Matemática Financeira 2012_02

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M a
Milton Henrique do Couto Neto
miltonh@terra.com.br

Revisão de
Matemática
Elementar

Operações Algébricas Básicas
• Ao resolver operações algébricas, deve-se
sempre resolver as operações na seguinte
ordem:
1. Potenciação ou Radiciação
2. Multiplicação ou Divisão
3. Adição ou Subtração

Operações Algébricas Básicas
• Ao resolver operações algébricas com
parênteses, colchetes e chaves , deve-se sempre
resolver as operações na seguinte ordem:
1. Parênteses
2. Colchetes
3. Chaves

Operações com Percentagens

Forma
Percentual

Forma
Unitária

Converta para a forma percentual: (a) 0,57 (b) 2,08 (c) 1,41.

Converta para a forma unitária: (a) 163% (b) 2.107% (c) 12%.

Calcule: (a) 25% de 350; (b) 42% de 68 ; (c) 127% de 560

Operações com Percentagens
• Em operações que envolvem aumentos
percentuais, para obter o valor final, basta
multiplicar o valor inicial por (1 + variação
percentual em forma unitária).

Um carro foi comprado por R$ 15.000,00. Por quanto deverá ser vendido para
permitir um ganho de 25% sobre o preço inicial?

Se uma geladeira, que custa R$ 800,00 entrar em promoção com desconto de 20%
sobre o preço original, quanto passará a custar?

Regra de 3 Simples Cresce na mesma
proporção

3 homens comem 2 pizzas
6 homens comerão quantas pizzas?

3 homens → 2 pizzas

6 homens → X pizzas

Se 2 pares de tênis custam R$ 250,00, quanto custarão 5 pares do
mesmo tênis?

Regra de 3 Inversa Cresce em
proporção
inversa
5 homens constroem a casa em 2 meses
10 homens construirão em quanto tempo?
Inverti esse lado!
5 homens → 2 meses

10 homens → X meses

Numa residência com 4 pessoas, uma caixa d’água de 1.000 litros é
suficiente para 3 dias de consumo. Se chegarem mais 2 hóspedes
quanto tempo irá durar a água da mesma caixa d’água?

Potenciação

n vezes

Casos especiais que merecem destaque:

Potenciação
Aplicadas as regras descritas anteriormente, resolva as seguintes potências:

a)73
b)52 x 53
c)25 x 87
d)450

Equações de Primeiro Grau
Uma mercadoria custava R$ 400,00. Um dia esta
mesma mercadoria apareceu custando R$ 430,00. De
quanto foi o aumento?

Primeiro membro Segundo membro

 Ambos os membros podem ser acrescidos ou subtraídos de uma
constante sem alterar a igualdade;

 Assim também os membros também pode ser multiplicados ou divididos
por uma constante.

Equações de Primeiro Grau

O triplo de um número subtraído de 8 é igual a 37. Qual é esse número?

Equações de Segundo Grau

Resolução

Se b2 – 4.a.c for:

a)> 0 → 2 soluções distintas;

b)= 0 → 2 soluções iguais;

c)< 0 → não apresenta soluções reais;

Equações de Segundo Grau

Encontre o valor de X:

a)X2 – 3X + 2 = 0

b)X2 + 4X + 4 = 0

c)X2 – 2x + 2 = 0

Lista de Exercícios
1. Há oito anos, Pedro tinha a metade da idade
que tem hoje. Qual a sua idade atual?

2. Em uma determinada empresa, em forma de
Sociedade Anônima, com capital dividido em
350 milhões de ações, João possui 0,3% do
capital dessa empresa. Considerando que será
dada uma bonificação de uma nova ação para
cada 7 ações que já possui, com quantas ações o
João ficará?

3. Certa máquina, trabalhando 12 horas por dia,
consome, em 30 dias, 9780 kg de carvão.
Considerando que esta máquina irá operar
12 horas e 30 minutos por dia, durante 90
dias ininterruptos e que o kg do carvão custa
R$ 800,00 qual será o custo total gasto pela
máquina?

