiano:
∂(x, y)
= −2.
∂(u, v)
1
1
1
2
1
1
Figura 9.3: Regiões D ∗ e D, respectivamente.
[3] Seja D ∗ a região limitada pelas curvas u2 − v 2 = 1, u2 − v 2 = 9, u v = 1 e u v = 4
no primeiro quadrante, sendo T (u, v) = (u2 − v 2 , u v). Determinemos T (D ∗ ) = D,
fazendo:
x = u2 − v 2
y = u v;

30. CAPÍTULO 9. MUDANÇA DE COORDENADAS
232
se u2 − v 2 = 1, então x = 1; se u2 − v 2 = 9, então x = 9, se u v = 1, então y = 1 e se
u v = 4, então y = 4
2
4
1
1
1
2
3
1
5
Figura 9.4: Regiões D ∗ e D, respectivamente.
∂(x, y)
= 2(u2 + v 2 ), que não se anula em D ∗ .
∂(u, v)
9.2 Mudança de Coordenadas e Integrais Duplas
O seguinte teorema nos ensina o comportamento das integrais duplas sob mudanças de coordenadas.
Teorema 9.1. Sejam D e D ∗ regiões elementares no plano, T uma transformação de classe
C 1 e injetiva em D ∗ . Suponha que T (D ∗ ) = D. Então, para toda função integrável f sobre
D temos:
f (u, v)
f (x, y) dx dy =
D∗
D
onde
∂(x, y)
du dv
∂(u, v)
∂(x, y)
é o valor absoluto do determinante Jacobiano e f (u, v) = f (x(u, v), y(u, v)).
∂(u, v)
Em particular a área de D é:
dx dy =
A(D) =
D
D∗
∂(x, y)
du dv
∂(u, v)
É possível mostrar que o teorema anterior é ainda válido se T não é injetiva num
subconjunto de conteúdo nulo de D ∗ , como no caso de L, no exemplo 1.
Observe que podemos ir do plano uv ao plano xy e vice-versa, pois T é bijetiva.
9.3 Mudança Linear de Coordenadas
Consideremos a seguinte transformação:
x = x(u, v) = a1 u + b1 v
y = y(u, v) = a2 u + b2 v
9

31. 9.3. MUDANÇA LINEAR DE COORDENADAS
233
onde a1 b2 − a2 b1 = 0. Como:
∂(x, y)
= |a1 b2 − a2 b1 |,
∂(u, v)
do teorema anterior, segue:
Corolário 9.2. Se f (u, v) = f (a1 u + b1 v, a2 u + b2 v), então:
D
f (x, y) dx dy = |a1 b2 − a2 b1 |
f (u, v) du dv
D∗
Em particular, a área de D é:
A(D) = |a1 b2 − a2 b1 | A(D ∗ )
Note que:

u =



e que
∂(u, v)
∂(x, y)
=
∂(x, y)
∂(u, v)



v =
−1
u(x, y) =
b2 x − b 1 y
a1 b2 − a2 b1
,
−a2 x + a1 y
v(x, y) =
a1 b2 − a2 b1
.
Exemplo 9.3.
[1] Seja D a região limitada pelas curvas y = 2 x, y = x, y = 2 x − 2 e y = x + 1,
calcule:
x y dx dy.
D
A presença dos termos 2 x − y e y − x sugerem a seguinte mudança:
u
v
= 2x − y
= y − x.
A nova região D ∗ é limitada pelas seguintes curvas: u = 0, u = −2, v = 0 e v = 1.
4
1
3
2
1
1
2
3
2
Figura 9.5: Regiões D e D ∗ , respectivamente.
1

