Questões resolvidas de matemática

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Questões resolvidas de matemática

  1. 1. Questões Resolvidas de Matemática Celso do Rosário Brasil Gonçalves (01) Um edifício projeta uma sombra de 10 m ao mesmo tempo em que um poste de 12 m projeta uma sombra de 4 m. Qual a altura do edifício, sabendo que o edifício e o poste são perpendiculares ao solo? Solução Pela semelhança de triângulos, temos: (02) Um terreno foi dividido em lotes com frentes para a Rua 01 e para a Rua 02, como você vê na ilustração abaixo. As laterais dos terrenos são paralelas. Calcule os valores de x, y e z. Solução Aplicando o Teorema de Tales, temos: 𝑥 x= 𝑦 𝑧 𝑦 5 540 45 8 5 8 5 𝑧 5 5 𝒙 𝟏𝟐 𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔 𝒚 𝟏𝟖 𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔 𝒛 𝟐𝟒 𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔 1
  2. 2. Questões Resolvidas de Matemática Celso do Rosário Brasil Gonçalves (03) Na praça central de uma cidade foi construído um obelisco, em forma de cruz, conforme mostra figura abaixo. A cruz é compacta e construída com cubos de alumínio de arestas iguais a 80 cm. O volume de alumínio usado para construir somente a cruz foi de: a) 5,12 m³ b) 4,80 m³ c) 4,48 m³ d) 4,16 m³ e) 3,84 m³ Solução A cruz é formada por 10 cubos de aresta 80 cm cada um. 𝑉 𝑑𝑎 𝑉 𝑑𝑎 𝑐𝑟𝑢𝑧 𝑎3 𝑐𝑟𝑢𝑧 5. 𝑉 𝑑𝑎 . 8 𝑐𝑟𝑢𝑧 𝑐𝑚³ 𝑽 𝒅𝒂 3 𝟓, 𝟏𝟐 𝒎³ 𝒄𝒓𝒖𝒛 Resposta: letra (a) (04) As dimensões de uma piscina olímpica são: 50m de comprimento, 25m de largura e 3m de profundidade. O seu volume, em litros, é: a) 3.750. b) 37.500. c) 375.000. d) 3.750.000. e) 37.500.000. Solução A piscina tem a forma de um paralelepípedo retângulo, logo: 𝑉 𝑎. 𝑏. 𝑐 𝑉 3.75 . 𝑉 5 . 5.3 𝑉 375 𝑚3 𝑑𝑚³ Como: 1 dm³ = 1 litros Resposta: 3.750.000 litros, letra (d). 2
  3. 3. Questões Resolvidas de Matemática Celso do Rosário Brasil Gonçalves (05) Calcule área do terreno cuja forma e dimensões estão representadas na figura abaixo. Solução Sabemos que quando conhecemos os três lados (diferentes) de um triângulo, a área dessa região triangular pode ser calculada pela fórmula de Heron. Vejamos: (1) Cálculo do semiperímetro do triângulo: 3 8 3 , (2) Cálculo da área do triângulo: (Fórmula de Heron) √ √ 5,5 5,5 √ 5,5 3 5,5 8 5,5 ,5 7,5 5,5 √ 598, 375 , (06) Qual é a área da região triangular limitada pelo triângulo cujas medidas estão indicadas na figura abaixo? 3
  4. 4. Questões Resolvidas de Matemática Celso do Rosário Brasil Gonçalves Solução Quando conhecemos dois lados de um triângulo e o ângulo formado por eles, a área da região triangular é dada por: . ̂ (“a” e “b” são os lados conhecidos e ̂ o ângulo formado por eles). . Logo: . . . ̂ . 3 5 ,5 (07) Sabe-se que é a medida (em graus) de um dos ângulos internos de um triângulo retângulo. Se sen , cos e a hipotenusa do triângulo mede 20 cm, determine sua área. Solução 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑘 𝑘 𝑘 ∆ 6 𝑠𝑒𝑛 𝜃 Note que: 0 𝑘 𝑘 𝑘 𝑘 𝑘 5𝑘 𝑘 𝑘 𝑐𝑜𝑠 𝜃 3 ∆ ± 6 𝑘 6 𝑘 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ±8 3 5 𝑘′ 3 , 𝑘" 5 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝑛ã𝑜 𝑠𝑒𝑟𝑣𝑒 𝟒 𝟓 , logo: 5 cos Note que cos 0 4
