1. O documento discute o Teorema Fundamental da Aritmética, que estabelece que todo número natural maior que 1 pode ser escrito de forma única como um produto de números primos. 2. Também aborda a distribuição dos números primos, como o Crivo de Eratóstenes para listar primos abaixo de um limite, e questões em aberto sobre sua frequência. 3. Inclui demonstrações da infinitude dos números primos e propriedades relacionadas a divisores, MDC, MMC e decomposição em fatores primos.

1. Teorema Fundamental da Aritm´etica
Sobre a Distribui¸c˜ao de N´umeros Primos
Aritm´etica - MA14
AULA 6 - N´UMEROS PRIMOS
Aline de Lima Guedes Machado
PROFMAT - IME/UERJ
Universidade do Estado do Rio de Janeiro
aline.guedes@ime.uerj.br
08 de Setembro de 2017
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2. Teorema Fundamental da Aritm´etica
Sobre a Distribui¸c˜ao de N´umeros Primos
Sum´ario
1 Teorema Fundamental da Aritm´etica
2 Sobre a Distribui¸c˜ao de N´umeros Primos
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3. Teorema Fundamental da Aritm´etica
Sobre a Distribui¸c˜ao de N´umeros Primos
Sum´ario
1 Teorema Fundamental da Aritm´etica
2 Sobre a Distribui¸c˜ao de N´umeros Primos
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4. Teorema Fundamental da Aritm´etica
Sobre a Distribui¸c˜ao de N´umeros Primos
N´umeros primos e compostos
Defini¸c˜ao: N´umero Primo
Um n´umero n (n > 1, n ∈ N) que s´o possui como divisores
positivos 1 e ele pr´oprio ´e chamado de N´umero Primo.
Consequˆencias da defini¸c˜ao de n´umero primo:
Dados dois n´umeros primos p e q e um inteiro a qualquer:
i) Se p|q, ent˜ao p = q
ii) Se p |a, ent˜ao (p, a) = 1
Defini¸c˜ao: N´umero Composto
Um n´umero n ( n > 1, n ∈ N) e que n˜ao ´e primo ser´a dito
N´umero Composto. Nesse caso existem n´umeros naturais
n1, n2, 1 < n1 < n, 1 < n2 < n tais que
n = n1n2
Exemplos: 2,3,5,7,11 s˜ao primos e 4,6,8,9,12 s˜ao compostos.
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5. Teorema Fundamental da Aritm´etica
Sobre a Distribui¸c˜ao de N´umeros Primos
Resultados sobre os n´umeros primos
Lema de Euclides: Sejam a, b, p ∈ Z, com p primo. Se p|ab, ent˜ao
p|a ou p|b.
Demonstra¸c˜ao:
Se p|ab e p |a, temos que (p,a)=1. Pelo Lema de Gauss p|b.
OBS: Esta propriedade caracteriza totalmente os n´umeros primos.
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6. Teorema Fundamental da Aritm´etica
Sobre a Distribui¸c˜ao de N´umeros Primos
Resultados sobre os n´umeros primos
Corol´ario: Se p, p1, p2, ..., pn s˜ao n´umeros primos e se
p|p1 · p2 · ... · pn, ent˜ao p = pi para algum i = 1, 2, ...n.
Demonstra¸c˜ao (por indu¸c˜ao em n):
Base: n=1
Se p, p1 s˜ao primos e p|p1, ent˜ao pelo resultado decorrente da
defini¸c˜ao de primos, p = p1.
Hip´otese de Indu¸c˜ao: Supor verdadeira para algum n.
Passo de indu¸c˜ao:
Queremos mostrar que ´e verdadeiro para n + 1, onde pn+1 ´e
primo. De fato:
Se p|p1 · p2 · ... · pn · pn+1, ent˜ao p|p1 · p2 · ... · pn ou p|pn+1
pelo lema de Euclides. Se p|pn+1 o resultado est´a provado. Se
p|p1 · p2 · ... · pn, ent˜ao pela hip´otese de indu¸c˜ao, p = pi para
algum i = 1, 2, ..., n.
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7. Teorema Fundamental da Aritm´etica
Sobre a Distribui¸c˜ao de N´umeros Primos
Teorema Fundamental da Aritm´etica
Do ponto de vista da estrutura multiplicativa dos naturais, os n´u-
meros primos s˜ao os mais simples e ao mesmo tempo s˜ao suficientes
para gerar todos os n´umeros naturais, logo, todos os n´umeros intei-
ros n˜ao nulos.