32. CAPÍTULO 9. MUDANÇA DE COORDENADAS
234
Note que:
x
y
=u+v
= u + 2 v,
∂(x, y)
= 1 e f (u, v) = (u + v) (u + 2 v) = u2 + 3 u v + 2 v 2 . Então:
∂(u, v)
logo,
1
0
(u2 + 3 u v + 2 v 2 ) du dv = 1.
x y dx dy =
0
D
−2
[2] Seja D a região limitada pela curva y + x = 2 e pelos eixos coordenados, calcule:
y−x
e x+y dx dy.
D
A presença dos termos x + y e x − y sugerem a seguinte mudança:
u
v
=x+y
= y − x.
D é limitada pelas curvas x = 0, y = 0 e x + y = 2; então, D ∗ é limitada pelas curvas
u = v, u = −v e u = 2, respectivamente.
2
2
1
1
1
2
2
Figura 9.6: Regiões D ∗ e D, respectivamente.
v
∂(u, v)
∂(x, y)
1
=2e
= , f (u, v) = e u ; então:
∂(x, y)
∂(u, v)
2
y−x
e x+y dx dy =
D
1
2
1
=
2
v
e u du dv =
D∗
2
ue
v=u
v
u
2
u
v
e u dv du
0
−u
du
0
e − e−1
2
= e − e−1 .
1
2
v=−u
2
=
u du
0
[3] Determine a área da região D limitada pela curva fechada
(2 x − 4 y + 7)2 + (x − 5 y)2 = 16.
2

33. 9.3. MUDANÇA LINEAR DE COORDENADAS
235
Considere a mudança:
u=
v=
2x − 4y
x − 5 y.
D∗ é a região limitada pela curva (u + 7)2 + v 2 = 16 que é um círculo centrado em
(−7, 0) de raio 4.
1
6
4
-10
-5
1
2
14
12
10
8
6
4
2
2
4
-3
6
Figura 9.7: Regiões D ∗ e D, respectivamente.
∂(u, v)
1
∂(x, y)
= 6; então
= e:
∂(x, y)
∂(u, v)
6
1
8
1
du dv = A(D ∗ ) = πu.a.
A(D) =
6 D∗
6
3
[4] Seja D a região limitada pela curva y + x = 1 e pelos eixos coordenados, calcule:
cos
D
x−y
dx dy.
x+y
A presença dos termos x + y e x − y sugerem a seguinte mudança:
u
v
=x−y
= x + y.
1
1
1
-1
1
Figura 9.8: Regiões D ∗ e D, respectivamente.
D∗ é a região limitada pelas seguintes curvas: u = v, u = −v e v = 1,
e
1
∂(x, y)
=
∂(u, v)
2

34. CAPÍTULO 9. MUDANÇA DE COORDENADAS
236
f (u, v) = cos
u
; então:
v
cos
D
y−x
x+y
u
du dv
v
D∗
1
v
u
du dv
cos
v
0
−v
1
2
1
=
2
cos
dx dy =
1 1
v sen(1) − sen(−1) dv = sen(1)
2 0
sen(1)
=
.
2
1
=
v dv
0
[5] Seja D a região limitada pelas curvas y − 2 x = 2, y + 2 x = 2, y − 2 x = 1 e
y + 2 x = 1, calcule:
y + 2x
dx dy.
2
D (y − 2 x)
A presença dos termos y + 2 x e y − 2 x sugerem a seguinte mudança:
u
v
= y + 2x
= y − 2 x.
D∗ é a região limitada pelas seguintes curvas: u = 1, u = 2, v = 1 e v = 2.
2
2
1
1
-1
-0.5
0.5
1
1
Figura 9.9: Regiões D ∗ e D, respectivamente.
∂(x, y)
u
1
= e f (u, v) = 2 ; então:
∂(u, v)
4
v
y + 2x
u
1
dx dy =
du dv
2
2
4
D (y − 2 x)
D∗ v
2
u
1 2
du dv
=
2
4 1
1 v
3
= .
16
2

35. 9.4. MUDANÇA POLAR DE COORDENADAS
9.4
237
Mudança Polar de Coordenadas
Um ponto P = (x, y) em coordenadas retangulares tem coordenadas polares (r, θ)
onde r é a distância da origem a P e θ é o ângulo formado pelo eixo dos x e o
segmento de reta que liga a origem a P .
P’
y
P
r
r
θ
x
Figura 9.10: Mudança polar de coordenadas.
A relação entre as coordenadas (x, y) e (r, θ) é dada por:
r
θ
x2 + y 2
y
x = 0.
= arctg
x
=
Ou, equivalentemente:
x = r cos(θ)
y = r sen(θ).
Esta mudança é injetiva em:
D ∗ = {(r, θ)/r > 0, θ0 < θ < θ0 + 2π},
com θ0 =constante.
Note que a região circular D = {(x, y) /x2 + y 2 ≤ a2 } corresponde, em coordenadas
polares, à região retangular:
D ∗ = {(r, θ) /0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ θ ≤ 2 π} = [0, a] × [0, 2 π].
Exemplo 9.4.
[1] A cardióide é uma curva de equação cartesiana x2 + y 2 =
coordenadas polares fica r = 1 − sen(θ), r ≥ 0.
x2 + y 2 − y; em

