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Recife-PE, 10 de Agosto de 2017
(Juro e Capitalização Simples)
1. Calcule os juros simples obtidos nas seguintes condições:
Solução. Aplicando a fórmula para juros simples em cada caso, com a
unidade de tempo de aplicação igual à unidade de tempo da taxa,
temos:
a) Um capital de R$220,00 é aplicado por três meses, à taxa de 4% a.m.
a)
40
,
26
$
R
)
3
).(
04
,
0
).(
220
(
t
.
i
.
C
J
220
C
04
,
0
i
meses
3
t












.
b) Um capital de R$540,00 é aplicado por um ano, à taxa de 5% a.m.
b)
00
,
324
$
R
)
12
).(
05
,
0
).(
540
(
t
.
i
.
C
J
5400
C
05
,
0
i
meses
12
ano
1
t













.
2. Obtenha o montante de uma dívida, contraída a juros simples, nas seguintes
condições:
Solução. Aplicando a fórmula para montante a juros simples, em cada caso, com a
unidade de tempo da dívida igual à unidade de tempo da taxa, temos:
a) a) capital: R$400,00; taxa: 48% ao ano; prazo: 5 meses;
.
b) capital: R$180,00; taxa: 72% ao semestre; prazo: 8 meses;
.
)
 
00
,
480
$
R
)
2
,
1
).(
400
(
)
20
,
0
1
).(
400
(
M
5
.
04
,
0
1
).
400
(
12
5
.
48
,
0
1
).
400
(
)
t
.
i
1
(
C
t
.
i
.
C
C
J
C
M
400
C
48
,
0
i
ano
12
5
meses
5
t

































)
 
80
,
352
$
R
)
96
,
1
).(
180
(
)
96
,
0
1
).(
180
(
M
8
.
12
,
0
1
).
180
(
6
8
.
72
,
0
1
).
180
(
)
t
.
i
1
(
C
t
.
i
.
C
C
J
C
M
180
C
72
,
0
i
semestre
6
8
meses
8
t

































3. Um capital aplicado a juros simples durante dois anos e meio, à taxa de 4% a.m.,
gerou, no período, um montante de R$17600,00.
a) Qual foi o capital aplicado?
Solução. Escrevendo a fórmula e do montante a juros simples, temos:
a)
.
b) Qual teria sido o montante gerado se a taxa de rendimento mensal fosse
reduzida à metade?
Solução. A taxa de 4% a.m. fosse reduzida a 2% a.m. teríamos:
b)
.
)
)
. .
.
.
  00
,
8000
$
2
,
2
17600
2
,
1
1
17600
30
.
04
,
0
1
.
17600
17600
04
,
0
30
6
2
R
C
C
M
i
meses
meses
e
anos
t

















.
    00
,
12800
$
R
6
,
1
).
8000
(
30
.
02
,
0
1
).
8000
(
M
00
,
8000
M
02
,
0
i
meses
30
meses
6
e
anos
2
t














.
4. Um boleto de mensalidade escolar, com vencimento para
10/08/2012, possui valor nominal de R$740,00.
a) Se o boleto for pago até o dia 20/07/2012, o valor a ser cobrado será R$703,00. Qual
o percentual do desconto concedido?
Solução. Como há um desconto, a fórmula para o valor final é Vf =Vi.(1 – i), onde o
sinal negativo indica o desconto.
a
.
.
. .
.
.
.
b)
.
c)
.
  %
5
05
,
0
95
,
0
1
740
703
1
1
.
740
703
740
703

















i
i
i
i
V
V
i
f
.
b) Se o boleto for pago depois do dia 10/08/2012, haverá cobrança de juros
de 0,25% sobre o valor nominal do boleto, por dia de atraso. Se for pago
com 20 dias de atraso, qual o valor a ser cobrado?
Solução. O valor cobrado será um montante calculado a juros simples
com t = 20 dias e i = 0,25% a.d.
      00
,
777
$
R
05
,
1
).
740
(
05
,
0
1
).
740
(
20
.
0025
,
0
1
).
740
(
M
740
M
0025
,
0
i
dias
20
t















.
5. Um capital é aplicado, a juros simples, à taxa de 5% a.m. Quanto tempo, no
mínimo, ele deverá ficar aplicado, a fim de que seja possível resgatar:
a) O dobro da quantia aplicada? b) O triplo da quantia aplicada? c) dez
vezes a quantia aplicada?
5. Um capital é aplicado, a juros simples, à taxa de 5% a.m. Quanto tempo, no mínimo,
ele deverá ficar aplicado, a fim de que seja possível resgatar:
a) O dobro da quantia aplicada? b) O triplo da quantia aplicada? c) dez
vezes a quantia aplicada?
Solução. Considerando C o capital a ser aplicado, temos:
a)
.
b)
.
)
)
. .
.
.
  meses
20
05
,
0
1
t
2
t
05
,
0
1
t
.
05
,
0
1
.
C
C
2
)
t
.
i
1
(
C
M
C
2
M
05
,
0
i
?
t




















  meses
40
05
,
0
2
t
3
t
05
,
0
1
t
.
05
,
0
1
.
C
C
3
)
t
.
i
1
(
C
M
C
3
M
05
,
0
i
?
t




















  meses
180
05
,
0
9
t
10
t
05
,
0
1
t
.
05
,
0
1
.
C
C
10
)
t
.
i
1
(
C
M
C
10
M
05
,
0
i
?
t




















)
.
b)
.
c)
.
6. Lia fez compras em uma loja no valor total de R$2400,00. Há duas opções para
pagamento:
- à vista, com 3% de desconto;
- entrada de R$1200,00 mais uma parcela de R$1200,00 um mês após a compra.
a)
.
b)
.
)
)
. .
.
.
)
.
b)
.
c)
.
a) Que valor Lia pagará se optar pelo pagamento à vista?
Solução. Com o pagamento à vista há o desconto de 3%.
    00
,
2328
$
R
97
,
0
.
2400
V
03
,
0
1
.
2400
V
03
,
0
i
2400
V
?
V
f
f
i
f














.
b) Que taxa mensal de juros simples a loja embute no pagamento parcelado?
Solução. O valor à vista é de R$2328,00. Com a entrada de R$1200,00 faltaria ser
pago R$1128,00. Mas será pago outra parcela de R$1200,00. Ou seja, o valor que
faltava sofre um juros no tempo igual a 1 mês.
  %
3
,
6
063
,
0
i
1
063
,
1
i
1128
1200
i
1
1
.
i
1
.
1128
1200
?
i
1128
V
1200
V
i
f




















