Resolução de congruências lineares e quadráticas

Congruências Lineares
Congruências Quadráticas
Aritmética - MA14
AULA 10 - CONGRUÊNCIAS LINEARES E CLASSES
RESIDUAIS
CONGRUÊNCIAS QUADRÁTICAS - UMA INTRODU¸CÃO
Aline de Lima Guedes Machado
PROFMAT - IME/UERJ
Universidade do Estado do Rio de Janeiro
aline.guedes@ime.uerj.br
10 de Novembro 2017
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Sumário
1 Congruências Lineares
Resolu¸cão de Congruências Lineares
Teorema Chinês dos Restos
Classes Residuais
2 Congruências Quadráticas
Resolu¸cão de Congruências Quadráticas
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Classes Residuais
Sum´ario
Classes Residuais
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Classes Residuais
Objetivo central dessa aula é resolver congruências lineares do tipo
aX ≡ b mod m, a, b, m ∈ Z, m > 1,
ou seja, determinar − se existirem − x ∈ Z tais que ax ≡ b mod m.
Proposi¸cão 11.1: Critério para verificar se tais congruências admitem
solu¸cão.
Dados a, b, m ∈ Z, com m > 1, a congruência
aX ≡ b mod m, a, b, m ∈ Z, m > 1,
tem solu¸cão inteira se e somente se
(a, m)|b.
OBS: Se x0 é solu¸cão da congruência aX ≡ b mod m,
então todo x tal que x ≡ x0 mod m é também solu¸cão
da congruência (solu¸cões particulares determinam
infinitas solu¸cões). Elas são consideradas uma só solu¸cão módulo m.
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Classes Residuais
Em sequência, outro objetivo é determinar uma cole¸cão completa de
solu¸cões duas a duas incongruentes módulo m, que serão chamadas
de sistema completo de solu¸cões incongruentes da congruência.
Teorema 11.2: Solu¸cões de uma congruência
Sejam a, b, m ∈ Z, com m > 1 e (a, m)|b. Se x0 é uma solu¸cão da
congruência aX ≡ b mod m, a, b, m ∈ Z, m > 1, então
x0, x0 +
m
d
, x0 + 2
m
d
, ..., x0 + (d − 1)
m
d
onde d = (a, m), formam um sistema completo de solu¸cões da
congruência, duas a duas incongruentes módulo m.
OBS: Isso quer dizer que qualquer solu¸cão da congruência é con-
gruente a um e somente um dos números acima.
OBS2: A congruência possui exatamente d solu¸cões
módulo m, incongruentes duas a duas. 5 / 57

Classes Residuais
Exemplo: Resolver 6X ≡ 3 mod 15.
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Classes Residuais
d = (6, 15) = 3 e 3|3. Logo a congruência tem solu¸cão.
Número de solu¸cões: d = 3 solu¸cões módulo 15.
Por tentativa e erro, encontra-se a solu¸cão inicial x0 = 8, pois
6 · 8 ≡ 3 mod 15, já que 15|48 − 3 = 45.
Logo, todas as solu¸cões módulo 15 são:
8, 8 +
15
3
= 13, 8 + 2 ·
15
3
= 18 ≡ 3 mod 15.
E assim, todas as solu¸cões inteiras são:
3 + 15t, 8 + 15t, 13 + 15t, t ∈ Z.
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Classes Residuais
Exemplo: Seria poss´ıvel simplificar a congruência 6X ≡ 3 mod 15 e
obter todas as solu¸cões?
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Classes Residuais
Exemplo: Seria poss´ıvel simplificar a congruência 6X ≡ 3 mod 15 e
obter todas as solu¸cões?
Não! Isso só pode ser feito se (a,m)=1.
Se o cancelamento fosse feito, ter´ıamos um problema:
6X ≡ 3 mod 15, d = (6, 15) = 3 e 3|3. A congruência possui 3
solu¸cões módulo 15.
3 + 15t, 8 + 15t, 13 + 15t, t ∈ Z.
Já ao dividir a congruência por 3:
2X ≡ 1 mod 15, d = (2, 15) = 1 e 1|3. A congruência teria 1
solu¸cão módulo 15: x0 = 8 seria solu¸cão, pois 15|2.8-1.
Já x = 3 e x = 13 não seriam solu¸cões, pois: 15 |2.3 − 1 = 5 e
15 |2.13 − 1 = 25.
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Classes Residuais
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Classes Residuais
Poderia ser simplificada, pois (6,5)=1. Da´ı:
6X ≡ 3 mod 5 ↔ 2X ≡ 1 mod 5.
Por inspe¸cão, tem-se x0 = 3 como solu¸cão única módulo 5, uma
vez que d = 1.