4. Quanto é 25% da terça parte de 1026?

5. Um comerciante comprou 10 sacas de
batata, de 10 kg cada, por R$ 2.100,00. Por
quanto deve vender cada kg para obter um
lucro de 20%?

6. Um produto foi vendido por R$ 14.400,00
com prejuízo de 10% do preço da compra.
Qual foi o preço da compra?

Lista de Exercício
7. Dividiu-se um terreno de 1.296 m2 em 3 lotes. A
área do primeiro corresponde a 4/5 da área do
segundo e a área do terceiro é igual a soma das
outras áreas. Qual o tamanho do maior lote?

8. Uma pessoa vai de A para B a 50 km/h de média
e depois retorna de B para A numa velocidade
média de 75 km/h. Qual a velocidade média
total?

9. Num dia de futebol, as torcidas do time A e B
compareceram na razão de 3 para 4. Sendo a
lotação neste dia de 77 mil torcedores,
quantos eram torcedores do time B?

10.Calcule as soluções para:
 X2 – 9x + 6 = 0
 X2 + 5x + 4 = 0
 X2 – 7x + 9 = 0

Matemática Financeira

1) Introdução

Tempo e Dinheiro

Alguém aí me empresta
R$ 1.000,00 para eu
pagar no mês que
vem???

Dinheiro tem um custo associado ao
tempo
 Fatores que influenciam a preferência
pela posse atual do dinheiro:
– RISCO: Sempre haverá o risco de não
RISCO
recer os valores programados em
decorrência de imprevistos;
– UTILIDADE: O investimento implica em
UTILIDADE
não consumir hoje para consumir no
futuro;
– OPORTUNIDADE: A posse do dinheiro
OPORTUNIDADE
permite aproveitar as oportunidades
mais rentáveis que aparecerem.

Matemática
Financeira

Conjunto de técnicas e formulações extraídas da
matemática, com o objetivo de resolver problemas
relacionados às Finanças de modo geral e, que,
basicamente, consistem no estudo do valor do
dinheiro no tempo.
tempo

Juro

 Remuneração do capital,
a qualquer título.
título

a) Remuneração do capital empregado em atividades produtivas;
b) Custo do capital de terceiros;
c) Remuneração paga pelas instituições financeiras sobre o capial
nelas empregado.

Juro
 O Juro J também é o resultado da diferença do
capital final F e do capital inicial P da operação
financeira conhecida:

J=F-P
O resultado do cálculo de J é um
valor monetário, um dado absoluto
que não identifica o prazo de
geração de J

Taxa de Juros
 É a velocidade com que o Juros aumenta!

A taxa unitária I é o juro gerado
por uma unidade de capital inicial
$ 1 associado com o período de
tempo de geração do juro.

Taxa de Juros – Unidade de
Medida
 Os juros são fixados por meio de uma taxa
percentual que sempre se refere a uma
unidade de tempo (ano, semestre, trimestre,
mês, dia, etc.).

 Exemplo:
 12% a.a. = 12 % ao ano;
 4% a.s. = 4 % ao semestre;
 1% a.m. = 1 % ao mês

Variáveis Importantes
• Capital, Principal ou Valor Presente (C, P ou VP)
VP
– É o recurso aplicado;

• Taxa (i)
– É o coeficiente obtido da relaçãoo dos juros (J) com o capital (C), que pode
ser representado em forma percentual ou unitária.

• Prazo ou Tempo ou Períodos (n)
– É o tempo necessário que um certo capital (C), aplicado a uma taxa (i),
necessita para produzir um montane (M).

• Montante ou Valor Futuro (M ou VF)
VF
– É a quantidade monetária acumulada resultante de uma operação
comercial ou financeira após um determinado período de tempo.

Diagrama de
Fluxo de Caixa
(+) entradas

Tempo (n)

(-) saídas

Regime de Capitalização dos Juros

 Juros Simples

 Juros Compostos

Regimes de Capitalização
• Suponha que você tenha investido R$
10.000,00 pelo prazo de 12 meses com
pagamento mensal de juro calculado com a
taxa de juro de 2% ao mês.

