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Revisão deMatemáticaElementar
Operações Algébricas Básicas• Ao resolver operações algébricas, deve-se  sempre resolver as operações na seguinte  ordem: ...
Operações Algébricas Básicas• Ao resolver operações algébricas com  parênteses, colchetes e chaves , deve-se sempre  resol...
Operações com Percentagens          Forma        Percentual                                                 Forma         ...
Operações com Percentagens• Em operações que envolvem aumentos  percentuais, para obter o valor final, basta  multiplicar ...
Regra de 3 Simples                                Cresce na mesma                                                         ...
Regra de 3 Inversa                                   Cresce em                                                            ...
Potenciação                                        n vezesCasos especiais que merecem destaque:
PotenciaçãoAplicadas as regras descritas anteriormente, resolva as seguintes potências:a)73b)52 x 53c)25 x 87d)450
Radiciação
Equações de Primeiro GrauUma mercadoria custava R$ 400,00. Um dia estamesma mercadoria apareceu custando R$ 430,00. Dequan...
Equações de Primeiro GrauO triplo de um número subtraído de 8 é igual a 37. Qual é esse número?
Equações de Segundo Grau ResoluçãoSe b2 – 4.a.c for:a)> 0 → 2 soluções distintas;b)= 0 → 2 soluções iguais;c)< 0 → não apr...
Equações de Segundo GrauEncontre o valor de X:a)X2 – 3X + 2 = 0b)X2 + 4X + 4 = 0c)X2 – 2x + 2 = 0
Lista de Exercícios1. Há oito anos, Pedro tinha a metade da idade   que tem hoje. Qual a sua idade atual?2. Em uma determi...
Lista de Exercícios3. Certa máquina, trabalhando 12 horas por dia,   consome, em 30 dias, 9780 kg de carvão.   Considerand...
Lista de Exercícios5. Um comerciante comprou 10 sacas de   batata, de 10 kg cada, por R$ 2.100,00. Por   quanto deve vende...
Lista de Exercício7. Dividiu-se um terreno de 1.296 m2 em 3 lotes. A   área do primeiro corresponde a 4/5 da área do   seg...
Lista de Exercícios9. Num dia de futebol, as torcidas do time A e B   compareceram na razão de 3 para 4. Sendo a   lotação...
Matemática Financeira  1) Introdução
Tempo e DinheiroAlguém aí me empresta R$ 1.000,00 para eu pagar no mês que vem???
Dinheiro tem um custo associado ao                tempo Fatores que influenciam a preferência  pela posse atual do dinhei...
Matemática                 FinanceiraConjunto de técnicas e formulações extraídas damatemática, com o objetivo de resolver...
Juro Remuneração do capital,  a qualquer título.             título  a) Remuneração do capital empregado em atividades pr...
Juro O Juro J também é o resultado da diferença do  capital final F e do capital inicial P da operação  financeira conhec...
Taxa de Juros   É a velocidade com que o Juros aumenta!A taxa unitária I é o juro geradopor uma unidade de capital inicia...
Taxa de Juros – Unidade de               Medida Os juros são fixados por meio de uma taxa  percentual que sempre se refer...
Variáveis Importantes• Capital, Principal ou Valor Presente (C, P ou VP)                                                VP...
Diagrama deFluxo de Caixa  (+) entradas                 Tempo (n)   (-) saídas
Regime de Capitalização dos Juros                Juros Simples                Juros Compostos
Regimes de Capitalização• Suponha que você tenha investido R$  10.000,00 pelo prazo de 12 meses com  pagamento mensal de j...
Regimes de Capitalização        Sem reinvestir os jurosMeses   Juro Mensal      Juros     Valor Futuro            (2%)    ...
Regimes de Capitalização                        Reinvestindo os jurosMeses                  Juro Mensal      Juros     Val...
Regimes de Capitalização        Sem reinvestir os juros                    Reinvestindo os jurosMeses   Juro Mensal      J...
Regimes de Capitalização            JUROS SIMPLES                                 JUROS                                   ...
Juros Simples
Característica Principal Os juros gerados durante a operação são  acumulados SEM REMUNERAÇÃO até o final  da operação, qu...
Crescimento LinearAno     Saldo Início do Ano            Juros no Ano             Saldo no final do Ano 1    R$           ...
FórmulasFórmula para Valor FuturoFórmula para Valor PresenteFórmula para Taxa de Juros    Fórmula para Prazo
Exercícios1. Foram aplicados R$ 8.500,00 durante 5 meses   com taxa de juros de 2,14% ao mês. Calcule o   valor do resgate...