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Classes Residuais
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Classes Residuais
A congruência não possui solu¸cão, pois (6,18)=6 e 6 |21.
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Classes Residuais
Resolu¸cão de Congruências Lineares - solu¸cão única
Em alguns casos, a congruência tem solu¸cão única módulo m.
Corolário 11.4. Consequência direta do teorema 11.2
Se (a, m) = 1, então a congruência aX ≡ b mod m possui uma
única solu¸cão módulo m.
Corolário 11.5. Consequência direta do teorema 11.2
Sejam m > 1 e R um conjunto reduzido de res´ıduos módulo m (se
r ∈ R , então (r, m) = 1. Se b ∈ Z, então ∀r ∈ R , a congruência
rX ≡ b mod m possui uma única solu¸cão módulo m em R .
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Classes Residuais
Resolu¸cão de Congruências Lineares - inverso
multiplicativo.
Inverso multiplicativo
A congruência aX ≡ 1 mod m, com (a, m) = 1 admite solu¸cão
única módulo m. Esta solu¸cão x0 será chamada de inverso
multiplicativo de a módulo m.
Exemplo: Resolver a congruência 7a + 5 ≡ 4 mod 9.
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Classes Residuais
Resolu¸cão de Congruências Lineares - inverso
multiplicativo.
Inverso multiplicativo
A congruência aX ≡ 1 mod m, com (a, m) = 1 admite solu¸cão
única módulo m. Esta solu¸cão x0 será chamada de inverso
multiplicativo de a módulo m.
Exemplo: Resolver a congruência 7a + 5 ≡ 4 mod 9.
7a + 5 ≡ 4 mod 9 ↔ 7a ≡ −1 mod 9 ↔ 7a ≡ 8 mod 9.
Para ”sumir”com o 7, devemos encontrar o inverso multiplicativo
módulo 9 de 7. É o 4, pois 7 · 4 = 28 ≡ 1 mod 9. Da´ı:
4 · 7a ≡ 4 · 8 mod 9 ↔ a ≡ 32 mod 9 ↔ a ≡ 5 mod 9.
Solu¸cão: a ≡ 5 mod 9 ou a = 9b + 5, b ∈ Z.
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Classes Residuais
Resolu¸cão de Congruências Lineares - solu¸cão única
Em geral, as congruências aX ≡ b mod m são mais fáceis de resol-
ver por inspe¸cão quando o módulo m é pequeno. Quando ele não
for pequeno, pode-se aplicar algumas propriedades das congruências
para baixar o módulo, como no exemplo a seguir.
Resolver a congrência 13X ≡ 4 mod 42.
(13, 42) = 1, então existe solu¸cão e é única a solu¸cão módulo 42.
Temos que 42= 2 x 3 x 7 e [2,3,7]=42. Logo, por proposi¸cão
anterior (9.13), x0 é solu¸cão da congruência acima se e somente se
ela é solu¸cão simultânea das congruências:
13X ≡ 4 mod 2, 13X ≡ 4 mod 3, 13X ≡ 4 mod 7.
Por inspe¸cão, é fácil ver que x0 = 10 é solu¸cão de todas as
congruências, logo é solu¸cão da congruência inicial. Então, as
solu¸cões são dadas por x = 10 + 42t, t ∈ Z.
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Classes Residuais
Resolu¸cão de Congruências Lineares - aplica¸cão
Achar as solu¸cões inteiras de 15x2
− 7y2
= 9.
Solu¸cão: Essa equa¸cão pode ser reescrita como 15x2
− 7y2
− 9 = 0.
Assim, é poss´ıvel resolver essa equa¸cão utilizando congruência. Como
0 ≡ 0 mod m, qualquer que seja m, podemos reescrever essa equa¸cão
como uma congruência com zero módulo ”algum número m”, substituindo
o zero pela equa¸cão. O módulo 7 é um ótimo candidato ao módulo, pois:
7y2
≡ 0 mod 7
Assim, a parte do y sumiria na congruência. Reescrendo a equa¸cão
original módulo 7, temos:
15x2
− 7y2
− 9 ≡ 0 mod 7
Fazendo as simplifica¸cões em rela¸cão ao módulo 7, temos:
1x2
− 0y2
− 2 ≡ 0 mod 7, ou seja, x2
≡ 2 mod 7.
Analisando os poss´ıveis valores de x dentro do sistema completo de
res´ıduos (0,1,2,3,4,5,6), chegamos que as solu¸cões para x são:
x ≡ 3 mod 7 ou x ≡ 4 mod 7, ou seja, x = 7k + 3 ou x = 7k + 4, k ∈ Z.
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Classes Residuais
Achar as solu¸cões inteiras de 15x2
− 7y2
= 9.
