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Unidade 11 – Geometria Plana I
Congruência e semelhança
de figuras planas
Relações métricas do
triângulo retângulo
Triângulo qualquer
Congruência e Semelhança de Figuras
Planas
TRIÂNGULOS SEMELHANTES
Dois polígonos são semelhantes quando satisfazem,
simultaneamente, duas condições: os ângulos são
respectivamente congruentes e os lados correspondentes são
proporcionais.
Os triângulos, no entanto, constituem um casos especial.
Para que dois triângulos sejam semelhantes, basta que
verifiquem uma das duas condições de semelhança; se essa
condição for satisfeita, a outra será automaticamente válida.
Portanto, dois triângulos são semelhantes quando têm os
ângulos respectivamente congruentes ou lados homólogos
correspondentes proporcionais.
TRIÂNGULOS SEMELHANTES
PROPRIEDADES
EXEMPLO 1
EXEMPLO 2
Para você fazer – p. 33
4
4
02
2052.105
105
2
)2
5,7
2
15
1523.52
3
5
2
)1
10
3
5
2
:,
=→=→=→=→=
=→=→=→=→=
==
mmmm
m
nnnn
n
m
n
temosproporçãoPela
45,7 == mn e
POLÍGONOS SEMELHANTES
Para que duas figuras sejam semelhantes, é necessário que tenham
ângulos correspondentes de mesma medida e as medidas dos
segmentos correspondentes proporcionais.
Consideremos os polígonos QRSTU e ABCDE das figuras
seguintes:
POLÍGONOS SEMELHANTES
POLÍGONOS SEMELHANTES
POLÍGONOS SEMELHANTES
Os valores ½ obtido chama-se razão de semelhança
do pentágono QRSTU para o pentágono ABCDE.
Dois polígonos com o mesmo número de lados são
de semelhantes quando possuem ângulos
respectivamente congruentes e lados
correspondentes proporcionais.
A razão entre qualquer lado de um pol[igono e o
lado correspondente do outro chama-se razão de
semelhança.
POLÍGONOS SEMELHANTES
PROPRIEDADES
PROPRIEDADES
EXEMPLO 1
CONTINUAÇÃO
Para você fazer – p. 35
→=
=→=
103
2
35
2
3
:,
DF
DFDF
AC
temosproporçãoPela
cmDF
3
10
=
A
B CH
αααα
m n
a = m + n
αααα ββββ
c bh
ββββ
Os triângulos HBA, HAC e
ABC são semelhantes
)1(. 2
cma
a
c
c
m
=⇒=
)2(. 2
bna
a
b
b
n
=⇒=
amc =2
anb =2
Relação Métricas do Triângulo
Retângulo
Relação Métricas do Triângulo
Retângulo
22
)( cbnma +=+
A
m
αααα
c
ββββ
HB
h
CH
αααα
n
ββββ
bh
Somando as
equações (1) e (2) 222
cba +=
n
h
h
m
=
nmh .2
=
A área do triângulo ABC
pode ser calculada por:
2
.
2
. cbha
=
cbha .. =
B
a = m + n
CH
αααα
n
ββββ
bh
A
m
αααα
c
ββββ
A
m
αααα
c
ββββ
HB
h
CH
αααα
n
ββββ
bh
Relação Métricas do Triângulo
Retângulo
Resolução de Atividades
Página 37 e 38
Triângulo qualquer e suas
propriedades
O estudo de triângulos é um dos assuntos mais
importantes na Geometria.
Isso ocorre porque eles podem ser associados a
figuras geométricas circulares, possibilitando
relações importantes, além de serem elementos
básicos constituintes de figuras poligonais com mais
de três lados.
A seguir, apresentaremos algumas propriedades
geométricas e generalidades sobre triângulos.
Elementos principais de um triângulo
Os principais elementos de
um triângulo são os lados,
os vértices, os ângulos
internos e externos:
Considerando o triângulo
ABC ao lado, temos:
CeB,AângulosossãoexternosângulosOs
;CeBÂ,formadossãointernosângulosOs
,BCeAC,ABsegmentosossãoladosOs
eee
ˆˆˆ
ˆˆ
→
→
→
Soma dos ângulos internos de um
triângulo
Vamos relembrar agora uma
propriedade que relaciona
os ângulos internos de um
triângulo. Observe:
Se, pelo vértice C,
traçarmos uma reta paralela
ao lado AB, obteremos
ângulos congruentes aos
ângulos A e B.