.
7. Uma loja oferece duas opções de pagamento:
- 1ª opção: à vista com desconto de 15% no valor da compra;
- 2ª opção: em duas parcelas iguais, a primeira paga no momento da compra e a
segunda, passados dois meses da data da compra. Indique o inteiro mais próximo do
valor percentual da taxa de juros mensais simples embutidos na 2ª opção.
.
a)
.
b)
.
)
)
. .
.
.
)
.
b)
.
c)
.
Solução. Considerando V o valor da compra, na 1ª opção o pagamento
seria de P =V(1 – 0,15) = 0,85V.
Na 2ª opção, no ato seria pago P1 = V/2 e faltaria P2 = V/2 = 0,5V. Mas,
sem os juros, e, já tendo pagado V/2, deveria faltar a diferença 0,85V –
0,5V = 0,35V. No entanto a loja espera receber em 2 meses P2 = 0,5V.
.
.
  %
21
214
,
0
2
428
,
0
i
1
428
,
1
i
2
35
,
0
5
,
0
i
2
1
2
.
i
1
.
V
35
,
0
V
5
,
0
?
i
V
35
,
0
V
V
5
,
0
V
i
f





















. Inteiro = 21.
Inteiro = 21.
8. Calcule os juros e o montante de uma aplicação financeira a juros compostos, nas
seguintes condições:
a)
.
b)
.
)
)
. .
.
.
)
.
b)
.
c)
.
Solução. Aplicando a fórmula para juros simples em cada caso, com a unidade de
tempo de aplicação igual à unidade de tempo da taxa, temos:
a) capital: R$300,00; taxa: 2% a.m.; prazo: 4 meses; b) capital: R$2500,00; taxa: 5%
a.m.; prazo: 1 ano;
c) capital: R$100,00; taxa: 16% a.a.; prazo: 3 anos;
.
.
. Inteiro = 21.
a)
     
72
,
24
$
R
00
,
300
$
R
72
,
324
$
R
C
M
J
72
,
324
$
R
0824
,
1
).
300
(
02
,
1
).
300
(
02
,
0
1
).
300
(
)
i
1
.(
C
M
300
C
02
,
0
i
meses
4
t
4
4
t





















.
b)
     
50
,
1989
$
R
00
,
2500
$
R
50
,
4489
$
R
C
M
J
50
,
4489
$
R
7958
,
1
).
2500
(
05
,
1
).
2500
(
05
,
0
1
).
2500
(
2500
C
05
,
0
i
meses
12
ano
1
t
4
12



















.
c)
      08
,
156
$
R
5608
,
1
).
100
(
16
,
1
).
100
(
16
,
0
1
).
100
(
100
C
16
,
0
i
anos
3
t
3
3












.
8. Calcule os juros e o montante de uma aplicação financeira a juros compostos, nas
seguintes condições:
9. Uma poupança especial rende 1% ao mês, em regime de juros
compostos. Décio aplicou R$480,00 nessa poupança e retirou a quantia um
ano depois.
a) Que valor Décio retirou? b) Que valor Décio teria retirado, se a taxa
de juros fosse de 2% a.m.?
a)
      88
,
540
$
R
1268
,
1
).
480
(
01
,
1
).
480
(
01
,
0
1
).
480
(
)
i
1
.(
C
M
480
C
01
,
0
i
meses
12
ano
1
t
12
12
t

















.
b)
      73
,
608
$
R
2682
,
1
).
480
(
02
,
1
).
480
(
02
,
0
1
).
480
(
)
i
1
.(
C
M
480
C
02
,
0
i
meses
12
ano
1
t
12
12
t

















.
10. Ana emprestou x reais de uma amiga, prometendo devolver a quantia
emprestada, acrescida de juros, após oito meses. O regime combinado foi de juros
compostos, e a taxa, de 2,5% a.m. Se após o prazo combinadoAna quitou a dívida
com R$500,00, determine:
a) O número inteiro mais próximo de x; b) O valor que Ana deveria
devolver á amiga, caso tivesse estabelecido regime de juros simples.
Solução. Aplicando as fórmulas de juros simples e compostos quando
necessário, temos:
a)
.
.
a)
  34
,
410
$
R
2184
,
1
500
x
025
,
1
.
x
)
500
(
)
025
,
0
1
.(
x
500
500
M
x
C
025
,
0
i
meses
8
t
8
8



















. Inteiro x = 410.
Inteiro x = 410
b)
40
,
,
492
$
R
)
2
,
1
).(
34
,
410
(
M
)
2
,
0
1
).(
34
,
410
(
M
)
8
.
025
,
0
1
).(
34
,
410
(
M
34
,
410
C
025
,
0
i
meses
8
t

















.
11) Um capital de R$200,00 é aplicado a juros compostos, à taxa de 5% a.m., gerando
um montante de R$268,00. (Use log1,34 = 0,13; log1,05 = 0,02 e log2,25 = 0,35).
a) Qual é o tempo em que esse capital ficou aplicado?
Solução. Aplicando as fórmulas de juros simples e compostos quando
necessário, temos:
a)
.
.
a)
b)
.
a)
meses
5
,
6
02
,
0
13
,
0
05
,
1
log
34
,
1
log
34
,
1
log
t
34
,
1
)
05
,
1
(
200
268
)
05
,
1
(
)
05
,
0
1
.(
200
268 05
,
1
t
t
t











.
b) Qual o nº mínimo de meses necessário para que o montante fosse de
R$450,00?
b)
meses
5
,
17
02
,
0
35
,
0
05
,
1
log
25
,
2
log
25
,
2
log
t
25
,
2
)
05
,
1
(
200
450
)
05
,
1
(
)
05
,
1
.(
200
450 05
,
1
t
t
t










.
Logo, no mínimo 18 meses.
12) Uma dívida, contraída a juros compostos, aumentou de R$200,00 para R$242,00
em dois meses. Admitindo que a taxa mensal de juros é fixa, determine:
a)
.
.
a)
b)
.
a)
.
b)
.
a) O valor da taxa. b) O montante dessa dívida meio
ano após a data em que foi contraída.
Solução. Aplicando as fórmulas de juros compostos, temos:
a)
.
m
.
a
%
10
1
,
0
i
1
1
,
1
i
10
11
i
1
100
121
i
1
100
121
)
i
1
(
)
i
1
.(
200
242 2
2

















.
b)
30
,
354
$
R
)
7715
,
1
).(
200
(
)
1
,
1
).(
200
(
M
)
1
,
0
1
.(
200
M
meses
6
ano
meio
6
6







