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Se x e a s~ao inteiros, com a 6= 0, e x j a (lembre-...
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(ii) Para cada x 2 Z, se x j a e x j b ent~ao x · d.
Exemplo 6.1 mdc(12; 28) = 4, pois
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Consideramos ent~ao o divisor 35 e o resto 21 dessa primeira divis~ao e efetuamos
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Como d = ma + nb, se c j a e c j b, tem-se imediatamente que c j d, e portanto,
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Demonstra»c~ao. Se a = b = 0, temos d = 0 e A = M = f0g. Suponhamos ent~ao a 6= 0
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Por (3), se x ¶e um inteiro tal que x j a e x j b, ent~ao, x j d. Logo, como d > 0,
x · d.
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Vimos acima que mdc(91; 35) = 7. Para expressar 7 como combina»c~ao linear de
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Demonstra»c~ao. Pelo modo como a seqÄu^encia ¶e formada,
r1 = r2q2 + r3
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Reciprocamente, todo divisor comum de a1, a2, : : : , an¡2, e mdc(an¡1; an), ¶e um
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7. Mostre que se a e b s~ao ambos inteiros pares, n~ao ambos nulos, ent~ao mdc(a; b) =
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18. Mostre que se a e b s~ao inteiros tais que ma + nb = ¡26 para certos inteiros m
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Intro teoria dos numerros cap6

  1. 1. 6 M¶aximo divisor comum 6.1 Conceitua»c~ao e propriedades elementares Se x e a s~ao inteiros, com a 6= 0, e x j a (lembre-se de que x j a" signi¯ca x divide a") ent~ao jxj · jaj. De fato, como a = xc, para algum inteiro c, e c 6= 0 (pois a 6= 0), temos jcj ¸ 1, e portanto jxj · jxjjcj = jxcj = jaj Como jxj · jaj , ¡jaj · x · jaj, se a 6= 0, o conjunto D(a), dos inteiros divisores de a, ¶e limitado superiormente por jaj (e inferiormente por ¡jaj). Se a = 0, ent~ao D(a) = D(0) = Z, pois cada inteiro ¶e divisor de zero. Agora, dados dois inteiros a e b, com a 6= 0 ou b 6= 0, existe pelo menos um divisor comum de a e b, a saber, 1, j¶a que 1 j a e 1 j b. Al¶em disso, se x 2 Z ¶e um divisor comum de ambos a e b ent~ao, pela observa»c~ao acima, jxj · jaj (se a 6= 0) ou jxj · jbj (se b 6= 0). Assim sendo, o conjunto dos divisores comuns de a e b, D(a) D(b), ¶e limitado superiormente pelo maior dos inteiros jaj e jbj, e portanto possui um m¶aximo d, sendo d ¸ 1, j¶a que 1 j a e 1 j b. A este inteiro d chamamos m¶aximo divisor comum de a e b. De¯ni»c~ao 6.1 Dados dois inteiros a e b, com a 6= 0, ou b 6= 0, chama-se m¶aximo divisor comum de a e b, ao inteiro d, denotado por mdc(a; b), elemento m¶aximo do conjunto D(a; b) = D(a) D(b). Se a = b = 0, de¯nimos mdc(a; b) = mdc(0; 0) = 0 (muito embora n~ao exista o maior inteiro positivo divisor de 0). Equivalentemente, mdc(a; b) ¶e o inteiro d ¸ 0 satisfazendo: 1. d = 0, se a = b = 0; 2. se a 6= 0 ou b 6= 0, d ¶e caracterizado pelas seguintes duas propriedades: (i) d j a e d j b; 46