DescontosJuros Simples
Descontos• As operações de desconto representam a  antecipação do recebimento (ou pagamento)  de valores futuros, represen...
Desconto• Como o dinheiro tem um valor no tempo, para  antecipar um valor futuro deve-se deduzir o  custo de oportunidade ...
Desconto                            DescontoValor Presente              Valor Futuro Valor Líquido              Valor Nomi...
Desconto Racional (Por Dentro)• No Desconto Racional, ou por Dentro, a taxa  incide sobre o Valor Presente da operação.
Desconto Racional (Por Dentro)• Calcule o desconto racional e o valor líquido recebido  proveniente do desconto de um títu...
Desconto Racional (Por Dentro)• Calcule o desconto racional e o valor líquido recebido  proveniente do desconto de um títu...
Desconto Comercial (Por Fora)• No Desconto Comercial, ou por Fora, a taxa  incide sobre o Valor Futuro da operação.
Desconto Comercial (Por Fora)• Qual o valor líquido de um título de valor nominal de R$  500,00 com vencimento daqui a 5 m...
Desconto Comercial (Por Fora)• Qual o valor líquido de um título de valor nominal de R$  500,00 com vencimento daqui a 5 m...
Exercícios1. Um título de valor nominal   de R$ 25.000,00 é   descontado 2 meses antes   de seu vencimento à taxa   de jur...
Exercícios3. Um título com valor nominal de   R$ 3.836,00 foi resgatado 4   meses antes de seu vencimento,   tendo sido co...
Juros Compostos
Juros Compostos
Exercício / Exemplo• Qual o montante acumulado ao final de 8  meses de uma aplicação de R$ 6.000,00 a uma  taxa de juros c...
Exercício / Exemplo• Qual o montante acumulado ao final de 8  meses de uma aplicação de R$ 6.000,00 a uma  taxa de juros c...
Exercício / Exemplo• Calcule quanto deveria ser aplicado hoje para  possibilitar um resgate de R$ 10.000,00 daqui  a um an...
Exercício / Exemplo• Calcule quanto deveria ser aplicado hoje para  possibilitar um resgate de R$ 10.000,00 daqui  a um an...
Exercício / Exemplo• Sabendo que R$ 1.000,00 foram transformados  em R$ 2.000,00, graças a uma taxa de 4% a.m.,  calcule o...
Exercício / Exemplo• Sabendo que R$ 1.000,00 foram transformados  em R$ 2.000,00, graças a uma taxa de 4% a.m.,  calcule o...
Exercício / Exemplo• Um investimento de R$ 100.000,00 por 6  meses rendeu R$ 41.852,00 de juros. Calcule a  taxa a que est...
Exercício / Exemplo• Um investimento de R$ 100.000,00 por 6  meses rendeu R$ 41.852,00 de juros. Calcule a  taxa a que est...
Exercícios1) Um investimento de R$ 650.000,00 será   remunerado a uma taxa de juros   composto de 1,35% a.m. durante os 4 ...
Exercícios3) Qual a taxa de juro composto que permite dobrar o capital ao   final de 2 anos?4) Uma aplicação de R$ 3.600,0...
Desconto – Juros Compostos
Desconto Racional (“por dentro”)
Desconto Racional• Calcule o desconto de um título de valor nominal de US$  600,00, descontado 5 meses antes do vencimento...
Desconto Comercial (“por fora”)
Desconto Comercial• Uma duplicata de R$ 8.000,00 foi descontada 4 meses antes  do vencimento, a uma taxa de desconto comer...
Exercícios1. Qual o desconto racional de um título no valor de R$   20.000,00 se ele for pago 2 meses antes do vencimento ...
3. João comprou um imóvel na construção prometendo pagar   R$ 100.000,00 na entrega das chaves. Agora, faltando 4   meses ...
Taxas de Juros
Taxa Efetiva• Taxa Efetiva é a taxa de juros em que a unidade  referencial de seu tempo coincide com a unidade  de tempo d...
Taxas Proporcionais – Juros                 Simples  • Taxas Proporcionais são taxas de juros    fornecidas em unidade de ...
Exemplos• Calcule as taxas proporcionais  em meses:  – 1% ao dia   →     30% ao mês  – 12% ao ano →      1% ao mês  – 6% a...
Taxas Equivalentes – Juros Compostos     • Taxas Equivalentes são taxas de juros fornecidas       em unidades de tempo dif...
Exemplos
Taxa Nominal• Taxa Nominal é a taxa de juros em que a unidade  referencial de seu tempo não coincide com a  unidade de tem...