  5. 5. Questões Resolvidas de Matemática Celso do Rosário Brasil Gonçalves 3 5 Cálculo da área do triângulo: . 6. (08) Alguns jornais calculam o número de pessoas presentes em atos públicos considerando que cada metro quadrado é ocupado por 4 pessoas. Qual é a estimativa do número de pessoas presentes numa praça de 4.000 m² que tenha ficado lotada para um comício, segundo essa avaliação? Solução Esse problema pode ser solucionado através de uma regra de três simples: (09) Um mapa é feito em uma escala de 1 cm para cada 200 km. O município onde se encontra a capital de certo estado está representado, nesse mapa, por um losango que tem um ângulo de 120° e cuja diagonal menor mede 0,2 cm. determine a área desse município. Dado: 3 ,7. Solução 5
  6. 6. Questões Resolvidas de Matemática Celso do Rosário Brasil Gonçalves Note que a área do município equivale ao dobro da área de um triângulo equilátero de lado igual a 40 km: 3 3 . 6 . 3 8 3 8 . ,7 (10) O lado, o semiperímetro e a área de um hexágono regular formam, nessa ordem, uma PG. Determine o apótema desse hexágono. Solução Lado = L Semiperímetro = 3L Área do hexágono: 𝑆 PG (L, 3L, 3 3 𝐿 3 𝑺 𝟑 𝑳 𝟑 𝟐 ) 3 3 6. 3 3 3 6 Cálculo do apótema: No triângulo vermelho, temos: ( ) 3 3( 3) 3. .3 9 6
  7. 7. Questões Resolvidas de Matemática Celso do Rosário Brasil Gonçalves (11) Calcule a área da região colorida na figura abaixo. A área colorida é conhecida como “segmento circular”. Ela pode ser obtida pela diferença entre a área do setor circular e a da região triangular: (1) Área do setor circular: 𝑆 𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟 𝜋𝑅 𝛼 36 𝑆 𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟 𝜋. 36. 5 36 (2) Área da região triangular: . 6.6. 5 𝑆 𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟 𝜋. 6 . 5 36 𝑆 𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟 5𝜋 𝑺 𝒔𝒆𝒕𝒐𝒓 𝟗𝝅 𝟐 . 36. (3) Área do segmento circular: 9 9 9 8 √ (12) O perímetro do quadrado ABCD da figura abaixo é 32 cm. Calcule a área da região colorida (amarelo) da figura. Solução (1) Cálculo do lado do quadrado: Perímetro = 32 𝐿 3 𝑳 𝟖 𝒄𝒎 ∴ Área do quadrado de lado igual a 8 cm: 𝑆 𝐿 𝑺 𝟔𝟒 𝒄𝒎 (2) Cálculo da área do círculo de raio igual a 4 cm. . 7
  8. 8. Questões Resolvidas de Matemática Celso do Rosário Brasil Gonçalves (3) Área da região colorida: 6 6 (13) Calcule a área do setor circular da figura abaixo. Solução Temos na figura ao lado: raio = 4 cm e comprimento do arco = 10 cm. Logo, devemos calcular a área do setor circular em função dessas duas dimensões: Podemos usar o seguinte raciocínio: . . (14) Uma cesta de lixo tem por faces laterais trapézios isósceles e por fundo um quadrado de 19 cm de lado. Desprezando a espessura da madeira, quantos metros quadrados de madeira foram necessários para fabricar essa cesta de lixo? 8