  2. 2. M¶aximo divisor comum 47 (ii) Para cada x 2 Z, se x j a e x j b ent~ao x · d. Exemplo 6.1 mdc(12; 28) = 4, pois D(12) = f¡12; ¡6; ¡4; ¡3; ¡2; ¡1; 1; 2; 3; 4; 6; 12g, e D(28) = f¡28; ¡14; ¡7; ¡4; ¡2; ¡1; 1; 2; 4; 7; 14; 28g Assim, D(12; 28) = D(12) D(28) = f¡4; ¡3; ¡2; ¡1; 1; 2; 3; 4g, que tem m¶aximo igual a 4, que ¶e o m¶aximo divisor comum de 12 e 28. Os divisores comuns de 28 e 84 s~ao §1; §2; §3; §4; §6; e §12. Portanto, mdc(24; 84) = 12. Analogamente, olhando os conjuntos de divisores comuns, con- clu¶³mos que mdc(35; 45) = 5, mdc(17; 25) = 1, mdc(0; ¡8) = 8 e mdc(¡9; ¡15) = 3. Proposi»c~ao 6.1 Sendo a e b inteiros quaisquer, 1. mdc(a; 0) = jaj; 2. mdc(a; b) = mdc(jaj; jbj); 3. mdc(a; b) = mdc(b; a). Demonstra»c~ao. A demonstra»c~ao dos itens 2 e 3 ¶e imediata, j¶a que, para todo x 2 Z, x j a e x j b , x j b e x j a , x j jaj e x j jbj e assim D(a; b) = D(b; a) = D(jaj; jbj) Demonstra»c~ao do item 1. Se a = 0, mdc(a; 0) = mdc(0; 0) = 0 = jaj. Se a 6= 0, jaj divide a. Tamb¶em jaj divide 0. Agora, para cada x 2 Z, se x j a e x j 0, ent~ao x divide jaj, logo x · jaj. Logo, pela de¯ni»c~ao de mdc, jaj = d = mdc(a; 0). 6.2 O algoritmo euclidiano para o c¶alculo do mdc Estabeleceremos agora um algoritmo para o c¶alculo de mdc(a; b), no caso em que a e b s~ao inteiros ambos n~ao nulos, realizado atrav¶es de uma seqÄu^encia ¯nita de divis~oes euclidianas. Antes de enunci¶a-lo ilustr¶a-lo-emos atrav¶es de um exemplo. Considere o problema de calcular mdc(91; 35). Come»camos fazendo
  3. 3. M¶aximo divisor comum 48 91 35 21 2 Consideramos ent~ao o divisor 35 e o resto 21 dessa primeira divis~ao e efetuamos a divis~ao Euclidiana de 35 por 21. 35 21 14 1 Agora repetimos o processo iniciado acima, isto ¶e, tomamos, na pr¶oxima divis~ao, 21 como dividendo e 14 como divisor: 21 14 7 1 Finalmente, chegamos µa divis~ao exata 14 7 0 2 Tendo chegado a um resto igual a zero, o algoritmo termina. O ¶ultimo resto n~ao nulo, das divis~oes sucessivas realizadas, ¶e o mdc procurado, ou seja, mdc(91; 35) = 7. Estaremos justi¯cando este algoritmo no teorema 6.1. Lema 6.1 Sejam a e b dois inteiros, com b 6= 0, e seja r o resto da divis~ao Euclidiana de a por b. Ent~ao mdc(a; b) = mdc(b; r). Demonstra»c~ao. Para demonstrar o resultado enunciado no lema, ¶e su¯ciente provar que todo divisor de a e b ¶e tamb¶em divisor de b e r, e reciprocamente. Assim sendo, o maior divisor de a e b coincidir¶a com o maior divisor de b e r. Note que esse maior divisor" existe, j¶a que b 6= 0. Temos, por hip¶otese, a = bq + r, logo r = a ¡ bq. Seja x um inteiro divisor de a e b. Ent~ao x j a e x j b ) x j (a ¡ qb) ) x j r Logo, x j b e x j r. Logo, D(a; b) ½ D(b; r). Agora, seja x um inteiro divisor de b e r. Ent~ao x j b e x j r ) x j (qb + r) ) x j a Logo, x j b e x j a. Logo, D(b; r) ½ D(a; b). Portanto, D(a; b) = D(b; r), e assim sendo, mdc(a; b) = max D(a; b) = max D(b; r) = mdc(b; r).