36. CAPÍTULO 9. MUDANÇA DE COORDENADAS
238
-1
1
-1
-2
Figura 9.11: Cardióide.
[2] A lemniscata de Bernoulli é uma curva de equação cartesiana:
(x2 + y 2 )2 = a2 (x2 − y 2 );
em coordenadas polares fica r 2 = a2 cos(2θ).
Figura 9.12: Lemniscata.
[3] O cilindro circular reto de raio a, em coordenadas cartesianas é definido como o
seguinte conjunto:
C = {(x, y, z) ∈ R3 / x2 + y 2 = a2 , a ≥ 0};
em coordenadas polares:
C ∗ = {(r, θ, z) ∈ R3 /r = a, 0 ≤ θ ≤ 2 π}.
Calculemos o jacobiano da mudança de coordenadas polares:
∂(x, y)
= r > 0.
∂(u, v)
Do teorema anterior, segue:
Corolário 9.3. Se f (r, θ) = f (r cos(θ), r sen(θ)), então:
r f (r, θ) dr dθ
f (x, y) dx dy =
D∗
D
Esta igualdade ainda é válida se D ∗ = {(r, θ)/r ≥ 0, θ0 ≤ θ ≤ θ0 + 2π}.
Em particular a área de D é:
r dr dθ
dx dy =
A(D) =
D
D∗

37. 9.4. MUDANÇA POLAR DE COORDENADAS
9.4.1
239
Regiões Limitadas por Círculos
Seja a > 0. A região D, limitada pelo círculo x2 + y 2 = a2 , em coordenadas polares
é dada por:
D∗ = {(r, θ) ∈ R2 /0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ θ ≤ 2 π}.
Figura 9.13: A região D.
Neste caso:
2π
a
r f (r, θ) dr dθ
f (x, y) dx dy =
0
D
0
A região D, limitada pelo círculo (x − a)2 + y 2 ≤ a2 , em coordenadas polares é:
D ∗ = {(r, θ) ∈ R2 /0 ≤ r ≤ 2 a cos(θ), −
π
π
≤ θ ≤ }.
2
2
Figura 9.14: A região D.
Neste caso:
f (x, y) dx dy =
D
π
2
−π
2
2 acos(θ)
r f (r, θ) dr dθ
0
A região D, limitada pelo círculo x2 + (y − a)2 ≤ a2 , em coordenadas polares é:
D∗ = {(r, θ) ∈ R2 /0 ≤ r ≤ 2 a sen(θ), 0 ≤ θ ≤ π}.

38. CAPÍTULO 9. MUDANÇA DE COORDENADAS
240
Figura 9.15: A região D.
Neste caso:
2a sen(θ)
π
r f (r, θ) dr dθ
f (x, y) dx dy =
0
0
D
Exemplo 9.5.
(x2 + y 2 ) dx dy, onde D é a região limitada pelas curvas:
[1] Calcule
D
2
2
2
x + y = 1,
2
x + y = 4,
y=x
e y=
√
3x
,
3
no primeiro quadrante.
1
1
2
Figura 9.16: A região D.
Usando coordenadas polares, a nova região D ∗ no plano rθ é determinada por:
D∗ = {(r, θ) /1 ≤ r ≤ 2,
π
π
≤ θ ≤ }.
6
4
Como x2 + y 2 = r 2 , temos:
2
π
4
3
2
r dr dθ =
(x + y ) dx dy =
D∗
D
π
6
2
r 3 dr dθ =
1
5π
.
16
ln(x2 + y 2 ) dx dy, onde D é a região limitada pelas curvas:
[2] Calcule
D
x2 + y 2 = a2
e
x2 + y 2 = b2 , (0 < a < b).

