Matriz

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  1. 1. MATRIZES, DETERMINANTES ESISTEMAS LINEARES Elaborado Por: Cris tiano De Angelis
  2. 2. Introdução Este trabalho tem como objetivos, reforçar conteúdos e introduzirconceitos matemáticos, através de Matrizes, Determinantes eSistemas Lineares. É possível desenvolver atividades que envolvam,problemas, cálculos, algoritmos, combinatória, trigonometria,logaritmo, e uso de softwares. Sem dúvida, cabe ao ensino de matemática o desenvolvimentodo raciocínio e nesse sentido matrizes, determinantes e sistemaslineares são interessantes para serem trabalhados, utilizando sepossível material de apoio. Este trabalho está estruturado de tal forma que a parte teórica eos exercícios visam a exploração deste conteúdo. Num segundomomento, passamos a exercícios mais específicos, ligados a esteconteúdo matemático como forma de exemplificar o uso dosoftware como recurso didático.
  3. 3. 1. Matrizes Matriz é um conjunto com elementos dispostos em linhas e colunas. Exemplo:  0 3 − 2 1a linhaA = 3 6 4 1a linha B= − 5 4 3  2a linha 4 3 5     2a linha  0 −1 7    3a linha1a coluna 1a coluna2a coluna 2a coluna3a coluna 3a coluna
  4. 4.  A indicação do número de linhas e colunas é chamada deordem da matriz. Nos exemplos, A tem ordem (2X3) e B temordem (3X3), ou, simplesmente 3. Matriz quadrada é todamatriz que tem igual número de linhas e colunas (ordem n). O elemento que está na linha i e coluna j é representadopor aij. Desta forma, uma matriz genérica de ordem m x n érepresentada por:  a11 a12 a13 ... a1m  a 21 a 22 a 23 ... a 2m A =  ...  ...      an1 an2 an3 ... anm 
  5. 5. 1.1 Matrizes Com Denominações EspeciaisMatriz LinhaMatriz ColunaMatriz Quadrada* Diagonal principal de uma matriz quadrada* Diagonal secundária de uma matriz quadradaMatriz NulaMatriz DiagonalMatriz Identidade ou UnidadeMatriz TranspostaMatriz SimétricaMatriz OpostaMatriz Escalar
  6. 6. Exercícios1. Determinar a soma dos elementos da diagonal principal da matriz de ordem 3 definida por aij = i + j.2. A transposta de uma matriz A= (aij) é a matriz AT = (bij), tal que as linhas de uma são as colunas de outra. Se A tem ordem nxm, então At tem ordem mxn e bij = aji, para todo i e todo j. Determinar a matriz transposta da matriz de ordem 2x3 definida por aij = i-j.3. Matriz identidade é toda matriz quadrada cujos elementos da diagonal principal são iguais a 1e os demais iguais a zero. Quantos zeros tem uma matriz identidade de ordem n?4. Seja A de ordem 15x20 definida por aij = i - j + 10. Determinar o elemento b98 de AT.
  7. 7. 1.2 Igualdade De Matrizes Duas matrizes de mesma ordem são iguais, se, esomente se, os elementos que ocupam a mesma posiçãosão iguais. SÓ EXISTE IGUALDADE DE MATRIZES QUE POSSUEM A MESMA ORDEM.Exemplo: a) Estas matrizes, A e B:  2 8 2 y  A =  x 4 B = 1 4      serão iguais se, e somente se: x = 1 e y = 8 b)  x y  7 − 2 x = 7 y = −2 ⇔ m n  =  4 − 5     m = 4 n = −5
  8. 8. 2. Operações Com Matrizes Vamos apresentar as operações básicas com matrizes através de exemplos: 1 − 2   0 − 2  1 1 0 A=  0 1   B=  1 1   C =  − 1 0 2 1 − 2  0 − 4  1 2a) A - 2.B = 0 1    - 2  2 =   − 2 − 1   1 − 2   1 1 0 1 + 2 1 + 0 0 − 4  3 1 − 4b) A . C = 0 1    .  − 1 0 2   =  0 − 1 0 + 0 0 + 2   = − 1 0 2    1 − 2   0 − 2  0 − 2 − 2 − 2 − 2 − 4c) A . B = 0 1    . 1 1    = 0+1 0+ 1    = 1  1  
  9. 9.  0 − 2 1 − 2  0 − 0 0 − 2  0 − 2d) B . A = 1 1    . 0 1    = 1 + 0 − 2 + 1 = 1  − 1    1 − 2  1 0 1 − 0 0 − 2 1 − 2e) A . I = 0 1    .  0 1  = 0 + 0 0 + 1   = 0 1    A.I = A, para qualquer matriz A (I é o 1 das matrizes). Em geral A.B ≠B.A (não comutativa). Para A, B, C quadradas de mesma ordem, A.(B+C)=A.B + A.C(distributiva). Para A, B, C quadradas de mesma ordem, A.(B.C)=(A.B).C(associativa).