  9. 9. Questões Resolvidas de Matemática Celso do Rosário Brasil Gonçalves Solução A área total da cesta é dada por: . .( 7 . 6. 5 75 9 3 ) 9 36 36 3 , (15) Dado um triângulo equilátero de lado L. Qual a área da coroa circular limitada pelas circunferências inscrita e circunscrita nesse triângulo? Solução (1) Se R é o raio da circunferência circunscrita, então: 𝐿 𝑅 3 𝑅 𝐿 𝑳 𝟑 𝟑 𝑹 3 (2) Se r é o raio da circunferência inscrita, então: 𝐿 𝑟 3 𝑟 𝐿 3 3 𝒓 𝑳 𝟑 𝟔 (3) Área da coroa: *( 3 3 )+ [( 3 6 ) ] ( 3 9 3 ) 36 9
  10. 10. Questões Resolvidas de Matemática Celso do Rosário Brasil Gonçalves 3 ( 36 ) ( 9 ) 36 (16) Um triângulo escaleno ABC tem área igual a 96 m². Sejam M e N os pontos médios dos lados AB e AC, respectivamente. Calcule a área do quadrilátero BMNC. Solução A razão entre os lados dos triângulos ABC e AMN é k = 2. A razão entre suas áreas é: 96 𝑆 k² = 4  𝑺 𝟐𝟒 𝒄𝒎 Então a área do trapézio BMNC é: 96 – 24 = 72 cm² (17) Na figura ABC é um triângulo retângulo de catetos AB = 4 e AC = 5. O segmento DE é paralelo a AB, F é um ponto de AB e o segmento CF intercepta DE no ponto G, com CG = 4 e GF = 2. Calcule a área do triângulo CDE. Solução (1) O triângulo menor CDE é semelhante ao maior CAB, pois ̂ é comum e as bases 𝐷𝐸 𝑒 𝐴𝐵 são paralelas. Assim, a área 𝐶 do triângulo CAB é: .5 𝑆 𝐶𝐴𝐵 𝑺 𝑪𝑨𝑩 𝟏𝟎 𝒄𝒎 (2) A razão entre os segmentos CF e CG é: 𝑘 𝐶𝐹 𝐶𝐺 𝑘 6 𝒌 𝟑 𝟐 (3) Logo, a razão entre as áreas é: 3 ( ) 9 9 10
  11. 11. Questões Resolvidas de Matemática Celso do Rosário Brasil Gonçalves (18) A planta de um apartamento está confeccionada na escala 1:50. Assim sendo, calcule a área real, em m², de uma sala retangular cujas medidas na planta são 12 cm e 14 cm. Solução (19) Em uma metalúrgica, uma talhadeira industrial recorta 24 discos de uma chapa metálica, como mostra a figura abaixo. A sobra vai para a reciclagem para a produção de novas chapas. Quantas sobras são necessárias para produzir uma nova chapa com as mesmas dimensões? Dado: π = 3,14. Solução (1) Área da chapa . ,8 . 11
  12. 12. Questões Resolvidas de Matemática Celso do Rosário Brasil Gonçalves (2) Diagonal do círculo: , 6 , ∴ , (3) Como são 24 discos, a área recortada da chapa é: . . , .3, . , , (4) Área da sobra: ,96 , ,7536 6 5 Sobras necessárias para uma nova chapa: ,96 , 6 Resposta: Serão necessárias sobras de 5 chapas para produzir uma nova chapa. 12
  13. 13. Questões Resolvidas de Matemática Celso do Rosário Brasil Gonçalves (20) O triângulo inscrito na circunferência da figura abaixo de raio 1 cm é isósceles de raio 1 cm. Calcule a área da região pintada de vermelho. Solução A área da região pintada de vermelho é igual à área do círculo de raio 1 cm menos à área do triângulo isósceles menos a área do segmento circular. (1) Área do círculo: 𝑆𝑐 𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 𝜋𝑟 𝑆𝑐 𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 𝜋. 𝑺𝒄 𝒓𝒄𝒖𝒍𝒐 𝝅 (2) Área do triângulo . 3 3 (3) Área do segmento: (a) Cálculo da área do setor: Observe que no triângulo equilátero de lado 1, cada ângulo interno vale 60°, portanto: 13
