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Semin´ario De Fundamentos De ´Algebra
Sistema De Congruˆencias
Teorema Chinˆes Dos Restos
Santos A. E.
aleniac@ufmg.br
UFM...
Introdu¸c˜ao
Teorema Chinˆes Dos Restos
O objetivo deste semin´ario ´e apresentar o Teorema Chinˆes dos
Restos como m´etod...
Parte I - Equa¸c˜oes Lineares
Equa¸c˜oes Lineares
Seja Qm a congruˆencia em m´odulo m ∈ N abaixo:
ax ≡ b mod m, a, b ∈ Z (...
Teorema
Considere a congruˆencia Qm (1) e d = mdc(a, m):
Teorema
i) A congruˆencia aX ≡ b mod m tem solu¸c˜ao, se, e somen...
Condi¸c˜ao de Existˆencia de Solu¸c˜ao
Demonstra¸c˜ao i.
Assumiremos por hip´otese que ax ≡ b mod m tem solu¸c˜ao.
Ent˜ao,...
Condi¸c˜ao de Existˆencia de Solu¸c˜ao
Rec´ıproca i.
Reciprocamente, Existe d tal que d = mdc(a, m), conforme:
ax + my = d...
Classes Distintas De Solu¸c˜oes
Demonstra¸c˜ao ii.
Se x = X0 for uma solu¸c˜ao de Qm, ent˜ao d|b, logo:
a
d
x +
m
d
y =
b
...
Classes Distintas De Solu¸c˜oes
Logo, obtemos a congruˆencia (4) que denotaremos por Qm .
Note que mdc(α, m ) = 1. Consequ...
Classes Distintas De Solu¸c˜oes
Da´ı, qualquer elemento X ∈ [X0]m satisfaz Qm .
Logo, X tamb´em ´e solu¸c˜ao de Qm.
Temos ...
Classes Distintas De Solu¸c˜oes
Se β = bd, ent˜ao o podemos aplicar o corol´ario 7.11 [1] em Qm
multiplicando-a por d:
dαx...
N´umero De Solu¸c˜oes N˜ao Congruentes M´odulo m
Verifica¸c˜ao.
Seja X0 uma solu¸c˜ao particular de Qm e Qm na forma reduzi...
N´umero De Solu¸c˜oes N˜ao Congruentes M´odulo m
Da´ı, a solu¸c˜ao geral de Qm (5) pode ser escrita da seguinte forma:
x =...
Parte II - Sistemas De Congruˆencias
Sistemas de Congruˆencias
Considere o sistema de congruˆencias abaixo:



a1...
Defini¸c˜oes Importantes
Defini¸c˜oes:
M =
k
i=1
= mmc(m1, m2, ..., mk)
Ni =
M
mi
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mi
Note que:
a) mi|Nj par...
Teorema Chinˆes Dos Restos
Teorema
Suponhamos as hip´oteses (1) e (2), ent˜ao para quaisquer das
congruˆencias dadas nos s...
Teorema Chinˆes Dos Restos - Demonstra¸c˜ao
Demonstra¸c˜ao.
Vamos assumir que X0 = k
j=1 cjNjLj ´e uma solu¸c˜ao particula...
Teorema Chinˆes Dos Restos - Demonstra¸c˜ao
Note que, se i = j, Nj(aicjLj) ´e m´ultiplo de mi, pois mi|Ni. Logo:
aicjNjLj ...
Teorema Chinˆes Dos Restos - Demonstra¸c˜ao
Observe que:
aici ≡ aiX0 mod mi
aiX0 ≡ bi mod mi
⇓ (Transitividade)
aici ≡ bi ...
Solu¸c˜oes Equivalentes Mod M
Seja X uma outra solu¸c˜ao do sistema. Ent˜ao pra todo i = 1, ..., k:
aiX0 ≡ bi mod mi
e
aiX...
Solu¸c˜oes Equivalentes Mod M
Rec´ıproca
Reciprocamente, temos:
X ≡ X0 mod M
⇓ (Proposi¸c˜ao 7.18, i [1])
X ≡ X0 mod mi
⇓
...
M´etodo Iterativo Para Congruˆencias Lineares
Sistemas de congruˆencias da forma x = bi mod mi
Como pudemos verificar, deve...