Sem reinvestir os juros
Meses Juro Mensal Juros Valor Futuro
(2%) acumulados
1 200,00 200,00 10.200,00
2 200,00 400,00 10.400,00
3 200,00 600,00 10.600,00
4 200,00 800,00 10.800,00
5 200,00 1.000,00 11.000,00
6 200,00 1.200,00 11.200,00
7 200,00 1.400,00 11.400,00
8 200,00 1.600,00 11.600,00
9 200,00 1.800,00 11.800,00
10 200,00 2.000,00 12.000,00
11 200,00 2.200,00 12.200,00
12 200,00 2.400,00 12.400,00

Reinvestindo os juros
Meses Juro Mensal Juros Valor Futuro
(2%) acumulados
1 200,00 200,00 10.200,00
2 204,00 404,00 10.404,00
3 208,08 612,08 10.612,08
4 212,24 824,32 10.824,32
5 216,49 1.040,81 11.040,81
6 220,81 1.261,62 11.261,62
7 225,24 1.486,86 11.486,86
8 229,73 1.716,59 11.716,59
9 234,34 1.950,93 11.950,93
10 239,01 2.189,94 12.189,94
11 243,80 2.433,74 12.433,74
12 248,68 2.682,42 12.682,42

Sem reinvestir os juros Reinvestindo os juros
Meses Juro Mensal Juros Valor Futuro Juro Mensal Juros Valor Futuro
(2%) acumulados (2%) acumulados
1 200,00 200,00 10.200,00 200,00 200,00 10.200,00
2 200,00 400,00 10.400,00 204,00 404,00 10.404,00
3 200,00 600,00 10.600,00 208,08 612,08 10.612,08
4 200,00 800,00 10.800,00 212,24 824,32 10.824,32
5 200,00 1.000,00 11.000,00 216,49 1.040,81 11.040,81
6 200,00 1.200,00 11.200,00 220,81 1.261,62 11.261,62
7 200,00 1.400,00 11.400,00 225,24 1.486,86 11.486,86
8 200,00 1.600,00 11.600,00 229,73 1.716,59 11.716,59
9 200,00 1.800,00 11.800,00 234,34 1.950,93 11.950,93
10 200,00 2.000,00 12.000,00 239,01 2.189,94 12.189,94
11 200,00 2.200,00 12.200,00 243,80 2.433,74 12.433,74
12 200,00 2.400,00 12.400,00 248,68 2.682,42 12.682,42

JUROS SIMPLES JUROS
COMPOSTOS
Meses Juro Mensal Juros Valor Futuro Juro Mensal Juros Valor Futuro
(2%) acumulados (2%) acumulados
1 200,00 200,00 10.200,00 200,00 200,00 10.200,00
2 200,00 400,00 10.400,00 204,00 404,00 10.404,00
3 200,00 600,00 10.600,00 208,08 612,08 10.612,08
4 200,00 800,00 10.800,00 212,24 824,32 10.824,32
5 200,00 1.000,00 11.000,00 216,49 1.040,81 11.040,81
6 200,00 1.200,00 11.200,00 220,81 1.261,62 11.261,62
7 200,00 1.400,00 11.400,00 225,24 1.486,86 11.486,86
8 200,00 1.600,00 11.600,00 229,73 1.716,59 11.716,59
9 200,00 1.800,00 11.800,00 234,34 1.950,93 11.950,93
10 200,00 2.000,00 12.000,00 239,01 2.189,94 12.189,94
11 200,00 2.200,00 12.200,00 243,80 2.433,74 12.433,74

Característica Principal
 Os juros gerados durante a operação são
acumulados SEM REMUNERAÇÃO até o final
da operação, quando são capitalizados.