.
JURO COMPOSTO
 Juros Composto
 Juro (J)
 Taxa de juro (i)
 Período de tempo (n)
 Montante (FV)
 Prestações ou Rendas (PMT)
 Valor Presente Líquido (NPV)
 Taxa Interna de Retorno (IRR)
Siglas
 3. Juros Composto
 3.1 Formula dos Juros Compostos
 3.2Taxas Equivalentes
 3.3Taxa Nominal eTaxa Efetiva
Índice
3. Juros Compostos
O regime de juros compostos considera que os
juros formados em cada período são acrescidos ao
capital formando o montante (capital mais juros) do
período.
Esse montante, por sua vez passará render juros
no período seguinte formando um novo montante
(constituído do capital inicial, dos juros acumulados e
dos juros sobre os juros formados em períodos
anteriores), e assim por diante.
Juro: Conceito
Define-se juros como sendo:
 remuneração do capital
emprestado em atividades
produtivas;
 custo do capital de terceiros;
 remuneração paga pelas
instituições financeiras sobre o
capital nelas aplicado.
3.1 Formula do Juros Compostos
No regime de juros compostos, os juros são capitalizados, produzindo juros
sobre juro periodicamente.
Aqui usaremos as siglas PV (Valor
Presente), que corresponde ao Capital
estudado em Juros Simples, e FV (Valor
Futuro) correspondente ao Montante.
Fórmulas:
e
FV= PV (1 + i)n
PV= FV_
(1 + i)n
3.1 Formula do Juros Compostos
onde (1 + i)n é o fator de capitalização (ou de valor futuro) a juros
compostos, e 1/(1 +i)n o fator de atualização (ou de valor presente) a juros
compostos.
e
FV= PV (1 + i)n
PV= FV_
(1 + i)n
Por outro lado, sabe-se que o valor
monetário dos juros (J) é apurado pela
diferença entre o montante (FV) e o
capital (PV), podendo-se obter o seu
resultado também pela seguinte
expressão:
J = FV – PV
Como: FV = PV (1 + i)n , colocando-se
PV em evidência:
J = PV [(1 + i)n - 1]
1. Se uma pessoa deseja obter $ 27.500,00 dentro
de um ano, quanto deverá ela depositar hoje numa
alternativa de poupança que rende 1,7% de juros
compostos ao mês?
FV = R$ 27.500,00
N = 1 ano (12 meses)
I = 1,7% a.m.
PV= FV__
(1 + i)n
PV =?
PV= 27.500,00__
(1 + 0,017)12
= 27.500,00_
(1 + 0,017)
PV= 27.500,00__
1,224197
= 22.463,70
27500 CHS FV 1,7 i 12 n
PV 22.463,70
2. Qual o valor de resgate de uma aplicação de
$12.000,00 em um título pelo prazo de 8 meses à
taxa de juros composta de 3,5% a.m.?
PV =R$ 12.000,00
N = 8 meses
I = 3,5% a.m..
FV= PV (1 + i)
FV =?
n
=
FV= 12.000,00 (1 + 0,035)
8
FV= 12.000,00 x 1,316809
FV= $15.801,71
12000 CHS PV 3,5 i 8 n
FV 15.801,71
3. Determinar a taxa mensal composta de juros de
uma aplicação de $40.000,00 que produz um
montante de $43.894,63 ao final de um
quadrimestre.
PV = R$ $40.000,00
FV =R$43.894,63
N =4 meses
FV__ = (1 + i) n
PV
PV = i 1,097366 = (1 + i) 4
FV = PV (1 + i)n
43.894,63__ = (1 + i) n
40.000,00
= 1,097366 = (1 + i) 4
1+i 1,0235 = i =0,0235 ou 2,35% a.m.
40000 CHS PV 43894,63 FV 4 n
i 2,35%
4. Uma aplicação de $22.000,00 efetuada em certa
data produz, á taxa composta de juros de 2,4% ao
mês, um montante de $ 26.596,40 em certa data
futura. Calcular o prazo da operação.
PV = R$ $22.000,00
FV =R$26.596,40
N =?
FV__ = (1 + i) n
PV
i = 2,4% a.m. 1,208927273 = (1,024)n , aplicando-se logaritmos,
tem-se:
FV = PV (1 + i)n
26.596,40__ = (1,024)n
22.000,00
log 1,208927273 = n x log 1,024
n= log 1,208927273
log 1,024
= _0,189733415_
0,023716527
n = 8 meses
220000 CHS PV 26.596,40 FVV 2,4 i
n 8 meses
5. Determinar o juro pago de um empréstimo de
$88.000,00 pelo prazo de 5 meses à taxa composta
de 4,5% ao mês.
PV = R$ $88.000,00
J = 88.000,00 [(1 + i) n – 1]
i = 4,5% a.m.
J = PV (1 + i)n-1
J =?
N = 5 meses
J = 88.000,00 [(1,045)5 n – 1]
J = 88.000,00 (0,246182) =
$ 21.664,02
3.2Taxas Equivalentes
Ao se tratar de juros simples, foi
comentado que a taxa equivalente é a
própria taxa proporcional da operação. Por
exemplo, a taxa de 3% ao mês e 9% ao
trimestre são ditas proporcionais.
São também equivalentes, pois
promove a igualdade dos montantes de
um mesmo capital ao final de certo
período de tempo.
3.2Taxas Equivalentes
Por exemplo, em juros simples um capital de $80.000,00 produz o mesmo montante em
qualquer data se capitalizado a 3% a.m. e 9% a.t.
n = 3 meses
FV (3% a.m.) = 80.000,00 ( 1 + 0,03 x 3) = $ 87.200,00
FV (9% a.t.) = 80.000,00 (1 + 0,09 x 1) = $ 87.200,00
O conceito enunciado de taxa equivalente
permanece válido para o regime de juros
compostos diferenciando-se, no entanto, a fórmula
de cálculo da taxa de juros.
Podemos utilizar a seguinte fórmula para encontrar
a taxa equivalente:
i quero = [(1 +
i)quero/tenho – 1] x100
Exemplo: 2% ao mês e 26,82% ao ano são Equivalentes:.
i anual = [(1,02)360/30 – 1] x 100
i anual = [(1,02)12 – 1] x 100
i anual = [1,2682 – 1] x 100
i anual = 0,2682 x 100
i anual = 26,82%
1,02 enter 360 (quero) enter
30 (tenho) divide yx 1- 100%
3.3 Taxa Nominal eTaxa Efetiva
TAXA NOMINAL - é aquela consignada nos contratos
relativos a operações financeiras. É também conhecida como
taxa contratada ou taxa oferecida.
Na taxa nominal emprega-se uma unidade de tempo
que não coincide com a unidade de tempo dos períodos de
capitalização.A taxa nominal é quase sempre fornecida em
termos anuais.Assim, por exemplo:
•12% ao ano, com capitalização mensal;
• 24% ao ano, com capitalização semestral;
• 10% ao ano, com capitalização trimestral;
• 18% ao ano, capitalizados diariamente
A taxa nominal é muito
utilizada no mercado, quando
da formalização dos
negócios.
Não é, porém, utilizada
diretamente nos cálculos, por
não corresponder, de fato, ao
ganho/custo financeiro do
negócio.
3.3 Taxa Nominal eTaxa Efetiva
TAXA EFETIVA – A Taxa Nominal traz em seu enunciado uma
taxa efetiva implícita, que é a taxa de juros a ser aplicada em
cada período de capitalização. E essa taxa é sempre calculada
de forma proporcional, no regime de juros simples.
Nos exemplos anteriores as taxas efetivas que estão
implícitas nos enunciados das taxas nominais são:
•12% ao ano = 12% a.a. / 12 meses = 1% a.m.
• 24% ao ano = 24% a.a. / 2 semestres = 12% a.s.
• 10% ao ano = 10% a.a. / 4 trimestres = 2,5% aotrimestre