Isolando A Ic´onita X Do Sistema
Considere o sistema de congruˆencias lineares em que
di = mdc(ai, mi) e di|bi:
{aix ≡ bi ...
Solucionando As Duas Primeiras Congruˆencias
Da´ı, podemos considerar um novo sistema da forma:
{x ≡ bi mod mi, i = 1, ......
Solucionando As Duas Primeiras Congruˆencias
Da´ı, podemos levar o lado direito de (9) para a equa¸c˜ao (b):
x ≡ b2 mod m2...
Solucionando As Duas Primeiras Congruˆencias
Uma vez obtido o valor de k, podemos substituir na equa¸c˜ao (9):
x = b1 + m1...
Exemplo De Sistema Com Trˆes Congruˆencias
Exemplo.
Considere o sistema de congruˆencias abaixo:
i)



3x ≡ 5 mod 4
2x ...
Solu¸c˜ao Do Primeiro Par De Congruˆencias
Separando as duas primeiras congruˆencias do sistema (iv), temos:
iv)



x ≡...
Solu¸c˜ao Do Primeiro Par De Congruˆencias
Levamos, ent˜ao, esta express˜ao para a congruˆencia (b):
x ≡ 4 mod 5
3 + 4k ≡ ...
Substituindo A Nova Congruˆencia No Sistema
Substituindo k na equa¸c˜ao (10), obtemos:
x = 3 + 4k
x = 3 + 4(4 + 5t)
x = 19...
Solu¸c˜ao Do Segundo Par De Congruˆencias
Obtendo x da congruˆencia (a) deste sistema, temos:
x = 19 + 20k (12)
Substituin...
Solu¸c˜ao Final Do Sistema
Portanto, k = 2 + 3t e, substituindo na equa¸c˜ao (12), temos:
x = 19 + 20k
x = 19 + 20(2 + 3t)...
Coment´arios
Coment´arios:
O exemplo resolvido ´e o mesmo encontrado em 7.70 [1] cujo
mesmo foi resolvido pelo m´etodo ant...
Bibliografia
Bibliografia.
VIDIGAL A. e outros, (2009), Fundamentos de ´Algebra,
Universidade Federal de Minas Gerais.
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Teorema Chinês Dos Restos

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Teorema Chinês dos Restos como método para resolução de equações e sistemas lineares de congruências de um anel comutativo com unidade.

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Teorema Chinês Dos Restos

  1. 1. Semin´ario De Fundamentos De ´Algebra Sistema De Congruˆencias Teorema Chinˆes Dos Restos Santos A. E. aleniac@ufmg.br UFMG ICEx 14 de dezembro de 2015 Santos A. E. aleniac@ufmg.br (UFMG ICEx)Teorema Chinˆes Dos Restos 14 de dezembro de 2015 1 / 33
  2. 2. Introdu¸c˜ao Teorema Chinˆes Dos Restos O objetivo deste semin´ario ´e apresentar o Teorema Chinˆes dos Restos como m´etodo para resolu¸c˜ao de equa¸c˜oes e sistemas lineares de congruˆencias de um anel comutativo com unidade. Apresentaremos tamb´em uma forma alternativa facilmente implement´avel em computadores e um exemplo resolvido. Os teoremas, lemas, corol´arios e proposi¸c˜oes apontados nesta apresenta¸c˜ao est˜ao contidos no Livro Fundamentos De ´Algebra Linear [1], conforme as suas respectivas referˆencias. Santos A. E. aleniac@ufmg.br (UFMG ICEx)Teorema Chinˆes Dos Restos 14 de dezembro de 2015 2 / 33