Taxa Efetiva e Taxa Nominal•   12% ao ano, capitalizados mensalmente;   Nominal                                           ...
Exercícios• Calcule as Taxas Proporcionais:  – 2% ao mês, em anos;  – 1,5% ao dia em semestres;  – 30% ao ano, em trimestr...
Exercícios• Calcule as Taxas Equivalentes:  – 2% ao mês, em anos;  – 1,5% ao dia em semestres;  – 30% ao ano, em trimestres;
Séries Uniformes
Fluxo de Caixa – Séries Uniformes
Tipos de Séries de Pagamento • Postecipadas   – São aquelas em que os pagamentos ocorrem no     final de cada período e nã...
Tipos de Séries de Pagamento • Antecipadas   – Os pagamentos são feitos no início de cada     período respectivo.         ...
Tipos de Séries de Pagamento• Diferidas  – O período de carência constitui-se em um prazo que    separa o início da operaç...
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ExemploQuanto custa este veículo se odono pede 24 x de R$ 499,00,sem entrada, e a taxa de jurosmédia cobrada neste setor e...
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Matemática Financeira 2012_02

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Matemática Financeira 2012_02

  1. 1. ce i ra a n a Fin á t ic te mM a Milton Henrique do Couto Neto miltonh@terra.com.br
  2. 2. Revisão deMatemáticaElementar
  3. 3. Operações Algébricas Básicas• Ao resolver operações algébricas, deve-se sempre resolver as operações na seguinte ordem: 1. Potenciação ou Radiciação 2. Multiplicação ou Divisão 3. Adição ou Subtração
  4. 4. Operações Algébricas Básicas• Ao resolver operações algébricas com parênteses, colchetes e chaves , deve-se sempre resolver as operações na seguinte ordem: 1. Parênteses 2. Colchetes 3. Chaves
  5. 5. Operações com Percentagens Forma Percentual Forma UnitáriaConverta para a forma percentual: (a) 0,57 (b) 2,08 (c) 1,41.Converta para a forma unitária: (a) 163% (b) 2.107% (c) 12%. Calcule: (a) 25% de 350; (b) 42% de 68 ; (c) 127% de 560
  6. 6. Operações com Percentagens• Em operações que envolvem aumentos percentuais, para obter o valor final, basta multiplicar o valor inicial por (1 + variação percentual em forma unitária). Um carro foi comprado por R$ 15.000,00. Por quanto deverá ser vendido para permitir um ganho de 25% sobre o preço inicial?Se uma geladeira, que custa R$ 800,00 entrar em promoção com desconto de 20% sobre o preço original, quanto passará a custar?
  7. 7. Regra de 3 Simples Cresce na mesma proporção 3 homens comem 2 pizzas 6 homens comerão quantas pizzas? 3 homens → 2 pizzas 6 homens → X pizzasSe 2 pares de tênis custam R$ 250,00, quanto custarão 5 pares do mesmo tênis?
  8. 8. Regra de 3 Inversa Cresce em proporção inversa 5 homens constroem a casa em 2 meses 10 homens construirão em quanto tempo? Inverti esse lado! 5 homens → 2 meses 10 homens → X mesesNuma residência com 4 pessoas, uma caixa d’água de 1.000 litros é suficiente para 3 dias de consumo. Se chegarem mais 2 hóspedes quanto tempo irá durar a água da mesma caixa d’água?
  9. 9. Potenciação n vezesCasos especiais que merecem destaque:
  10. 10. PotenciaçãoAplicadas as regras descritas anteriormente, resolva as seguintes potências:a)73b)52 x 53c)25 x 87d)450
  11. 11. Radiciação
  12. 12. Equações de Primeiro GrauUma mercadoria custava R$ 400,00. Um dia estamesma mercadoria apareceu custando R$ 430,00. Dequanto foi o aumento? Primeiro membro Segundo membro  Ambos os membros podem ser acrescidos ou subtraídos de uma constante sem alterar a igualdade;  Assim também os membros também pode ser multiplicados ou divididos por uma constante.
  13. 13. Equações de Primeiro GrauO triplo de um número subtraído de 8 é igual a 37. Qual é esse número?
