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M a
     Milton Henrique do Couto Neto
         miltonh@terra.com.br
Revisão de
Matemática
Elementar
Operações Algébricas Básicas
• Ao resolver operações algébricas, deve-se
  sempre resolver as operações na seguinte
  ordem:
  1. Potenciação ou Radiciação
  2. Multiplicação ou Divisão
  3. Adição ou Subtração
Operações Algébricas Básicas
• Ao resolver operações algébricas com
  parênteses, colchetes e chaves , deve-se sempre
  resolver as operações na seguinte ordem:
  1. Parênteses
  2. Colchetes
  3. Chaves
Operações com Percentagens


          Forma
        Percentual

                                                 Forma
                                                Unitária


Converta para a forma percentual: (a) 0,57 (b) 2,08 (c) 1,41.

Converta para a forma unitária: (a) 163% (b) 2.107% (c) 12%.

  Calcule: (a) 25% de 350; (b) 42% de 68 ; (c) 127% de 560
Operações com Percentagens
• Em operações que envolvem aumentos
  percentuais, para obter o valor final, basta
  multiplicar o valor inicial por (1 + variação
  percentual em forma unitária).



  Um carro foi comprado por R$ 15.000,00. Por quanto deverá ser vendido para
                 permitir um ganho de 25% sobre o preço inicial?

Se uma geladeira, que custa R$ 800,00 entrar em promoção com desconto de 20%
                sobre o preço original, quanto passará a custar?
Regra de 3 Simples                                Cresce na mesma
                                                                      proporção

                     3 homens comem 2 pizzas
                 6 homens comerão quantas pizzas?

                    3 homens          →         2 pizzas

                   6 homens           →         X pizzas




Se 2 pares de tênis custam R$ 250,00, quanto custarão 5 pares do
                          mesmo tênis?
Regra de 3 Inversa                                   Cresce em
                                                                       proporção
                                                                        inversa
               5 homens constroem a casa em 2 meses
              10 homens construirão em quanto tempo?
                                                                    Inverti esse lado!
                    5 homens           →        2 meses

                    10 homens          →        X meses




Numa residência com 4 pessoas, uma caixa d’água de 1.000 litros é
 suficiente para 3 dias de consumo. Se chegarem mais 2 hóspedes
      quanto tempo irá durar a água da mesma caixa d’água?
Potenciação


                                        n vezes




Casos especiais que merecem destaque:
Potenciação
Aplicadas as regras descritas anteriormente, resolva as seguintes potências:

a)73
b)52 x 53
c)25 x 87
d)450
Radiciação
Equações de Primeiro Grau
Uma mercadoria custava R$ 400,00. Um dia esta
mesma mercadoria apareceu custando R$ 430,00. De
quanto foi o aumento?




          Primeiro membro    Segundo membro



    Ambos os membros podem ser acrescidos ou subtraídos de uma
     constante sem alterar a igualdade;

    Assim também os membros também pode ser multiplicados ou divididos
     por uma constante.
Equações de Primeiro Grau




O triplo de um número subtraído de 8 é igual a 37. Qual é esse número?
Equações de Segundo Grau

 Resolução




Se b2 – 4.a.c for:

a)> 0 → 2 soluções distintas;

b)= 0 → 2 soluções iguais;

c)< 0 → não apresenta soluções reais;
Equações de Segundo Grau

Encontre o valor de X:

a)X2 – 3X + 2 = 0

b)X2 + 4X + 4 = 0

c)X2 – 2x + 2 = 0
Lista de Exercícios
1. Há oito anos, Pedro tinha a metade da idade
   que tem hoje. Qual a sua idade atual?

2. Em uma determinada empresa, em forma de
   Sociedade Anônima, com capital dividido em
   350 milhões de ações, João possui 0,3% do
   capital dessa empresa. Considerando que será
   dada uma bonificação de uma nova ação para
   cada 7 ações que já possui, com quantas ações o
   João ficará?
Lista de Exercícios
3. Certa máquina, trabalhando 12 horas por dia,
   consome, em 30 dias, 9780 kg de carvão.
   Considerando que esta máquina irá operar
   12 horas e 30 minutos por dia, durante 90
   dias ininterruptos e que o kg do carvão custa
   R$ 800,00 qual será o custo total gasto pela
   máquina?