• 18% ao ano = 18% a.a. / 360 dias = 0,050% ao dia Devem
3.3 Taxa Nominal eTaxa Efetiva
Devemos então abandonar os valores das taxas nominais e
realizar todos os cálculos financeiros, no regime de juros
compostos.
A taxa anual equivalente a esta taxa efetiva implícita é sempre
maior que a taxa nominal que lhe deu origem, pois esta
equivalência é sempre feita no regime de juros compostos.
•Fórmula daTaxa Efetiva: (if = (1 + i/q)q – 1)
•12% a.a. = (1 + 0,12/12)12 – 1 = (1,01)12 – 1 = 12,68% a.a.
• 24% a.a. = (1 + 0,24/2)2 – 1 = (1,12)2 – 1 = 25,44% a.a.
•10% a.a. = (1 + 0,10/4)4 – 1 = (1,025)4 – 1 = 10,38% a.a.
• 18% a.a. = (1 + 0,18/360)360 – 1 = (1,0005)360 – 1 = 19,72% a.a.
Exemplo: A caderneta de poupança paga juros anuais de 6%
com capitalização mensal a base de 0,5%. Calcular a
rentabilidade efetiva desta aplicação financeira.
Taxa Efetiva: if = (1 + i/q)q – 1
= (1 + 0,06/12)12 –1
= (1,005)12 = 6,17% a.a.
DESCONTO
Vr: Valor atual ( ou valor descontado racional)
n:Número de períodos antes do vencimento
i: Taxa de desconto
Dr: Valor do desconto
Dc: desconto comercial
Vc: valor atual (ou valor descontado comercial)
Siglas
 4. Desconto
 4.1 Desconto Simples
 4.1.1Desconto Racional Ou Desconto “Por Dentro”
 4.1.2 Desconto Racional Ou Desconto “Por Fora”
Índice
4. Desconto
Entende-se por valor nominal o valor de resgate, ou
seja, o valor definido para um título em sua data de
vencimento.
Representa, em outras palavras, o próprio montante
da operação.
A operação de se liquidar um título antes de seu
vencimento envolve geralmente uma recompensa, ou um
desconto pelo pagamento antecipado. Desta maneira, o
desconto pode ser entendido como a diferença entre o valor
nominal de um título e o seu valor atualizado apurado no
períodos antes do seu vencimento.
4. Desconto
Por outro lado, o valor descontado de um título é o seu valor atual na data do
desconto, sendo determinado pela diferença entre o valor nominal e o
desconto, ou seja:
As operações de desconto podem ser realizadas
tanto sob o regime de juros simples como no de
juros compostos. O uso do desconto simples é
amplamente adotado em operações de curto
prazo, restringindo-se o desconto composto para
as operações de longo prazo.
Valor Descontado =Valor Nominal – Desconto
DESCONO
SIMPLES
Desconto Comercial Ou Desconto
“Por Fora”
É o desconto obtido pela diferença entre o valor nominal e o valor atual de
um compromisso que seja saldado no períodos antes do seu vencimento.
Valor Descontado é a diferença entre o valor nominal e o
desconto.
N: Valor nominal (ou montante ou valor futuro)
Vr: Valor atual ( ou valor descontado racional)
n: Número de períodos antes do vencimento
i: Taxa de desconto
Dr: Valor do desconto
Desconto Racional Ou Desconto “Por
Dentro” Formula e Aplicação
Temos: Vr = N
1 + i x n
Tem-se: Dr = N –Vr
Dr = N - N
1 + i x n
Dr = N (1+ i x n) – N
1 + i x n
Dr = N x i x n)
1 + i x n
Esta fórmula permite que seja obtido o valor do desconto racional, calculado para um
dado valor nominal (N), a uma taxa de juros (i) e para um prazo de antecipação (n).
O valor do desconto “por dentro” também é obtido multiplicando-se o Capital (ou
Valor Presente) pela taxa de desconto i, e esse produto pelo prazo da operação n:
Dr = C x i x n
Desconto Racional Ou Desconto “Por
Dentro” Formula e Aplicação
Como o valor presente é sempre incógnita, sendo normalmente conhecido o
Valor Nominal, normalmente utilizaremos a fórmula citada anteriormente.
O valor descontado de acordo com a definição, é dado por:
Vr = N – Dr
Vr = N - N x i x n
1 + i x n
Dr = N (1+ i x n) – N x i x n
1 + i x n
Vr = N
1 + i x n
OBSERVE-SE QUE, EM JUROS SIMPLES, O VALOR
DESCONTADO É O PRÓPRIO VALOR ATUAL.
1. Uma pessoa pretende saldar um título de $ 5.500,00, 3
meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de
juros corrente é de 40%a.a., qual o desconto e quanto vai
obter?
Temos: N = 5.500,00 n = 3 meses i = 40% a.a. / 3,3333% a.m.
Calcular:
a) O desconto:
Dr = N x i x n
1 + i x n
Dr = 5.500,00 x 0,033 x 3
1 + 0,033 x 3
5.500,00 x 0,10
1 + 0,10
550,00
1,10
Dr = $ 500,00
b) Valor Descontado
Vr = 5.500,00 – 500,00 = $ 5.000,00
ou
Vr = N
1 + i x n
5.500,00
1 + 0,10
5.000,00
1 ,10
= $ 5.000,00
Note-se então que, no
desconto comercial, é
preciso distinguir entre a
taxa de desconto
utilizada na operação e
a taxa implícita que é
cobrada de fato.
Desconto Comercial Ou Desconto
“Por Fora”
É o desconto obtido pela diferença
entre o valor nominal e o valor atual
de um compromisso que seja
saldado n períodos antes do seu
vencimento.
Observe que, ao
contrário dos juros “por
dentro”, que calculam os
encargos sobre o capital
efetivamente liberado na
operação, ou seja, sobre
o valor presente, o
critério “por fora” apura
os juros sobre o
montante, indicando
custos adicionais ao
tomador de recursos.
Desconto Racional Ou Desconto “Por
Fora” Formula e Aplicação
Dc: desconto comercial
Vc: valor atual (ou valor descontado comercial)
Obtém-se o valor do desconto comercial aplicando-se a
definição:
Dc = N x i x n
E o valor descontado comercial:
Vc = N – Dc Vc = N - N x i x n
Vc = N (1 – i x n)
1. Consideraremos o exemplo do item anterior, em que o título
de $ 5.500,00é descontado à taxa de 40% a.a., 3 meses antes
do vencimento.
Dc = 5.500,00 x 0,0333 x 3 = $ 550,00
a) Desconto Comercial
Dc = N x i x n
b) Desconto Comercial
Vc = N (1 – i x n)
Vc = 5.500,00 x (1 - 0,0333 x 3)
Vc = 5.500,00 x 0,9
Vc = $ 4.950,00
Então a pessoa vai receber $ 4.950,00 pelo desconto comercial, que é menos que os $
5.000,00 que receberia se o desconto fosse racional.
É evidente, portanto, que ao se fazer um desconto
comercial a taxa de desconto utilizada não é mais igual à
taxa de juros simples capaz de reproduzir o montante.
Observa-se que, se o banco ganha $550,00 sobre um valor
de $ 4.950,00, em 3 meses, a taxa de juros da operação é:
i = 550,00 = 0,111 ao trimestre
4.950,00
ou i = 0,044 ao ano
i = 550,00 = 0,111 ao trimestre
i= 550,0 = 0,111 ao trimestre
4.950,00
ou i = 0,044 ao ano