  14. 14. Equações de Segundo Grau ResoluçãoSe b2 – 4.a.c for:a)> 0 → 2 soluções distintas;b)= 0 → 2 soluções iguais;c)< 0 → não apresenta soluções reais;
  15. 15. Equações de Segundo GrauEncontre o valor de X:a)X2 – 3X + 2 = 0b)X2 + 4X + 4 = 0c)X2 – 2x + 2 = 0
  16. 16. Lista de Exercícios1. Há oito anos, Pedro tinha a metade da idade que tem hoje. Qual a sua idade atual?2. Em uma determinada empresa, em forma de Sociedade Anônima, com capital dividido em 350 milhões de ações, João possui 0,3% do capital dessa empresa. Considerando que será dada uma bonificação de uma nova ação para cada 7 ações que já possui, com quantas ações o João ficará?
  17. 17. Lista de Exercícios3. Certa máquina, trabalhando 12 horas por dia, consome, em 30 dias, 9780 kg de carvão. Considerando que esta máquina irá operar 12 horas e 30 minutos por dia, durante 90 dias ininterruptos e que o kg do carvão custa R$ 800,00 qual será o custo total gasto pela máquina?4. Quanto é 25% da terça parte de 1026?
  18. 18. Lista de Exercícios5. Um comerciante comprou 10 sacas de batata, de 10 kg cada, por R$ 2.100,00. Por quanto deve vender cada kg para obter um lucro de 20%?6. Um produto foi vendido por R$ 14.400,00 com prejuízo de 10% do preço da compra. Qual foi o preço da compra?
  19. 19. Lista de Exercício7. Dividiu-se um terreno de 1.296 m2 em 3 lotes. A área do primeiro corresponde a 4/5 da área do segundo e a área do terceiro é igual a soma das outras áreas. Qual o tamanho do maior lote?8. Uma pessoa vai de A para B a 50 km/h de média e depois retorna de B para A numa velocidade média de 75 km/h. Qual a velocidade média total?
  20. 20. Lista de Exercícios9. Num dia de futebol, as torcidas do time A e B compareceram na razão de 3 para 4. Sendo a lotação neste dia de 77 mil torcedores, quantos eram torcedores do time B?10.Calcule as soluções para:  X2 – 9x + 6 = 0  X2 + 5x + 4 = 0  X2 – 7x + 9 = 0
  21. 21. Matemática Financeira 1) Introdução
  22. 22. Tempo e DinheiroAlguém aí me empresta R$ 1.000,00 para eu pagar no mês que vem???
  23. 23. Dinheiro tem um custo associado ao tempo Fatores que influenciam a preferência pela posse atual do dinheiro: – RISCO: Sempre haverá o risco de não RISCO recer os valores programados em decorrência de imprevistos; – UTILIDADE: O investimento implica em UTILIDADE não consumir hoje para consumir no futuro; – OPORTUNIDADE: A posse do dinheiro OPORTUNIDADE permite aproveitar as oportunidades mais rentáveis que aparecerem.
  24. 24. Matemática FinanceiraConjunto de técnicas e formulações extraídas damatemática, com o objetivo de resolver problemasrelacionados às Finanças de modo geral e, que,basicamente, consistem no estudo do valor dodinheiro no tempo. tempo
  25. 25. Juro Remuneração do capital, a qualquer título. título a) Remuneração do capital empregado em atividades produtivas; b) Custo do capital de terceiros; c) Remuneração paga pelas instituições financeiras sobre o capial nelas empregado.
  26. 26. Juro O Juro J também é o resultado da diferença do capital final F e do capital inicial P da operação financeira conhecida: J=F-P O resultado do cálculo de J é um valor monetário, um dado absoluto que não identifica o prazo de geração de J
  27. 27. Taxa de Juros  É a velocidade com que o Juros aumenta!A taxa unitária I é o juro geradopor uma unidade de capital inicial$ 1 associado com o período detempo de geração do juro.
  28. 28. Taxa de Juros – Unidade de Medida Os juros são fixados por meio de uma taxa percentual que sempre se refere a uma unidade de tempo (ano, semestre, trimestre, mês, dia, etc.).  Exemplo:  12% a.a. = 12 % ao ano;  4% a.s. = 4 % ao semestre;  1% a.m. = 1 % ao mês
  29. 29. Variáveis Importantes• Capital, Principal ou Valor Presente (C, P ou VP) VP – É o recurso aplicado;• Taxa (i) – É o coeficiente obtido da relaçãoo dos juros (J) com o capital (C), que pode ser representado em forma percentual ou unitária.• Prazo ou Tempo ou Períodos (n) – É o tempo necessário que um certo capital (C), aplicado a uma taxa (i), necessita para produzir um montane (M).• Montante ou Valor Futuro (M ou VF) VF – É a quantidade monetária acumulada resultante de uma operação comercial ou financeira após um determinado período de tempo.