  4. 4. M¶aximo divisor comum 49 Lema 6.2 Sejam a e b inteiros ambos positivos com a ¸ b e de¯namos uma seqÄu^encia de inteiros n~ao negativos da seguinte forma: ² r1 = a; ² r2 = b; ² Para cada ¶³ndice k, com k ¸ 2, se rk 6= 0, rk+1 ¶e o resto da divis~ao Euclidiana de rk¡1 por rk: rk¡1 rk rk+1 ¤ e se rk = 0, a seqÄu^encia termina em rk. Ent~ao a seqÄu^encia r1; r2; : : : ¶e ¯nita e termina em um zero, ou seja, existe um indice n tal que r1 ¸ r2 > : : : > rn > 0 e rn+1 = 0. Demonstra»c~ao. Por hip¶otese, r1 ¸ r2 e, pela de¯ni»c~ao de rk+1, para k ¸ 2 temos rk+1 < rk. Considere o conjunto de n¶umeros naturais S = fr1; r2; : : : g. Como S ½ N e S 6= ¿, pelo princ¶³pio da boa ordena»c~ao dos n¶umeros naturais, S possui um m¶³nimo, o qual denotaremos por rn+1. Pelo que foi observado acima, teremos r1 ¸ r2 > ¢ ¢ ¢ > rn > rn+1. A¯rmamos que rn+1 = 0. Para justi¯car isto, basta observar que se rn+1 6= 0 ent~ao podemos de¯nir rn+2 2 S como sendo o resto da divis~ao de rn por rn+1. Teremos ent~ao 0 · rn+2 < rn+1, contrariando o fato de rn+1 ser m¶³nimo de S. Teorema 6.1 (Algoritmo euclidiano para o c¶alculo do mdc) Sejam a e b inteiros ambos positivos, com a ¸ b, e seja r1; r2; : : : ; rn; rn+1 a seqÄu^encia de¯nida pelo lema 6.2, sendo r1 ¸ r2 > : : : > rn > rn+1 = 0 Ent~ao rn = mdc(a; b). Demonstra»c~ao. Para cada k ¸ 3, rk ¶e o resto da divis~ao de rk¡2 por rk¡1. Pelo lema 6.1, mdc(rk; rk¡1) = mdc(rk¡1; rk¡2)
  5. 5. M¶aximo divisor comum 50 Logo rn = mdc(0; rn) = mdc(rn+1; rn) (pois rn+1 = 0) = mdc(rn; rn¡1) (pelo lema 1) = : : : = mdc(r3; r2) = mdc(r2; r1) = mdc(a; b) 6.3 O mdc(a; b) caracterizado como combina»c~ao linear dos inteiros a e b O seguinte teorema, um teorema n~ao intuitivo de nossa introdu»c~ao µa aritm¶etica dos inteiros, nos d¶a uma segunda e importante caracteriza»c~ao do m¶aximo divisor comum. Teorema 6.2 O m¶aximo divisor comum de dois inteiros a e b, a 6= 0 ou b 6= 0, ¶e a menor combina»c~ao linear positiva de a e b, com coe¯cientes inteiros, ou melhor, ¶e o menor inteiro positivo da forma ma + nb com m e n inteiros. Em outras palavras, se a 6= 0 ou b 6= 0, ent~ao mdc(a; b) = minfx 2 Z j x > 0 e x = ma + nb; com m; n 2 Zg Demonstra»c~ao. Seja d = ma + nb o menor inteiro positivo que ¶e combina»c~ao linear de a e b, com coe¯cientes inteiros. A exist^encia de d ¶e garantida pelo principio da boa ordena»c~ao dos inteiros positivos (existe uma combina»c~ao linear de a e b que ¶e positiva: basta considerar jaj + jbj = (§1)a + (§1)b). Vamos mostrar que d j a e d j b. Pelo algoritmo da divis~ao podemos escrever a = dq + r, para certos inteiros q e r, com 0 · r < d. Logo r = a ¡ dq = a ¡ q(ma + nb) = (1 ¡ qm)a ¡ (qn)b, e portanto r ¶e uma combina»c~ao linear de a e b. Como 0 · r < d e d ¶e o menor inteiro positivo que ¶e uma combina»c~ao linear de a e b, conclu¶³mos que r = 0 e que portanto d j a. Analogamente, podemos demonstrar que d j b. Para mostrar que d ¶e o m¶aximo divisor comum de a e b precisamos mostrar que qualquer divisor comum c de a e b ¶e menor que ou igual a d.