  10. 10. Exercícios1. Numa turma, os graus que seis alunos receberam em três provas bimestrais sãodadas pela seguinte matriz A: 0 7 8  7 8 0    7 0 8    6 6 6   10 4 0    0 4 10 2  A matriz B informa o peso de cada uma das provas: 2, 3 e 5 nesta ordem. B = 3 5   Use as matrizes A e B para calcular as notas finais dos alunos e analise os grausdos aprovados e dos reprovados, sabendo que é necessário 60 pontos paraaprovação.
  11. 11. 2. Uma micro-empresa, em abril teve a seguinte matriz custo, Aluguel, água, [ 500 ] Salário luz,etc matéria prima distribuição A= 1000 1100 300 Em maio houve vários aumentos, colocados na matriz B, [ B = 1,12 1,02 1,05 1,10 ]Utilize A e B para calcular o custo total do mês de maio. Muitos empresáriosrepassaram os 12% de aumento do salário mínimo para o preço do produto final,alegando que o custo aumentou 12%.
  12. 12. 3. A matriz C fornece, em reais, o custo das porções arroz, carne e salada usadosnum restaurante: 1 arroz   C = 3 carne 2   saladaA matriz P fornece o número de porções de arroz, carne e salada usados nacomposição dos pratos tipo P1, P2, P3 deste restaurante: 2 1 1 Prato P1   P = 1 2 1 Prato P2 2 1 0   Prato P3A matriz que fornece o custo de produção, em reais, dos pratos P 1, P2, P3 é: 7  4 9 2  2          (A) 9  (B) 4 (C) 11 (D) 6 (E) 2 8    4   4   8    4  
  13. 13. 4. A matriz A = [aij]5x5, com i, j ∈ {1, 2, 3, 4 , 5}, revela um caminho ligandoalguns pontos do desenho, onde aij = 1 significa: “existe uma ligação entre Pi e Pj ”e aij = 0 significa: “não existe uma ligação entre Pi e Pj ”. 0 0 1 0 0 P2 0 0 0 1 0   A= 1 0 0 0 1 P1   P3 0 1 0 0 1 0  0 1 1 0  P5 P4Saindo de P1, sem repetir trechos, qual o ponto final do caminho?(A) P1(B) P2(C) P3(D) P4(E) P5
  14. 14. 3. Matriz Inversa A inversa de uma matriz A, quando existir, é a matriz −1 −1 representada por A tal que : A ⋅ A = IExemplo: 6 1  −1  1 −1 A = 5 1 tem A =  como inversa, pois    −5 6   6 1  1 − 1 6 − 5 − 6 + 6 1 0 5 1 . − 5 6  = 5 − 5 − 5 + 6 = 0 1        
  15. 15. 4. Determinantes e Sistemas Lineares 4.1 Sistema De Equações Na Forma Matricial Um sistema de equações do primeiro grau pode ser posto naforma matricial. Exemplo:  x + 2 y + 3z = 1  Dado o sistema 4 x + 7 y + 8z = 2 ,   − x + y +  = 3  podemos colocá-lo na forma:  1 2 3  x  1  4 7 8 .  y  = 2 , ou seja, A . X = B.       − 1 1 0   z      3    A X B A matriz A é chamada de MATRIZ PRINCIPAL, a X de MATRIZ DASINCÓGNITAS e a B de MATRIZ DOS TERMOS INDEPENDENTES.