4. Quanto é 25% da terça parte de 1026?
Lista de Exercícios
5. Um comerciante comprou 10 sacas de
   batata, de 10 kg cada, por R$ 2.100,00. Por
   quanto deve vender cada kg para obter um
   lucro de 20%?

6. Um produto foi vendido por R$ 14.400,00
   com prejuízo de 10% do preço da compra.
   Qual foi o preço da compra?
Lista de Exercício
7. Dividiu-se um terreno de 1.296 m2 em 3 lotes. A
   área do primeiro corresponde a 4/5 da área do
   segundo e a área do terceiro é igual a soma das
   outras áreas. Qual o tamanho do maior lote?

8. Uma pessoa vai de A para B a 50 km/h de média
   e depois retorna de B para A numa velocidade
   média de 75 km/h. Qual a velocidade média
   total?
Lista de Exercícios
9. Num dia de futebol, as torcidas do time A e B
   compareceram na razão de 3 para 4. Sendo a
   lotação neste dia de 77 mil torcedores,
   quantos eram torcedores do time B?

10.Calcule as soluções para:
   X2 – 9x + 6 = 0
   X2 + 5x + 4 = 0
   X2 – 7x + 9 = 0
Matemática Financeira

  1) Introdução
Tempo e Dinheiro

Alguém aí me empresta
 R$ 1.000,00 para eu
 pagar no mês que
 vem???
Dinheiro tem um custo associado ao
                tempo
 Fatores que influenciam a preferência
  pela posse atual do dinheiro:
  – RISCO: Sempre haverá o risco de não
    RISCO
    recer os valores programados em
    decorrência de imprevistos;
  – UTILIDADE: O investimento implica em
    UTILIDADE
    não consumir hoje para consumir no
    futuro;
  – OPORTUNIDADE: A posse do dinheiro
    OPORTUNIDADE
    permite aproveitar as oportunidades
    mais rentáveis que aparecerem.
Matemática
                 Financeira




Conjunto de técnicas e formulações extraídas da
matemática, com o objetivo de resolver problemas
relacionados às Finanças de modo geral e, que,
basicamente, consistem no estudo do valor do
dinheiro no tempo.
            tempo
Juro

 Remuneração do capital,
  a qualquer título.
             título



  a) Remuneração do capital empregado em atividades produtivas;
  b) Custo do capital de terceiros;
  c) Remuneração paga pelas instituições financeiras sobre o capial
     nelas empregado.
Juro
 O Juro J também é o resultado da diferença do
  capital final F e do capital inicial P da operação
  financeira conhecida:

                   J=F-P
   O resultado do cálculo de J é um
   valor monetário, um dado absoluto
   que não identifica o prazo de
   geração de J
Taxa de Juros
   É a velocidade com que o Juros aumenta!




A taxa unitária I é o juro gerado
por uma unidade de capital inicial
$ 1 associado com o período de
tempo de geração do juro.
Taxa de Juros – Unidade de
               Medida
 Os juros são fixados por meio de uma taxa
  percentual que sempre se refere a uma
  unidade de tempo (ano, semestre, trimestre,
  mês, dia, etc.).

   Exemplo:
      12% a.a. = 12 % ao ano;
      4% a.s. = 4 % ao semestre;
      1% a.m. = 1 % ao mês
Variáveis Importantes
• Capital, Principal ou Valor Presente (C, P ou VP)
                                                VP
   – É o recurso aplicado;

• Taxa (i)
   – É o coeficiente obtido da relaçãoo dos juros (J) com o capital (C), que pode
     ser representado em forma percentual ou unitária.

• Prazo ou Tempo ou Períodos (n)
   – É o tempo necessário que um certo capital (C), aplicado a uma taxa (i),
     necessita para produzir um montane (M).