  6. 6. M¶aximo divisor comum 51 Como d = ma + nb, se c j a e c j b, tem-se imediatamente que c j d, e portanto, c · d. Corol¶ario 6.1 Se a e b s~ao inteiros e d = mdc(a; b), ent~ao existem inteiros r e s tais que d = ra + sb. De¯ni»c~ao 6.2 Dois inteiros a e b s~ao primos entre si ou relativamente primos se mdc(a; b) = 1. Corol¶ario 6.2 Sendo a e b dois inteiros, a e b s~ao primos entre si se e somente se existem inteiros r e s satisfazendo ra + sb = 1. Demonstra»c~ao. ()): Se mdc(a; b) = 1 ent~ao, pelo corol¶ario 6.1, existem inteiros r e s tais que ra + sb = 1. ((): Reciprocamente, se ra+sb = 1, ent~ao a 6= 0 ou b 6= 0 e, al¶em disso, 1 ¶e a menor combina»c~ao linear positiva de a e b, com coe¯cientes inteiros. Pelo teorema 6.2, mdc(a; b) = 1. Alternativamente, temos tamb¶em a seguinte demonstra»c~ao. Sendo ra + sb = 1, se x j a e x j b ent~ao x j (ra + sb), e assim x j 1. Logo, x · 1. Portanto 1 = mdc(a; b). Corol¶ario 6.3 Sejam a, b e c inteiros, com a 6= 0 ou b 6= 0, e mdc(a; b) = d. Ent~ao a=d e b=d s~ao inteiros primos entre si, ou seja, mdc ¡a d ; b d ¢ = 1. Demonstra»c~ao. Sendo mdc(a; b) = d, temos que d j a, d j b e existem inteiros r e s tais que ra + sb = d. Logo, r(a=d) + s(b=d) = 1, e portanto os inteiros a=d e b=d s~ao primos entre si. A propriedade rec¶³proca ¶e tamb¶em facilmente deduzida, e ser¶a deixada para o leitor. Corol¶ario 6.4 Sejam a; b 2 Z e d = mdc(a; b). Sejam A = fx 2 Z j x = ma + nb; com m; n 2 Zg; e M = fy 2 Z j y = ¸d; com ¸ 2 Zg: Ent~ao A = M, isto ¶e, as combina»c~oes lineares ma + nb, com m e n inteiros, coincidem com os inteiros m¶ultiplos de mdc(a; b).
  7. 7. M¶aximo divisor comum 52 Demonstra»c~ao. Se a = b = 0, temos d = 0 e A = M = f0g. Suponhamos ent~ao a 6= 0 ou b 6= 0. Para provar que A = M, provaremos que A ½ M e M ½ A. (i) A ½ M: Seja x um elemento de A. x 2 A ) x = ma + nb, para certos inteiros m e n. Sendo d = mdc(a; b), temos que d j a e d j b ) d j (ma + nb) ) d j x ) x = ¸d, para algum inteiro ¸. Portanto, x 2 M. (ii) M ½ A: Seja y um elemento de M. y 2 M ) y = ¸d, para algum inteiro ¸. Pelo teorema 6.2, d = ra + sb, para certos inteiros r; s. Logo, y = ¸d = ¸(ra + sb) = (¸r)a + (¸s)b. Portanto, y 2 A. Por (i) e (ii), temos A = M. Corol¶ario 6.5 (Caracteriza»c~ao alternativa do mdc) Sendo a e b dois inteiros dados, temos: d = mdc(a; b) , 8 < : (1) d ¸ 0 (2) d j a e d j b (3) para todo x 2 Z; se x j a e x j b ent~ao x j d Demonstra»c~ao. ()): Note que (1) e (2) j¶a s~ao propriedades estabelecidas do mdc. Assim s¶o nos resta demonstrar que d = mdc(a; b) satisfaz µa condi»c~ao (3). Pelo teorema 6.2, d = ra + sb para certos inteiros r e s. Logo, para cada x 2 Z, se x j a e x j b ent~ao x j (ra + sb), logo x j d. ((): Suponhamos que a = b = 0, e que d ¶e um inteiro satisfazendo as condi»c~oes (1), (2) e (3). Por (3), todo inteiro x que divide a e b deve tamb¶em dividir d. Agora, x = 0 divide a e b, logo divide d. Mas 0 j d , d = 0. Logo, pela de¯ni»c~ao 6.1, d = 0 = mdc(a; b). Suponhamos agora a 6= 0 ou b 6= 0, e que d ¶e um inteiro satisfazendo as condi»c~oes (1), (2) e (3). Por (2), d j a e d j b. Por (1) e (2), d > 0.