Os três ângulos destacados
no vértice C, juntos,
correspondem a um ângulo
de 180º.
Logo, podemos concluir
que:
180ºCB =++ ˆˆ
Portanto, em qualquer triângulo, a
soma dos ângulos internos é
sempre igual a 180º.
Essa relação é conhecida como
Teorema Angular de Tales.
Soma dos ângulos externos de um
triângulo
Observe, no triângulo ABC
abaixo, que a soma de
qualquer ângulo interno de um
triângulo com correspondente
ângulo externo é sempre igual
a 180º.
º180ˆˆ
º180ˆˆ
º180ˆˆ
=+
=+
=+
e
e
e
CC
BB
AA
relações.seguintes
asescreverpodemosAssim,
Soma dos ângulos externos de um
triângulo
º180º180º180ˆˆˆˆˆˆ ++=+++++ eee CCBBAA
:temosequações,íltimastrês
essasmembro,amembroSomando,
( )
º540ˆˆˆº180
º540ˆˆˆˆˆˆ
=+++
=+++++
eee
eee
CBA
CBACBA
º180º540ˆˆˆ −=++ eee CBA
º360ˆˆˆ =++ eee CBA
Resolução de Atividades
Página 39
Classificação dos triângulos
Os triângulos podem ser classificados de acordo
com dois critérios principais: quanto aos lados e
quanto aos ângulos.
Quanto aos lados:
Triângulo Equilátero: apresenta os lados e os
ângulos com a mesma medida.
Triângulo Isósceles: apresenta dois lados e dois
ângulos com a mesma medida.
Triângulo escaleno: apresenta os três lados e os
ângulos com medidas diferentes.
Classificação dos triângulos
Quanto aos ângulos:
Triângulo acutângulo: apresenta os ângulos
internos agudos, ou seja, de medidas
menores que 90º;
Triângulo retângulo: apresenta um ângulo
reto, ou seja, com medida igual a 90º;
Triângulo obtusângulo: apresenta um ângulo
interno obtuso, ou seja, de medida maior que
90º.
Condição de existência de um
triângulo
Para a existência de um triângulo cujos
lados tenham medidas a, b, e c devem ser
verificadas as seguintes condições:
A medida de cada lado deve ser menor que
a soma das medidas dos outros dois lados:
a > b + c
b > a + c
c > a + b
Condição de existência de um
triângulo
A medida de cada lado deve ser maior que o módulo
da diferença das medidas dos outros dois lados:
a > |b – c |
b > |a – c |
c > |a – b |
Para qualquer lado de medida a de um triângulo,
necessariamente, devemos ter:
|b – c | < a < b + c
Essa última expressão é denominada desigualdade
triangular.
Outros elementos de um triângulo
Além dos chamados elementos principais de um
triângulo, que são os lados, os vértices, os ângulos
internos e externos, existem outros elementos cujo
conhecimento será importante no desenvolvimento
da Geometria.
Estudaremos, agora, no contexto de triângulos, as
alturas, as medidas, as mediatrizes e as bissetrizes.
Cada um desses elementos determinará um ponto
notável distinto de um triângulo:
Outros elementos de um triângulo
Altura
Uma altura de um triângulo é um segmento
de reta que tem extremidades em u vértice e
no lado oposto a esse vértice, sendo
perpendicular a esse lado.
H é o ortocentro do triângulo ABC
ha
hb
hc
A
B C
Altura
ha
hc
hb
A
B
H é o ortocentro do triângulo ABC
C
Triângulo Obtuso
Mediana
Mediana em um triângulo é um segmento de
reta que tem extremidades no ponto médio
de um lado e no vértice oposto a esse lado.
A
B CM1
M2
M3
G
G é o baricentro
do triângulo ABC
VOCÊ LEMBRA?
Mediatriz de um segmento é
a reta que passa pelo ponto
médio desse segmento
sendo perpendicular a ele.
A mediatriz de um segmento
traduz o lugar geométrico
dos pontos equidistantes
dos vértices do segmento:
Bissetriz de um ângulo é a
reta que divide esse ângulo
em duas partes iguais.
A bissetriz é o lugar
geométrico dos pontos
equidistantes dos lados de
um ângulo.
Mediatriz
Todo triângulo admite um
circunferência circunscrita a
ele que passa pelos vértices
desse triângulo.