Continua¸cão da solu¸cão:
Isso ainda não é garantia de solu¸cão, pois precisamos encontrar um par
(x,y). Substituir x na equa¸cão para encontrar y seria muito trabalhoso.
Faremos então o mesmo procedimento para ”sumir” com o x,
reescrevendo a equa¸cão como congruência com o zero módulo 3, 5 ou 15.
Escolhendo módulo 3, temos:
0x2
− 1y2
− 0 ≡ 0 mod 3, ou seja, −y2
≡ 0 mod 3.
A solu¸cão seria y ≡ 0 mod 3, ou seja, y = 3t, t ∈ Z. Ainda não é
suficiente para responder ao problema. Vamos então resolver módulo 5:
0x2
− 2y2
− 4 ≡ 0 mod 5, ou seja, −2y2
≡ 4 mod 5.
Como (2,5)=1, podemos simplificar: y2
≡ −2 mod 5, ou ainda,
y2
≡ 3 mod 5. Ao substituir 0,1,2,3,4, vemos que essa congruência não
tem solu¸cão módulo 5 e a´ı a equa¸cão proposta não tem solu¸cão em Z.
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Classes Residuais
Exerc´ıcio 11.5: Mostre que a congruência X2 + 1 ≡ 0 mod 7 não
possui solu¸cões. Conclua que a equa¸cão
X2 − 7Y 2 − 14X + 7Y − 6 = 0 não admite solu¸cões inteiras.
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Classes Residuais
Exerc´ıcio 11.5: Mostre que a congruência X2
+ 1 ≡ 0 mod 7 não possui
solu¸cões. Conclua que a equa¸cão X2
− 7Y 2
− 14X + 7Y − 6 = 0 não
admite solu¸cões inteiras.
Solu¸cão: De fato,
X2
+ 1 ≡ 0 mod 7 ↔ X2
≡ −1 mod 7 ↔ X2
≡ 6 mod 7.
Substituindo todos os elementos do conjunto de res´ıduos, temos:
02
≡ 0 mod 7, 12
≡ 1 mod 7, 22
≡ 4 mod 7, 32
≡ 2 mod 7
42
≡ 2 mod 7, 52
≡ 4 mod 7, 62
≡ 1 mod 7.
Logo, a congruência X2
+ 1 ≡ 0 mod 7 não possui solu¸cões.
Se a equa¸cão X2
− 7Y 2
− 14X + 7Y − 6 = 0 tivesse solu¸cão (x,y)
inteira, a congruência abaixo teria solu¸cão:
X2
− 7Y 2
− 14X + 7Y − 6 ≡ 0 mod 7.
Como −7Y 2
≡ 0 mod 7, −14X ≡ 0 mod 7, −7Y ≡ 0 mod 7,
implicaria que X2
− 6 ≡ 0 mod 7 tivesse solu¸cão. Absurdo! Logo, a
equa¸cão X2
− 7Y 2
− 14X + 7Y − 6 = 0 não admite solu¸cões inteiras.
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Classes Residuais
Sistemas de Congruências Lineares - exemplo
Em um cesto, há uma quantidade N de ovos. Se os ovos forem
agrupados de 3 em 3, sobram 2. Se os ovos forem agrupados de 4 em 4,
sobra 1. Quantos ovos pode haver no cesto?
Resolver por congruência!
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Classes Residuais
Sistemas de Congruências Lineares - exemplo
Em um cesto, há uma quantidade N de ovos. Se os ovos forem
agrupados de 3 em 3, sobram 2. Se os ovos forem agrupados de 4 em 4,
sobra 1. Quantos ovos pode haver no cesto?
Resolver por congruência!
Solu¸cão:
N ≡ 2 mod 3
N ≡ 1 mod 4
N ≡ 2 mod 3 é o mesmo que, N = 3a + 2, a ∈ N.
Substituindo N na segunda congruência, temos:
3a + 2 ≡ 1 mod 4 ↔ 3a ≡ −1 mod 4 ↔ 3a ≡ 3 mod 4
Como (3,4)=1, podemos cancelar: a ≡ 1 mod 4, ou seja,
a = 4b + 1, b ∈ N. Substituindo na primeira equa¸cão de N:
N = 3(4b + 1) + 2 ↔ N = 12b + 5 ↔ N ≡ 5 mod 12.
Partimos de duas congruências, uma módulo 3 e outra módulo 4 e por
fim, a respota é módulo 12. Isso não foi coincidência, como veremos.
A solu¸cão é: N ≡ 5 mod 12 ou N = 5 + 12b, b ∈ N.