  8. 8. M¶aximo divisor comum 53 Por (3), se x ¶e um inteiro tal que x j a e x j b, ent~ao, x j d. Logo, como d > 0, x · d. Portanto, conforme a de¯ni»c~ao 6.1, d = mdc(a; b). Podemos ter inteiros a, b e c tais que a j bc, mas a 6j b e a 6j c. Por exemplo, 6 j (4 ¢ 15), mas 66j 4 e 66j 15. No entanto, h¶a uma circunst^ancia particular em que podemos garantir que se a divide bc ent~ao a divide um dos fatores b e c. Proposi»c~ao 6.2 Dados inteiros a, b e c, se a j bc, e a e b s~ao primos entre si, ent~ao a j c. Demonstra»c~ao. Como a e b s~ao primos entre si, ra + sb = 1 para certos inteiros r e s. Logo, rac + sbc = c. Agora, a j (rac) e a j (sbc) (pois a j bc). Logo a j (rac + sbc), e portanto a j c. Proposi»c~ao 6.3 Sejam a e p inteiros, sendo p um n¶umero primo positivo. Ent~ao a n~ao ¶e divis¶³vel por p se e somente se a e p s~ao primos entre si. Demonstra»c~ao. ()) Sejam a e p como no enunciado da proposi»c~ao, suponhamos que p6j a, e seja d = mdc(a; p). Ent~ao d > 0, d j a e d j p. Como p ¶e primo, temos que d = 1 ou d = p. Mas p6j a e d j a, logo d = 1, e portanto a e b s~ao primos entre si. (() Suponhamos agora que a e p s~ao primos entre si, ou seja mdc(a; p) = 1. Como p j p, se tamb¶em p j a, ent~ao mdc(a; b) ¸ p ¸ 2, e temos uma contradi»c~ao. Portanto p6j a. Proposi»c~ao 6.4 Sejam a, b e p inteiros, com p primo. Se p j ab ent~ao p j a ou p j b (podendo ser fator de ambos, a e b). Demonstra»c~ao. Temos que p j a ou p6j a. Se p 6j a, ent~ao, pela proposi»c~ao anterior, p e a s~ao relativamente primos. Como p j ab, pela proposi»c~ao 6.2, temos que p j b. 6.4 Calculando inteiros r e s tais que mdc(a; b) = ra + sb. Veremos agora como o algoritmo euclidiano, do c¶alculo do mdc de dois inteiros, pode ser usado para obtermos o mdc como uma combina»c~ao linear desses inteiros.