O centro dessa
circunferência, chamado
circuncentro, é obtido pela
intersecção das mediatrizes
dos lados do triângulo.
A
B C
O
Bissetriz
Todo triângulo admite uma
circunferência inscrita que
tangencia internamente os
três lados.
O centro dessa
circunferência, chamada de
incentro, é obtido pela
intersecção das bissetrizes
dos ângulos internos do
triângulo.

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  • 1. Unidade 11 – Geometria Plana I Congruência e semelhança de figuras planas Relações métricas do triângulo retângulo Triângulo qualquer
  • 2. Congruência e Semelhança de Figuras Planas
  • 3. TRIÂNGULOS SEMELHANTES Dois polígonos são semelhantes quando satisfazem, simultaneamente, duas condições: os ângulos são respectivamente congruentes e os lados correspondentes são proporcionais. Os triângulos, no entanto, constituem um casos especial. Para que dois triângulos sejam semelhantes, basta que verifiquem uma das duas condições de semelhança; se essa condição for satisfeita, a outra será automaticamente válida. Portanto, dois triângulos são semelhantes quando têm os ângulos respectivamente congruentes ou lados homólogos correspondentes proporcionais.
  • 8. Para você fazer – p. 33 4 4 02 2052.105 105 2 )2 5,7 2 15 1523.52 3 5 2 )1 10 3 5 2 :, =→=→=→=→= =→=→=→=→= == mmmm m nnnn n m n temosproporçãoPela 45,7 == mn e
  • 9. POLÍGONOS SEMELHANTES Para que duas figuras sejam semelhantes, é necessário que tenham ângulos correspondentes de mesma medida e as medidas dos segmentos correspondentes proporcionais. Consideremos os polígonos QRSTU e ABCDE das figuras seguintes:
  • 12. POLÍGONOS SEMELHANTES Os valores ½ obtido chama-se razão de semelhança do pentágono QRSTU para o pentágono ABCDE. Dois polígonos com o mesmo número de lados são de semelhantes quando possuem ângulos respectivamente congruentes e lados correspondentes proporcionais. A razão entre qualquer lado de um pol[igono e o lado correspondente do outro chama-se razão de semelhança.
  • 18. Para você fazer – p. 35 →= =→= 103 2 35 2 3 :, DF DFDF AC temosproporçãoPela cmDF 3 10 =
  • 19. A B CH αααα m n a = m + n αααα ββββ c bh ββββ Os triângulos HBA, HAC e ABC são semelhantes )1(. 2 cma a c c m =⇒= )2(. 2 bna a b b n =⇒= amc =2 anb =2 Relação Métricas do Triângulo Retângulo
  • 20. Relação Métricas do Triângulo Retângulo 22 )( cbnma +=+ A m αααα c ββββ HB h CH αααα n ββββ bh Somando as equações (1) e (2) 222 cba +=
  • 21. n h h m = nmh .2 = A área do triângulo ABC pode ser calculada por: 2 . 2 . cbha = cbha .. = B a = m + n CH αααα n ββββ bh A m αααα c ββββ A m αααα c ββββ HB h CH αααα n ββββ bh Relação Métricas do Triângulo Retângulo
  • 23. Triângulo qualquer e suas propriedades O estudo de triângulos é um dos assuntos mais importantes na Geometria. Isso ocorre porque eles podem ser associados a figuras geométricas circulares, possibilitando relações importantes, além de serem elementos básicos constituintes de figuras poligonais com mais de três lados. A seguir, apresentaremos algumas propriedades geométricas e generalidades sobre triângulos.
  • 24. Elementos principais de um triângulo Os principais elementos de um triângulo são os lados, os vértices, os ângulos internos e externos: Considerando o triângulo ABC ao lado, temos: CeB,AângulosossãoexternosângulosOs ;CeBÂ,formadossãointernosângulosOs ,BCeAC,ABsegmentosossãoladosOs eee ˆˆˆ ˆˆ → → →
  • 25. Soma dos ângulos internos de um triângulo Vamos relembrar agora uma propriedade que relaciona os ângulos internos de um triângulo. Observe: Se, pelo vértice C, traçarmos uma reta paralela ao lado AB, obteremos ângulos congruentes aos ângulos A e B. Os três ângulos destacados no vértice C, juntos, correspondem a um ângulo de 180º. Logo, podemos concluir que: 180ºCB =++ ˆˆ Portanto, em qualquer triângulo, a soma dos ângulos internos é sempre igual a 180º. Essa relação é conhecida como Teorema Angular de Tales.