Crescimento Linear
Ano Saldo Início do Ano Juros no Ano Saldo no final do Ano
1 R$ 1.000,00 8% x R$ 1.000,00 = R$ 80,00 R$ 1.080,00
2 R$ 1.080,00 8% x R$ 1.000,00 = R$ 80,00 R$ 1.160,00
3 R$ 1.160,00 8% x R$ 1.000,00 = R$ 80,00 R$ 1.240,00
4 R$ 1.240,00 8% x R$ 1.000,00 = R$ 80,00 R$ 1.320,00

Fórmulas
Fórmula para Valor Futuro

Fórmula para Valor Presente

Fórmula para Taxa de Juros

Fórmula para Prazo

Exercícios
1. Foram aplicados R$ 8.500,00 durante 5 meses
com taxa de juros de 2,14% ao mês. Calcule o
valor do resgate no regime de juros simples.
2. Suponha que você aplicou R$ 5.500,00 com taxa
de juros de 1,45% ao mês (considere juro
simples). Calcule o prazo necessário para que a
aplicação alcance R$ 6.058,25.
3. Foram aplicados R$ 3.000,00 durante 5 meses,
no regime de juros simples. Ao final do quinto
mês foram resgatados R$ 3.850,50. Calcule a
taxa de juros da operação.

Descontos

• As operações de desconto representam a
antecipação do recebimento (ou pagamento)
de valores futuros, representados por títulos.

Desconto
• Como o dinheiro tem um valor no tempo, para
antecipar um valor futuro deve-se deduzir o
custo de oportunidade aplicando um
desconto.
desconto
Capitalização
Levar do Presente para o Futuro

≠
Desconto
Trazer do Futuro para o Presente

Desconto

Desconto

Valor Presente Valor Futuro
Valor Líquido Valor Nominal

Desconto Racional (Por Dentro)
• No Desconto Racional, ou por Dentro, a taxa
incide sobre o Valor Presente da operação.

Desconto Racional (Por Dentro)
• Calcule o desconto racional e o valor líquido recebido
proveniente do desconto de um título de valor nominal R$
500,00 com vencimento para daqui a 3 meses, com uma taxa
de 4,5 % a.m.

Desconto Comercial (Por Fora)
• No Desconto Comercial, ou por Fora, a taxa
incide sobre o Valor Futuro da operação.

Desconto Comercial (Por Fora)
• Qual o valor líquido de um título de valor nominal de R$
500,00 com vencimento daqui a 5 meses e taxa de juros por
fora de 3% a.m.

Exercícios
1. Um título de valor nominal
de R$ 25.000,00 é
descontado 2 meses antes
de seu vencimento à taxa
de juros simples de 2,5%
a.m.. Qual o valor
recebido?

2. Qual o valor do desconto
comercial de título de R$
3.000,00 descontado 90
dias antes do vencimento à
taxa de 2,5%a.m?

Exercícios
3. Um título com valor nominal de
R$ 3.836,00 foi resgatado 4
meses antes de seu vencimento,
tendo sido concedido desconto
racional simples à taxa de 10%
a.m. Qual o valor recebido?

4. Considere o mesmo exercício
acima, mas agora com desconto
comercial. Qual seria o valor
recebido?

Exercício / Exemplo
• Qual o montante acumulado ao final de 8
meses de uma aplicação de R$ 6.000,00 a uma
taxa de juros compostos de 1,2% a.m.?

• Calcule quanto deveria ser aplicado hoje para
possibilitar um resgate de R$ 10.000,00 daqui
a um ano, a uma taxa de juros compostos
constante de 2,2%a.m.

• Sabendo que R$ 1.000,00 foram transformados
em R$ 2.000,00, graças a uma taxa de 4% a.m.,
calcule o prazo dessa operação.

• Um investimento de R$ 100.000,00 por 6
meses rendeu R$ 41.852,00 de juros. Calcule a
taxa a que este capital estava aplicado.

Exercícios
1) Um investimento de R$ 650.000,00 será
remunerado a uma taxa de juros
composto de 1,35% a.m. durante os 4
primeiros meses e com a taxa de 1,24%
a.m. durante os oito meses restantes da
operação. Calcule o valor do resgate
após um ano de aplicação.