  9. 9. M¶aximo divisor comum 54 Vimos acima que mdc(91; 35) = 7. Para expressar 7 como combina»c~ao linear de 91 e 35, consideramos as divis~oes euclidianas usadas no c¶alculo de mdc(91; 35), 91 35 21 2 35 21 14 1 21 14 7 1 14 7 0 2 Lembremo-nos de que ¶ultimo resto n~ao nulo, das divis~oes sucessivas realizadas, ¶e o mdc procurado. As tr^es primeiras divis~oes estabelecem 91 = 35 ¢ 2 + 21 35 = 21 + 14 21 = 14 ¢ 1 + 7 E ent~ao, isolando os restos, temos 21 = 91 ¡ 35 ¢ 2 14 = 35 ¡ 21 ¢ 1 7 = 21 ¡ 14 ¢ 1 de onde ent~ao obtemos, passo a passo, cada um dos tr^es restos como combina»c~ao linear de 91 e 35: 21 = 91 ¡ 35 ¢ 2, conforme j¶a estabelecido. 14 = 35 ¡ 21 ¢ 1 = 35 ¡ (91 ¡ 35 ¢ 2) = (¡1) ¢ 91 + 3 ¢ 35 e ¯nalmente 7 = 21 ¡ 14 ¢ 1 = (91 ¡ 35 ¢ 2) ¡ [(¡1) ¢ 91 + 3 ¢ 35] ¢ 1 = 2 ¢ 91 + (¡5) ¢ 35 ou seja, 7 = 2 ¢ 91 + (¡5) ¢ 35 obtendo-se assim 7 = mdc(91; 35) como combina»c~ao linear r ¢ 91 + s ¢ 35, com r e s inteiros. Teorema 6.3 Sejam a e b inteiros ambos positivos com a ¸ b, e considere a seqÄu^encia de¯nida no lema 6.2, r1; r2; : : : ; rn; rn+1, em que r1 = a, r2 = b, rn = d = mdc(a; b) e rn+1 = 0. Ent~ao cada rk, para 1 · k · n, pode ser escrito como combina»c~ao linear de a e b.
  10. 10. M¶aximo divisor comum 55 Demonstra»c~ao. Pelo modo como a seqÄu^encia ¶e formada, r1 = r2q2 + r3 r2 = r3q3 + r4 ... rn¡2 = rn¡1qn¡1 + rn rn¡1 = rnqn: Da¶³, r3 = r1 ¡ r2q2 r4 = r2 ¡ r3q3 ... rn = rn¡2 ¡ rn¡1qn¡1 Temos que r1 = a e r2 = b s~ao combina»c~oes lineares de a e b. Logo, r3 = r1 ¡ r2q2 = a ¡ bq2 tamb¶em ¶e combina»c~ao linear de a e b. E supondo que rk¡1 e rk, k ¸ 2, sejam combina»c~oes lineares de a e b, deduzimos que rk+1 = rk¡1 ¡ rkqk ser¶a tamb¶em combina»c~ao linear de a e b. Assim, cada rk (1 · k · n) ¶e combina»c~ao linear de a e b. 6.5 O mdc de tr^es ou mais inteiros De¯ni»c~ao 6.3 Seja a1; a2; : : : ; an uma cole»c~ao ¯nita de inteiros, n~ao todos nulos. O m¶aximo divisor comum dessa cole»c~ao ¶e o maior inteiro d que divide simultaneamente todos os inteiros da cole»c~ao, e ser¶a denotado por mdc(a1; a2; : : : ; an). Se a1; a2; : : : ; an s~ao todos zeros, de¯nimos mdc(a1; a2; : : : ; an) = 0. Por exemplo, mdc(12; 18; ¡30) = 6 e mdc(10; ¡15; 25) = 5. Proposi»c~ao 6.5 Se a1; a2; : : : ; an ¶e uma cole»c~ao ¯nita de inteiros, n~ao todos nulos, ent~ao mdc(a1; a2; : : : ; an¡1; an) = mdc(a1; a2; : : : ; an¡2; mdc(an¡1; an) Demonstra»c~ao. Qualquer divisor comum dos inteiros a1; a2; : : : ; an ¶e, em particular, um divisor de an¡1 e an, e portanto um divisor comum dos inteiros a1; a2; : : : ; an¡2, mdc(an¡1; an).
