O documento discute uma dúvida sobre a equação x2 + 2 = y3, que tem apenas uma solução inteira positiva. A solução envolve propriedades do domínio euclidiano Z[raiz(-2)] e equações de Pell, que podem ser resolvidas por frações contínuas. Referências bibliográficas são fornecidas para aprender mais sobre essas equações.

1. ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE:
QUESTÕES PUC-RIO - EQUAÇÃO DE 3º GRAU
ClAudio Buffara – Rio de Janeiro

2. Hoje compartilharemos uma dúvida sobre equação de 3º grau publicada na
lista PUC-RIO.

3. DÚVIDA
Mostre que a equação:
x2 + 2 =y3 tem apenas uma solução inteira positiva.

4. SOLUÇÃO
x^2 + 2 = y^3 pode ser resolvida através do uso de propriedades do domínio
euclidiano Z [raiz(-2)].
x^2 - Ay^2 = 1 é chamada equação de Pell (ou Pell-Fermat) e pode ser
resolvida por meio de frações contínuas.
O que são um domínio euclidiano e uma fração contínua e que eles tem a ver
com estas equações? Pegue o livro e leia.
Ou se você quiser soluções mais elementares, de uma olhada em:
"An Adventurers Guide to Number Theory" de Richard Friedberg - cap. 7 - para
a cúbica e no excelente "100 Great Problems of Elementary Mathematics" de
Heinrich Dorrie - cap. 20 - para a equação de Pell.
Confira a discussão completa em:
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200511/msg00037.html