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Classes Residuais
No século I, o matemático chinês Sun-Tsu propôs o problema:
Qual é o número que deixa restos 2, 3 e 4 quando dividido, respec-
tivamente, por 3, 5 e 7?
A resposta dada pelo chinês para esse problema foi 23. Ao escrever
esse problema em linguagem matemática moderna, ele se equivale
na resolu¸cão de um sistema de congruências:
X ≡ 2 mod 3
X ≡ 3 mod 5
X ≡ 2 mod 7
De modo geral, o objetivo é resolver o sistema abaixo:
X ≡ ci mod mi , i = 1, 2, ..., r.
O Teorema Chinês dos Restos vai auxiliar na
resolu¸cão de tais sistemas.
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Classes Residuais
A proposi¸cão a seguir será útil para o Teorema Chinês dos Restos.
Proposi¸cão 11.6: Redu¸cão de Congruências Lineares
Toda congruência do tipo aX ≡ b mod m que tem solu¸cão é
equivalente a uma congruência do tipo
X ≡ c mod n
Demonstra¸cão:
aX ≡ b mod m (I) tem solu¸cão ↔ d = (a, m)|b.
Fazendo a = a
d , b = b
d , n = m
d , tem-se que a congruência (I) é
equivalente a a X ≡ b mod n (II). Como (a , n) = 1, a é invert´ıvel,
ou seja, existe um a tal que a a ≡ 1 mod n. Da´ı, multiplicando a
congruência (II) por a , tem-se a a X ≡ ba mod n, isto é,
X ≡ c mod n,
onde c = ba , com a o inverso multiplicativo de a módulo n.
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Classes Residuais
Sistemas de Congruências Lineares
Os sistemas de congruências lineares do tipo
ai X ≡ bi mod ni , i = 1, ..., r
Possuem solu¸cão quando (ai , ni )|bi , ∀i = 1, ..., r.
Pela proposi¸cão anterior, esses sistemas são equivalentes a um
sistema reduzido escrito na forma
X ≡ ci mod mi , i = 1, ..., r (I).
A partir dessa equivalência dos sistemas de congruência, será
apresentado o Teorema Chinês dos Restos.
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Classes Residuais
Se (mi , mj ) = 1 para todo par mi , mj com i = j, então o sistema
X ≡ ci mod mi , i = 1, ..., r
possui uma única solu¸cão módulo M = m1m2 · · · mr . Além disso,
as solu¸cões são do tipo:
x = M1y1c1 + · · · + Mr yr cr + tM,
onde t ∈ Z, Mi = M
mi
(ou Mi é o resultado do produto de todos os
mj exceto o mi ), e yi é solu¸cão de Mi Y ≡ 1 mod mi , i = 1, ..., r.
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Classes Residuais
Resolu¸cão do problema de Sun-Tsu
A resolu¸cão do problema é equivalente a resolu¸cão do sistema:
X ≡ 2 mod 3
X ≡ 3 mod 5
X ≡ 2 mod 7
M = 3x5x7 = 105; M1 = 105
3 = 35 (ou M1 = 5 · 7); M2 = 105
5 = 21 (ou
M2 = 3 · 7) ; M3 = 105
7 = 15 (ou M3 = 3 · 5). Por outro lado, o sistema
35Y ≡ 1 mod 3
21Y ≡ 1 mod 5
15Y ≡ 1 mod 7
tem como solu¸cões, respectivamente, y1 = 2, y2 = 1, y3 = 1. Portanto,
uma solu¸cão módulo 105 é dada por:
x = M1y1c1 + M2y2c2 + M3y3c3 = 233
Como 233 ≡ 23 mod 105, segue que 23 é uma solu¸cão do sistema e
qualquer outra solu¸cão é do tipo 23 + 105t, t ∈ Z.
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Classes Residuais
Teorema Chinˆes dos Restos - Exerc´ıcio
Exerc´ıcio 11.10: Resolver o sistema:
3X ≡ 1 mod 7, 5X ≡ 2 mod 11, 4X ≡ 3 mod 13
Solu¸c˜ao: Devemos reduzir o sistema acima a um sistema da forma
X ≡ ci mod mi , i = 1, 2, 3.
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Classes Residuais
Teorema Chinês dos Restos - Exerc´ıcio
Exerc´ıcio 11.10: Resolver o sistema:
3X ≡ 1 mod 7, 5X ≡ 2 mod 11, 4X ≡ 3 mod 13
Solu¸cão: Devemos reduzir o sistema acima a um sistema da forma
X ≡ ci mod mi , i = 1, 2, 3.
Para isso, devemos determinar os inversos multiplicativos de 3, 5 e 7
módulo 7, 11 e 13, respectivamente. Assim:
3 · 5 ≡ 1 mod 7, 5 · 9 ≡ 1 mod 11, 4 · 10 ≡ 1 mod 13.