39. 9.4. MUDANÇA POLAR DE COORDENADAS
241
Usando coordenadas polares temos que D ∗ está determinada por: a ≤ r ≤ b e
0 ≤ θ ≤ 2π. Por outro lado, ln(x2 + y 2 ) = 2 ln(r),
ln(x2 + y 2 ) dx dy =
2 r ln(r) dr dθ
D∗
D
b
r ln(r) dr
= 4π
a
b
= π (r 2 (2 ln(r) − 1))
2
a
2
= π (2 b ln(b) − 2 a ln(a) + a2 − b2 ).
[3] Determine o volume do sólido situado acima do plano xy e limitado pelos gráficos de z = x2 + y 2 e x2 + y 2 = 2 y.
O gráfico de z = x2 + y 2 é um parabolóide centrado na origem e o de x2 + y 2 = 2y
é um cilindro circular reto centrado em (0, 1, 0) e de raio 1, pois, podemos escrever
x2 + y 2 − 2 y = x2 + (y − 1)2 − 1.
x
2
1
0
0.75
1
1
2
0.5
0.25 0
4
3
3
2
2
z
1
1
0
2
02
1
1.5
1
0
1
y
0.5
0
2
Figura 9.17: O sólido do exemplo [3].
Logo D = {(x, y) ∈ R2 /x2 + (y − 1)2 ≤ 1}, em coordenadas polares é:
D ∗ = {(r, θ) ∈ R2 /0 ≤ r ≤ 2 sen(θ), 0 ≤ θ ≤ π}.
(x2 + y 2 ) dx dy.
O sólido W é limitado superiormente pelo parabolóide. V =
Utilizando coordenadas polares temos x2 + y 2 = r 2 e:
D∗
D
2sen(θ)
π
r 3 dr dθ =
(x2 + y 2 ) dx dy =
V =
0
0
π
3 cos(4θ sen(2θ
=4
+
−
dθ
8
8
2
0
3θ
3
= −sen3 (θ) cos(θ) − cos(θ) sen(θ) +
2
2
3π
u.v.
=
2
π
0
D
π
r 3 dr dθ = 4
0
sen4 (θ) dθ

40. CAPÍTULO 9. MUDANÇA DE COORDENADAS
242
[4] Calcule o volume do sólido limitado externamente por x2 + y 2 + z 2 = 25 e
internamente por x2 + y 2 = 9.
y
0
4
3
2
1
3
z
2
1
0
0
1
2
3
x
4
5
Figura 9.18: O sólido do exemplo [4].
5
3
3
5
Figura 9.19: A região D.
Pela simetria do sólido, calculamos o volume no primeiro octante e multiplicamos
o resultado por 8.
V =8
D
25 − x2 − y 2 dx dy,
onde D é a projeção do sólido no plano xy. Usando coordenadas polares obtemos
a nova região D ∗ definida por:
e
25 − x2 − y 2 =
V =8
D
√
D ∗ = {(r, θ) / 3 ≤ r ≤ 5, 0 ≤ θ ≤
π
}
2
25 − r 2 :
25 −
x2
−
y 2 dx dy
π
2
=8
0
5
r
3
25 − r 2 dr dθ =
[5] Calcule o volume do sólido limitado pelo elipsóide:
256π
u.v.
3

41. 9.4. MUDANÇA POLAR DE COORDENADAS
243
x2 y 2 z 2
+ 2 + 2 = 1;
a2
b
c
onde a, b, c = 0.
Pela simetria do sólido calculamos o volume relativo ao primeiro octante; logo:
x2 y 2
+ 2 dx dy.
a2
b
1−
V = 8c
D
x2 y 2
A região D é limitada pela porção de elipse 2 + 2 = 1 no primeiro quadrante.
a
b
Usemos primeiramente a seguinte mudança:
x = au
y = b v;
o determinante Jacobiano da mudança é a b e D ∗ é limitada por u2 + v 2 = 1. Temos:
V = 8c
x2 y 2
+ 2 dx dy = 8 a b c
a2
b
1−
D
1 − u2 − v 2 du dv.
D∗
Agora, usamos coordenadas polares:
u = r cos(θ)
v = r sen(θ).
√
√
O determinante Jacobiano é r; 1 − u2 − v 2 = 1 − r 2 e a nova região D ∗∗ é defiπ
nida por 0 ≤ r ≤ 1 e 0 ≤ θ ≤ :
2
1 − r 2 dr dθ =
r
V = 8abc
D ∗∗
4abcπ
u.v.
3
Em particular, se a = b = c temos uma esfera de raio a e V =
+∞
[6] Calcule
4 π a3
u.v.
3
2
e−x dx.
0
Esta integral é muito utilizada em Estatística. Seja R = [−a, a] × [−a, a]. Então:
e−(x
R
2 +y 2 )
a
a
2
2
a
−a
O gráfico de f (x, y) = e−(x
−a
2 +y 2 )
é:
2
a
−a
2
e−y dy .
e−x dx
e−x e−y dy dx =
dx dy =
−a