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Cálculos de juros simples e compostos para aplicações financeiras

  • 1. Recife-PE, 10 de Agosto de 2017 (Juro e Capitalização Simples)
  • 2. 1. Calcule os juros simples obtidos nas seguintes condições: Solução. Aplicando a fórmula para juros simples em cada caso, com a unidade de tempo de aplicação igual à unidade de tempo da taxa, temos: a) Um capital de R$220,00 é aplicado por três meses, à taxa de 4% a.m. a) 40 , 26 $ R ) 3 ).( 04 , 0 ).( 220 ( t . i . C J 220 C 04 , 0 i meses 3 t             . b) Um capital de R$540,00 é aplicado por um ano, à taxa de 5% a.m. b) 00 , 324 $ R ) 12 ).( 05 , 0 ).( 540 ( t . i . C J 5400 C 05 , 0 i meses 12 ano 1 t              .
  • 3. 2. Obtenha o montante de uma dívida, contraída a juros simples, nas seguintes condições: Solução. Aplicando a fórmula para montante a juros simples, em cada caso, com a unidade de tempo da dívida igual à unidade de tempo da taxa, temos: a) a) capital: R$400,00; taxa: 48% ao ano; prazo: 5 meses; . b) capital: R$180,00; taxa: 72% ao semestre; prazo: 8 meses; . )   00 , 480 $ R ) 2 , 1 ).( 400 ( ) 20 , 0 1 ).( 400 ( M 5 . 04 , 0 1 ). 400 ( 12 5 . 48 , 0 1 ). 400 ( ) t . i 1 ( C t . i . C C J C M 400 C 48 , 0 i ano 12 5 meses 5 t                                  )   80 , 352 $ R ) 96 , 1 ).( 180 ( ) 96 , 0 1 ).( 180 ( M 8 . 12 , 0 1 ). 180 ( 6 8 . 72 , 0 1 ). 180 ( ) t . i 1 ( C t . i . C C J C M 180 C 72 , 0 i semestre 6 8 meses 8 t                                 
  • 4. 3. Um capital aplicado a juros simples durante dois anos e meio, à taxa de 4% a.m., gerou, no período, um montante de R$17600,00. a) Qual foi o capital aplicado? Solução. Escrevendo a fórmula e do montante a juros simples, temos: a) . b) Qual teria sido o montante gerado se a taxa de rendimento mensal fosse reduzida à metade? Solução. A taxa de 4% a.m. fosse reduzida a 2% a.m. teríamos: b) . ) ) . . . .   00 , 8000 $ 2 , 2 17600 2 , 1 1 17600 30 . 04 , 0 1 . 17600 17600 04 , 0 30 6 2 R C C M i meses meses e anos t                  .     00 , 12800 $ R 6 , 1 ). 8000 ( 30 . 02 , 0 1 ). 8000 ( M 00 , 8000 M 02 , 0 i meses 30 meses 6 e anos 2 t               .
  • 5. 4. Um boleto de mensalidade escolar, com vencimento para 10/08/2012, possui valor nominal de R$740,00. a) Se o boleto for pago até o dia 20/07/2012, o valor a ser cobrado será R$703,00. Qual o percentual do desconto concedido? Solução. Como há um desconto, a fórmula para o valor final é Vf =Vi.(1 – i), onde o sinal negativo indica o desconto. a . . . . . . . b) . c) .   % 5 05 , 0 95 , 0 1 740 703 1 1 . 740 703 740 703                  i i i i V V i f . b) Se o boleto for pago depois do dia 10/08/2012, haverá cobrança de juros de 0,25% sobre o valor nominal do boleto, por dia de atraso. Se for pago com 20 dias de atraso, qual o valor a ser cobrado? Solução. O valor cobrado será um montante calculado a juros simples com t = 20 dias e i = 0,25% a.d.       00 , 777 $ R 05 , 1 ). 740 ( 05 , 0 1 ). 740 ( 20 . 0025 , 0 1 ). 740 ( M 740 M 0025 , 0 i dias 20 t                .
  • 6. 5. Um capital é aplicado, a juros simples, à taxa de 5% a.m. Quanto tempo, no mínimo, ele deverá ficar aplicado, a fim de que seja possível resgatar: a) O dobro da quantia aplicada? b) O triplo da quantia aplicada? c) dez vezes a quantia aplicada? 5. Um capital é aplicado, a juros simples, à taxa de 5% a.m. Quanto tempo, no mínimo, ele deverá ficar aplicado, a fim de que seja possível resgatar: a) O dobro da quantia aplicada? b) O triplo da quantia aplicada? c) dez vezes a quantia aplicada? Solução. Considerando C o capital a ser aplicado, temos: a) . b) . ) ) . . . .   meses 20 05 , 0 1 t 2 t 05 , 0 1 t . 05 , 0 1 . C C 2 ) t . i 1 ( C M C 2 M 05 , 0 i ? t                       meses 40 05 , 0 2 t 3 t 05 , 0 1 t . 05 , 0 1 . C C 3 ) t . i 1 ( C M C 3 M 05 , 0 i ? t                       meses 180 05 , 0 9 t 10 t 05 , 0 1 t . 05 , 0 1 . C C 10 ) t . i 1 ( C M C 10 M 05 , 0 i ? t                     ) . b) . c) .
  • 7. 6. Lia fez compras em uma loja no valor total de R$2400,00. Há duas opções para pagamento: - à vista, com 3% de desconto; - entrada de R$1200,00 mais uma parcela de R$1200,00 um mês após a compra. a) . b) . ) ) . . . . ) . b) . c) . a) Que valor Lia pagará se optar pelo pagamento à vista? Solução. Com o pagamento à vista há o desconto de 3%.     00 , 2328 $ R 97 , 0 . 2400 V 03 , 0 1 . 2400 V 03 , 0 i 2400 V ? V f f i f               . b) Que taxa mensal de juros simples a loja embute no pagamento parcelado? Solução. O valor à vista é de R$2328,00. Com a entrada de R$1200,00 faltaria ser pago R$1128,00. Mas será pago outra parcela de R$1200,00. Ou seja, o valor que faltava sofre um juros no tempo igual a 1 mês.   % 3 , 6 063 , 0 i 1 063 , 1 i 1128 1200 i 1 1 . i 1 . 1128 1200 ? i 1128 V 1200 V i f                     .
  • 8. 7. Uma loja oferece duas opções de pagamento: - 1ª opção: à vista com desconto de 15% no valor da compra; - 2ª opção: em duas parcelas iguais, a primeira paga no momento da compra e a segunda, passados dois meses da data da compra. Indique o inteiro mais próximo do valor percentual da taxa de juros mensais simples embutidos na 2ª opção. . a) . b) . ) ) . . . . ) . b) . c) . Solução. Considerando V o valor da compra, na 1ª opção o pagamento seria de P =V(1 – 0,15) = 0,85V. Na 2ª opção, no ato seria pago P1 = V/2 e faltaria P2 = V/2 = 0,5V. Mas, sem os juros, e, já tendo pagado V/2, deveria faltar a diferença 0,85V – 0,5V = 0,35V. No entanto a loja espera receber em 2 meses P2 = 0,5V. . .   % 21 214 , 0 2 428 , 0 i 1 428 , 1 i 2 35 , 0 5 , 0 i 2 1 2 . i 1 . V 35 , 0 V 5 , 0 ? i V 35 , 0 V V 5 , 0 V i f                      . Inteiro = 21. Inteiro = 21.