  3. 3. Parte I - Equa¸c˜oes Lineares Equa¸c˜oes Lineares Seja Qm a congruˆencia em m´odulo m ∈ N abaixo: ax ≡ b mod m, a, b ∈ Z (1) em que d = mdc(a, m) m = m d , se d|b. Santos A. E. aleniac@ufmg.br (UFMG ICEx)Teorema Chinˆes Dos Restos 14 de dezembro de 2015 3 / 33
  4. 4. Teorema Considere a congruˆencia Qm (1) e d = mdc(a, m): Teorema i) A congruˆencia aX ≡ b mod m tem solu¸c˜ao, se, e somente se, d|b; ii) Se X0 for uma solu¸c˜ao de Qm, ent˜ao X tamb´em ´e uma solu¸c˜ao se, e somente se, X0 ≡ X mod m em que m = m/d. Em particular, Qm possui d solu¸c˜oes n˜ao congruentes m´odulo m. Santos A. E. aleniac@ufmg.br (UFMG ICEx)Teorema Chinˆes Dos Restos 14 de dezembro de 2015 4 / 33
  5. 5. Condi¸c˜ao de Existˆencia de Solu¸c˜ao Demonstra¸c˜ao i. Assumiremos por hip´otese que ax ≡ b mod m tem solu¸c˜ao. Ent˜ao, temos: ax ≡ b mod m ax+ my = b. (2) Aplicando o lema 7.67 [1], (2) tamb´em tem solu¸c˜ao. Da´ı, d|b, e portanto, ambos lados da equa¸c˜ao abaixo: a d x + m d y = b d . Consequentemente, mdc(a, m)|b se Qm tem solu¸c˜ao. Santos A. E. aleniac@ufmg.br (UFMG ICEx)Teorema Chinˆes Dos Restos 14 de dezembro de 2015 5 / 33
  6. 6. Condi¸c˜ao de Existˆencia de Solu¸c˜ao Rec´ıproca i. Reciprocamente, Existe d tal que d = mdc(a, m), conforme: ax + my = d (3) Note que a equa¸c˜ao (3) tem solu¸c˜ao. Al´em disso, podemos expressar b = βd, β ∈ Z. Multiplicando (3) por β, temos: a(βx) + m(βy) = b aX0 + mY0 = b, em que X0 = βx. Logo, aX0 ≡ b mod m. Portanto X0 ´e uma solu¸c˜ao particular da congruˆencia Qm. Como quer´ıamos mostrar. Santos A. E. aleniac@ufmg.br (UFMG ICEx)Teorema Chinˆes Dos Restos 14 de dezembro de 2015 6 / 33
  7. 7. Classes Distintas De Solu¸c˜oes Demonstra¸c˜ao ii. Se x = X0 for uma solu¸c˜ao de Qm, ent˜ao d|b, logo: a d x + m d y = b d . Ent˜ao podemos escrever: a = αd, b = βd, m = m d Reescrevendo Qm em termos de α, β, temos: ax ≡ b mod m αdx ≡ βd mod m ⇓ (Corol´ario 7.17 [1]) αx ≡ β mod m . (4) Santos A. E. aleniac@ufmg.br (UFMG ICEx)Teorema Chinˆes Dos Restos 14 de dezembro de 2015 7 / 33
  8. 8. Classes Distintas De Solu¸c˜oes Logo, obtemos a congruˆencia (4) que denotaremos por Qm . Note que mdc(α, m ) = 1. Consequentemente, α posssui inverso m´odulo m . Logo, Qm tˆem uma solu¸c˜ao particular da forma: X0 ≡ βα−1 mod m . Ent˜ao temos como solu¸c˜ao geral a equa¸c˜ao: x = X0 + m k, k ∈ Z. Santos A. E. aleniac@ufmg.br (UFMG ICEx)Teorema Chinˆes Dos Restos 14 de dezembro de 2015 8 / 33
  9. 9. Classes Distintas De Solu¸c˜oes Da´ı, qualquer elemento X ∈ [X0]m satisfaz Qm . Logo, X tamb´em ´e solu¸c˜ao de Qm. Temos ent˜ao garantido que: X0 ≡ X mod m . Portanto, X tamb´em ´e solu¸c˜ao de Qm se X0 ≡ X mod m . Rec´ıproca ii. Seja X0 uma solu¸c˜ao particular de Qm tal que X0 ≡ X mod m . Obviamente, [X0]m ´e solu¸c˜ao de Qm , ent˜ao X0 e X s˜ao solu¸c˜oes. Se x = X0 e x = X s˜ao solu¸c˜oes de Qm , temos que x satisfaz: αx ≡ β mod m . Santos A. E. aleniac@ufmg.br (UFMG ICEx)Teorema Chinˆes Dos Restos 14 de dezembro de 2015 9 / 33