• Montante ou Valor Futuro (M ou VF)
                                 VF
   – É a quantidade monetária acumulada resultante de uma operação
     comercial ou financeira após um determinado período de tempo.
Diagrama de
Fluxo de Caixa
  (+) entradas




                 Tempo (n)




   (-) saídas
Regime de Capitalização dos Juros


                Juros Simples

                Juros Compostos
Regimes de Capitalização
• Suponha que você tenha investido R$
  10.000,00 pelo prazo de 12 meses com
  pagamento mensal de juro calculado com a
  taxa de juro de 2% ao mês.
Regimes de Capitalização
        Sem reinvestir os juros
Meses   Juro Mensal      Juros     Valor Futuro
            (2%)      acumulados
 1        200,00       200,00      10.200,00
 2        200,00       400,00      10.400,00
 3        200,00       600,00      10.600,00
 4        200,00       800,00      10.800,00
 5        200,00       1.000,00    11.000,00
 6        200,00       1.200,00    11.200,00
 7        200,00       1.400,00    11.400,00
 8        200,00       1.600,00    11.600,00
 9        200,00       1.800,00    11.800,00
 10       200,00       2.000,00    12.000,00
 11       200,00       2.200,00    12.200,00
 12       200,00       2.400,00    12.400,00
Regimes de Capitalização
                        Reinvestindo os juros
Meses                  Juro Mensal      Juros     Valor Futuro
                           (2%)      acumulados
 1                       200,00       200,00      10.200,00
 2                       204,00       404,00      10.404,00
 3                       208,08       612,08      10.612,08
 4                       212,24       824,32      10.824,32
 5                       216,49       1.040,81    11.040,81
 6                       220,81       1.261,62    11.261,62
 7                       225,24       1.486,86    11.486,86
 8                       229,73       1.716,59    11.716,59
 9                       234,34       1.950,93    11.950,93
 10                      239,01       2.189,94    12.189,94
 11                      243,80       2.433,74    12.433,74
 12                      248,68       2.682,42    12.682,42
Regimes de Capitalização
        Sem reinvestir os juros                    Reinvestindo os juros
Meses   Juro Mensal      Juros     Valor Futuro   Juro Mensal      Juros     Valor Futuro
            (2%)      acumulados                      (2%)      acumulados
 1        200,00       200,00      10.200,00        200,00       200,00      10.200,00
 2        200,00       400,00      10.400,00        204,00       404,00      10.404,00
 3        200,00       600,00      10.600,00        208,08       612,08      10.612,08
 4        200,00       800,00      10.800,00        212,24       824,32      10.824,32
 5        200,00       1.000,00    11.000,00        216,49       1.040,81    11.040,81
 6        200,00       1.200,00    11.200,00        220,81       1.261,62    11.261,62
 7        200,00       1.400,00    11.400,00        225,24       1.486,86    11.486,86
 8        200,00       1.600,00    11.600,00        229,73       1.716,59    11.716,59
 9        200,00       1.800,00    11.800,00        234,34       1.950,93    11.950,93
 10       200,00       2.000,00    12.000,00        239,01       2.189,94    12.189,94
 11       200,00       2.200,00    12.200,00        243,80       2.433,74    12.433,74
 12       200,00       2.400,00    12.400,00        248,68       2.682,42    12.682,42
Regimes de Capitalização
            JUROS SIMPLES                                 JUROS
                                                        COMPOSTOS
Meses   Juro Mensal      Juros     Valor Futuro   Juro Mensal      Juros     Valor Futuro
            (2%)      acumulados                      (2%)      acumulados
 1        200,00       200,00      10.200,00        200,00       200,00      10.200,00
 2        200,00       400,00      10.400,00        204,00       404,00      10.404,00
 3        200,00       600,00      10.600,00        208,08       612,08      10.612,08
 4        200,00       800,00      10.800,00        212,24       824,32      10.824,32
 5        200,00       1.000,00    11.000,00        216,49       1.040,81    11.040,81
 6        200,00       1.200,00    11.200,00        220,81       1.261,62    11.261,62
 7        200,00       1.400,00    11.400,00        225,24       1.486,86    11.486,86
 8        200,00       1.600,00    11.600,00        229,73       1.716,59    11.716,59
 9        200,00       1.800,00    11.800,00        234,34       1.950,93    11.950,93
 10       200,00       2.000,00    12.000,00        239,01       2.189,94    12.189,94
 11       200,00       2.200,00    12.200,00        243,80       2.433,74    12.433,74
Juros Simples
Característica Principal
 Os juros gerados durante a operação são
  acumulados SEM REMUNERAÇÃO até o final
  da operação, quando são capitalizados.
Crescimento Linear
Ano     Saldo Início do Ano            Juros no Ano             Saldo no final do Ano
 1    R$              1.000,00   8% x R$ 1.000,00 = R$ 80,00   R$              1.080,00
 2    R$              1.080,00   8% x R$ 1.000,00 = R$ 80,00   R$              1.160,00
 3    R$              1.160,00   8% x R$ 1.000,00 = R$ 80,00   R$              1.240,00
 4    R$              1.240,00   8% x R$ 1.000,00 = R$ 80,00   R$              1.320,00
Fórmulas
Fórmula para Valor Futuro