2) João vai necessitar de R$ 12.000,00 para
a compra de um equipamento daqui a 5
meses. O banco em que João possui
conta oferece remuneração de 2,5%a.m.
para aplicação. Quanto João terá que
investir hoje para garantir a compra do
equipamento tão esperado?

Exercícios

3) Qual a taxa de juro composto que permite dobrar o capital ao
final de 2 anos?

4) Uma aplicação de R$ 3.600,00, com taxa de juro de 1,69%
a.m. gerou um resgate de R$ 4.116,50. Calcule quanto tempo
foi necessário para isso.

Desconto Racional (“por dentro”)

Desconto Racional
• Calcule o desconto de um título de valor nominal de US$
600,00, descontado 5 meses antes do vencimento a uma taxa
de desconto racional composto igual a 4 % a.m.

Desconto Comercial (“por fora”)

Desconto Comercial
• Uma duplicata de R$ 8.000,00 foi descontada 4 meses antes
do vencimento, a uma taxa de desconto comercial composto
de 3 % a.m.. Calcule o valor líquido da operação e o desconto
sofrido pelo título.

Exercícios

1. Qual o desconto racional de um título no valor de R$
20.000,00 se ele for pago 2 meses antes do vencimento a
uma taxa de 3,5 % a.m. no regime de juros compostos? Qual
o valor a ser recebido?

2. Um título será quitado 6 meses antes de seu vencimento.
Sabendo que a taxa de juros cobrada “por dentro” é de 5 %
a.m. e que o valor líquido recebido foi de R$ 880,50, informe
o valor nominal do título.

3. João comprou um imóvel na construção prometendo pagar
R$ 100.000,00 na entrega das chaves. Agora, faltando 4
meses para a entrega das chaves, João recebeu um dinheiro
extra e resolveu quitar logo essa dívida. A construtora
propõe um desconto bancário de 2% a.m.. Quanto João terá
que desembolsar hoje?

4. Um cheque de R$ 15.000 descontado 3 meses antes do
prazo a uma taxa por fora de 7% a.m. resulta em que valor
líquido?

Exercícios

Taxa Efetiva

• Taxa Efetiva é a taxa de juros em que a unidade
referencial de seu tempo coincide com a unidade
de tempo dos períodos de capitalização.

• Exemplos:
– 2% ao mês, capitalizados mensalmente;
– 3% ao trimestre, capitalizados trimestralmente;
– 6% ao semestre, capitalizados semestralmente;
– 12% ao ano, capitalizados anualmente.

Taxas Proporcionais – Juros
Simples
• Taxas Proporcionais são taxas de juros
fornecidas em unidade de tempo diferentes que,
ao serem aplicadas a um mesmo principal
durante um mesmo prazo, produzem um mesmo
montante acumulado no final daquele prazo, no
regime de juros simples.

12% ao ano = 6% ao semestre = 3% ao trimestre = 1% ao mês

Isso só vale para Juros Simples!!!

Exemplos
• Calcule as taxas proporcionais
em meses:

– 1% ao dia → 30% ao mês

– 12% ao ano → 1% ao mês

– 6% ao mês → 6% ao mês

Taxas Equivalentes – Juros Compostos
• Taxas Equivalentes são taxas de juros fornecidas
em unidades de tempo diferentes que ao serem
aplicadas a um mesmo principal durante um
mesmo prazo produzem um mesmo montante
acumulado no final daquele prazo, no regime de
juros compostos.
(1+iano) = (1+isemestre)2 = (1+itrimestre)4 = (1+imês)12 = (1+idia)360

12,6825% ao ano = 6,1520% ao semestre = 1,0000% ao mês

Isso só vale para Juros Compostos!!!

Taxa Nominal
• Taxa Nominal é a taxa de juros em que a unidade
referencial de seu tempo não coincide com a
unidade de tempo dos períodos de capitalização.

• Exemplo
– 12% ao ano, capitalizados mensalmente;
– 24% ao ano, capitalizados semestralmente;
– 10% ao ano, capitalizados trimestralmente;
– 18% ao ano, capitalizados diariamente.

