POTENCIAS E RAIZES

1. MATEMÁTICA
POTÊNCIAS E RAÍZES

2. POTÊNCIAS
A potenciação é uma operação matemática que indica multiplicações
sucessivas de fatores iguais. Ou seja, quando este número é
multiplicado por ele mesmo diversas vezes, pode-se substituí-lo por
uma base (número que se repete) elevado a um expoente (número
de repetições). E o resultado desta operação chamamos de potência.

3. LEITURA DE POTÊNCIA
Toda potência tem a sua forma de representação, assim, possui também uma leitura específica que
irá depender do valor do expoente. Veja como é feita a leitura das potências.
51 = cinco elevado a potência um ou cinco elevado a um.
42 = quatro elevado a potência dois ou quatro elevado a dois ou quatro elevado ao
quadrado ou quadrado de nove.
83 = oito elevado a terceira potência, oito elevado a três ou oito elevado ao cubo ou cubo de
oito.
94 = nove elevado a quarta potência, nove elevado a quarta.
25 = dois elevado a quinta potência ou dois elevado a quinta.
Quando o expoente é igual a 2 ou 3 chamamos de quadrado ou cubo, essa denominação
veio do cálculo da área de um quadrado que é o produto de dois fatores iguais (lados iguais)
e do volume do cubo que é o produto de três fatores iguais (comprimento, largura e altura).

4. CALCULANDO A POTÊNCIA
Para encontrar o valor de uma potência, precisamos realizar as multiplicações
como nos exemplos a seguir:
a) 3²= 3 · 3 = 9
b) 5³= 5·5·5 = 125
c) 106 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 1 000 000
d) 4³ = 4 x 4 x 4 = 64
e) 5² = 5 x 5 = 25
f) 64 = 6 . 6 . 6 . 6 = 1 296

5. TIPOS DE POTÊNCIA
Existem alguns tipos específicos de potência.
1º caso – Quando a base for diferente de zero,
podemos afirmar que todo número elevado a
zero é igual a 1.
Exemplos:
a) 100=1
b) 12930=1
c) (-32)0=1
d) 80=1
2º caso - Todo número elevado a 1 é ele mesmo.
Exemplos:
a) 9¹ = 9
b) 12¹ = 12
c) (-213)¹= - 213
d) 0¹ = 0
3º caso - 1 elevado a qualquer potência é
igual a 1.
Exemplos:
a) 1²¹ = 1
b) 1³ = 1
c) 1500=1
4º caso - Base de uma potenciação negativa
Quando a base é negativa, separamos em dois
casos: Se expoente for ímpar, a potência será
negativa:
(-2)³ = (-2) · (-2) · (-2) = - 8 → Note que o expoente 3
é ímpar, logo a potência é negativa.
Quando o expoente for par, a resposta será positiva.
(-2)4= (-2) · (-2) · (-2) · (-2) = 16 → Note que o
expoente 4 é par, por isso a potência é positiva.

6. PROPRIEDADES DA POTÊNCIA
1. Produto de potências de mesma base: conserva a base e soma os
expoentes. Exemplos:
an . am = an + m
22 . 23 = 22 + 3 = 25
45 . 42 = 45 + 2 = 47
2. Divisão de potências de mesma base: conserva a base e subtrai os
expoentes. Exemplos:
an : am = an = an - m
am
56 : 52 = 56 = 56 – 2 = 54
52
92 : 93 = 92 = 92 – 3 = 9-1
93

7. 4. Potência de um produto: o expoente geral é expoente dos fatores.
Exemplos:
(a . b)n = ( an . bn)
(4 . 5)2 = (42 . 52)
(12 . 9)3 = (123 . 93)
5. Multiplicação de potências com o mesmo expoente: conserva o expoente e
multiplica as bases. Exemplo:
an . bn = (a . b)n
42 . 62 = (4 . 6)2
73 . 43 = (7 . 4)3
PROPRIEDADES DA POTÊNCIA
3. Potência de potência: devemos multiplicar os expoentes. Exemplos:
(an)m = an . m
(74)2 = 74 . 2 = 78
(123)2 = 123 . 2 = 126

8. RAÍZES
Radiciação é a operação que realizamos quando queremos descobrir qual o número que multiplicado
por ele mesmo determinada quantidade de vezes, dá um valor que conhecemos. A Radiciação é o
método matemático inverso à potenciação. Enquanto os cálculos com potências são
determinados pela multiplicação de elementos iguais sucessivas vezes, a radiciação procura quais
são esses elementos.

9. Vamos ver alguns exemplos?
• Qual é o número que multiplicado por ele mesmo 3 vezes dá como resultado 125?
Por tentativa podemos descobrir que:
5 x 5 x 5 = 125, ou seja,
Escrevendo na forma de raiz, temos:
Portanto, vimos que o 5 é o número que estamos procurando.
(Leia-se: raiz cúbica de 27 é igual a 3)
(Leia-se: raiz quadrada de 16 é igual a 4), quando não aparece o índice consideramos esse índice igual a 2.
(Leia-se: raiz quarta de 81 é igual a 3)

10. PROPRIEDADES DA RADIDIAÇÃO
Propriedade 1: Raiz em que o expoente do radicando é igual ao índice
A propriedade 1 afirma que, sempre que o índice for igual ao expoente do radicando, o
resultado da raiz n-ésima é a própria base.
Exemplo:
Propriedade 2: Potência de expoente radical
A propriedade 2, na verdade, é uma propriedade de potenciação em que o expoente é uma fração. O
numerador da fração passa a ser o expoente do radicando, e o denominador passa a ser o índice da raiz.
Exemplo:

11. PROPRIEDADES DA RADIDIAÇÃO
Propriedade 3: Produto de raízes de índices iguais
A propriedade 3 afirma que o produto entre duas raízes com índices iguais é igual à raiz de mesmo índice
do produto dos radicandos.
Exemplo:
Propriedade 4: Quociente de raízes de índices iguais
De maneira análoga à propriedade 3, a propriedade 4 afirma que a divisão entre duas raízes de índices iguais
é igual à raiz de mesmo índice da divisão dos quocientes.
Exemplo:

12. PROPRIEDADES DA RADIDIAÇÃO
Propriedade 5: Potência de uma raiz
A propriedade 5 diz-nos que uma raiz n-ésima elevada a um determinado expoente m é igual à raiz n-
ésima do radicando elevado ao expoente.
Exemplo:
Propriedade 6: Raiz de outra raiz
Quando nos depararmos com uma raiz de outra raiz, basta conservar o radicando e multiplicar os índices das
raízes.
Exemplo:

13. PROPRIEDADES DA RADIDIAÇÃO
Propriedade 7: Multiplicando-se ou dividindo-se índice e expoente pelo mesmo número, a raiz não se
altera.

14. SIMPLIFICAÇÃO DE RADICAIS
Muitas vezes não sabemos de forma direta o resultado da radiciação ou o resultado não é um número inteiro. Neste caso, podemos
simplificar o radical.
Para fazer a simplificação devemos seguir os seguintes passos:
1. Fatorar o número em fatores primos.
2. Escrever o número na forma de potência.
3. Colocar a potência encontrada no radical e dividir por um mesmo número o índice do radical e o expoente da potência.

15. SIMPLIFICAÇÃO DE RADICAIS