Fórmula para Valor Presente




Fórmula para Taxa de Juros




    Fórmula para Prazo
Exercícios
1. Foram aplicados R$ 8.500,00 durante 5 meses
   com taxa de juros de 2,14% ao mês. Calcule o
   valor do resgate no regime de juros simples.
2. Suponha que você aplicou R$ 5.500,00 com taxa
   de juros de 1,45% ao mês (considere juro
   simples). Calcule o prazo necessário para que a
   aplicação alcance R$ 6.058,25.
3. Foram aplicados R$ 3.000,00 durante 5 meses,
   no regime de juros simples. Ao final do quinto
   mês foram resgatados R$ 3.850,50. Calcule a
   taxa de juros da operação.
Descontos


Juros Simples
Descontos



• As operações de desconto representam a
  antecipação do recebimento (ou pagamento)
  de valores futuros, representados por títulos.
Desconto
• Como o dinheiro tem um valor no tempo, para
  antecipar um valor futuro deve-se deduzir o
  custo de oportunidade aplicando um
  desconto.
  desconto
Capitalização
Levar do Presente para o Futuro

      ≠
Desconto
Trazer do Futuro para o Presente
Desconto



                            Desconto


Valor Presente              Valor Futuro
 Valor Líquido              Valor Nominal
Desconto Racional (Por Dentro)
• No Desconto Racional, ou por Dentro, a taxa
  incide sobre o Valor Presente da operação.
Desconto Racional (Por Dentro)
• Calcule o desconto racional e o valor líquido recebido
  proveniente do desconto de um título de valor nominal R$
  500,00 com vencimento para daqui a 3 meses, com uma taxa
  de 4,5 % a.m.
Desconto Racional (Por Dentro)
• Calcule o desconto racional e o valor líquido recebido
  proveniente do desconto de um título de valor nominal R$
  500,00 com vencimento para daqui a 3 meses, com uma taxa
  de 4,5 % a.m.
Desconto Comercial (Por Fora)
• No Desconto Comercial, ou por Fora, a taxa
  incide sobre o Valor Futuro da operação.
Desconto Comercial (Por Fora)
• Qual o valor líquido de um título de valor nominal de R$
  500,00 com vencimento daqui a 5 meses e taxa de juros por
  fora de 3% a.m.
Desconto Comercial (Por Fora)
• Qual o valor líquido de um título de valor nominal de R$
  500,00 com vencimento daqui a 5 meses e taxa de juros por
  fora de 3% a.m.
Exercícios
1. Um título de valor nominal
   de R$ 25.000,00 é
   descontado 2 meses antes
   de seu vencimento à taxa
   de juros simples de 2,5%
   a.m.. Qual o valor
   recebido?