  14. 14. Questões Resolvidas de Matemática Celso do Rosário Brasil Gonçalves .6 36 . .6 36 (b) Cálculo da área do triângulo equilátero de lado 1: 3 3 (c) Área do segmento: (4) Área da região pintada: -( *( ( 3 ) 3 3 + ( 3 6 ) )+ 3 3 ) 6 14
  15. 15. Questões Resolvidas de Matemática Celso do Rosário Brasil Gonçalves (21) O triângulo ABC da figura abaixo é equilátero e tem área 3 cm². As circunferências têm centro em A, B e C. Calcule a área da região pintada de amarelo. Solução Observe que o raio de cada círculo vale a metade do lado do triângulo ABC, logo: R= 𝐿 (1) Área do triângulo ABC = 𝑆 𝑡𝑟𝑖 𝐿 3 3 𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐿 3 cm². 3 𝐿 8 𝑳 𝟐 𝟐 Como: R=  (2) Área amarela: 3. 3. ( 3. ) 3. .( ) .6 36 6 (22) Na figura, ABCD é um quadrado de lado 1, DEB e CEA são arcos de circunferências de raio 1. Calcule a área da região pintada de azul. Solução 15
  16. 16. Questões Resolvidas de Matemática Celso do Rosário Brasil Gonçalves (1) O quadrado ABCD de lado 1, tem área igual a: (2) Cálculo da área do triângulo ADE: 3 3 O ângulo ̂ é o complemento do ângulo ̂ que mede 60°, então med ( ̂ 3 . Da mesma forma, a medida do ângulo ̂ é 30°. Assim podemos visualizar a seguinte figura: Note que na figura ao lado: 𝑆 𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟 𝐵𝐴𝐸 𝑆 𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟 𝐶𝐷𝐸 𝜋𝑅 . 𝛼 36 𝜋. .3 36 𝜋 Como são dois setores, a área colorida ao lado vale: 2. 𝜋 (3) Quando subtrairmos da área do quadrado, a área do triângulo ADE e as áreas dos dois setores circulares (BAE e CDE), encontraremos a área procurada: ( 3 6 ) 16 𝜋 6
  17. 17. Questões Resolvidas de Matemática Celso do Rosário Brasil Gonçalves (23) (Variação do problema anterior) - O quadrado da figura abaixo tem lado unitário. Calcule o valor da área colorida. Solução O triângulo ADE é equilátero. Logo, a área destacada é a área do triângulo equilátero somada a 2 segmentos circulares de 60°. 𝐿 𝑆 𝐴𝐷𝐸 𝑆 𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟 𝐵𝐴𝐸 3 3 𝑆 𝐴𝐷𝐸 𝑆 𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟 . 𝐶𝐷𝐸 𝟑 𝑺 𝑨𝑫𝑬 𝜋𝑅 . 𝛼 36 𝟒 . 𝜋. .6 36 . 𝜋 6 𝝅 𝟑 Como são dois setores, a área colorida ao lado vale: 2. 𝑆 𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑆 𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑺 𝒔𝒆𝒈𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝝅 𝟔 𝑆 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑟𝑖𝑑𝑎 𝝅 𝟑 𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙 𝑡𝑒𝑟𝑜 𝟑 𝟒 3 4 𝑺 𝒄𝒐𝒍𝒐𝒓𝒊𝒅𝒂 𝑆 𝑡𝑟𝑖 𝜋 𝝅 𝟔 𝟑 𝟒 𝟑 𝟒 17 𝜋 6

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