  • 9. 8. Calcule os juros e o montante de uma aplicação financeira a juros compostos, nas seguintes condições: a) . b) . ) ) . . . . ) . b) . c) . Solução. Aplicando a fórmula para juros simples em cada caso, com a unidade de tempo de aplicação igual à unidade de tempo da taxa, temos: a) capital: R$300,00; taxa: 2% a.m.; prazo: 4 meses; b) capital: R$2500,00; taxa: 5% a.m.; prazo: 1 ano; c) capital: R$100,00; taxa: 16% a.a.; prazo: 3 anos; . . . Inteiro = 21. a)       72 , 24 $ R 00 , 300 $ R 72 , 324 $ R C M J 72 , 324 $ R 0824 , 1 ). 300 ( 02 , 1 ). 300 ( 02 , 0 1 ). 300 ( ) i 1 .( C M 300 C 02 , 0 i meses 4 t 4 4 t                      . b)       50 , 1989 $ R 00 , 2500 $ R 50 , 4489 $ R C M J 50 , 4489 $ R 7958 , 1 ). 2500 ( 05 , 1 ). 2500 ( 05 , 0 1 ). 2500 ( 2500 C 05 , 0 i meses 12 ano 1 t 4 12                    . c)       08 , 156 $ R 5608 , 1 ). 100 ( 16 , 1 ). 100 ( 16 , 0 1 ). 100 ( 100 C 16 , 0 i anos 3 t 3 3             .
  • 10. 8. Calcule os juros e o montante de uma aplicação financeira a juros compostos, nas seguintes condições: 9. Uma poupança especial rende 1% ao mês, em regime de juros compostos. Décio aplicou R$480,00 nessa poupança e retirou a quantia um ano depois. a) Que valor Décio retirou? b) Que valor Décio teria retirado, se a taxa de juros fosse de 2% a.m.? a)       88 , 540 $ R 1268 , 1 ). 480 ( 01 , 1 ). 480 ( 01 , 0 1 ). 480 ( ) i 1 .( C M 480 C 01 , 0 i meses 12 ano 1 t 12 12 t                  . b)       73 , 608 $ R 2682 , 1 ). 480 ( 02 , 1 ). 480 ( 02 , 0 1 ). 480 ( ) i 1 .( C M 480 C 02 , 0 i meses 12 ano 1 t 12 12 t                  .
  • 11. 10. Ana emprestou x reais de uma amiga, prometendo devolver a quantia emprestada, acrescida de juros, após oito meses. O regime combinado foi de juros compostos, e a taxa, de 2,5% a.m. Se após o prazo combinadoAna quitou a dívida com R$500,00, determine: a) O número inteiro mais próximo de x; b) O valor que Ana deveria devolver á amiga, caso tivesse estabelecido regime de juros simples. Solução. Aplicando as fórmulas de juros simples e compostos quando necessário, temos: a) . . a)   34 , 410 $ R 2184 , 1 500 x 025 , 1 . x ) 500 ( ) 025 , 0 1 .( x 500 500 M x C 025 , 0 i meses 8 t 8 8                    . Inteiro x = 410. Inteiro x = 410 b) 40 , , 492 $ R ) 2 , 1 ).( 34 , 410 ( M ) 2 , 0 1 ).( 34 , 410 ( M ) 8 . 025 , 0 1 ).( 34 , 410 ( M 34 , 410 C 025 , 0 i meses 8 t                  .
  • 12. 11) Um capital de R$200,00 é aplicado a juros compostos, à taxa de 5% a.m., gerando um montante de R$268,00. (Use log1,34 = 0,13; log1,05 = 0,02 e log2,25 = 0,35). a) Qual é o tempo em que esse capital ficou aplicado? Solução. Aplicando as fórmulas de juros simples e compostos quando necessário, temos: a) . . a) b) . a) meses 5 , 6 02 , 0 13 , 0 05 , 1 log 34 , 1 log 34 , 1 log t 34 , 1 ) 05 , 1 ( 200 268 ) 05 , 1 ( ) 05 , 0 1 .( 200 268 05 , 1 t t t            . b) Qual o nº mínimo de meses necessário para que o montante fosse de R$450,00? b) meses 5 , 17 02 , 0 35 , 0 05 , 1 log 25 , 2 log 25 , 2 log t 25 , 2 ) 05 , 1 ( 200 450 ) 05 , 1 ( ) 05 , 1 .( 200 450 05 , 1 t t t           . Logo, no mínimo 18 meses.
  • 13. 12) Uma dívida, contraída a juros compostos, aumentou de R$200,00 para R$242,00 em dois meses. Admitindo que a taxa mensal de juros é fixa, determine: a) . . a) b) . a) . b) . a) O valor da taxa. b) O montante dessa dívida meio ano após a data em que foi contraída. Solução. Aplicando as fórmulas de juros compostos, temos: a) . m . a % 10 1 , 0 i 1 1 , 1 i 10 11 i 1 100 121 i 1 100 121 ) i 1 ( ) i 1 .( 200 242 2 2                  . b) 30 , 354 $ R ) 7715 , 1 ).( 200 ( ) 1 , 1 ).( 200 ( M ) 1 , 0 1 .( 200 M meses 6 ano meio 6 6        .
  • 15.  Juros Composto  Juro (J)  Taxa de juro (i)  Período de tempo (n)  Montante (FV)  Prestações ou Rendas (PMT)  Valor Presente Líquido (NPV)  Taxa Interna de Retorno (IRR) Siglas
  • 16.  3. Juros Composto  3.1 Formula dos Juros Compostos  3.2Taxas Equivalentes  3.3Taxa Nominal eTaxa Efetiva Índice
  • 17. 3. Juros Compostos O regime de juros compostos considera que os juros formados em cada período são acrescidos ao capital formando o montante (capital mais juros) do período. Esse montante, por sua vez passará render juros no período seguinte formando um novo montante (constituído do capital inicial, dos juros acumulados e dos juros sobre os juros formados em períodos anteriores), e assim por diante.
  • 18. Juro: Conceito Define-se juros como sendo:  remuneração do capital emprestado em atividades produtivas;  custo do capital de terceiros;  remuneração paga pelas instituições financeiras sobre o capital nelas aplicado.
  • 19. 3.1 Formula do Juros Compostos No regime de juros compostos, os juros são capitalizados, produzindo juros sobre juro periodicamente. Aqui usaremos as siglas PV (Valor Presente), que corresponde ao Capital estudado em Juros Simples, e FV (Valor Futuro) correspondente ao Montante. Fórmulas: e FV= PV (1 + i)n PV= FV_ (1 + i)n