  30. 30. Diagrama deFluxo de Caixa (+) entradas Tempo (n) (-) saídas
  31. 31. Regime de Capitalização dos Juros  Juros Simples  Juros Compostos
  32. 32. Regimes de Capitalização• Suponha que você tenha investido R$ 10.000,00 pelo prazo de 12 meses com pagamento mensal de juro calculado com a taxa de juro de 2% ao mês.
  33. 33. Regimes de Capitalização Sem reinvestir os jurosMeses Juro Mensal Juros Valor Futuro (2%) acumulados 1 200,00 200,00 10.200,00 2 200,00 400,00 10.400,00 3 200,00 600,00 10.600,00 4 200,00 800,00 10.800,00 5 200,00 1.000,00 11.000,00 6 200,00 1.200,00 11.200,00 7 200,00 1.400,00 11.400,00 8 200,00 1.600,00 11.600,00 9 200,00 1.800,00 11.800,00 10 200,00 2.000,00 12.000,00 11 200,00 2.200,00 12.200,00 12 200,00 2.400,00 12.400,00
  34. 34. Regimes de Capitalização Reinvestindo os jurosMeses Juro Mensal Juros Valor Futuro (2%) acumulados 1 200,00 200,00 10.200,00 2 204,00 404,00 10.404,00 3 208,08 612,08 10.612,08 4 212,24 824,32 10.824,32 5 216,49 1.040,81 11.040,81 6 220,81 1.261,62 11.261,62 7 225,24 1.486,86 11.486,86 8 229,73 1.716,59 11.716,59 9 234,34 1.950,93 11.950,93 10 239,01 2.189,94 12.189,94 11 243,80 2.433,74 12.433,74 12 248,68 2.682,42 12.682,42
  35. 35. Regimes de Capitalização Sem reinvestir os juros Reinvestindo os jurosMeses Juro Mensal Juros Valor Futuro Juro Mensal Juros Valor Futuro (2%) acumulados (2%) acumulados 1 200,00 200,00 10.200,00 200,00 200,00 10.200,00 2 200,00 400,00 10.400,00 204,00 404,00 10.404,00 3 200,00 600,00 10.600,00 208,08 612,08 10.612,08 4 200,00 800,00 10.800,00 212,24 824,32 10.824,32 5 200,00 1.000,00 11.000,00 216,49 1.040,81 11.040,81 6 200,00 1.200,00 11.200,00 220,81 1.261,62 11.261,62 7 200,00 1.400,00 11.400,00 225,24 1.486,86 11.486,86 8 200,00 1.600,00 11.600,00 229,73 1.716,59 11.716,59 9 200,00 1.800,00 11.800,00 234,34 1.950,93 11.950,93 10 200,00 2.000,00 12.000,00 239,01 2.189,94 12.189,94 11 200,00 2.200,00 12.200,00 243,80 2.433,74 12.433,74 12 200,00 2.400,00 12.400,00 248,68 2.682,42 12.682,42
  36. 36. Regimes de Capitalização JUROS SIMPLES JUROS COMPOSTOSMeses Juro Mensal Juros Valor Futuro Juro Mensal Juros Valor Futuro (2%) acumulados (2%) acumulados 1 200,00 200,00 10.200,00 200,00 200,00 10.200,00 2 200,00 400,00 10.400,00 204,00 404,00 10.404,00 3 200,00 600,00 10.600,00 208,08 612,08 10.612,08 4 200,00 800,00 10.800,00 212,24 824,32 10.824,32 5 200,00 1.000,00 11.000,00 216,49 1.040,81 11.040,81 6 200,00 1.200,00 11.200,00 220,81 1.261,62 11.261,62 7 200,00 1.400,00 11.400,00 225,24 1.486,86 11.486,86 8 200,00 1.600,00 11.600,00 229,73 1.716,59 11.716,59 9 200,00 1.800,00 11.800,00 234,34 1.950,93 11.950,93 10 200,00 2.000,00 12.000,00 239,01 2.189,94 12.189,94 11 200,00 2.200,00 12.200,00 243,80 2.433,74 12.433,74
  37. 37. Juros Simples
  38. 38. Característica Principal Os juros gerados durante a operação são acumulados SEM REMUNERAÇÃO até o final da operação, quando são capitalizados.