  16. 16. 4.2 Determinante De Uma Matriz De Ordem 2  Sistema genérico de duas equações e duas incógnitas:  ax + by = c  dx + ey = f  aex + bey = ce adx + bdy = cd − dbx − bey = − bf − adx − aey = − af( ae − bd ) x = ce − bf ( bd − ae ) y = cd − af x = ce − bf y = cd − af (* -1) = − ad + af ae − bd bd − ae − bd + ae y = af − bd ae − bdAssim temos: ce − bf af − cd x= e y= ae − bd ae − bd
  17. 17.  Observamos que denominadores são iguais nas duasexpressões, sendo formados pelos elementos da matriz principaldo sistema. Se forem nulos, não poderemos determinar a solução(divisão por zero). Desta forma, é este denominador que determina a existência ea unicidade da solução. Como poderíamos chamar algo quedetermina?
  18. 18. Vamos definir e representar o determinante da matriz  a b d e   por a b = det (A) = ae - bd d eDeterminante de uma matriz de ordem 2 é o produto doselementos da diagonal principal menos o produto dos elementosda diagonal secundária.
  19. 19. 4.3 Resolução De Um Sistema 2x2 Por Determinantes Nas expressões encontradas para x e y observamos que osnumeradores são também determinantes. Na primeira, a matrizutilizada teve a primeira coluna substituída pela matriz B. Nasegunda expressão, foi substituída a segunda coluna.  ax + by = c  a b  x  c Exemplo:  →  d e *  y =  f   dx + ey = f       ce − bf af − cd x= e y= ae − bd ae − bd
  20. 20. Chamando ∆ = det (A) = ae - bd, c b a c ∆x = = ce − bf e ∆ y= = af − cd , temos: f e d f ∆x ∆y x= e y= ∆ ∆ Esta regra, válida apenas se ∆ ≠ 0 , é chamada de REGRA DECRAMMER.
  21. 21. 4.4 Discussão de Um Sistema 2x2 Um sistema pode ser de três tipos: DETERMINADO: possui uma única solução. INDETERMINADO: possui mais de uma solução. IMPOSSÍVEL: não possui solução. x = 1 e y = 1 é o único par de soluções: Determinado. x = 1 e y = 1, x=2 e y=0e x = 0 e y = 2 são algumas das infinitas soluções: Indeterminado. não tem solução: Impossível.
  22. 22.  Podemos classificar um sistema analisando os determinantes.A regra de Crammer, ainda que válida apenas caso ∆ ≠ 0 , nosinduz à discussão do sistema.Vamos, por exemplo, considerar que:0 existe e é único2 2 0 não está definido 0 0 tem infinitas respostasAssim, temos: ∆ ≠ 0 Determinado  ∆x = ∆y = 0 Indeterminado  ∆ = 0 e  ∆x ≠ 0 ou ∆y ≠ 0  Impossível
  23. 23. 4.5 Determinantes De Ordem n Vimos a origem e o cálculo de um determinante de ordem 2.Este foi útil na resolução e discussão de um sistema de ordem 2,bem como na identificação de matrizes inversíveis de ordem 2. Deforma análoga, podemos obter determinantes de ordenssuperiores a 2.a) Determinante De Ordem 3:  a11 a12 a13   a 21 a 22 a 23 Dada a matriz A=   , temos:  a31 a32 a33   det(A)= a11 . a22 . a33 + a12 . a23 . a31 + a21 . a32 . a13 -a13 . a22 . a31 - a12 . a21 . a33 - a23 . a32 . a11 * No sentido da 1 −2 3 Exemplo: 0 -4 - 4 + 0 diagonal secundária 1  4  = - 24 - 0 - 1 = -33 troca-se o sinal. 2  1 −1 
  24. 24.  No cálculo do det(A) observamos o seguinte: * Usamos 6 parcelas (fatorial de 3). * Cada parcela é o produto de 3 elementos da matriz.* Em cada produto há um e somente um elemento de cada linha e coluna. * A metade das parcelas tem o sinal trocado.