42. CAPÍTULO 9. MUDANÇA DE COORDENADAS
244
Figura 9.20:
a
a
2
Se denotamos por L(a) =
2
e−u du, temos:
e−u du = 2
0
−a
L2 (a) =
e−(x
2 +y 2 )
dx dy.
R
Sejam D e D1 regiões elementares tais que D ⊂ R ⊂ D1 onde D é a região limitada
pelo círculo inscrito em R e D1 é a região limitada pelo círculo circunscrito a R:
R
D
D1
Figura 9.21:
Como f (x, y) = e−(x
2 +y 2 )
e−(x
é contínua em D1 e e−(x
2 +y 2 )
D
dx dy ≤ L2 (a) ≤
2 +y 2 )
> 0, para todo x, y,
e−(x
2 +y 2 )
dx dy.
D1
Usando coordenadas polares, D é definida por 0 ≤ r ≤ a e 0 ≤ θ ≤ 2π, D1 é
√
2
2
2
definida por 0 ≤ r ≤ 2 a e 0 ≤ θ ≤ 2π; e−(x +y ) = e−r e:
2π
a
0
0
2
2
r e−r dr dθ = π (1 − e−a );
então,
π (1 − e−a2 ) ≤ L(a) ≤
a
Como lim
a→+∞ 0
+∞
2
e−u du =
0
2
e−u du, temos:
π (1 − e−2a2 ).

43. 9.4. MUDANÇA POLAR DE COORDENADAS
+∞
−u2
e
du =
245
√
0
π
.
2
[7] Se D = {(x, y) ∈ R2 /1 ≤ (x − y)2 + (x + y)2 ≤ 4, y ≤ 0, x + y ≥ 0}, calcule:
x+y
e x−y
dx dy.
2
D (x − y)
Usamos mudança linear:
u=
v=
x−y
x + y.
Logo, a nova região D ∗ é limitada pelas curvas u2 + v 2 = 1, u2 + v 2 = 4, v ≤ u e
0 ≤ v:
2
1
1
2
Figura 9.22: Região D.
∂(u, v)
∂(x, y)
1
= 2 então
= e
∂(x, y)
∂(u, v)
2
x+y
e x−y
1
dx dy =
(x − y)2
2
D
v
eu
du dv.
2
D∗ u
Usando coordenadas polares obtemos a região D ∗∗ definida por: 1 ≤ r ≤ 2 e
π
0≤θ≤ :
4
1
2
v
eu
1
du dv =
2
2
D∗ u
r etg(θ)
D
2
2
∗∗ r cos (θ)
dr dθ =
ln(2)
(e − 1).
2
9.4.2 Aplicação
Seja D região do tipo II, limitada por curvas de equações (em forma polar): r = g(θ)
e r = h(θ) e definida por:
D = {(r, θ)/g(θ) ≤ r ≤ h(θ), θ1 ≤ θ ≤ θ2 },
onde g, h : [θ1 , θ2 ] −→ R são funções contínuas tais que 0 ≤ g(θ) ≤ h(θ).