2. Qual o valor do desconto
   comercial de título de R$
   3.000,00 descontado 90
   dias antes do vencimento à
   taxa de 2,5%a.m?
Exercícios
3. Um título com valor nominal de
   R$ 3.836,00 foi resgatado 4
   meses antes de seu vencimento,
   tendo sido concedido desconto
   racional simples à taxa de 10%
   a.m. Qual o valor recebido?



4. Considere o mesmo exercício
   acima, mas agora com desconto
   comercial. Qual seria o valor
   recebido?
Juros Compostos
Juros Compostos
Exercício / Exemplo
• Qual o montante acumulado ao final de 8
  meses de uma aplicação de R$ 6.000,00 a uma
  taxa de juros compostos de 1,2% a.m.?
Exercício / Exemplo
• Qual o montante acumulado ao final de 8
  meses de uma aplicação de R$ 6.000,00 a uma
  taxa de juros compostos de 1,2% a.m.?
Exercício / Exemplo
• Calcule quanto deveria ser aplicado hoje para
  possibilitar um resgate de R$ 10.000,00 daqui
  a um ano, a uma taxa de juros compostos
  constante de 2,2%a.m.
Exercício / Exemplo
• Calcule quanto deveria ser aplicado hoje para
  possibilitar um resgate de R$ 10.000,00 daqui
  a um ano, a uma taxa de juros compostos
  constante de 2,2%a.m.
Exercício / Exemplo
• Sabendo que R$ 1.000,00 foram transformados
  em R$ 2.000,00, graças a uma taxa de 4% a.m.,
  calcule o prazo dessa operação.
Exercício / Exemplo
• Sabendo que R$ 1.000,00 foram transformados
  em R$ 2.000,00, graças a uma taxa de 4% a.m.,
  calcule o prazo dessa operação.
Exercício / Exemplo
• Um investimento de R$ 100.000,00 por 6
  meses rendeu R$ 41.852,00 de juros. Calcule a
  taxa a que este capital estava aplicado.
Exercício / Exemplo
• Um investimento de R$ 100.000,00 por 6
  meses rendeu R$ 41.852,00 de juros. Calcule a
  taxa a que este capital estava aplicado.
Exercícios
1) Um investimento de R$ 650.000,00 será
   remunerado a uma taxa de juros
   composto de 1,35% a.m. durante os 4
   primeiros meses e com a taxa de 1,24%
   a.m. durante os oito meses restantes da
   operação. Calcule o valor do resgate
   após um ano de aplicação.

2) João vai necessitar de R$ 12.000,00 para
   a compra de um equipamento daqui a 5
   meses. O banco em que João possui
   conta oferece remuneração de 2,5%a.m.
   para aplicação. Quanto João terá que
   investir hoje para garantir a compra do
   equipamento tão esperado?
Exercícios

3) Qual a taxa de juro composto que permite dobrar o capital ao
   final de 2 anos?



4) Uma aplicação de R$ 3.600,00, com taxa de juro de 1,69%
   a.m. gerou um resgate de R$ 4.116,50. Calcule quanto tempo
   foi necessário para isso.
Desconto – Juros Compostos
Desconto Racional (“por dentro”)
Desconto Racional
• Calcule o desconto de um título de valor nominal de US$
  600,00, descontado 5 meses antes do vencimento a uma taxa
  de desconto racional composto igual a 4 % a.m.
Desconto Comercial (“por fora”)
Desconto Comercial
• Uma duplicata de R$ 8.000,00 foi descontada 4 meses antes
  do vencimento, a uma taxa de desconto comercial composto
  de 3 % a.m.. Calcule o valor líquido da operação e o desconto
  sofrido pelo título.
Exercícios


1. Qual o desconto racional de um título no valor de R$
   20.000,00 se ele for pago 2 meses antes do vencimento a
   uma taxa de 3,5 % a.m. no regime de juros compostos? Qual
   o valor a ser recebido?