Logo, temos um sistema equivalente ao sistema inicial:
3 · 5X ≡ 1 · 5 mod 7 ↔ X ≡ 5 mod 7
5 · 9X ≡ 2 · 9 mod 11 ↔ X ≡ 18 ≡ 7 mod 11
4 · 10X ≡ 3 · 10 mod 13 ↔ X ≡ 30 ≡ 4 mod 13
M = 7.11.13 = 1001, M1 = 11.13 = 143, M2 = 7.13 = 91, M3 = 7.11 =
77. Resolvendo as congruências Mi Yi ≡ 1 mod mi temos:
143Y1 ≡ 1 mod 7, 91Y2 ≡ 1 mod 11, 77Y3 ≡ 1 mod 13. Fazendo a
redu¸cão de seus coeficientes em rela¸cão aos módulos: 3Y1 ≡ 1 mod 7,
3Y2 ≡ 1 mod 11, 12Y3 ≡ 1 mod 13. Por inspe¸cão y1 = 5, y2 = 4,
y3 = −1. Da´ı, x = M1y1c1 + M2y2c2 + M3y3c3 = 5815 ≡ 810 mod 1001.
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Classes Residuais
Teorema Chinês dos Restos - Generalizado
Essa modifica¸cão do Teorema Chinês dos Restos é para os casos em
que os módulos mi , i = 1, ...r não são primos entre si.
Teorema 11.16: Teorema Chinês dos Restos Generalizado
O sistema de congruências
X ≡ ci mod mi , i = 1, ...r
admite solu¸cão se e somente se,
ci ≡ cj mod (mi , mj ) ∀i, j = 1, ...r.
Nesse caso, a solu¸cão é única módulo [m1, ...mr ].
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Classes Residuais
Teorema Chinˆes dos Restos Generalizado - Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 11.13: Resolva o sistema:
X ≡ 2 mod 3, X ≡ 3 mod 4, X ≡ 4 mod 5, X ≡ 2 mod 6.
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Classes Residuais
Solu¸cão:
Como os mi não são todos primos entre si, temos que utilizar o
Teorema Chinês dos Restos Generalizado.
Assim, considerando m2 = 4 e m4 = 6, temos:
(6,4)=2. Mas 3 ≡ 2 mod 2, pois 2 |3 − 2.
Logo o sistema não tem solu¸cão.
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Classes Residuais
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Classes Residuais
Solu¸cão:
Como os mi não são todos primos entre si, temos que utilizar o
Teorema Chinês dos Restos Generalizado e analisar os mi que não
são primos entre si.
Assim, considerando m1 = 3 e m4 = 6, temos:
(6,3)=3 e 5 ≡ 2 mod 3.
Agora considerando m2 = 4 e m4 = 6, temos:
(6,4)=2 e 5 ≡ 3 mod 2.
Logo o sistema tem solu¸cão única módulo [3,4,5,6]=60. Por
inspe¸cão, analisando todas as congruências, é fácil verificar que
x = −1 é solu¸cão do sistema e como −1 ≡ 59 mod 60, 59 é a
solu¸cão m´ınima positiva do sistema.
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Classes Residuais
Classes Residuais
O objetivo do estudo de Classes Residuais se dá no fato da possibili-
dade de construir novas estruturas algébricas a partir da congruência
módulo um número natural m > 1, além de faciliar a resolu¸cão de
algumas congruências.
Parti¸cão de Z.
Seja m ∈ Z, m > 1. Fazer uma parti¸cão do conjunto dos
Números Inteiros Z é o mesmo que dividir esse conjunto em uma
fam´ılia de subconjuntos, de modo que esses subconjuntos sejam
disjuntos dois a dois e que a união desses subconjuntos
resulte em todo o conjunto Z.
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Classes Residuais
Classes Residuais
Um exemplo de parti¸cão do conjunto Z seria considerar que cada um
dos seus subconjuntos fosse formado por todos os números inteiros que
possuem o mesmo resto quando divididos por m.
[0] = {x ∈ Z; x ≡ 0 mod m}
[1] = {x ∈ Z; x ≡ 1 mod m}
· · ·
[m − 1] = {x ∈ Z; x ≡ m − 1 mod m}
Para-se em [m − 1], pois tem-se que [m] = [0], [m + 1] = [1], ...
Parti¸cão de Z - Classes Residuais.
O conjunto
[a] = {x ∈ Z; x ≡ a mod m}
é chamado de classe residual módulo m do elemento a de Z. O
conjunto de todas as classes residuais módulo m é representado por Zm.