  11. 11. M¶aximo divisor comum 56 Reciprocamente, todo divisor comum de a1, a2, : : : , an¡2, e mdc(an¡1; an), ¶e um divisor comum dos inteiros a1; a2; : : : ; an, pois para dividir mdc(an¡1; an) ter¶a neces- sariamente que dividir an¡1 e an. Como as duas cole»c~oes possuem o mesmo conjunto de divisores comuns, conclui-se a proposi»c~ao. Por exemplo, mdc(405; 225; 75) = mdc(405; mdc(225; 75)) = mdc(405; 25) = 5: De¯ni»c~ao 6.4 Dizemos que os inteiros a1; a2; : : : ; an s~ao primos entre si se mdc(a1; a2; : : : ; an) = 1. Dizemos que os inteiros a1; a2; : : : ; an s~ao dois a dois primos entre si, quando ai e aj s~ao primos entre si para cada par de inteiros ai e aj. Exemplo 6.2 Considere os inteiros 10, 12 e 15. Como mdc(10; 12; 15) = mdc(10; mdc(12; 15)) = mdc(10; 3) = 1 vemos que esses inteiros s~ao primos entre si. Contudo, os tr^es inteiros n~ao s~ao dois a dois primos entre si, pois mdc(10; 12) = 2, mdc(12; 15) = 3 e mdc(10; 15) = 5. 6.6 Exerc¶³cios 1. Encontre o m¶aximo divisor comum de cada par de inteiros dados. (a) 15, 35; (b) 0, 111; (c) -12, 18; (d) -25, -100. 2. Sejam a e n inteiros positivos. Determine o m¶aximo divisor comum de (a) a e na (b) a e an (c) a e a + n. 3. Mostre que se a, b e c s~ao inteiros positivos, ent~ao mdc(ac; bc) = c ¢ mdc(a; b). Sugest~ao. Chame d = mdc(a; b). Lembre-se de que existem inteiros r e s tais que d = ra + sb. Ent~ao cd = r(ac) + s(bc). Da¶³, se x j ac e x j bc (x 2 Z), tem-se ent~ao que x j cd. O resto ¶e por sua conta. 4. Mostre que se a e b s~ao inteiros primos entre si, ent~ao mdc(a + b; a ¡ b) = 1 ou 2. Sugest~ao. Mostre que se d j (a + b) e d j (a ¡ b) ent~ao d j 2a e d j 2b. Agora, estude o caso em que d ¶e par, e depois o caso em que d ¶e ¶³mpar. 5. Mostre que se a e b s~ao primos entre si, ent~ao tamb¶em s~ao primos entre si os seguintes pares de inteiros: (a) a e b2 (b) a e bn (n 2 N) (c) an e bm (m; n 2 N) Sugest~ao. Sendo a e b primos entre si, ra + sb = 1 para certos inteiros r e s. Fa»ca sb = 1 ¡ ra e eleve ambos os membros ao mesmo expoente. 6. Mostre que se a e b s~ao inteiros primos entre si, ent~ao mdc(a2 + b2 ; a + b) = 1 ou 2. Sugest~ao. Se d divide a2 +b2 e tamb¶em a+b, ent~ao d divide (a¡b)(a+b)+a2 +b2 . Agora, h¶a duas possibilidades: (i) d ¶e par; (ii) d ¶e ¶³mpar.