2. Um título será quitado 6 meses antes de seu vencimento.
   Sabendo que a taxa de juros cobrada “por dentro” é de 5 %
   a.m. e que o valor líquido recebido foi de R$ 880,50, informe
   o valor nominal do título.
3. João comprou um imóvel na construção prometendo pagar
   R$ 100.000,00 na entrega das chaves. Agora, faltando 4
   meses para a entrega das chaves, João recebeu um dinheiro
   extra e resolveu quitar logo essa dívida. A construtora
   propõe um desconto bancário de 2% a.m.. Quanto João terá
   que desembolsar hoje?

4. Um cheque de R$ 15.000 descontado 3 meses antes do
   prazo a uma taxa por fora de 7% a.m. resulta em que valor
   líquido?




     Exercícios
Taxas de Juros
Taxa Efetiva

• Taxa Efetiva é a taxa de juros em que a unidade
  referencial de seu tempo coincide com a unidade
  de tempo dos períodos de capitalização.

• Exemplos:
  –   2% ao mês, capitalizados mensalmente;
  –   3% ao trimestre, capitalizados trimestralmente;
  –   6% ao semestre, capitalizados semestralmente;
  –   12% ao ano, capitalizados anualmente.
Taxas Proporcionais – Juros
                 Simples
  • Taxas Proporcionais são taxas de juros
    fornecidas em unidade de tempo diferentes que,
    ao serem aplicadas a um mesmo principal
    durante um mesmo prazo, produzem um mesmo
    montante acumulado no final daquele prazo, no
    regime de juros simples.

   12% ao ano = 6% ao semestre = 3% ao trimestre = 1% ao mês


Isso só vale para Juros Simples!!!
Exemplos
• Calcule as taxas proporcionais
  em meses:

  – 1% ao dia   →     30% ao mês

  – 12% ao ano →      1% ao mês

  – 6% ao mês   →     6% ao mês
Taxas Equivalentes – Juros Compostos
     • Taxas Equivalentes são taxas de juros fornecidas
       em unidades de tempo diferentes que ao serem
       aplicadas a um mesmo principal durante um
       mesmo prazo produzem um mesmo montante
       acumulado no final daquele prazo, no regime de
       juros compostos.
 (1+iano) = (1+isemestre)2 = (1+itrimestre)4 = (1+imês)12 = (1+idia)360

   12,6825% ao ano = 6,1520% ao semestre = 1,0000% ao mês

Isso só vale para Juros Compostos!!!
Exemplos
Taxa Nominal
• Taxa Nominal é a taxa de juros em que a unidade
  referencial de seu tempo não coincide com a
  unidade de tempo dos períodos de capitalização.

• Exemplo
  –   12% ao ano, capitalizados mensalmente;
  –   24% ao ano, capitalizados semestralmente;
  –   10% ao ano, capitalizados trimestralmente;
  –   18% ao ano, capitalizados diariamente.
Taxa Efetiva e Taxa Nominal
•   12% ao ano, capitalizados mensalmente;   Nominal


                                             Efetiva




•   18% ao ano, capitalizados diariamente;   Nominal


                                             Efetiva



       Não se faz conta com Taxa Nominal.
     Deve-se sempre encontrar a Taxa Efetiva.
Exercícios
• Calcule as Taxas Proporcionais:




  – 2% ao mês, em anos;

  – 1,5% ao dia em semestres;

  – 30% ao ano, em trimestres;
Exercícios
• Calcule as Taxas Equivalentes:

  – 2% ao mês, em anos;

  – 1,5% ao dia em semestres;

  – 30% ao ano, em trimestres;
Séries Uniformes
Fluxo de Caixa – Séries Uniformes
Tipos de Séries de Pagamento
 • Postecipadas
   – São aquelas em que os pagamentos ocorrem no
     final de cada período e não na origem.




                                                tempo
     0     1      2     3      …    n-1     n



          É a mais comum!
Tipos de Séries de Pagamento
 • Antecipadas
   – Os pagamentos são feitos no início de cada
     período respectivo.