Portanto, Zm = {[0], [1], ..., [m − 1]}
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Classes Residuais
Classes Residuais - Exemplos
Exemplo 1: m = 2
[0] = {x ∈ Z; x ≡ 0 mod 2} = {x ∈ Z; x ´e par}
[1] = {x ∈ Z; x ≡ 1 mod 2} = {x ∈ Z; x ´e ´ımpar}
Exemplo 2: m = 3
[0] = {x ∈ Z; x ≡ 0 mod 3} = {3t, t ∈ Z}
[1] = {x ∈ Z; x ≡ 1 mod 3} = {3t + 1, t ∈ Z}
[2] = {x ∈ Z; x ≡ 2 mod 3} = {3t + 2, t ∈ Z}
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Classes Residuais
Classes Residuais - Propriedades
i) [a] = [b] se e somente se a ≡ b mod m;
ii) Se [a] ∩ [b] = 0, então [a] = [b];
iii) a∈N[a] = Z.
Defini¸cão: Representante da Classe Residual
Dado [a] ∈ Zm, um inteiro x tal que [x] = [a] será chamado um
representante de [a].
OBS: Existe uma infinidade de representantes da classe [a] ∈ Zm.
Por exemplo, todos os números pares são representantes da classe
residual [0], se m = 2.
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Classes Residuais
Classes Residuais - Propriedades - Proposi¸cão 11.25 e 11.26
i) Para cada a ∈ Z, existe um e somente um r ∈ Z, com
0 ≤ r < m tal que [a] = [r];
ii) Existem exatamente m classes residuais distintas duas a duas
módulo m, a saber: [0], [1], ..., [m − 1].
OBS: Classes residuais transformam a congruência a ≡ b mod m
na igualdade [a] = [b].
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Classes Residuais
Opera¸cões em Zm
Opera¸cões em Zm
Em Zm são definidas as seguintes opera¸cões:
Adi¸cão: [a] + [b] = [a + b];
Multiplica¸cão: [a] · [b] = [a · b].
OBS: As opera¸cões independem das escolhas dos seus
representantes (justificado por propriedades das congruências).
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Classes Residuais
Opera¸cões em Zm - Propriedades
Propriedades da Adi¸cão em Zm
Para todos [a], [b], [c] ∈ Zm, tem-se:
A1) Associatividade: ([a] + [b]) + [c] = [a] + ([b] + [c]);
A2) Comutatividade: [a] + [b] = [b] + [a];
A3) Existência do zero: [a] + [0] = [a], ∀[a] ∈ Zm;
A4) Existência do simétrico: [a] + [−a] = [0].
Propriedades da Multiplica¸cão em Zm
Para todos [a], [b], [c] ∈ Zm, tem-se:
M1) Associatividade: ([a] · [b]) · [c] = [a] · ([b] · [c]);
M2) Comutatividade: [a] · [b] = [b] · [a];
M3) Existência da unidade: [a] · [1] = [a].
AM) Distributividade: [a] · ([b] + [c]) = [a] · [b] + [a] · [c].
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Classes Residuais
Zm é um anel
Zm munido das opera¸cões de adi¸cão e multiplica¸cão é chamado de
anel das classes residuais módulo m ou anel dos inteiros módulo
m.
Defini¸cão: elemento invert´ıvel
Um elemento [a] ∈ Zm é dito invert´ıvel quando existir [b] ∈ Zm tal
que [a][b] = 1. Nesse caso, [b] é o inverso de [a].
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Classes Residuais
Tabelas de adi¸cões e multiplica¸cões em Zm
Tabelas de adi¸cão e multiplica¸cão em Z2 = {[0], [1]}
+ [0] [1]
[0] [0] [1]
[1] [1] [0]
· [0] [1]
[0] [0] [0]
[1] [0] [1]
OBS: Todo elemento não nulo de Z2 é invert´ıvel.
Tabelas de adi¸cão e multiplica¸cão em Z3 = {[0], [1], [2]}
+ [0] [1] [2]
[0] [0] [1] [2]
[1] [1] [2] [0]
[2] [2] [0] [1]
· [0] [1] [2]
[0] [0] [0] [0]
[1] [0] [1] [2]
[2] [0] [2] [1]
OBS: Todo elemento não nulo de Z3 é invert´ıvel.
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Classes Residuais
Tabelas de adi¸cão e multiplica¸cão em Z4 = {[0], [1], [2], [3]}
+ [0] [1] [2] [3]
[0] [0] [1] [2] [3]
[1] [1] [2] [3] [0]
[2] [2] [3] [0] [1]
[3] [3] [0] [1] [2]
· [0] [1] [2] [3]
[0] [0] [0] [0] [0]
[1] [0] [1] [2] [3]
[2] [0] [2] [0] [2]
[3] [0] [3] [2] [1]
OBS: EmZ4, os únicos elementos invert´ıveis são [1] e [3].