  10. 10. Classes Distintas De Solu¸c˜oes Se β = bd, ent˜ao o podemos aplicar o corol´ario 7.11 [1] em Qm multiplicando-a por d: dαx ≡ dβ mod dm ⇓ ax ≡ b mod m em que a = a d e m = m d. Logo, a solu¸c˜ao geral de Qm ´e dada por: x ≡ X mod m, X ∈ [X0]m . (5) Portanto, se X ´e solu¸c˜ao de Qm, ent˜ao X0 tamb´em ´e. Santos A. E. aleniac@ufmg.br (UFMG ICEx)Teorema Chinˆes Dos Restos 14 de dezembro de 2015 10 / 33
  11. 11. N´umero De Solu¸c˜oes N˜ao Congruentes M´odulo m Verifica¸c˜ao. Seja X0 uma solu¸c˜ao particular de Qm e Qm na forma reduzida, 0 ≤ X0 < (m − 1). Seja Rm e Rm , respectivamente, os conjuntos das classes de Zm e Zm . Fazendo u = m − 1 e espandindo ambos conjuntos, temos: Rm = {0, 1, . . . , X0, . . . , u, . . . , 2u, . . . , 3u, . . . , du} Rm = {0, 1, . . . , X0, . . . , u} Temos que a congruˆencia Qm (4) possui solu¸c˜ao da forma: x = X0 + m k, k ∈ Z. Isto ´e, [X0]m ∈ Rm ´e solu¸c˜ao ´unica de Qm . Santos A. E. aleniac@ufmg.br (UFMG ICEx)Teorema Chinˆes Dos Restos 14 de dezembro de 2015 11 / 33
  12. 12. N´umero De Solu¸c˜oes N˜ao Congruentes M´odulo m Da´ı, a solu¸c˜ao geral de Qm (5) pode ser escrita da seguinte forma: x = X + mt t ∈ Z em que X ∈ [X0]m . Note que: 1 O conjunto Rm possui m = m d classes distintas. 2 As solu¸c˜oes X n˜ao s˜ao congruentes m´odulo m, pois: [X0]m = [X0]m . 3 Cada solu¸c˜ao X ´e um representante de alguma classe de Zm. 4 Rm possui exatamente d elementos congruentes a X0 m´odulo m , a saber, cada um deles est´a entre cada m´ultiplo de (m − 1). Conclu´ımos, portanto, que Qm possui d solu¸c˜oes distintas m´odulo m. Como quer´ıamos mostrar. Santos A. E. aleniac@ufmg.br (UFMG ICEx)Teorema Chinˆes Dos Restos 14 de dezembro de 2015 12 / 33
  13. 13. Parte II - Sistemas De Congruˆencias Sistemas de Congruˆencias Considere o sistema de congruˆencias abaixo:    a1x ≡ b1 mod m1 a2x ≡ b2 mod m2 ... ... akx ≡ bk mod mk Vamos assumir que: 1 O mdc(ai, mi) = 1, para todo i = 1, 2, ..., k; 2 O mdc(mi, mj) = 1, para todo i = j. Santos A. E. aleniac@ufmg.br (UFMG ICEx)Teorema Chinˆes Dos Restos 14 de dezembro de 2015 13 / 33
  14. 14. Defini¸c˜oes Importantes Defini¸c˜oes: M = k i=1 = mmc(m1, m2, ..., mk) Ni = M mi = m1m2...mi...mk mi Note que: a) mi|Nj para todo i = j. Consequentemente, Nj ≡ 0 mod mi; b) O mdc(Ni, mi) = 1. Portanto, Ni posssui inverso m´odulo mi, ou seja: NiLi ≡ 1 mi, em que Li = N−1 i . (6) Santos A. E. aleniac@ufmg.br (UFMG ICEx)Teorema Chinˆes Dos Restos 14 de dezembro de 2015 14 / 33
  15. 15. Teorema Chinˆes Dos Restos Teorema Suponhamos as hip´oteses (1) e (2), ent˜ao para quaisquer das congruˆencias dadas nos seus respectivos m´odulos m1, ..., mk, o sistema possui solu¸c˜ao da forma: X0 = k i=1 ciNiLi em que: ci ´e uma solu¸c˜ao de aix ≡ bi mod mi. NiN−1 i ≡ 1 mod mi possui solu¸c˜ao N−1 i = Li. Al´em disso, X ´e uma outra solu¸c˜ao do sistema se, e somente se, X ≡ X mod M. Santos A. E. aleniac@ufmg.br (UFMG ICEx)Teorema Chinˆes Dos Restos 14 de dezembro de 2015 15 / 33