Taxa Efetiva e Taxa Nominal
• 12% ao ano, capitalizados mensalmente; Nominal

Efetiva

• 18% ao ano, capitalizados diariamente; Nominal

Efetiva

Não se faz conta com Taxa Nominal.
Deve-se sempre encontrar a Taxa Efetiva.

Exercícios
• Calcule as Taxas Proporcionais:

– 2% ao mês, em anos;

– 1,5% ao dia em semestres;

– 30% ao ano, em trimestres;

Exercícios
• Calcule as Taxas Equivalentes:

– 2% ao mês, em anos;

– 1,5% ao dia em semestres;

– 30% ao ano, em trimestres;

Fluxo de Caixa – Séries Uniformes

Tipos de Séries de Pagamento
• Postecipadas
– São aquelas em que os pagamentos ocorrem no
final de cada período e não na origem.

tempo
0 1 2 3 … n-1 n

É a mais comum!

• Antecipadas
– Os pagamentos são feitos no início de cada
período respectivo.

tempo
0 1 2 3 … n-1 n

• Diferidas
– O período de carência constitui-se em um prazo que
separa o início da operação do período de pagamento
da primeira parcela.
Período de Carência

tempo
0 1 2 3 … n-1 n

VP
Fórmulas

PMT

tempo
0 1 2 3 … n-1 n

ipada
Postec

Exemplo

R$ 1.000,00 = 36 x R$ 42,53
taxa de 2,45% a.m.

pada
Posteci

Exemplo
Quanto custa este veículo se o
dono pede 24 x de R$ 499,00,
sem entrada, e a taxa de juros
média cobrada neste setor está
atualmente em 1,99% a.m.?

pada
Posteci

ipada
Postec
Exercícios

1. O Banco XYZ está oferecendo um empréstimo de R$
10.000,00 para pagar em 36 x com taxa de 3 % a.m. Qual
o valor da prestação?

2. A Caixa Econômica cobra 1,75% a.m. nos financiamentos
imobiliários. Se podemos pagar prestações de até R$
700,00 e o prazo máximo disponível é de 360 meses, qual
o valor que podemos pegar emprestado?

Exercícios ipada
Postec
3. Quanto custa uma TV de LED que é
anunciada em 12 parcelas de R$ 220,00
a 4,5% a.m.?

4. Considerando a mesma taxa de juros,
quanto custaria se o parcelamento da
mesma TV fosse feito em 18 meses?

VP
Séries Diferidas
Período de Carência

tempo
0 1 2 3 … n-1 n

VPcorrigido

0 1

tempo
0 1 2 3 … n-1 n

VP Período de Carência Fórmulas

tempo
0 1 2 3 … n-1 n

i da
f er
Di VPcorrigido

0 1

tempo
0 1 2 3 … n-1 n

VPcorrigido
Fórmulas
0 1

tempo
0 1 2 3 … n-1 n

i da
f er
Di

tempo
0 1 … n-1 n

Uma vez corrigido o VP resolve-se como uma série Postecipada normal!

ida
f er
Di

Exemplos
Um curso oferece uma promoção de inicie o curso
agora e só comece a pagar daqui a 3 meses.

Se o valor do curso é de R$ 3.000,00, a taxa de juros
cobrada é de 2,0 % a.m. e o curso deve ser pago em
6 parcelas, determine o valor dessas parcelas.

ida
Fluxo de Caixa do Exemplo Di
fer
VP = R$ 3.000,00

Período de Carência = 3 meses

tempo
0 1 2 3 … 8 9

Período de Pagamento = 6 meses

ida
fer
VP = R$ 3.000,00 VPcorrigido

0 1 5 6

tempo
0 1 2 3 … 8 9

Período de Pagamento = 6 meses

ida
fer

tempo
0 1 2 3 4 5 6

ida
fer
Exercício Di

1. O BNDES financia caminhões com carência de 6
meses. Se um caminhão custa R$ 120.000,00,
podendo ser financiado até 70% com juros de
2,85%a.m. em 36 meses após a carência,
quanto custará a prestação?

Matemática Financeira 2012_02

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