1.
1
Preparação para o teste intermédio de
Matemática 8º ano
 Conteúdos do 7º ano
 Conteúdos do 8º ano

2.
Conjuntos numéricos
IN
Q
Z
IN0
-3 -56
-12 -4
0
4
1

3
14

9
6

IN - Conjunto dos números Naturais
IN = {1;2;3;4;5;6…}
Z - Conjunto dos números Inteiros
relativos
Z= {… -3;-2;-1;0;1;2;3;…}
Q- Conjunto dos números racionais
Q = z U { números fracionários}
Completa com os símbolos ; ; ; 
-1 ….. IN 1,4 ….. Z -3 …… Z- 0 …… IN 3 …… IN 4 …… Z-
IN…… Z 2,3 …… Q
2
0,(3)

3.
A raiz quadrada permite calcular o lado de
um quadrado sabendo a sua área.
´ 2
49Area cm 49 7cmlado 
Raiz quadrada
A raiz cúbica permite calcular a aresta
de um cubo sabendo o seu volume.
3
343Volume cm
3
343 7cmaresta 
Raiz cúbica
3

4.
Mínimo múltiplo comum (m.m.c)
1º processo
M12 = {0;12;24;36;48;60…}
M30 = {0;30;60…}
m.m.c = {60}
Determina o m.m.c (12;30)
2º processo
12 2 30 2
6 2 15 3
3 3 5 5
1 1
12 = 22 x 3 30 = 2 x 3 x 5
m.m.c = 22 x 3 x5 = 60
Produto dos factores primos comuns e não comuns de maior expoente
4

5.
Máximo divisor comum (m.d.c)
1º processo
D12 = {1;2;3;4;6;12}
D30 = {1;2;3;5;6;10;15;30}
M.d.c (12;30)= {6}
Determina o m.d.c (12;30)
2º processo
12 2 30 2
6 2 15 3
3 3 5 5
1 1
12 = 22 x 3 30 = 2 x 3 x 5
M.d.c (12;30) = 2 x 3 = 6
Produto dos factores primos comuns com menor expoente
5

6.
mmc e mdc
Texto
«…de tanto em tanto…» mmc
«…dividir/repartir/agrupar…» mdc
6

7.
Na sequência:
1 , 5 , 9 , 13 , 17,…
Termo de ordem 2? 1
Termo de ordem 5?
Ordem 10
Termo de ordem 14?
O termo geral da sequência é 4n-3.
53144 3 
+4
Sequências Numéricas
+4
-3
4 , 8 , 12 , 16
+4
A ordem do termo 37?
40
4 3 37 104 37 3
4
nn n n       
7
17

8.
Qual é a expressão geradora de todos os termos de
cada uma das sequências?
5, 10, 15, 20, 25, 30, …
6, 11, 16, 21, 26, 31, …
5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, …
5n
5n+1
3n+2
Regra: somar cinco ao número anterior
Regra: somar três ao número anterior
Regra: somar cinco ao número anterior
8

9.
Definição:
Duas grandezas x e y são diretamente proporcionais se a razão entre os seus
valores correspondentes, tomados pela mesma ordem, é constante.
 Quando umas das grandezas é zero a outra também é zero.
 A representação gráfica de uma situação de proporcionalidade direta é
uma recta que passa pela origem.
 A expressão analítica de uma situação de proporcionalidade direta é
onde k é a constante de proporcionalidade direta.
y xk
Proporcionalidade direta
9

10.
Quando uma das grandezas é zero a
outra também é zero.
2 4 6 8
2; 2; 2 e 2
1 2 3 4
   
Existe proporcionalidade direta,
porque a razão entre as grandezas é
constante.
A constante de proporcionalidade
direta é 2.
Não existe proporcionalidade
direta, porque a razão entre as
grandezas não é constante.
2,50 3,00
2,50 e 1,50
1 2
 