  16. 16. Teorema Chinˆes Dos Restos - Demonstra¸c˜ao Demonstra¸c˜ao. Vamos assumir que X0 = k j=1 cjNjLj ´e uma solu¸c˜ao particular do sistema de congruˆencias dado. Isto ´e, para todo i = 1, ..., k, aiX0 ≡ bi mod mi. Ent˜ao, temos: aiX0 = ai( k j=1 cjNjLj) = k j=1 aicjNjLj. Santos A. E. aleniac@ufmg.br (UFMG ICEx)Teorema Chinˆes Dos Restos 14 de dezembro de 2015 16 / 33
  17. 17. Teorema Chinˆes Dos Restos - Demonstra¸c˜ao Note que, se i = j, Nj(aicjLj) ´e m´ultiplo de mi, pois mi|Ni. Logo: aicjNjLj ≡ 0 mod mi. Portanto, k j=1 aicjNjLj = aiciNiLi. (7) Da´ı, reescrevemos a equivalˆencia da seguinte forma: aiX0 ≡ aiciNiLi mod mi ≡ aici mod mi (8) aplicando NiLi ≡ 1 mod mi em (8). Santos A. E. aleniac@ufmg.br (UFMG ICEx)Teorema Chinˆes Dos Restos 14 de dezembro de 2015 17 / 33
  18. 18. Teorema Chinˆes Dos Restos - Demonstra¸c˜ao Observe que: aici ≡ aiX0 mod mi aiX0 ≡ bi mod mi ⇓ (Transitividade) aici ≡ bi mod mi E, portanto, aiX0 ≡ bi mod mi. Como quer´ıamos provar. Santos A. E. aleniac@ufmg.br (UFMG ICEx)Teorema Chinˆes Dos Restos 14 de dezembro de 2015 18 / 33
  19. 19. Solu¸c˜oes Equivalentes Mod M Seja X uma outra solu¸c˜ao do sistema. Ent˜ao pra todo i = 1, ..., k: aiX0 ≡ bi mod mi e aiX ≡ bi mod mi ⇓ (Transitividade) aiX0 ≡ aiX mod mi ⇓ (Proposi¸c˜ao 7.16 [1]) X0 ≡ X mod mi ⇓ (Proposi¸c˜ao 7.18, ii [1]) X0 ≡ X mod mmc(m1, ..., mk). Da´ı, conclu´ımos que X ≡ X0 mod M. Santos A. E. aleniac@ufmg.br (UFMG ICEx)Teorema Chinˆes Dos Restos 14 de dezembro de 2015 19 / 33
  20. 20. Solu¸c˜oes Equivalentes Mod M Rec´ıproca Reciprocamente, temos: X ≡ X0 mod M ⇓ (Proposi¸c˜ao 7.18, i [1]) X ≡ X0 mod mi ⇓ aiX ≡ aiX0 mod mi ⇓ (X0 satisfaz a congruˆencia i) aiX ≡ bi mod mi Portanto, conclu´ımos que X tamb´em ´e uma solu¸c˜ao do sistema. Como quer´ıamos provar. Santos A. E. aleniac@ufmg.br (UFMG ICEx)Teorema Chinˆes Dos Restos 14 de dezembro de 2015 20 / 33
  21. 21. M´etodo Iterativo Para Congruˆencias Lineares Sistemas de congruˆencias da forma x = bi mod mi Como pudemos verificar, devemos considerar a h´ıpotese de que o mdc(mi, mj) = 1, para todo i = 1, ..., k e i = j, no m´etodo apresentado. Al´em disso, ´e dif´ıcil de implement´a-lo computacionalmente. Mostraremos uma t´ecnica alternativa que facilita a implementa¸c˜ao em computadores e que n˜ao depende que o mdc(mi, mj) = 1, i = j. O mdc(ai, mi)|bi, para i ∈ {1, ..., k}, ´e uma condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para que uma congruˆencia tenha uma solu¸c˜ao individual. Em contrapartida, n˜ao necessariamente, o sistema tem solu¸c˜ao se mdc(ai, mi)|bi [3]. Santos A. E. aleniac@ufmg.br (UFMG ICEx)Teorema Chinˆes Dos Restos 14 de dezembro de 2015 21 / 33