  • 20. 3.1 Formula do Juros Compostos onde (1 + i)n é o fator de capitalização (ou de valor futuro) a juros compostos, e 1/(1 +i)n o fator de atualização (ou de valor presente) a juros compostos. e FV= PV (1 + i)n PV= FV_ (1 + i)n Por outro lado, sabe-se que o valor monetário dos juros (J) é apurado pela diferença entre o montante (FV) e o capital (PV), podendo-se obter o seu resultado também pela seguinte expressão: J = FV – PV Como: FV = PV (1 + i)n , colocando-se PV em evidência: J = PV [(1 + i)n - 1]
  • 21.
  • 22. 1. Se uma pessoa deseja obter $ 27.500,00 dentro de um ano, quanto deverá ela depositar hoje numa alternativa de poupança que rende 1,7% de juros compostos ao mês? FV = R$ 27.500,00 N = 1 ano (12 meses) I = 1,7% a.m. PV= FV__ (1 + i)n PV =? PV= 27.500,00__ (1 + 0,017)12 = 27.500,00_ (1 + 0,017) PV= 27.500,00__ 1,224197 = 22.463,70
  • 23. 27500 CHS FV 1,7 i 12 n PV 22.463,70
  • 24. 2. Qual o valor de resgate de uma aplicação de $12.000,00 em um título pelo prazo de 8 meses à taxa de juros composta de 3,5% a.m.? PV =R$ 12.000,00 N = 8 meses I = 3,5% a.m.. FV= PV (1 + i) FV =? n = FV= 12.000,00 (1 + 0,035) 8 FV= 12.000,00 x 1,316809 FV= $15.801,71
  • 25. 12000 CHS PV 3,5 i 8 n FV 15.801,71
  • 26. 3. Determinar a taxa mensal composta de juros de uma aplicação de $40.000,00 que produz um montante de $43.894,63 ao final de um quadrimestre. PV = R$ $40.000,00 FV =R$43.894,63 N =4 meses FV__ = (1 + i) n PV PV = i 1,097366 = (1 + i) 4 FV = PV (1 + i)n 43.894,63__ = (1 + i) n 40.000,00 = 1,097366 = (1 + i) 4 1+i 1,0235 = i =0,0235 ou 2,35% a.m.
  • 27. 40000 CHS PV 43894,63 FV 4 n i 2,35%
  • 28. 4. Uma aplicação de $22.000,00 efetuada em certa data produz, á taxa composta de juros de 2,4% ao mês, um montante de $ 26.596,40 em certa data futura. Calcular o prazo da operação. PV = R$ $22.000,00 FV =R$26.596,40 N =? FV__ = (1 + i) n PV i = 2,4% a.m. 1,208927273 = (1,024)n , aplicando-se logaritmos, tem-se: FV = PV (1 + i)n 26.596,40__ = (1,024)n 22.000,00 log 1,208927273 = n x log 1,024 n= log 1,208927273 log 1,024 = _0,189733415_ 0,023716527 n = 8 meses
  • 29. 220000 CHS PV 26.596,40 FVV 2,4 i n 8 meses
  • 30. 5. Determinar o juro pago de um empréstimo de $88.000,00 pelo prazo de 5 meses à taxa composta de 4,5% ao mês. PV = R$ $88.000,00 J = 88.000,00 [(1 + i) n – 1] i = 4,5% a.m. J = PV (1 + i)n-1 J =? N = 5 meses J = 88.000,00 [(1,045)5 n – 1] J = 88.000,00 (0,246182) = $ 21.664,02
  • 31. 3.2Taxas Equivalentes Ao se tratar de juros simples, foi comentado que a taxa equivalente é a própria taxa proporcional da operação. Por exemplo, a taxa de 3% ao mês e 9% ao trimestre são ditas proporcionais. São também equivalentes, pois promove a igualdade dos montantes de um mesmo capital ao final de certo período de tempo.
  • 32. 3.2Taxas Equivalentes Por exemplo, em juros simples um capital de $80.000,00 produz o mesmo montante em qualquer data se capitalizado a 3% a.m. e 9% a.t. n = 3 meses FV (3% a.m.) = 80.000,00 ( 1 + 0,03 x 3) = $ 87.200,00 FV (9% a.t.) = 80.000,00 (1 + 0,09 x 1) = $ 87.200,00 O conceito enunciado de taxa equivalente permanece válido para o regime de juros compostos diferenciando-se, no entanto, a fórmula de cálculo da taxa de juros. Podemos utilizar a seguinte fórmula para encontrar a taxa equivalente: i quero = [(1 + i)quero/tenho – 1] x100
  • 33. Exemplo: 2% ao mês e 26,82% ao ano são Equivalentes:. i anual = [(1,02)360/30 – 1] x 100 i anual = [(1,02)12 – 1] x 100 i anual = [1,2682 – 1] x 100 i anual = 0,2682 x 100 i anual = 26,82%
  • 34. 1,02 enter 360 (quero) enter 30 (tenho) divide yx 1- 100%
  • 35. 3.3 Taxa Nominal eTaxa Efetiva TAXA NOMINAL - é aquela consignada nos contratos relativos a operações financeiras. É também conhecida como taxa contratada ou taxa oferecida. Na taxa nominal emprega-se uma unidade de tempo que não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização.A taxa nominal é quase sempre fornecida em termos anuais.Assim, por exemplo: •12% ao ano, com capitalização mensal; • 24% ao ano, com capitalização semestral; • 10% ao ano, com capitalização trimestral; • 18% ao ano, capitalizados diariamente A taxa nominal é muito utilizada no mercado, quando da formalização dos negócios. Não é, porém, utilizada diretamente nos cálculos, por não corresponder, de fato, ao ganho/custo financeiro do negócio.
  • 36. 3.3 Taxa Nominal eTaxa Efetiva TAXA EFETIVA – A Taxa Nominal traz em seu enunciado uma taxa efetiva implícita, que é a taxa de juros a ser aplicada em cada período de capitalização. E essa taxa é sempre calculada de forma proporcional, no regime de juros simples. Nos exemplos anteriores as taxas efetivas que estão implícitas nos enunciados das taxas nominais são: •12% ao ano = 12% a.a. / 12 meses = 1% a.m. • 24% ao ano = 24% a.a. / 2 semestres = 12% a.s. • 10% ao ano = 10% a.a. / 4 trimestres = 2,5% aotrimestre • 18% ao ano = 18% a.a. / 360 dias = 0,050% ao dia Devem
  • 37. 3.3 Taxa Nominal eTaxa Efetiva Devemos então abandonar os valores das taxas nominais e realizar todos os cálculos financeiros, no regime de juros compostos. A taxa anual equivalente a esta taxa efetiva implícita é sempre maior que a taxa nominal que lhe deu origem, pois esta equivalência é sempre feita no regime de juros compostos. •Fórmula daTaxa Efetiva: (if = (1 + i/q)q – 1) •12% a.a. = (1 + 0,12/12)12 – 1 = (1,01)12 – 1 = 12,68% a.a. • 24% a.a. = (1 + 0,24/2)2 – 1 = (1,12)2 – 1 = 25,44% a.a. •10% a.a. = (1 + 0,10/4)4 – 1 = (1,025)4 – 1 = 10,38% a.a. • 18% a.a. = (1 + 0,18/360)360 – 1 = (1,0005)360 – 1 = 19,72% a.a.