I II
xy 2 Expressão Analítica
10

11.
I II
Representação gráfica de cada situação
Unindo os pontos obtém-se uma reta
que passa pela origem.
Unindo os pontos obtém-se uma reta
que não passa pela origem.
Existe proporcionalidade direta, porque
a representação gráfica é uma reta que
passa pela origem.
Não existe proporcionalidade
direta, porque a representação
gráfica não é uma reta que passa pela
origem.
11
4
2
2
y
y x
x
   Expressão Analítica

12.
Percentagens
 5 % de 120 chocolates são _______
5 x 120 = 6
100
 6 chocolates em 50 são ___%
50------- 100%  x = 6 x 100 =12%
6 -------- x 50
12

13.
Resolução de problemas envolvendo Percentagens
1- O preço de um sofá é de 300€, sem IVA.
Sabendo que o IVA é 20%, quanto é o valor, em euros, do
IVA deste sofá? Qual é o preço final do sofá?
20% de 300 = 300 x 20 = 60 euros
100
300 + 60 = 360 O preço final do sofá é 360 euros.
2- Uma camisola custava 56 euros e a Ana que era amiga da dona da
loja, comprou-a por 42 euros. Qual foi a percentagem de desconto?
Euros %
56 ------------------ 100
42 ------------------- x
x = 42 x 100 = 75%
56
100 – 75% = 25% O desconto foi de 25%.
13

14.
- mesma forma
- mesma dimensão
- mesma forma
- menor dimensão
- mesma forma
- maior dimensão
Ampliação
Figuras Semelhantes
ReduçãoGeometricamente iguais
Semelhança de Figuras
 Dois Polígonos são Semelhantes quando têm os ângulos geometricamente iguais
e os lados correspondentes directamente proporcionais.
14

15.
Semelhança de Figuras

medida do lado da figura final
medida do lado
Razão de Se
da figura
melha
ini
nça
cial
Se a razão de semelhança for:
 maior que 1, obtemos uma ampliação;
 menor que 1, obtemos uma redução;
 igual a 1, obtemos uma figura geometricamente igual à original.
15

16.
Triângulos
Critérios de semelhança de triângulos
Dois triângulos são semelhantes se:
 Tiverem dois ângulos geometricamente iguais (aa)
 Tiverem os três lados correspondentes diretamente proporcionais (lll)
 Tiverem dois lados diretamente proporcionais e o ângulo por eles
formado for igual (lal)
16
A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º.

17.
Aplicação dos critérios de semelhança de triângulos
Semelhança de triângulos
1. Determina a altura da árvore.
• Serão os triângulos [ABE] e [CDE] semelhantes?
Sim, porque tem dois ângulos geometricamente iguais, o de
90º e o ângulo AEB.
• Determinação da altura da árvore.
sombra altura
5,2 = h
1,6 0,8
 h = 5,2 x 0,8
1,6
 h = 2,6 m
A altura da árvore é de 2,6 metros.
3,6 + 1,6 = 5,2 m
Semelhança de triângulos
17

18.
Semelhança de triângulos
Relação entre perímetros e áreas de figuras semelhantes
Se dois polígonos A e B são semelhantes e a razão de semelhança de
A para B é r, então:
• A razão entre os perímetros de A e B é r.
• A Razão entre as áreas de A e B é r2.
PB = r x PA
AB = r2 x AA
18

19.
19
Classificação de Quadriláteros

20.
Se dois ângulos têm o vértice em comum e os lados de cada um dos
ângulos estiverem no prolongamento dos lados do outro ângulo, então
chamam-se ângulos verticalmente opostos.
Ângulos opostos formados por duas rectas que se
cruzam.
 Os ângulos AOB e COD são
verticalmente opostos.
 Os ângulos AOC e BOD
também são verticalmente
opostos.
ˆˆ 60ºCOA DOB  
Ângulos Verticalmente Opostos
20
60º

21.
Na figura abaixo os dois ângulos têm os lados paralelos e são ambos
ângulos obtusos (a sua amplitude é maior do que 90º e menor do que
180º).
Os dois ângulos assinalados são geometricamente iguais.
Ângulos de Lados Paralelos
21
110º
110º
x=180º-110º=70º

22.
EQUAÇÕES COM PARÊNTESES
• simplificação de expressões com parênteses:
•Sinal menos antes dos parênteses: Tiramos os parênteses
trocando os sinais dos
termos que estão dentro  53225322  xxxx
•Sinal mais antes dos parênteses: Tiramos os parênteses
mantendo os sinais que
estão dentro.
  15231523  xxxx
•Número antes dos parênteses: Tiramos os parênteses,
aplicando a propriedade
distributiva.  22661332  xxxx
22

23.
     8625312  xxx
Como resolver uma equação com parênteses.