  39. 39. Crescimento LinearAno Saldo Início do Ano Juros no Ano Saldo no final do Ano 1 R$ 1.000,00 8% x R$ 1.000,00 = R$ 80,00 R$ 1.080,00 2 R$ 1.080,00 8% x R$ 1.000,00 = R$ 80,00 R$ 1.160,00 3 R$ 1.160,00 8% x R$ 1.000,00 = R$ 80,00 R$ 1.240,00 4 R$ 1.240,00 8% x R$ 1.000,00 = R$ 80,00 R$ 1.320,00
  40. 40. FórmulasFórmula para Valor FuturoFórmula para Valor PresenteFórmula para Taxa de Juros Fórmula para Prazo
  41. 41. Exercícios1. Foram aplicados R$ 8.500,00 durante 5 meses com taxa de juros de 2,14% ao mês. Calcule o valor do resgate no regime de juros simples.2. Suponha que você aplicou R$ 5.500,00 com taxa de juros de 1,45% ao mês (considere juro simples). Calcule o prazo necessário para que a aplicação alcance R$ 6.058,25.3. Foram aplicados R$ 3.000,00 durante 5 meses, no regime de juros simples. Ao final do quinto mês foram resgatados R$ 3.850,50. Calcule a taxa de juros da operação.
  42. 42. DescontosJuros Simples
  43. 43. Descontos• As operações de desconto representam a antecipação do recebimento (ou pagamento) de valores futuros, representados por títulos.
  44. 44. Desconto• Como o dinheiro tem um valor no tempo, para antecipar um valor futuro deve-se deduzir o custo de oportunidade aplicando um desconto. descontoCapitalizaçãoLevar do Presente para o Futuro ≠DescontoTrazer do Futuro para o Presente
  45. 45. Desconto DescontoValor Presente Valor Futuro Valor Líquido Valor Nominal
  46. 46. Desconto Racional (Por Dentro)• No Desconto Racional, ou por Dentro, a taxa incide sobre o Valor Presente da operação.
  47. 47. Desconto Racional (Por Dentro)• Calcule o desconto racional e o valor líquido recebido proveniente do desconto de um título de valor nominal R$ 500,00 com vencimento para daqui a 3 meses, com uma taxa de 4,5 % a.m.
  48. 48. Desconto Racional (Por Dentro)• Calcule o desconto racional e o valor líquido recebido proveniente do desconto de um título de valor nominal R$ 500,00 com vencimento para daqui a 3 meses, com uma taxa de 4,5 % a.m.
  49. 49. Desconto Comercial (Por Fora)• No Desconto Comercial, ou por Fora, a taxa incide sobre o Valor Futuro da operação.
  50. 50. Desconto Comercial (Por Fora)• Qual o valor líquido de um título de valor nominal de R$ 500,00 com vencimento daqui a 5 meses e taxa de juros por fora de 3% a.m.
  51. 51. Desconto Comercial (Por Fora)• Qual o valor líquido de um título de valor nominal de R$ 500,00 com vencimento daqui a 5 meses e taxa de juros por fora de 3% a.m.
  52. 52. Exercícios1. Um título de valor nominal de R$ 25.000,00 é descontado 2 meses antes de seu vencimento à taxa de juros simples de 2,5% a.m.. Qual o valor recebido?2. Qual o valor do desconto comercial de título de R$ 3.000,00 descontado 90 dias antes do vencimento à taxa de 2,5%a.m?
  53. 53. Exercícios3. Um título com valor nominal de R$ 3.836,00 foi resgatado 4 meses antes de seu vencimento, tendo sido concedido desconto racional simples à taxa de 10% a.m. Qual o valor recebido?4. Considere o mesmo exercício acima, mas agora com desconto comercial. Qual seria o valor recebido?
  54. 54. Juros Compostos
  55. 55. Juros Compostos
  56. 56. Exercício / Exemplo• Qual o montante acumulado ao final de 8 meses de uma aplicação de R$ 6.000,00 a uma taxa de juros compostos de 1,2% a.m.?
  57. 57. Exercício / Exemplo• Qual o montante acumulado ao final de 8 meses de uma aplicação de R$ 6.000,00 a uma taxa de juros compostos de 1,2% a.m.?
  58. 58. Exercício / Exemplo• Calcule quanto deveria ser aplicado hoje para possibilitar um resgate de R$ 10.000,00 daqui a um ano, a uma taxa de juros compostos constante de 2,2%a.m.
  59. 59. Exercício / Exemplo• Calcule quanto deveria ser aplicado hoje para possibilitar um resgate de R$ 10.000,00 daqui a um ano, a uma taxa de juros compostos constante de 2,2%a.m.
  60. 60. Exercício / Exemplo• Sabendo que R$ 1.000,00 foram transformados em R$ 2.000,00, graças a uma taxa de 4% a.m., calcule o prazo dessa operação.