  • 26. Soma dos ângulos externos de um triângulo Observe, no triângulo ABC abaixo, que a soma de qualquer ângulo interno de um triângulo com correspondente ângulo externo é sempre igual a 180º. º180ˆˆ º180ˆˆ º180ˆˆ =+ =+ =+ e e e CC BB AA relações.seguintes asescreverpodemosAssim,
  • 27. Soma dos ângulos externos de um triângulo º180º180º180ˆˆˆˆˆˆ ++=+++++ eee CCBBAA :temosequações,íltimastrês essasmembro,amembroSomando, ( ) º540ˆˆˆº180 º540ˆˆˆˆˆˆ =+++ =+++++ eee eee CBA CBACBA º180º540ˆˆˆ −=++ eee CBA º360ˆˆˆ =++ eee CBA
  • 29. Classificação dos triângulos Os triângulos podem ser classificados de acordo com dois critérios principais: quanto aos lados e quanto aos ângulos. Quanto aos lados: Triângulo Equilátero: apresenta os lados e os ângulos com a mesma medida. Triângulo Isósceles: apresenta dois lados e dois ângulos com a mesma medida. Triângulo escaleno: apresenta os três lados e os ângulos com medidas diferentes.
  • 30. Classificação dos triângulos Quanto aos ângulos: Triângulo acutângulo: apresenta os ângulos internos agudos, ou seja, de medidas menores que 90º; Triângulo retângulo: apresenta um ângulo reto, ou seja, com medida igual a 90º; Triângulo obtusângulo: apresenta um ângulo interno obtuso, ou seja, de medida maior que 90º.
  • 31. Condição de existência de um triângulo Para a existência de um triângulo cujos lados tenham medidas a, b, e c devem ser verificadas as seguintes condições: A medida de cada lado deve ser menor que a soma das medidas dos outros dois lados: a > b + c b > a + c c > a + b
  • 32. Condição de existência de um triângulo A medida de cada lado deve ser maior que o módulo da diferença das medidas dos outros dois lados: a > |b – c | b > |a – c | c > |a – b | Para qualquer lado de medida a de um triângulo, necessariamente, devemos ter: |b – c | < a < b + c Essa última expressão é denominada desigualdade triangular.
  • 33. Outros elementos de um triângulo Além dos chamados elementos principais de um triângulo, que são os lados, os vértices, os ângulos internos e externos, existem outros elementos cujo conhecimento será importante no desenvolvimento da Geometria. Estudaremos, agora, no contexto de triângulos, as alturas, as medidas, as mediatrizes e as bissetrizes. Cada um desses elementos determinará um ponto notável distinto de um triângulo:
  • 34. Outros elementos de um triângulo
  • 35. Altura Uma altura de um triângulo é um segmento de reta que tem extremidades em u vértice e no lado oposto a esse vértice, sendo perpendicular a esse lado. H é o ortocentro do triângulo ABC ha hb hc A B C
  • 36. Altura ha hc hb A B H é o ortocentro do triângulo ABC C Triângulo Obtuso
  • 37. Mediana Mediana em um triângulo é um segmento de reta que tem extremidades no ponto médio de um lado e no vértice oposto a esse lado. A B CM1 M2 M3 G G é o baricentro do triângulo ABC
  • 38. VOCÊ LEMBRA? Mediatriz de um segmento é a reta que passa pelo ponto médio desse segmento sendo perpendicular a ele. A mediatriz de um segmento traduz o lugar geométrico dos pontos equidistantes dos vértices do segmento: Bissetriz de um ângulo é a reta que divide esse ângulo em duas partes iguais. A bissetriz é o lugar geométrico dos pontos equidistantes dos lados de um ângulo.
  • 39. Mediatriz Todo triângulo admite um circunferência circunscrita a ele que passa pelos vértices desse triângulo. O centro dessa circunferência, chamado circuncentro, é obtido pela intersecção das mediatrizes dos lados do triângulo. A B C O
  • 40. Bissetriz Todo triângulo admite uma circunferência inscrita que tangencia internamente os três lados. O centro dessa circunferência, chamada de incentro, é obtido pela intersecção das bissetrizes dos ângulos internos do triângulo.