  12. 12. M¶aximo divisor comum 57 7. Mostre que se a e b s~ao ambos inteiros pares, n~ao ambos nulos, ent~ao mdc(a; b) = 2 mdc(a=2; b=2). 8. Demonstre que se a, b e c s~ao inteiros tais que a j c e b j c, com a e b primos entre si, ent~ao ab j c. Sugest~ao. Temos ra + sb = 1, para certos inteiros r e s. Logo, rac + sbc = c. Al¶em disso, como a j c e b j c, existem x; y 2 Z tais que c = ax e c = by. Na combina»c~ao linear rac + sbc, troque o primeiro c por by, e o segundo por ax. 9. Demonstre que se a, b e c s~ao inteiros tais que mdc(a; b) = mdc(a; c) = 1, ent~ao mdc(a; bc) = 1. Sugest~ao. Existem inteiros r; s; m e n tais que ra + sb = 1, e ma + nc = 1. Multiplique as igualdades, membro a membro. 10. Encontre o m¶aximo divisor comum de cada um dos seguintes conjuntos de inteiros dados. (a) 6, 15, 21 (b) -7, 28, -35 (c) 0, 0, 1001 11. Mostre que se k ¶e um inteiro, ent~ao os inteiros 6k ¡ 1, 6k + 1, 6k + 2, 6k + 3, e 6k + 5 s~ao 2 a 2 primos entre si. 12. Mostre que se k ¶e um inteiro positivo, ent~ao 3k + 2 e 5k + 3 s~ao primos entre si. 13. Use o algoritmo euclidiano para encontrar (a) mdc(45; 75) (b) mdc(666; 1414) (c) mdc(102; 222) (d) mdc(20785; 44350) 14. Para cada par de inteiros do problema anterior, expresse o m¶aximo divisor comum do par de inteiros como combina»c~ao linear desses inteiros. 15. Para cada cole»c~ao de inteiros dada abaixo, expresse o m¶aximo divisor comum como uma combina»c~ao linear dos inteiros da cole»c~ao. (a) 6; 10; 15 (b) 70; 98; 105 16. Seja a0; a1; a2; a3; : : : , uma seqÄu^encia in¯nita de inteiros, com a0 = 0, satisfazendo a seguinte propriedade: mdc(am; an) = mdc(an; ar) sempre que n 6= 0 e a divis~ao euclidiana de m por n deixa resto r. Mostre que, para quaisquer dois ¶³ndices m e n, sendo d = mdc(m; n), temos mdc(am; an) = ad = amdc(m;n). Sugest~ao. Considere o algoritmo euclidiano para o c¶alculo de mdc(m; n) e imite o procedimento usado na demonstra»c~ao do teorema 6.1. 17. Sejam m e n dois inteiros positivos e seja a um inteiro maior que um. Mostre que, sendo d = mdc(m; n), tem-se mdc(am ¡ 1; an ¡ 1) = ad ¡ 1. Sugest~ao. Mostre que se a divis~ao de m por n deixa resto r, ent~ao todo divisor de am ¡ 1 e an ¡ 1 ¶e tamb¶em divisor de an ¡ 1 e ar ¡ 1, e vice-versa. Use ent~ao o resultado do exerc¶³cio 16.
  13. 13. M¶aximo divisor comum 58 18. Mostre que se a e b s~ao inteiros tais que ma + nb = ¡26 para certos inteiros m e n ent~ao mdc(a; b) 2 f1; 2; 13; 26g. 19. Descreva, como m¶ultiplos de um ¶unico inteiro, os elementos do conjunto (a) A = f12m + 18n j m; n 2 Zg (b) B = f24m + 18n + 30p j m; n; p 2 Zg 20. Mostre que existem in¯nitos pares de inteiros (r; s) satisfazendo r ¢ 2 + s ¢ 3 = mdc(2; 3) = 1 Sugest~ao. Mostre que a equa»c~ao x ¢ 2 + y ¢ 3 = 0 (6.1) tem um n¶umero in¯nito de solu»c~oes. Determine uma solu»c~ao da equa»c~ao r ¢ 2 + s ¢ 3 = 1 (6.2) Mostre ent~ao que os pares de inteiros da forma (x + r; y + s), sendo (x; y) uma solu»c~ao de 6.1, e (r; s) a solu»c~ao encontrada de 6.2, s~ao tamb¶em solu»c~oes de 6.2. 21. Mostre que se m e n s~ao inteiros primos entre si, ent~ao existem inteiros x e y tais que 1 mn = x m + y n A partir deste fato, justi¯que o seguinte argumento: Sendo m e n inteiros positivos primos entre si, se uma circunfer^encia pode ser dividida, com o uso de r¶egua e compasso, em m arcos congruentes, e tamb¶em em n arcos congruentes, ent~ao ela tamb¶em pode ser dividida, com r¶egua e compasso, em mn arcos congruentes.

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