Teorema Fundamental da Aritm´etica:
Todo n´umero natural maior do que 1 ou ´e primo ou se escreve de
modo ´unico (a menos da ordem dos fatores) como um produto de
n´umeros primos, distintos ou n˜ao.
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8. Teorema Fundamental da Aritm´etica
Sobre a Distribui¸c˜ao de N´umeros Primos
Teorema Fundamental da Aritm´etica
Agrupando no Teorema anterior os fatores primos repetidos, se ne-
cess´ario, e ordenando os primos em ordem crescente, temos o se-
guinte resultado:
Teorema:
Dado um n´umero inteiro n = 0, 1, −1, existem primos p1 < ... < pr
e α1, ..., αr ∈ N, univocamente determinados, tais que
n = ±pα1
1 ...pαr
r
OBS: Podemos escrever a decomposi¸c˜ao em n´umeros primos de
dois n´umeros naturais distintos (n > 1, m > 1) usando o mesmo
conjunto de primos p1, ..., pr , desde que os expoentes variem em
N ∪ {0}.
Exemplo: m = 23 · 30 · 52 · 7 e n = 20 · 32 · 5 · 74
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9. Teorema Fundamental da Aritm´etica
Sobre a Distribui¸c˜ao de N´umeros Primos
Divisores
Proposi¸c˜ao: divisor positivo
Seja n = pα1
1 ...pαr
r (n = 1) um n´umero natural escrito na forma em
decomposi¸c˜ao de fatores primos. Se n ´e um divisor positivo de n,
ent˜ao ele ´e da forma
n = pβ1
1 ...pβr
r
onde 0 ≤ βi ≤ αi , ∀i = 1, ..., r
Proposi¸c˜ao: n´umero de divisores positivos
Seja n = ±pα1
1 ...pαr
r (n = 1) um n´umero natural escrito em
decomposi¸c˜ao de r n´umeros primos. O n´umero de divisores
positivos de n, chamado de d(n) ´e dado por:
d(n) = (α1 + 1)(α2 + 1)...(αr + 1)
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10. Teorema Fundamental da Aritm´etica
Sobre a Distribui¸c˜ao de N´umeros Primos
N´umero quadrado perfeito
N´umero quadrado perfeito
Seja n = pα1
1 ...pαr
r (n = 1) um n´umero natural escrito em
decomposi¸c˜ao de r n´umeros primos. n ´e chamado de quadrado
perfeito se e somente se cada expoente αi for um n´umero
inteiro n˜ao negativo par.
N´umero de divisores positivos de um quadrado perfeito
Sendo n = ±pα1
1 ...pαr
r (n = 1) um n´umero natural escrito em
decomposi¸c˜ao de r n´umeros primos, n ´e um n´umero quadrado
perfeito se e somente se n possuir uma quantidade ´ımpar de
divisores positivos.
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11. Teorema Fundamental da Aritm´etica
Sobre a Distribui¸c˜ao de N´umeros Primos
MDC e MMC e fatores primos
A fatora¸c˜ao de n´umeros naturais em primos revela toda a estru-
tura multiplicativa desses n´umeros, permitindo calcular facilmente o
MDC e o MMC de um conjunto qualquer de n´umeros.
Teorema: MDC e MMC
Sejam a = ±pα1
1 ...pαn
n e b = pβ1
1 ...pβn
n . Considerando
γi = min{αi , βi }, δi = max{αi , βi }, i = 1, ..., n
tem-se que:
(a, b) = pγ1
1 ...pγn
n , [a, b] = pδ1
1 ...pδn
n
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12. Teorema Fundamental da Aritm´etica
Sobre a Distribui¸c˜ao de N´umeros Primos
Ep(n): Expoente da maior potˆencia de p
Relacionado com o Teorema Fundamental da Aritm´etica, tem-se a
seguinte importante nota¸c˜ao:
Defini¸c˜ao: Ep(n)
Se n ∈ Z − {0} e p um n´umero primo, denota-se Ep(n) o expoente
da maior potˆencia de p que divide n.