  22. 22. Isolando A Ic´onita X Do Sistema Considere o sistema de congruˆencias lineares em que di = mdc(ai, mi) e di|bi: {aix ≡ bi mod mi, i = 1, ..., k. Vimos que um passo crucial foi dividir cada equa¸c˜ao de ordem i pelo seu respectivo di. E, consequentemente, reca´ımos numa nova congruˆencia da forma: {αix ≡ βi mod mi, i = 1, ..., k, cujo mdc(αi, mi) = 1. Sabemos que αi possui inverso m´odulo mi. Da´ı, mutiplicando ambos lados de cada equa¸c˜ao pelo seu inverso, obtemos: {x ≡ βiα−1 i mod mi, i = 1, ..., k. Santos A. E. aleniac@ufmg.br (UFMG ICEx)Teorema Chinˆes Dos Restos 14 de dezembro de 2015 22 / 33
  23. 23. Solucionando As Duas Primeiras Congruˆencias Da´ı, podemos considerar um novo sistema da forma: {x ≡ bi mod mi, i = 1, ..., k. Resolvemos este sistema solucionando-o par a par. Substitu´ımos, ent˜ao, o par original pela nova congruˆencia encontrada. O processo se repete sucessivamente at´e a ´ultima equa¸c˜ao. A princ´ıpio, vamos considerar as duas primeiras equa¸c˜oes do sistema dado: x ≡ b1 mod m1 (a) x ≡ b2 mod m2 (b) Sabemos que a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao (a) acima ´e da forma: x = b1 + m1k, k ∈ Z. (9) Santos A. E. aleniac@ufmg.br (UFMG ICEx)Teorema Chinˆes Dos Restos 14 de dezembro de 2015 23 / 33
  24. 24. Solucionando As Duas Primeiras Congruˆencias Da´ı, podemos levar o lado direito de (9) para a equa¸c˜ao (b): x ≡ b2 mod m2 b1 + m1k ≡ b2 mod m2 ⇓ m1k ≡ b2 − b1 mod m2 ⇓ k ≡ (b2 − b1)m−1 1 mod m2, em que m−1 1 ´e o inverso de m1 m´odulo m2. Portanto, k = (b2 − b1)m−1 1 + m2t em que t ∈ Z ´e um valor arbitr´ario. Santos A. E. aleniac@ufmg.br (UFMG ICEx)Teorema Chinˆes Dos Restos 14 de dezembro de 2015 24 / 33
  25. 25. Solucionando As Duas Primeiras Congruˆencias Uma vez obtido o valor de k, podemos substituir na equa¸c˜ao (9): x = b1 + m1k x = b1 + m1[(b2 − b1)m−1 1 + m2t] Calculado o valor de x em termos de t ∈ Z, obtemos uma congruˆencia X mod mmc(m1, m2), solu¸c˜ao comum do par. Esta mesma deve substituir as duas primeiras congruˆencias do sistema. Obt´em-se, portanto, um sistema equivalente com uma equa¸c˜ao a menos. Repetimos ent˜ao este processo at´e, finalmente, obter a solu¸c˜ao geral do sistema. Santos A. E. aleniac@ufmg.br (UFMG ICEx)Teorema Chinˆes Dos Restos 14 de dezembro de 2015 25 / 33
  26. 26. Exemplo De Sistema Com Trˆes Congruˆencias Exemplo. Considere o sistema de congruˆencias abaixo: i)    3x ≡ 5 mod 4 2x ≡ 3 mod 5 4x ≡ 2 mod 3 ⇓ ii)    x ≡ 5 · 3 mod 4 x ≡ 3 · 3 mod 5 x ≡ 2 · 4 mod 3 ⇓ ⇓ iii)    x ≡ 15 mod 4 x ≡ 9 mod 5 x ≡ 8 mod 3 ⇓ iv)    x ≡ 3 mod 4 x ≡ 4 mod 5 x ≡ 2 mod 3 Note que os valores destacados em vermelho s˜ao os inversos m´odulo mi dos seus respectivos ai, isto ´e, a1 = 3, a2 = 2, a3 = 4. Santos A. E. aleniac@ufmg.br (UFMG ICEx)Teorema Chinˆes Dos Restos 14 de dezembro de 2015 26 / 33