OBS2: EmZ4, existe um elemento não nulo cujo produto dele por ele
mesmo é nulo: [2] · [2] = 0. Isso motiva a defini¸cão a seguir.
Defini¸cão: Divisor de zero
Um elemento a = 0 de um anel A é chamado de divisor de zero se
existir um b = 0 em A tal que ab = 0.
OBS: Um divisor de zero nunca é invert´ıvel (produto ou é 1 ou é 0).
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Classes Residuais
Tabelas de adi¸cão e multiplica¸cão em Z5 = {[0], [1], [2], [3], [4]}
+ [0] [1] [2] [3] [4]
[0] [0] [1] [2] [3] [4]
[1] [1] [2] [3] [4] [0]
[2] [2] [3] [4] [0] [1]
[3] [3] [4] [0] [1] [2]
[4] [4] [0] [1] [2] [3]
· [0] [1] [2] [3] [4]
[0] [0] [0] [0] [0] [0]
[1] [0] [1] [2] [3] [4]
[2] [0] [2] [4] [1] [3]
[3] [0] [3] [1] [4] [2]
[4] [0] [4] [3] [2] [1]
OBS: EmZ5 (também em Z2 e Z3), todo elemento não nulo é invert´ıvel.
OBS2: Isso não ocorre em todos os Zm (em Z4, [2] é divisor de zero,
logo não é invert´ıvel.)
OBS3: A tabela é simétrica em rela¸cão à diagonal principal.
OBS4: [1] e [m-1] são sempre invert´ıveis e seus inversos são,
respectivamente, [1] e [m-1] em Zm.
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Classes Residuais
Tabelas de multiplica¸cões em Zm
Tabelas de multiplica¸cão em Z8 = {[0], [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7]}
· [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7]
[0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0]
[1] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7]
[2] [0] [2] [4] [6] [0] [2 [4] [6]
[3] [0] [3] [6] [1] [4] [7] [2] [5]
[4] [0] [4] [0] [4] [0] [4] [0] [4]
[5] [0] [5] [2] [7] [4] [1] [6] [3]
[6] [0] [6] [4] [2] [0] [6] [4] [2]
[7] [0] [7] [6] [5] [4] [3] [2] [1]
Exemplos: Resolver as congruências olhando a tabela:
a)2x ≡ 6 mod 8
b)2x ≡ 1 mod 8
a)3x ≡ 1 mod 8
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Classes Residuais
Tabelas de multiplica¸cões em Zm
Tabelas de multiplica¸cão em Z8 = {[0], [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7]}
· [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7]
[0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0]
[1] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7]
[2] [0] [2] [4] [6] [0] [2 [4] [6]
[3] [0] [3] [6] [1] [4] [7] [2] [5]
[4] [0] [4] [0] [4] [0] [4] [0] [4]
[5] [0] [5] [2] [7] [4] [1] [6] [3]
[6] [0] [6] [4] [2] [0] [6] [4] [2]
[7] [0] [7] [6] [5] [4] [3] [2] [1]
Exemplos: Resolver as congruências olhando a tabela:
a)2x ≡ 6 mod 8 → x ≡ 3 mod 8 ou x ≡ 7 mod 8
b)2x ≡ 1 mod 8 → Não tem solu¸cão, ou seja, [2] não é invert´ıvel em Z8.
a)3x ≡ 1 mod 8 → x ≡ 3 mod 8, ou seja, [3] é o inverso de [3] em Z8.
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Classes Residuais
Zm definido como Corpo
As informa¸cões anteriores motivam a defini¸cão a seguir.
Defini¸cão: Corpo
Um anel onde todo elemento não nulo possui inverso multiplicativo
é chamado de corpo.
OBS: Z2, Z3, Z5, com as opera¸cões definidas, são corpos. Z4 não
é.
É importante saber se um determinado elemento de Zm é invert´ıvel.
Proposi¸cão 11.32: Elemento de Zm invert´ıvel
Um elemento a de Zm é invert´ıvel se e somente se, (a, m) = 1.
Corolário 11.33: Zm definido como Corpo
Zm é um Corpo se e somente se, m é primo.
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Classes Residuais
Exemplo- aplica¸cão Zm na resolu¸cão de congruências
As classes residuais permitem resolver as congruências do seguinte modo:
Congruências e classes residuais
Resolver uma congruência aX ≡ b mod m reduz-se a resolver, em Zm, a
seguinte equa¸cão:
[a]Z = [b].
Exemplo de aplica¸cão.
Resolver a congruência 4X ≡ 3 mod 5 equivale a resolver a equa¸cão
[4]Z = [3].