  61. 61. Exercício / Exemplo• Sabendo que R$ 1.000,00 foram transformados em R$ 2.000,00, graças a uma taxa de 4% a.m., calcule o prazo dessa operação.
  62. 62. Exercício / Exemplo• Um investimento de R$ 100.000,00 por 6 meses rendeu R$ 41.852,00 de juros. Calcule a taxa a que este capital estava aplicado.
  63. 63. Exercício / Exemplo• Um investimento de R$ 100.000,00 por 6 meses rendeu R$ 41.852,00 de juros. Calcule a taxa a que este capital estava aplicado.
  64. 64. Exercícios1) Um investimento de R$ 650.000,00 será remunerado a uma taxa de juros composto de 1,35% a.m. durante os 4 primeiros meses e com a taxa de 1,24% a.m. durante os oito meses restantes da operação. Calcule o valor do resgate após um ano de aplicação.2) João vai necessitar de R$ 12.000,00 para a compra de um equipamento daqui a 5 meses. O banco em que João possui conta oferece remuneração de 2,5%a.m. para aplicação. Quanto João terá que investir hoje para garantir a compra do equipamento tão esperado?
  65. 65. Exercícios3) Qual a taxa de juro composto que permite dobrar o capital ao final de 2 anos?4) Uma aplicação de R$ 3.600,00, com taxa de juro de 1,69% a.m. gerou um resgate de R$ 4.116,50. Calcule quanto tempo foi necessário para isso.
  66. 66. Desconto – Juros Compostos
  67. 67. Desconto Racional (“por dentro”)
  68. 68. Desconto Racional• Calcule o desconto de um título de valor nominal de US$ 600,00, descontado 5 meses antes do vencimento a uma taxa de desconto racional composto igual a 4 % a.m.
  69. 69. Desconto Comercial (“por fora”)
  70. 70. Desconto Comercial• Uma duplicata de R$ 8.000,00 foi descontada 4 meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto comercial composto de 3 % a.m.. Calcule o valor líquido da operação e o desconto sofrido pelo título.
  71. 71. Exercícios1. Qual o desconto racional de um título no valor de R$ 20.000,00 se ele for pago 2 meses antes do vencimento a uma taxa de 3,5 % a.m. no regime de juros compostos? Qual o valor a ser recebido?2. Um título será quitado 6 meses antes de seu vencimento. Sabendo que a taxa de juros cobrada “por dentro” é de 5 % a.m. e que o valor líquido recebido foi de R$ 880,50, informe o valor nominal do título.
  72. 72. 3. João comprou um imóvel na construção prometendo pagar R$ 100.000,00 na entrega das chaves. Agora, faltando 4 meses para a entrega das chaves, João recebeu um dinheiro extra e resolveu quitar logo essa dívida. A construtora propõe um desconto bancário de 2% a.m.. Quanto João terá que desembolsar hoje?4. Um cheque de R$ 15.000 descontado 3 meses antes do prazo a uma taxa por fora de 7% a.m. resulta em que valor líquido? Exercícios
  73. 73. Taxas de Juros
  74. 74. Taxa Efetiva• Taxa Efetiva é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização.• Exemplos: – 2% ao mês, capitalizados mensalmente; – 3% ao trimestre, capitalizados trimestralmente; – 6% ao semestre, capitalizados semestralmente; – 12% ao ano, capitalizados anualmente.
  75. 75. Taxas Proporcionais – Juros Simples • Taxas Proporcionais são taxas de juros fornecidas em unidade de tempo diferentes que, ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo, produzem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo, no regime de juros simples. 12% ao ano = 6% ao semestre = 3% ao trimestre = 1% ao mêsIsso só vale para Juros Simples!!!
  76. 76. Exemplos• Calcule as taxas proporcionais em meses: – 1% ao dia → 30% ao mês – 12% ao ano → 1% ao mês – 6% ao mês → 6% ao mês
  77. 77. Taxas Equivalentes – Juros Compostos • Taxas Equivalentes são taxas de juros fornecidas em unidades de tempo diferentes que ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo produzem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo, no regime de juros compostos. (1+iano) = (1+isemestre)2 = (1+itrimestre)4 = (1+imês)12 = (1+idia)360 12,6825% ao ano = 6,1520% ao semestre = 1,0000% ao mêsIsso só vale para Juros Compostos!!!
