Noções de Funções

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Sugestão de aula de Matemática para o Ensino Médio Integrado da Fundação de Apoio à Escola Técnica. Produzido pela Diretoria de Desenvolvimento da Educação Básica e Técnica/FAETEC.

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Noções de Funções

  1. 1. Autoras: Fernanda Cristina Katia Dutra
  2. 2. Na ciência e nas mais variadas atividades humanas, as funções são usadas para descrever e estudar a relação entre grandezas. Muitos problemas da área de Administração requerem a expressão matemática das variáveis e parâmetros envolvidos na forma de funções. Vamos usar a notação matemática e estudar as funções associadas a situações simples da vida de um cidadão, tais como compra e venda de produtos, orçamentos, financiamentos e aplicações financeiras e conceitos da economia. Vamos começar?
  3. 3. Dona Cida e sua família são vorazes consumidores de pizzas. Quando os seus filhos e seus netos a visitam de “surpresa”, todas as sextas-feiras, a alternativa mais prática para Dona Cida que detesta cozinhar para muita gente, é comprar as pizzas e dividir os custos entre todos. Na Pizzaria Sabor Maravilha, preferida dos parentes de Dona Cida, todas as pizzas têm o mesmo preço: P = R$ 25,00
  4. 4. Para calcular o custo de qualquer número de pizzas, podemos fazer a seguinte expressão matemática: onde C(n) é o custo de n pizzas (R$) P é o preço de uma pizza (R$/unidade de pizzas) e n é o número de pizzas. Essa expressão associa as variáveis C e n que chamamos de lei da função. C(n) = P . n
  5. 5. Usamos a seguinte notação: que se lê: f é uma função de A em B A função f transforma x de A em y de B. f x y A B Fique por dentro
  6. 6. Podemos representar uma função de várias formas: Noção de função usando a nomenclatura de conjuntos. 1. Observe os conjuntos A e B relacionados da seguinte forma: em A alguns números inteiros e em B outros . Devemos associar os elementos de A ao seu triplo em B. Note que:  todos os elementos de A têm correspondente em B;  a cada elemento de A corresponde um único valor de B. Nesse caso, temos uma função de A em B, expressa pela fórmula: y= 3x BA 7 6 - 6 - 4 - 3 0 3 2 1 0 - 1 - 2 - 2 -6 - 1 -3 0 0 1 3 2 6
  7. 7. 2. Dados A ={0, 4} e B = { 2, 3, 5 }, relacionamos A e B pela seguinte forma: cada elemento de A é menor do que um elemento de B. Nesse caso não temos uma função de A em B , pois ao elemento 0 de A correspondem três elementos de B (2, 3 e 5, pois 0 < 2, 0 < 3 e 0 < 5 ) e não apenas um único elemento de B. 0 4 3 2 5 A B
  8. 8. 3. Dados A = { -4 , -2, 0, 2, 4} e B = { 0, 2, 4, 6, 8}, associamos os elementos de A ao seu igual em B. Observe que há elementos de A (os números – 4 e – 2) que não têm correspondente em B. nesse caso não temos uma função de A em B. - 4 - 2 0 2 4 2 0 4 6 A B 8
  9. 9. 4. Dados A = {- 2 , - 1, 0, 1, 2 } e B = { 0, 1, 4, 8, 16} e a correspondência entre A e B dada pela fórmula y = x4 com x A e y B, temos: Todos os elementos de A têm correspondente em B; A cada elemento de A correspondente um único elemento de B. 0- 2 - 1 0 1 2 8 4 1 16 A B
  10. 10. Funções definidas por fórmulas matemáticas: Grande parte das funções que estudamos é determinada por fórmulas matemáticas (regras ou leis). No início da nossa aula, vimos uma correspondência entre o número de pizza e o preço a pagar: Vamos supor que a família de D. Cida tenha consumido num desse encontros de sexta-feira cinco pizzas. Qual foi o valor da conta na Pizzaria Sabor Maravilha, sabendo que cada pizza custa R$ 25,00? A nossa função é dada por Você já pode calcular o valor: Logo a família de D. Cida vai para R$ 125,00. C(n) = P . n C(5) = 25 . 5 C(5) = 125
  11. 11.  Uma firma que conserta televisores cobra uma taxa fixa de R$ 40,00 de visita mais R$ 20,00 por hora de mão de obra. Então o preço y que se deve pagar pelo conserto de um televisor é dado em função do número x de horas de trabalho ( mão-de-obra). A fórmula matemática que expressa esse problema é: Um restaurante aumenta seus preços em 10% para cobrir despesas de serviços. Chame de p os preços do cardápio e de y os preços com acréscimos. A fórmula matemática que expressa esse problema é: Outras funções expressas por fórmulas matemáticas: y = 20x + 40 y = 1,1 p