44. CAPÍTULO 9. MUDANÇA DE COORDENADAS
246
θ
θ
y
h
2
D
D*
θ1
θ2
θ1
g
r
x
Figura 9.23:
Então:
h(θ2 )
θ2
r f (r, θ) dr dθ
f (x, y) dx dy =
g(θ1 )
θ1
D
Em particular, a área de D é:
dx dy =
A(D) =
D
1
2
θ2
θ1
(h(θ))2 − (g(θ))2 dθ
Exemplo 9.6.
[1] Calcule o volume do sólido limitado pelo cone z =
r = 4 sen(θ), no primeiro octante.
x2 + y 2 e pelo cilindro
Usando coordenadas polares temos que o cone escreve-se z = r; no plano r θ o
π
cilindro projeta-se no círculo r = 4 sen(θ); logo 0 ≤ r ≤ 4 sen(θ) e 0 ≤ θ ≤ .
2
y
4
0
4
2
1
3
4
3
3
2
z
2
1
1
0
0
0.5
1
-2
-1
1
1.5
2
x
2
Figura 9.24:
π
2
2
r dr dθ =
V =
D∗
0
4 sen(θ)
0
r 2 dr dθ =
128
u.v.
9
[2] Calcule a área da região limitada pelo interior do círculo r = 4 sen(θ) e pelo
exterior do círculo r = 2.

45. 9.4. MUDANÇA POLAR DE COORDENADAS
247
2
-2
2
-2
Figura 9.25:
Os círculos se intersectam em: θ =
A(D) =
1
2
5π
6
π
6
π
6
eθ=
5π
6
e:
(16 sen2 (θ) − 4) dθ =
√
2π
+ 2 3 u.a.
3
[3] Calcule a área da região limitada por r = 2(1 + sen(θ)).
4
3
2
1
-2
-1
1
2
Figura 9.26:
0 ≤ θ ≤ 2 π. Logo:
2π
A(D) = 2
(1 + sen(θ))2 dθ = 6πu.a.
0
[4] Calcule a área da região limitada por r = sen(3θ).
Figura 9.27:

46. CAPÍTULO 9. MUDANÇA DE COORDENADAS
248
0 ≤ θ ≤ 2 π. Logo:
A(D) =
1
2
2π
sen2 (3θ) dθ =
0
π
u.a.
2
9.5 Outras Aplicações da Integral Dupla
Como em uma variável, outras aplicações, além do cálculo de volumes, podem
ser definidas através de integrais duplas, tais como, massa total, centro de massa e
momento de inércia.
9.5.1
Massa Total
Suponha que uma lâmina fina tem a forma de uma região elementar D e consideremos que a massa está distribuida sobre D com densidade conhecida, isto é, existe
uma função z = f (x, y) > 0 em D que representa a massa por unidade de área em
cada ponto (x, y) ∈ D. Se a lâmina é feita de material homogêneo, a densidade é
constante. Neste caso a massa total da lâmina é o produto da densidade pela área
da lâmina. Quando a densidade f varia de ponto a ponto em D e f é uma função
integrável sobre D, a massa total M (D) de D é dada por:
f (x, y) dx dy
M (D) =
D
9.5.2 Momento de Massa
O momento de massa de uma partícula em torno de um eixo é o produto de sua
massa pela distância (na perpendicular) ao eixo. Então, os momentos de massa da
lâmina D em relação ao eixo dos x e dos y são respectivamente:
y f (x, y) dx dy,
Mx =
x f (x, y) dx dy
My =
D
D
(x,y)
y
D
x
Figura 9.28:
9.5.3
Centro de Massa
O centro de massa da lâmina é definido por (x, y), onde:
x=
My
,
M (D)
y=
Mx
M (D)

47. 9.5. OUTRAS APLICAÇÕES DA INTEGRAL DUPLA
249
Fisicamente (x, y) é o ponto em que a massa total da lâmina poderia estar concentrada sem alterar seu momento em relação a qualquer dos eixos. Se f (x, y) = k,
(k > 0) em todo D, (x, y) é chamado centróide de D. Neste caso o centro de massa
é o centro geométrico da região D.
Exemplo 9.7.
[1] Calcule o centro de massa do retângulo [0, 1] × [0, 1] se a densidade é dada pela
função: f (x, y) = ex+y .
A massa total de D = [0, 1] × [0, 1] é:
1
1
M (D) =
0
0
ex+y dx dy = e2 − 2e + 1.
Os momentos de massa respectivos são:
1
1
Mx =
0
0
y ex+y dx dy = e − 1 e
1
1
My =
0
0
x ex+y dx dy = e − 1
1
1
,
).
e−1 e−1
[2] Determine o centro de massa da região limitada por um semicírculo D de raio
a centrado na origem, sabendo que sua densidade em cada ponto é proporcional à
distância do ponto à origem.
e o centro de massa de D é (
Figura 9.29:
f (x, y) = k x2 + y 2 . Calculamos a massa total usando coordenadas polares. A
nova região D ∗ é definida por: 0 ≤ r ≤ a e 0 ≤ θ ≤ π; x2 + y 2 = r:
π
a
M (D) = k
0
r 2 dr dθ =
0
k π a3
.
3
Os momentos de massa respectivos são:
π
a
Mx =
0
0
0
o centro de massa de D é (0,
3a
).
2kπ
π
a
r 3 cos(θ) dθ dr = 0 e My =
0
r 3 sen(θ) dθ dr =
a4
;
2