  27. 27. Solu¸c˜ao Do Primeiro Par De Congruˆencias Separando as duas primeiras congruˆencias do sistema (iv), temos: iv)    x ≡ 3 mod 4 x ≡ 4 mod 5 x ≡ 2 mod 3 x ≡ 3 mod 4 (a) x ≡ 4 mod 5 (b) Da congruˆencia (a), temos que: x = 3 + 4k, (10) em que k ∈ Z ´e um valor arbitr´ario. Santos A. E. aleniac@ufmg.br (UFMG ICEx)Teorema Chinˆes Dos Restos 14 de dezembro de 2015 27 / 33
  28. 28. Solu¸c˜ao Do Primeiro Par De Congruˆencias Levamos, ent˜ao, esta express˜ao para a congruˆencia (b): x ≡ 4 mod 5 3 + 4k ≡ 4 mod 5 ⇓ 4k ≡ 1 mod 5 ⇓ k ≡ 1 · 4 mod 5 ⇓ k ≡ 4 mod 5. Logo, obtemos k = 4 + 5t, onde t ´e um inteiro arbitr´ario. Santos A. E. aleniac@ufmg.br (UFMG ICEx)Teorema Chinˆes Dos Restos 14 de dezembro de 2015 28 / 33
  29. 29. Substituindo A Nova Congruˆencia No Sistema Substituindo k na equa¸c˜ao (10), obtemos: x = 3 + 4k x = 3 + 4(4 + 5t) x = 19 + 20t. Da´ı, obtemos uma nova congruˆencia: X ≡ 19 mod 20. (11) Substituindo o primeiro par por X no sistema (iv), obtemos um sistema equivalente: iv)    x ≡ 3 mod 4 x ≡ 4 mod 5 x ≡ 2 mod 3 =⇒ x ≡ 19 mod 20 (a) x ≡ 2 mod 3 (b) Santos A. E. aleniac@ufmg.br (UFMG ICEx)Teorema Chinˆes Dos Restos 14 de dezembro de 2015 29 / 33
  30. 30. Solu¸c˜ao Do Segundo Par De Congruˆencias Obtendo x da congruˆencia (a) deste sistema, temos: x = 19 + 20k (12) Substituindo (12) na congruˆencia (b): x ≡ 2 mod 3 19 + 20k ≡ 2 mod 3 ⇓ 20k ≡ −17 mod 3 ⇓ k ≡ 1 · 2 mod 3 ⇓ k ≡ 2 mod 3. Santos A. E. aleniac@ufmg.br (UFMG ICEx)Teorema Chinˆes Dos Restos 14 de dezembro de 2015 30 / 33
  31. 31. Solu¸c˜ao Final Do Sistema Portanto, k = 2 + 3t e, substituindo na equa¸c˜ao (12), temos: x = 19 + 20k x = 19 + 20(2 + 3t) x = 59 + 60t Portanto a solu¸c˜ao geral do sistema ´e x = 59 + 60t. Em outras palavras, x ≡ 59 mod 60. Santos A. E. aleniac@ufmg.br (UFMG ICEx)Teorema Chinˆes Dos Restos 14 de dezembro de 2015 31 / 33
  32. 32. Coment´arios Coment´arios: O exemplo resolvido ´e o mesmo encontrado em 7.70 [1] cujo mesmo foi resolvido pelo m´etodo anterior. Vale ressaltar que a solu¸c˜ao que encontramos est´a na sua forma reduzida, por´em ´e congruente com a solu¸c˜ao dos autores de [1], como esper´avamos. Contudo, em aplica¸c˜oes, deve-se considerar qual solu¸c˜ao particular vai refletir corretamente a interpleta¸c˜ao da forma aplicada. Santos A. E. aleniac@ufmg.br (UFMG ICEx)Teorema Chinˆes Dos Restos 14 de dezembro de 2015 32 / 33
  33. 33. Bibliografia Bibliografia. VIDIGAL A. e outros, (2009), Fundamentos de ´Algebra, Universidade Federal de Minas Gerais. COUTINHO S.C., (2011), N´umeros Inteiros e Criptografia RSA, Instituto de Matem´atica Pura e Aplicada. SOMBRIO G. S., (2001), Teorema Chinˆes De Restos e Teorema Da Aproxima¸c˜ao, Universidade Federal de Santa Catarina. https://repositorio.ufsc.br/bitstream/handle/123456789/ 81876/179152.pdf. Santos A. E. aleniac@ufmg.br (UFMG ICEx)Teorema Chinˆes Dos Restos 14 de dezembro de 2015 33 / 33

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