Olhando a tabela de multiplica¸cão de Z5, vemos que [4][4]=1. Logo [4] é
invert´ıvel em Z5 com inverso [4]. Portanto, multiplicando a equa¸cão
[4]Z = [3] em ambos os lados por [4]:
[4][4]Z = [4][3] ↔ [1]Z = [2]
. Logo, Z = [2] e as solu¸cões da congruência são x = 2 + 5t, t ∈ Z.
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Sum´ario
Classes Residuais
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Objetivo: resolver congruências quadráticas do tipo:
AY 2
+ BY + C ≡ 0 mod N, (I)
A, B, C, N ∈ Z, N > 1, A ≡ 0 mod N ou seja, N não é um divisor de A.
Estratégia de substitui¸cão:
Multiplicando por 4A, encontramos uma congruência equivalente
4A2
Y 2
+ 4ABY + 4AC ≡ 0 mod 4AN
Que também é equivalente a congruência
4A2
Y 2
+ 4ABY + 4AC ≡ 0 mod N
Completando quadrados, temos: (2AY + B)2
≡ B2
− 4AC mod N.
Pondo Z = 2AY + B, ∆ = B2
− 4AC, resolver a congruência (I) é equi-
valente a resolver o sistema de congruências:
Z2
≡ ∆ mod N
2AY + B ≡ Z mod N
(II)
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Conclusão: Resolver a congruência (I) é equivalente a resolver em
Z a primeira congruência de (II) e, de posse da solu¸cão z módulo
N, encontrar a solu¸cão y da segunda congruência do sistema (II),
desde que tais congruências sejam solúveis.
Sendo as congruências do tipo X2 ≡ a mod n mais simples de traba-
lhar quando (a, n) = 1, é poss´ıvel transformar o sistema (II) em um
sistema equivalente, onde a primeira congruência será desse tipo.
Proposi¸cão
A congruência Z2 ≡ ∆ mod m do sistema (II) é equivalente a
congruência
X2
≡ a mod n
em que (a, n) = 1.
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Proposi¸cão 12.2: Verifica¸cão da existência de solu¸cão de uma
congruência quadrática
Seja n = pr1
1 · · · prs
s a decomposi¸cão de n fatores primos, a
congruência X2 ≡ a mod n admite solu¸cão se e somente se, cada
congruência, separadamente, da fam´ılia abaixo admitir solu¸cão:
X2
≡ a mod pri
i , i = 1, ..., s.
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Observa¸cão sobre resolu¸cão de congruências quadráticas
A resolutividade ou não da congruência (I)
AY 2
+ BY + C ≡ 0 mod N, (I)
reduz-se ao problema da resolutividade ou não de congruências do
tipo
X2
≡ a mod pr
,
em que p é primo e p |a.
Além disso, quando p é ´ımpar, temos:
Proposi¸cão:
Dados a, p, r ∈ Z, r ≥ 2, p é primo ´ımpar e p |a. A congruência
X2 ≡ a mod pr admite solu¸cão e se somente se, a congruência
X2 ≡ a mod p admite solu¸cão. 55 / 57

Exemplo: Resolver a congruˆencia a seguir.
8X2
+ 5X + 1 ≡ 0 mod 23.
Resolu¸c˜ao: Dica: Completar quadrados.
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Exemplo: Resolver a congruência a seguir.
8X2
+ 5X + 1 ≡ 0 mod 23.
Resolu¸cão: Dica: Completar quadrados.
Multiplicar a congruência por 4a, ou seja, por 4 · 8:
4 · 8 · 8X2
+ 4 · 8 · 5X + 4 · 8 · 1 ≡ 0 mod 23.
4 · 82
X2
+ 2 · 2 · 8 · 5X + 32 ≡ 0 mod 23.
(2 · 8X)2
+ 2 · 2 · 8 · 5X + 52
− 52
+ 32 ≡ 0 mod 23.
(16X + 5)2
− 25 + 32 ≡ 0 mod 23 ↔ (16X + 5)2
+ 7 ≡ 0 mod 23.
(16X + 5)2
≡ −7 mod 23 ↔ (16X + 5)2
≡ 16 mod 23.
23|(16X + 5)2
− 16. Da´ı, temos duas op¸cões:
23|(16X + 5) − 4 ↔ 16X ≡ −1 mod 23 ↔ X ≡ 10 mod 23
ou
23|(16X + 5) + 4 ↔ 16X ≡ −9 mod 23 ↔ X ≡ 21 mod 23
Dessa maneira, 10 e 21 são as únicas solu¸cões incongruentes de
8X2
+ 5X + 1 ≡ 0 mod 23.
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