48. CAPÍTULO 9. MUDANÇA DE COORDENADAS
250
[3] Determine o centróide da região limitada pelas curvas y = x2 e y = 4 x − x2 .
4
2
1
2
Figura 9.30:
Neste caso f (x, y) = 1 para todo (x, y) ∈ D, onde:
D = {(x, y) ∈ R2 /0 ≤ x ≤ 2, x2 ≤ y ≤ 4 x − x2 }
8
. Esta área já foi calculada anteriormente.
3
e M (D) = A(D) =
4x−x2
2
Mx =
0
x2
16
y dy dx =
3
e
2
4x−x2
My =
0
x2
8
x dy dx = ;
3
o centróide de D é (2, 1).
[4] Determine o centro de massa da região limitada pelas curvas y = x + x2 , y = 0
y
e x = 2 se a densidade em cada ponto é f (x, y) = 1+x .
2
x(x+1)
M (D) =
0
0
2
x(x+1)
Mx =
0
0
2
x(x+1)
My =
0
0
o centro de massa de D é (
9.5.4
1
y
dy dx =
1+x
2
y2
1
dy dx =
1+x
2
1
xy
dy dx =
1+x
3
2
(x3 + x2 ) dx =
10
,
3
(x4 + x3 ) dx =
412
,
45
0
2
0
2
0
(x5 + 2 x4 + x3 ) dx =
26
;
5
39 206
,
).
25 75
Momento de Inércia
Sejam L uma reta no plano, D uma lâmina como antes e δ(x, y) = d((x, y), L), onde
d é a distância no plano e (x, y) ∈ D.

49. 9.5. OUTRAS APLICAÇÕES DA INTEGRAL DUPLA
251
δ
(x,y)
L
D
Figura 9.31:
Se f (x, y) é a densidade em cada ponto de D, o momento de inércia da lâmina em
relação à reta L é:
δ2 (x, y) f (x, y) dx dy
IL =
D
Em particular, se L é o eixo dos x:
y 2 f (x, y) dx dy
Ix =
D
Se L é o eixo dos y:
x2 f (x, y) dx dy
Iy =
D
O momento de inércia polar em relação à origem é:
(x2 + y 2 ) f (x, y) dx dy
I0 = Ix + Iy =
D
O momento de inércia de um corpo em relação a um eixo é sua capacidade de
resistir à aceleração angular em torno desse eixo.
Exemplo 9.8.
[1] Determine o momento de inércia polar da região limitada pelas curvas y = ex ,
x = 1, y = 0 e x = 0, se a densidade em cada ponto é f (x, y) = x y.
ex
1
3
xy dx dy =
Ix =
0
D
ex
yx dx dy =
Iy =
0
D
1
(3 e4 + 1),
64
y x3 dy dx =
1 2
(e + 3);
16
0
1
3
x y 3 dy dx =
0
logo, o momento de inércia polar é:
I0 = Ix + Iy =
1
(3 e4 + 4 e2 + 13).
64
[2] Uma lâmina fina com densidade constante k é limitada por x2 + y 2 = a2 e
x2 + y 2 = b2 , (0 < a < b). Calcule o momento de inércia polar da lâmina.