Proposi¸c˜ao:
Se m e n s˜ao dois n´umeros naturais, ent˜ao:
m = n ↔ Ep(m) = Ep(n) para todo n´umero primo p.
Resultados:
Ep((m, n)) = min{Ep(m), Ep(n)}
Ep([m, n]) = max{Ep(m), Ep(n)}
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13. Teorema Fundamental da Aritm´etica
Sobre a Distribui¸c˜ao de N´umeros Primos
Sum´ario
1 Teorema Fundamental da Aritm´etica
2 Sobre a Distribui¸c˜ao de N´umeros Primos
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14. Teorema Fundamental da Aritm´etica
Sobre a Distribui¸c˜ao de N´umeros Primos
Infinitude dos n´umeros primos
Quantos ser˜ao os n´umeros primos? Essa pergunta foi respondida por Eu-
clides no Livro IX dos Elementos. Primeira vez que foi registrada a de-
monstra¸c˜ao por redu¸c˜ao ao absurdo em Matem´atica.
Teorema: Existem infinitos n´umeros primos
Demonstra¸c˜ao:
Suponha que a quantidade de n´umeros primos ´e finita. Ent˜ao ´e
poss´ıvel list´a-los: p1, p2, ..., pr .
Podemos escrever um n´umero natural n como o resultado da
multiplica¸c˜ao de todos esses r n´umeros primos: n = p1 · p2 · ... · pr
Como n ´e um n´umero natural, n tem um sucessor n + 1, al´em de n > 1:
n + 1 = p1 · p2 · ... · pr + 1
O n´umero n + 1 n˜ao pode ser primo: ele n˜ao est´a no produto que forma
n, j´a que nesse produto tinha todos os finitos primos; ele ´e maior do que
qualquer primo pi , j´a que o pr´oprio n ´e maior do que qualquer pi . Logo
n + 1 ´e composto. Da´ı, n + 1 ´e m´ultiplo de algum pi , assim como n:
n + 1 = k · pi e n = k · pi . Logo: k · pi + 1 = k · pi , ou seja,
1 = pi (k − k). Assim, 1 ´e divis´ıvel por pi , absurdo j´a que pi > 1.
Portanto a quantidade de primos ´e infinita. 14 / 21

15. Teorema Fundamental da Aritm´etica
Sobre a Distribui¸c˜ao de N´umeros Primos
Crivo de Erat´ostenes
Como obter uma lista contendo os n´umeros primos at´e uma dada
ordem?
O Crivo de Erat´ostenes ´e um antigo m´etodo que elabora uma tabela
contendo num´eros primos at´e uma certa ordem. Esse m´etodo n˜ao ´e
muito eficiente para ordens muito elevadas.
Crivo de Erat´ostenes:
Criar uma tabela com os n´umeros naturais de 2 at´e um n´umero n.
Deve-se riscar da tabela todos os n´umeros compostos da tabela
seguindo o seguinte roteiro:
Riscar os m´ultiplos de 2 acima de 2.
O segundo n´umero n˜ao riscado ´e o primo 3. Riscar todos os
m´ultiplos de 3 acima de 3.
Fazer esse procedimento at´e o primo p, p2 < n.
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16. Teorema Fundamental da Aritm´etica
Sobre a Distribui¸c˜ao de N´umeros Primos
Crivo de Erat´ostenes
Lema: Teste de primalidade
Se um n´umero natural n > 1 n˜ao ´e divis´ıvel por nenhum n´umero
primo p tal que p2 ≤ n, ent˜ao ele ´e primo.
Lema: Teste de primalidade - outra vers˜ao
Para verificar se um n´umero natural n > 1 ´e primo, basta verificar
se n n˜ao ´e divis´ıvel por nenhum n´umero primo p que n˜ao supere
√
n.
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17. Teorema Fundamental da Aritm´etica
Sobre a Distribui¸c˜ao de N´umeros Primos
Frequˆencia de n´umeros primos
Quest˜oes matem´aticas em aberto:
1 Como os n´umeros primos se distribuem dentro dos n´umeros
naturais? Em particular, qual pode ser a distˆancia entre dois
primos consecutivos?
N˜ao h´a um padr˜ao que descreva o quanto dois primos
consecutivos est˜ao longe um do outro.
Primos gˆemeos: S˜ao pares de n´umeros primos cuja distˆancia entre
eles ´e duas unidades.