 •Eliminar
parênteses.
8661512  xxx
•Agrupar os
termos com
incógnita.

 8661152  xxx 
 •Efectuar as
operações
312  x
 •Dividir ambos os membros pelo
coeficiente da incógnita

3
12
x




4
1
x •Determinar a solução, de forma
simplificada.C.S =






4
1

23

24.
EQUAÇÕES COM DENOMINADORES
     436 3
3
4
2
2
1 xx 

•Começamos por reduzir todos os
termos ao mesmo denominador.


6 6 12 4
12 12 12 12
x x
   
 6 6 12 4x x    •Duas fracções com o mesmo
denominador são iguais se os
numeradores forem iguais.
•Podemos tirar os denominadores
desde que sejam todos iguais.
12646  xx


182 x
9
2
18
x
24

25.
Esta fração pode ser
apresentada da
seguinte forma 2
3
2
5
2
2
2
3

xx
Sinal menos antes de uma fração
2
3523 

xx •O sinal menos que se encontra antes da fração
afeta todos os termos do numerador.


1(2) (6) (3) (3)
22
1
8
3
21 xx




7
43
7
43
437
348234
334842





xxx
xx
xx




2
1
8
3
21 xx 

 •Começamos por “desdobrar” a
fração que tem o sinal menos
antes.(atenção aos sinais!)
•Reduzimos ao mesmo
denominador e eliminamos os
denominadores.
25

26.
EQUAÇÕES COM PARÊNTESES E DENOMINADORES
•Devemos começar por eliminar os parênteses e depois os
denominadores
3
12
22
1
3






 

xxx

3
1
3
2
22
3
2
3

 xxx

(3) (3) (3) (2) (2)
 24399  xxx  29439  xxx 
 112  x  2
11
2
11



 xx
C.S.=






2
11
26

27.
Potências
Regras operatórias das potências
•Multiplicação
•Com a mesma base
2-2 x 27 = 25
•Com o mesmo expoente
(-2)3 x (-7)3 = 143
•Divisão
•Com a mesma base
2-2 : 27 = 2-9
•Com o mesmo expoente
(-24)3 : 63 = (-4)3
•Potencia de potência
(23)5 = 215
•Potencia de expoente inteiro negativo
Potencia de expoente nulo
(-8)0 = 1
27
2
2 1 1
5
5 25
  
  
 

28.
Notação Científica
Definição: Diz-se que um número está escrito em notação
cientifica se está escrito na forma de um produto de um número a
entre 1 e 10 e uma potência de base 10, e escreve-se:
a x 10p , com 1≤a<10 e p um número inteiro
Escreve os seguintes números em notação cientifica
6769800 = 6,7698 x 106
0,0000008 = 8 x 10-7
0,0253 x 10-3 = 2,53 x 10-2 x 10-3 = 2,53 x 10-5
76,9 x 105 = 7,69 x 101 x 105 = 7,69 x 106
28

29.
Funções
Definição: Uma função é uma correspondência entre dois
conjuntos em que a cada elemento do conjunto de
partida corresponde um e um só elemento do
conjunto de chegada.
Formas de definir uma função:
•Por um diagrama
•Por uma tabela
•Por uma expressão analítica
•Por um gráfico
29