50. CAPÍTULO 9. MUDANÇA DE COORDENADAS
252
Usando coordenadas polares, a nova região é definida por: a ≤ r ≤ b e 0 ≤ θ ≤ 2 π
e o momento de inércia polar é:
2π
b
I0 = k
0
r 3 dr dθ =
a
k (b4 − a4 )π
.
2
9.6 Exercícios
1. Determine o volume dos seguintes sólidos:
(a) Limitado superiormente por z = x2 + y 2 e inferiormente pela região
limitada por y = x2 e x = y 2 .
(b) Limitado superiormente por z = 3 x2 + y 2 e inferiormente pela região
limitada por y = x e x = y 2 − y.
(c) Limitado por y 2 + z 2 = 4 , x = 2 y, x = 0 e z = 0, no primeiro octante.
(d) Limitado por z = x2 + y 2 + 4 , x = 0, y = 0, z = 0 e x + y = 1.
(e) Limitado por x2 + y 2 = 1 , y = z, x = 0 e z = 0, no primeiro octante.
2. Calcule a área da região limitada pelo eixo dos y e as curvas y = sen(x) e
y = cos(x).
3. Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
(a) y = x2 , y = 2x +
5
4
(b) y = −x2 − 4, y = −8
(c) y = 5 − x2 , y = x + 3
(d) x = y 2 , y = x + 3, y = −2, y = 3
(e) y 3 = x, y = x
(f) y = −x2 − 1, y = −2x − 4
(g) x = y 2 + 1, y + x = 7
(h) y = 4 − x2 , y = x2 − 14
4. Determine o centro de massa da lâmina plana R, no plano xy e densidade
dada f :
(a) R é limitado por x2 + y 2 = 1 no primeiro quadrante e f (x, y) = x y
(b) R é limitado por y = x e y = x2 e f (x, y) = x2 + y 2
5. Definimos o valor médio de f sobre a região D por:
VM =
1
A
onde A é a área de D. Calcule VM se:
f (x, y) dx dy,
D

51. 9.6. EXERCÍCIOS
(a)
(b)
(c)
(d)
253
f (x, y) = x2 , e D do retângulo de vértices (0, 0), (4, 0), (4, 2) e (0, 2)
f (x, y) = x2 y 2 e D do retângulo de vértices (0, 0), (4, 0), (4, 2) e (0, 2)
f (x, y) = x2 y 2 e D do triângulo de vértices (0, 0), (4, 0), e (0, 2)
f (x, y) = x2 y 2 e D do triângulo de vértices (−1, 0), (1, 0), e (0, 1)
Mudanças de Variáveis
1. Utilizando a mudança de variáveis: x = u + v e y = u − v, calcule:
1
1
x2 + y 2 dx dy.
0
0
2. Utilizando a mudança de variáveis: x + y = u e x − y = v, calcule:
x+y
2
D
(x − y)2 dx dy,
onde D é limitado pelo quadrado de vértices (1, 0), (2, 1) e (0, 1).
3. Utilizando a mudança de variáveis: u = x − y e v = x + y, calcule:
D
x2 − y 2 sen2 (x + y) dx dy,
onde D = {(x, y)/ − π ≤ x + y ≤ π, −π ≤ x − y ≤ π}.
4. Utilizando coordenadas polares, calcule as seguintes integrais duplas:
ex
(a)
2 +y 2
D
(b)
D
b2 }
(c)
dx dy, sendo D = {(x, y)/x2 + y 2 ≤ 1}
ln(x2 + y 2 ) dx dy, sendo D = {(x, y)/x ≥ 0, y ≥ 0, a2 ≤ x2 + y 2 ≤
sen( x2 + y 2 )
x2 + y 2
D
dx dy, sendo D limitadas por x2 +y 2 =
π2
4
e x2 +y 2 =
π2
5. Calcule a área da região limitada pelas seguintes curvas: x = 4 − y 2 e x + 2 y −
4 = 0.
6. Utilizando coordenadas polares, calcule a área da região limitada pelas curvas:
(a) r = 1 e r =
2cos(θ)
√
3
(fora a circunferência r = 1).
(b) r = 2 (1 + cos(θ)) e r = 2 cos(θ).
(c) r = 2 (1 − cos(θ)) e r = 2.
sen(x2 + y 2 ) dx dy, sendo D o disco unitário centrado na origem.
7. Calcule
D
8. Sendo dadas a parábola y 2 = x + 1 e a reta x + y = 1, calcule o momento de
inércia em relação a cada eixo e o momento de inércia polar.

52. 254
CAPÍTULO 9. MUDANÇA DE COORDENADAS