  12. 12. n Custo (R$) 0 0 1 25 2 50 3 75 4 100 5 125 Funções definidas por meio de uma tabela de valores: Observe a tabela que podemos construir para representar a função Custo de pizzas C(n):
  13. 13. Em livros, revistas e jornais frequentemente encontramos gráficos e tabelas que procuram retratar um determinada situação. Esse gráficos e tabelas, em geral, representam funções e por meio deles podemos obter informações sobre a situação que retratam, bem como sobre as funções que representam. Podemos representar a função Custo de pizzas C(n), na forma de gráfico, localizando cada ponto (n,C) no Plano Cartesiano : Funções definidas por meio de um gráfico: C(n) (R$) n (unidades) 125 100 75 50 25 543210
  14. 14. É fácil verificar que os pontos estão alinhados. Esse alinhamento ocorre porque para cada aumento de uma pizza, aumenta sempre os mesmos R$ 25,00. Na maioria dos casos, o gráfico permite uma análise mais detalhada da função representada e revela informações que seriam menos perceptíveis em uma fórmula ou uma tabela.
  15. 15. Domínio ou conjunto de partida: é o conjunto A, e é indicado por D (f) Contradomínio é ou conjunto de chegada: é o conjunto B, e é indicado por Cd (f). Imagem: é o subconjunto do contradomínio e corresponde a um conjunto constituído de elementos de B que estão associados a elementos de A, e é indicado por Im (f).
  16. 16. Dados A = {- 2 , - 1, 0, 1, 2 } e B = { 0, 1, 4, 8, 16} e a correspondência entre A e B dada pela fórmula y = x4 com x A e y B, temos: D(f) = A Cd(f) = B Im(f) = {0, 1, 16 } 0- 2 - 1 0 1 2 8 4 1 16 A B Veja o exemplo:
  17. 17. Você pode obter mais informações sobre os assuntos que tratamos na internet. Assista a esse vídeo sobre as funções em nosso dia a dia. Navegando... http://www.youtube.com/watch?v=AZapJ-AVAe4
  18. 18. Teste os seus conhecimentos. Agora é sua vez! 1. Um vendedor recebe um ordenado fixo de R$ 500,00. Além disso, recebe mais de R$ 10,00 cada vez que vende uma unidade do produto com qual trabalha. a) Complete a tabela: b) Qual é a expressão matemática que exprime a relação? c) Qual é o menor salário que o vendedor pode receber? 2. Um fabricante vende um produto por R$ 0,80 a unidade. O custo total do produto consiste numa taxa fixa de R$ 40,00 mais o custo de produção de R$0,30 por unidade. a) Qual o número de unidades que o fabricante deve vender para não ter lucro nem prejuízo? b) Se vender 200 unidades desse produto, o comerciante terá lucro ou prejuízo? Unidades vendidas 0 1 2 3 40 10 x Salário (R$) 500 510
  19. 19. 3. Um consumidor comprou um automóvel por R$ 20 000,00, contatando que, no final de cada ano de uso, o valor de mercado do veículo diminuiu para 90 % do valor de um amo atrás. a) Complete a tabela, mostrando o valor de mercado do automóvel ao final de cada ano de uso. b) Indicando por y o valor de mercado desse automóvel com x anos de uso, escreva a equação que relaciona x e y. c) O valor de mercado do automóvel é função do tempo de uso? Por quê? Tempo de uso do automóvel (anos) Valor de mercado (R$) 0 20 000,00 1 0,9 . 20 000 2 3 x
  20. 20. GABARITO 1) a) b) y = 500 + 10 x c) Sim. Porque a cada quantidade vendida temos um único salário associado. d) R$ 500 2) a) 80 unidades b) Lucro Unidades vendidas 0 1 2 3 40 10 x Salário (R$) 500 510 520 530 900 600 500+10x
  21. 21. 3) a) b) y= (0,9)x . 20 000 c) Sim, porque cada tempo de uso está associado a um único valor de mercado. Tempo de uso do automóvel (anos) Valor de mercado (R$) 0 20 000,00 1 0,9 . 20 000 2 3 x
  22. 22. 1. BARRETO FILHO, Benigno e SILVA, Cláudio Xavier. Matemática aula por aula, volume 1: ensino médio (2º grau). São Paulo: FTD, 1998. 2. DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicações, volume 1: ensino médio e preparação para educação superior. São Paulo: Ática, 2003. 3. SILVEIRA, Ênio e MARQUES, Cláudio. Matemática vol.4. São Paulo: Moderna, 1995 . 4. SMOLE, Kátia Cristina Stocco Smole e KIYUKAWA, Roko Saburo. Matemática: Ensino Médio vol. 1. São Paulo: Saraiva, 1998. Referências Bibliográficas

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