(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109).
2 N˜ao se sabe se existem infinitos pares de primos gˆemeos.
O maior par de n´umero primo gˆemeo j´a encontrado ´e
(3756801695685 · 2666669 − 1, 3756801695685 · 2666669 + 1),
descobertos em 2011.
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18. Teorema Fundamental da Aritm´etica
Sobre a Distribui¸c˜ao de N´umeros Primos
Frequˆencia de n´umeros primos
Primos trigˆemos: S˜ao trios de n´umeros primos cuja distˆancia entre
eles ´e duas unidades.
Exemplo: (3,5,7).
Quantos trios trigˆemios existem?
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19. Teorema Fundamental da Aritm´etica
Sobre a Distribui¸c˜ao de N´umeros Primos
Frequˆencia de n´umeros primos
Primos trigˆemos: S˜ao trios de n´umeros primos cuja distˆancia entre
eles ´e duas unidades.
Exemplo: (3,5,7).
Quantos trios trigˆemios existem? S´o existe um ´unico trio trigˆemio!
Demonstra¸c˜ao:
Sejam os poss´ıveis primos trigˆemios dados por: a, a + 2, a + 4. Pela
divis˜ao euclidiana, podemos escrever a da seguinte forma:
3k, 3k+1, 3k+2. Assim, teremos:
a a+2 a+4
3k 3k+2 3k+4
3k+1 3k+3=3k’ 3k+5=3k+3+2=3k’+2
3k+2 3k+4=3k+3+1=3k’+1 3k+6=3k’
Em todas as possibilidades, sempre teremos um e apenas um n´umero
que ´e m´ultiplo de 3 nesses trios que diferem duas unidades. Dessa
forma, outro trio teria que ter necessariamente um m´ultiplo de 3, mas
nesse caso seria um n´umero composto. Absurdo pois estamos
procurando trios de n´umeros primos. Logo s´o existe um ´unico trio
trigˆemio. 19 / 21

20. Teorema Fundamental da Aritm´etica
Sobre a Distribui¸c˜ao de N´umeros Primos
Frequˆencia de n´umeros primos
π(x): Fun¸c˜ao de contagem de n´umero primos.
Denota-se π(x) a fun¸c˜ao que determina a quantidade de n´umeros
primos menores ou iguais a x.
π(4) = 2 → 2, 3;
π(7) = 4 → 2, 3, 5, 7;
Pelo teorema de Euclides sobre n´umeros primos, conclui-se que
limx→+∞π(x) = +∞
Teorema dos N´umeros Primos
π(x) ≈ x
ln(x) ou seja, limx→+∞
π(x)
x
ln(x)
= 1.
Este Teorema foi conjeturado por Legendre (1798), depois foi reescrito
por Gauss e adquiriu a forma acima, e finalmente provado por Hadamard
e por Vallee-Poussin (1896). Temos assim uma estimativa do valor de
π(x) para cada x.
OBS: Esta aproxima¸c˜ao para π(x) ´e uma boa aproxima¸c˜ao para valores
elevados de n. 20 / 21

21. Teorema Fundamental da Aritm´etica
Sobre a Distribui¸c˜ao de N´umeros Primos
Frequˆencia de n´umeros primos
Outras quest˜oes matem´aticas em aberto:
3 Sempre existe um n´umero primo entre n2
e (n + 1)2
∀n ∈ N?
4 Para n = 0, 1, ..., 40 tem-se que n2
− n + 41 ´e primo. Existem
infinitos n´umeros primos dessa forma?
5 A sequˆencia de Fibonacci cont´em infinitos n´umeros primos?
6 A Conjectura de Goldbach (formulada por Goldbach a Euler em
1742): Todo n´umero natural par maior do que 3 pode ser escrito
como a soma de dois n´umeros primos.
7 A Hip´otese de Riemann: O mais importante problema em aberto
em Teoria dos N´umeros.
Problemas matem´aticos importantes resolvidos:
Ivan Vinogradov (1937): Todo n´umero natural ´ımpar, suficiente-
mente grande, pode ser escrito como soma de, no m´aximo, trˆes
n´umeros primos.
Harald Helfgott (2013): Todo n´umero natural ´ımpar maior do que
5 pode ser escrito como soma de, no m´aximo, trˆes n´umeros primos. 21 / 21