  • 38. Exemplo: A caderneta de poupança paga juros anuais de 6% com capitalização mensal a base de 0,5%. Calcular a rentabilidade efetiva desta aplicação financeira. Taxa Efetiva: if = (1 + i/q)q – 1 = (1 + 0,06/12)12 –1 = (1,005)12 = 6,17% a.a.
  • 40. Vr: Valor atual ( ou valor descontado racional) n:Número de períodos antes do vencimento i: Taxa de desconto Dr: Valor do desconto Dc: desconto comercial Vc: valor atual (ou valor descontado comercial) Siglas
  • 41.  4. Desconto  4.1 Desconto Simples  4.1.1Desconto Racional Ou Desconto “Por Dentro”  4.1.2 Desconto Racional Ou Desconto “Por Fora” Índice
  • 42. 4. Desconto Entende-se por valor nominal o valor de resgate, ou seja, o valor definido para um título em sua data de vencimento. Representa, em outras palavras, o próprio montante da operação. A operação de se liquidar um título antes de seu vencimento envolve geralmente uma recompensa, ou um desconto pelo pagamento antecipado. Desta maneira, o desconto pode ser entendido como a diferença entre o valor nominal de um título e o seu valor atualizado apurado no períodos antes do seu vencimento.
  • 43. 4. Desconto Por outro lado, o valor descontado de um título é o seu valor atual na data do desconto, sendo determinado pela diferença entre o valor nominal e o desconto, ou seja: As operações de desconto podem ser realizadas tanto sob o regime de juros simples como no de juros compostos. O uso do desconto simples é amplamente adotado em operações de curto prazo, restringindo-se o desconto composto para as operações de longo prazo. Valor Descontado =Valor Nominal – Desconto
  • 45. Desconto Comercial Ou Desconto “Por Fora” É o desconto obtido pela diferença entre o valor nominal e o valor atual de um compromisso que seja saldado no períodos antes do seu vencimento. Valor Descontado é a diferença entre o valor nominal e o desconto. N: Valor nominal (ou montante ou valor futuro) Vr: Valor atual ( ou valor descontado racional) n: Número de períodos antes do vencimento i: Taxa de desconto Dr: Valor do desconto
  • 46. Desconto Racional Ou Desconto “Por Dentro” Formula e Aplicação Temos: Vr = N 1 + i x n Tem-se: Dr = N –Vr Dr = N - N 1 + i x n Dr = N (1+ i x n) – N 1 + i x n Dr = N x i x n) 1 + i x n Esta fórmula permite que seja obtido o valor do desconto racional, calculado para um dado valor nominal (N), a uma taxa de juros (i) e para um prazo de antecipação (n). O valor do desconto “por dentro” também é obtido multiplicando-se o Capital (ou Valor Presente) pela taxa de desconto i, e esse produto pelo prazo da operação n: Dr = C x i x n
  • 47. Desconto Racional Ou Desconto “Por Dentro” Formula e Aplicação Como o valor presente é sempre incógnita, sendo normalmente conhecido o Valor Nominal, normalmente utilizaremos a fórmula citada anteriormente. O valor descontado de acordo com a definição, é dado por: Vr = N – Dr Vr = N - N x i x n 1 + i x n Dr = N (1+ i x n) – N x i x n 1 + i x n Vr = N 1 + i x n OBSERVE-SE QUE, EM JUROS SIMPLES, O VALOR DESCONTADO É O PRÓPRIO VALOR ATUAL.
  • 48.
  • 49. 1. Uma pessoa pretende saldar um título de $ 5.500,00, 3 meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros corrente é de 40%a.a., qual o desconto e quanto vai obter? Temos: N = 5.500,00 n = 3 meses i = 40% a.a. / 3,3333% a.m. Calcular: a) O desconto: Dr = N x i x n 1 + i x n Dr = 5.500,00 x 0,033 x 3 1 + 0,033 x 3 5.500,00 x 0,10 1 + 0,10 550,00 1,10 Dr = $ 500,00 b) Valor Descontado Vr = 5.500,00 – 500,00 = $ 5.000,00 ou Vr = N 1 + i x n 5.500,00 1 + 0,10 5.000,00 1 ,10 = $ 5.000,00 Note-se então que, no desconto comercial, é preciso distinguir entre a taxa de desconto utilizada na operação e a taxa implícita que é cobrada de fato.
  • 50. Desconto Comercial Ou Desconto “Por Fora” É o desconto obtido pela diferença entre o valor nominal e o valor atual de um compromisso que seja saldado n períodos antes do seu vencimento. Observe que, ao contrário dos juros “por dentro”, que calculam os encargos sobre o capital efetivamente liberado na operação, ou seja, sobre o valor presente, o critério “por fora” apura os juros sobre o montante, indicando custos adicionais ao tomador de recursos.
  • 51. Desconto Racional Ou Desconto “Por Fora” Formula e Aplicação Dc: desconto comercial Vc: valor atual (ou valor descontado comercial) Obtém-se o valor do desconto comercial aplicando-se a definição: Dc = N x i x n E o valor descontado comercial: Vc = N – Dc Vc = N - N x i x n Vc = N (1 – i x n)
  • 52.
  • 53. 1. Consideraremos o exemplo do item anterior, em que o título de $ 5.500,00é descontado à taxa de 40% a.a., 3 meses antes do vencimento. Dc = 5.500,00 x 0,0333 x 3 = $ 550,00 a) Desconto Comercial Dc = N x i x n b) Desconto Comercial Vc = N (1 – i x n) Vc = 5.500,00 x (1 - 0,0333 x 3) Vc = 5.500,00 x 0,9 Vc = $ 4.950,00 Então a pessoa vai receber $ 4.950,00 pelo desconto comercial, que é menos que os $ 5.000,00 que receberia se o desconto fosse racional. É evidente, portanto, que ao se fazer um desconto comercial a taxa de desconto utilizada não é mais igual à taxa de juros simples capaz de reproduzir o montante. Observa-se que, se o banco ganha $550,00 sobre um valor de $ 4.950,00, em 3 meses, a taxa de juros da operação é: i = 550,00 = 0,111 ao trimestre 4.950,00 ou i = 0,044 ao ano i = 550,00 = 0,111 ao trimestre i= 550,0 = 0,111 ao trimestre 4.950,00 ou i = 0,044 ao ano