  78. 78. Exemplos
  79. 79. Taxa Nominal• Taxa Nominal é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização.• Exemplo – 12% ao ano, capitalizados mensalmente; – 24% ao ano, capitalizados semestralmente; – 10% ao ano, capitalizados trimestralmente; – 18% ao ano, capitalizados diariamente.
  80. 80. Taxa Efetiva e Taxa Nominal• 12% ao ano, capitalizados mensalmente; Nominal Efetiva• 18% ao ano, capitalizados diariamente; Nominal Efetiva Não se faz conta com Taxa Nominal. Deve-se sempre encontrar a Taxa Efetiva.
  81. 81. Exercícios• Calcule as Taxas Proporcionais: – 2% ao mês, em anos; – 1,5% ao dia em semestres; – 30% ao ano, em trimestres;
  82. 82. Exercícios• Calcule as Taxas Equivalentes: – 2% ao mês, em anos; – 1,5% ao dia em semestres; – 30% ao ano, em trimestres;
  83. 83. Séries Uniformes
  84. 84. Fluxo de Caixa – Séries Uniformes
  85. 85. Tipos de Séries de Pagamento • Postecipadas – São aquelas em que os pagamentos ocorrem no final de cada período e não na origem. tempo 0 1 2 3 … n-1 n É a mais comum!
  86. 86. Tipos de Séries de Pagamento • Antecipadas – Os pagamentos são feitos no início de cada período respectivo. tempo 0 1 2 3 … n-1 n
  87. 87. Tipos de Séries de Pagamento• Diferidas – O período de carência constitui-se em um prazo que separa o início da operação do período de pagamento da primeira parcela. Período de Carência tempo 0 1 2 3 … n-1 n
  88. 88. VP Fórmulas PMT tempo 0 1 2 3 … n-1 n ipadaPostec
  89. 89. ExemploR$ 1.000,00 = 36 x R$ 42,53 taxa de 2,45% a.m. pada Posteci
  90. 90. ExemploQuanto custa este veículo se odono pede 24 x de R$ 499,00,sem entrada, e a taxa de jurosmédia cobrada neste setor estáatualmente em 1,99% a.m.? pada Posteci
  91. 91. ipada Postec Exercícios1. O Banco XYZ está oferecendo um empréstimo de R$ 10.000,00 para pagar em 36 x com taxa de 3 % a.m. Qual o valor da prestação?2. A Caixa Econômica cobra 1,75% a.m. nos financiamentos imobiliários. Se podemos pagar prestações de até R$ 700,00 e o prazo máximo disponível é de 360 meses, qual o valor que podemos pegar emprestado?
  92. 92. Exercícios ipada Postec3. Quanto custa uma TV de LED que é anunciada em 12 parcelas de R$ 220,00 a 4,5% a.m.?4. Considerando a mesma taxa de juros, quanto custaria se o parcelamento da mesma TV fosse feito em 18 meses?
  93. 93. VP Séries Diferidas Período de Carência tempo0 1 2 3 … n-1 n VPcorrigido 0 1 tempo0 1 2 3 … n-1 n
  94. 94. VP Período de Carência Fórmulas tempo 0 1 2 3 … n-1 n i da f erDi VPcorrigido 0 1 tempo 0 1 2 3 … n-1 n
  95. 95. VPcorrigido Fórmulas 0 1 tempo 0 1 2 3 … n-1 n i da f er Di tempo 0 1 … n-1 nUma vez corrigido o VP resolve-se como uma série Postecipada normal!
  96. 96. ida f er Di ExemplosUm curso oferece uma promoção de inicie o cursoagora e só comece a pagar daqui a 3 meses.Se o valor do curso é de R$ 3.000,00, a taxa de juroscobrada é de 2,0 % a.m. e o curso deve ser pago em6 parcelas, determine o valor dessas parcelas.
  97. 97. idaFluxo de Caixa do Exemplo Di fer VP = R$ 3.000,00 Período de Carência = 3 meses tempo 0 1 2 3 … 8 9 Período de Pagamento = 6 meses
  98. 98. idaFluxo de Caixa do Exemplo Di fer VP = R$ 3.000,00 VPcorrigido 0 1 5 6 tempo 0 1 2 3 … 8 9 Período de Pagamento = 6 meses
  99. 99. idaFluxo de Caixa do Exemplo Di fer tempo 0 1 2 3 4 5 6
  100. 100. ida fer Exercício Di1. O BNDES financia caminhões com carência de 6 meses. Se um caminhão custa R$ 120.000,00, podendo ser financiado até 70% com juros de 2,85%a.m. em 36 meses após a carência, quanto custará a prestação?

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