  25. 25. b) Determinate De Ordem n: Com base no que foi observado no cálculo do determinante deordem 3, temos que o determinante de uma matriz de ordem n é: * A soma de n! parcelas. * Cada parcela é o produto de n elementos da matriz. * em cada produto há um e somente um elemento de cada linha e coluna. * A metade das parcelas tem o sinal trocado. Vamos calcular o determinante através do baixamento deordem. Desta forma determinantes de ordem superior a 3 sãoexpressos em função de determinantes de ordem 3 e, então,calculados. Inicialmente, definimos co-fator cij de um elementoaij da matriz A:
  26. 26. cij é o produto de ( − 1 ) pelo determinante da matriz obtida i+ j da Aeliminando-se a linha i e a coluna j. Para se obter o baixamento de ordem procede-se da seguinte forma: (1) Escolhe-se qualquer linha ou coluna da matriz. (2) Multiplica-se cada elemento da linha ou coluna escolhida pelo seu co-fator. (3) Soma-se todos os produtos obtidos.
  27. 27. 4.6 Propriedades Dos Determinantes As propriedades dos determinantes são decorrentes dadefinição de determinante. As propriedades abaixo são enunciadas para as linhas de umamatriz quadrada A. Contudo, são válidas também para as colunas. (1) Se A tem uma linha nula, então det(A) =0 (2) Permutando-se duas linhas de A, det(A) inverte o sinal. (3) Se A tem duas linhas iguais, então det(A) =0 (4) Se A tem duas linhas múltiplas, então det(A) =0 (5) det(A.B) = det(A).det(B)(6) Multiplicando uma linha de A por k real, det(A) fica multiplicado por k. (7) Se Li e Lj são linhas de A e k é real, temos: substituindo Li por Li + k.Lj, det (A) não se altera.
  28. 28. Exemplo: a b c a+3 b+3 c+3 Sabendo que 1 1 1 = 2, calcular 1 1 3 1 2 3 2 2 2 Substituindo a primeira linha pela segunda multiplicada poruma constante (3) somada com a primeira linha. a+3 b+3 c+3 1 1 1 1 2 3 a+3 b+3 c+3 Tocar a segunda linha pela terceira. 1 2 3 1 1 1 a+3 b+3 c+3 Multiplicar a terceira linha por uma constante (2). 1 2 3 2 2 2 Determinante = 2 . (-1) . 2 = -4
  29. 29. 4.7 Cálculo Da Inversa De Uma Matriz De Ordem 2 Podemos calcular a inversa de uma matriz A de ordem 2 daseguinte forma: (1) Elementos da diagonal principal: trocar de posição. (2) Elementos da diagonal secundária: trocar de sinal. (3) Dividir todos os elementos por det(A).
  30. 30. Resolução De Exercícios Com Auxílio de Software
  31. 31. Conclusão O nosso objetivo com este trabalho, foi obter informações maisdetalhadas a respeito de Matrizes, Determinantes e SistemasLineares. O desafio no qual a dupla se propôs foi descobrir outras formasde apresentar este conteúdo, apresentando também o uso desoftware para que de alguma forma possa facilitar a compreensão,descobrindo novas possibilidades de uso do material numaaplicação à sala de aula. Foi válida essa experiência, pois podemos perceber, aimportância do conteúdo e do “material concreto” no ensino damatemática, principalmente, pelo estímulo que ele traz, pois nãodesejamos que a matemática de hoje se torne monótona e repetitiva.
  32. 32. Referências BibliográficasBACCARO, Nelson. e CYRINO, Hélio. Matemática. segundo grau, volume 2, editora Ática, 6a edição, p. 96 a 152.GENTIL, Nelson. e outros. Matemática para o 2o. grau. volume 2, editora Ática, 277 exercícios resolvidos e 754 exercícios propostos, p. 139 a 208.MÓTTOLA, Paulo R. de Carvalho. Móttola Matemática pra o vestibular. 2a edição, p. 109 a 126.TEXEIRA, José Carlos. e outros. Matemática - Matrizes - Determinantes - Sistemas Lineares. livro 15, sistema anglo de ensino, Anglo Vestibulares, p. 1 a 86.

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