30.
Funções definidas por um diagrama
Ex. Não são funções
Ex. Funções
1
2
3
4
-1
-2
-3
1
2
-1
2
1
2
3
-1
-7
-2
-4
-3
A B
Df = {1;2,3}
D’f = {-1;-2,-3}
Objetos: 1;2,3
Imagens: -1;-2;-3
A – Conjunto de Partida
B – Conjunto de chegada
f ( 2 ) = -2
f ( x ) = -x
f
30

31.
Noção de Função. Teste da reta vertical
x
y
Não representa um gráfico de
uma função
Representa o gráfico de uma
função.
x
y
31

32.
Funções definidas por uma Tabela
Dg = {1;2,3;4}
D’g = {4;8;12;16}
Objectos: 1;2,3;4
Imagens: 4;8;12;16
Variável independente: Lado do quadrado
Variável dependente: Perímetro do quadrado
g ( 2 ) = 8
g (x) = 4x
Seja a função g definida pela tabela seguinte
Lado de um quadrado (L) 1 2 3 4
Perímetro do quadrado (P) 4 8 12 16
32

33.
Funções definidas por uma expressão analítica
Seja a função h definida pela seguinte expressão analítica
h(x) = 2x -1
•Calcular a imagem sendo dado o objecto
h(3) = 2x3 - 1
h(3) = 5
•Calcular o objecto sendo dada a imagem
h(x) = 15
2x – 1 = 15
 2x = 15 + 1
 2x = 16
 x = 8
(3;5) e (8;15) pertencem
à recta que é gráfico da
função h.
33

34.
Funções definidas por um gráfico
•Variável independente: Peso
•Variável dependente: Custo
•j( … ) = 12
•j(1) = …..
•Tipo de função: Linear
•Expressão analítica: j(x) = 6x
34

35.
Uma Função Afim é uma função do tipo y ax b
O gráfico de uma função afim é uma reta não vertical.
5 3
2
1 0
 
  
 
B A
B A
y y
a
x x
2 y x b
A a chamamos o declive da reta e b é a ordenada na origem.
 30,A  51,B
3 02   b
 30,A
3  b
2 3 y x
35

36.
qualitativos
Representam a informação que
não suscetível de ser medida, mas
de ser classificada.
Exemplos:
-Cor dos olhos dos alunos de
uma turma . Podem ser
castanhos, azuis ou verdes.
Representam a informação que pode
ser medida, apresentando-se com
diferentes intensidades, que podem
ser de natureza discreta ou contínua.
Exemplo
quantitativos
Notas de
Matemática,
do 7ºF, no final
do 2º período.
Exemplo
Altura dos
jogadores da
equipa de
futebol do FCP.
Estatística – Recolha de dados
Tipo de dados
36

37.
Frequência
absoluta (f)
Frequência
relativa (fr)
Fr em
percentagem
6 %
11 %
11 %
39 %
16 %
11 %
X 100%
1 : 18 = 0,06
2 : 18 = 0,11
2 : 18 = 0,11
7 : 18 = 0,39
3 : 18 = 0,16
1,00
36
37
38
39
40
Total
41
42
1
2
2
7
3
18
2
1
2 : 18 = 0,11
1 : 18 = 0,06 6 %
100 %
Estatística - Tabelas de frequências
Número do
sapato
37

38.
Estatística - Gráficos de barras
Número do sapato dos alunos de uma turma
1
2 2
7
3
2
1
0
2
4
6
8
36 37 38 39 40 41 42
nº do sapato
frequenciaabsoluta
38

39.
Pictograma
= 1 aluno
Estatística - Pictograma
39

40.
Estatística - Gráficos circulares
Frequência
absoluta (f)
Graus
20º
40º
40º
140º
60º
360º
x
 
18 360
1
360
18
 x x  20º
36
37
38
39
40
Total
41
42
1
2
2
7
3
18
2
1
40º
20º
x
 
18 360
2
360x2
18
 x x  40º
720
18
 x
x
 
18 360
7
360x7
18
 x x 140º
2520
18
 x
x
 
18 360
3
360x3
18
 x x  60º
1080
18
 x
40

41.
Estatística – Medidas de tendência central
Frequência
absoluta (f)
36 1
37 2
38 2
39 7
40 3
41 2
42 1
Total 18
36 1 +37 2 +38 2 +39 7 +40 3+41 2+42 1
18
X
      

36 +74 +76 +273 +120+82+42
18
X
703
18
X 39,1X
A média do número do sapato dos alunos é
39,1
41
A média (ou média aritmética) de um conjunto de valores é o quociente
entre a soma de todos os valores e o número total de elementos.
A média representa-se por .X

42.
Estatística – Medidas de tendência central
Frequência
absoluta (f)
36 1
37 2
38 2
39 7
40 3
41 2
42 1
Total 18
Moda - É o valor que surge com mais
frequência se os dados são discretos.
Neste caso a moda é 39.
Mediana - Ordenados os elementos, a mediana é o
valor que a divide ao meio, isto é, 50% dos
elementos da amostra são menores ou iguais à
mediana e os outros 50% são maiores ou iguais à
mediana.
36;37;37;38;38;39;39;39;39;39;39;39;40;40;40;41;41;42
(39 + 39) : 2 = 39
42

43.
Tabela de frequências
Classes
(Altura dos alunos)
N.º de alunos
[145,151[ 5
[151,157[ 3
[157,163[ 3
[163,169[ 4
[169,175[ 8
Total 23
Para organizar estes dados vamos agrupá-los em classes. Tendo em conta o menor e
o maior valor da tabela e que cada classe tem que ter a mesma amplitude, ou seja,
a diferença entre o extremo superior e o extremo inferior da classe.
Na 1.ª classe estão incluídas as
alturas maiores ou iguais a 145 e
menores do que 151.
.
145 151 147 167 175 174 153 167 173 162 169 171
158 149 170 167 168 175 174 157 149 150 156
43

44.
Os gráficos das distribuições usando dados contínuos têm um aspecto
diferente dos gráficos de barras das distribuições de dados discretos. Neste
caso chamam-se histogramas.
Histograma é um gráfico de barras formado por um conjunto de rectângulos adjacentes
(colados), tendo cada um deles por base um intervalo de classe e por altura a respectiva
frequência.
Histograma
44

45.
Polígono de frequências
Se num histograma unires por segmentos de recta os pontos médios dos lados
superiores de cada rectângulo do histograma, como se fez em baixo, obténs uma outra
forma de apresentar a distribuição, que se chama polígono de frequências.
Nota: Para obtermos os pontos nos extremos da linha poligonal, devemos imaginar que
existe uma classe com a mesma amplitude das restantes e frequência zero, determinar o
ponto médio desta classe e uni-lo aos restantes.
45

46.
3 5
5 0 7 9 9
6 3 6
7 1 3 5 8 9
8 2 3 6
9 4
Esta representação chama-se diagrama de caule-e-folhas.
O caule é a coluna com os números 3, 5, 6, 7, 8 e 9 que representam o
algarismo das dezenas e as folhas que representam o algarismo das unidades de
cada um dos dados.
Pode-se organizar este conjunto de dados utilizando uma representação
gráfica do tipo seguinte:
35, 78, 50, 63, 86, 73, 57, 82,
59, 75, 66, 79, 83, 71, 94, 59
46

47.
Os quartis são valores da variável que dividem a
distribuição em 4 partes iguais, cada uma delas com
25% dos dados totais ordenados.
1.º Quartil 3.º Quartil2.º Quartil
Diagrama de Extremos e Quartis
47

48.
A amplitude e a amplitude interquartis são medidas indicadas
para estudar a dispersão dos dados.
A amplitude é a diferença entre o máximo e o mínimo do
conjunto de dados (os extremos).
Amplitude e Amplitude Interquartis
Amplitude = máximo  mínimo
A amplitude interquartis é a diferença entre o 3.º quartil e o
1.º quartil.
Amplitude interquartis= Q3  Q1
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49.
Propriedades das isometrias: uma isometria conserva as medidas
dos lados e as amplitudes dos ângulos.
Translação
Rotação
Reflexão
Reflexão
deslizante
49