                                                      tempo
     0      1      2      3      …     n-1        n
Tipos de Séries de Pagamento
• Diferidas
  – O período de carência constitui-se em um prazo que
    separa o início da operação do período de pagamento
    da primeira parcela.
           Período de Carência




                                                   tempo
      0       1         2        3   …   n-1   n
VP
                       Fórmulas

                         PMT


                                             tempo
     0         1   2     3     …   n-1   n




       ipada
Postec
Exemplo

R$ 1.000,00 = 36 x R$ 42,53
    taxa de 2,45% a.m.




                    pada
            Posteci
Exemplo
Quanto custa este veículo se o
dono pede 24 x de R$ 499,00,
sem entrada, e a taxa de juros
média cobrada neste setor está
atualmente em 1,99% a.m.?




                         pada
                 Posteci
ipada
                                             Postec
                       Exercícios

1. O Banco XYZ está oferecendo um empréstimo de R$
   10.000,00 para pagar em 36 x com taxa de 3 % a.m. Qual
   o valor da prestação?

2. A Caixa Econômica cobra 1,75% a.m. nos financiamentos
   imobiliários. Se podemos pagar prestações de até R$
   700,00 e o prazo máximo disponível é de 360 meses, qual
   o valor que podemos pegar emprestado?
Exercícios                    ipada
                                           Postec
3. Quanto custa uma TV de LED que é
   anunciada em 12 parcelas de R$ 220,00
   a 4,5% a.m.?

4. Considerando a mesma taxa de juros,
   quanto custaria se o parcelamento da
   mesma TV fosse feito em 18 meses?
VP
               Séries Diferidas
     Período de Carência




                                                       tempo
0      1           2             3       …   n-1   n

               VPcorrigido


                             0       1



                                                       tempo
0      1           2             3       …   n-1   n
VP        Período de Carência                  Fórmulas


                                                                  tempo
      0           1           2             3       …   n-1   n

        i da
   f er
Di                        VPcorrigido


                                        0       1



                                                                  tempo
      0           1           2             3       …   n-1   n
VPcorrigido
                                                    Fórmulas
                                    0       1



                                                                tempo
         0        1       2             3       …     n-1   n


           i da
      f er
   Di




                                                                tempo
                           0            1       …     n-1   n

Uma vez corrigido o VP resolve-se como uma série Postecipada normal!
ida
                                          f er
                                       Di


                                 Exemplos
Um curso oferece uma promoção de inicie o curso
agora e só comece a pagar daqui a 3 meses.

Se o valor do curso é de R$ 3.000,00, a taxa de juros
cobrada é de 2,0 % a.m. e o curso deve ser pago em
6 parcelas, determine o valor dessas parcelas.
ida
Fluxo de Caixa do Exemplo                                              Di
                                                                          fer
 VP = R$ 3.000,00


      Período de Carência = 3 meses




                                                                        tempo
  0          1          2         3            …        8          9


                                      Período de Pagamento = 6 meses
ida
Fluxo de Caixa do Exemplo                                        Di
                                                                    fer
   VP = R$ 3.000,00   VPcorrigido




                                0        1                  5         6



                                                                     tempo
   0         1        2             3        …        8          9


                                    Período de Pagamento = 6 meses
ida
Fluxo de Caixa do Exemplo       Di
                                   fer




                                tempo
  0    1   2   3    4   5   6
ida
                                            fer
                        Exercício        Di



1. O BNDES financia caminhões com carência de 6
   meses. Se um caminhão custa R$ 120.000,00,
   podendo ser financiado até 70% com juros de
   2,85%a.m. em 36 meses após a carência,
   quanto custará a prestação?

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Matemática Financeira 2012_02

  • 1. ce i ra a n a Fin á t ic te m M a Milton Henrique do Couto Neto miltonh@terra.com.br
  • 3. Operações Algébricas Básicas • Ao resolver operações algébricas, deve-se sempre resolver as operações na seguinte ordem: 1. Potenciação ou Radiciação 2. Multiplicação ou Divisão 3. Adição ou Subtração
  • 4. Operações Algébricas Básicas • Ao resolver operações algébricas com parênteses, colchetes e chaves , deve-se sempre resolver as operações na seguinte ordem: 1. Parênteses 2. Colchetes 3. Chaves
  • 5. Operações com Percentagens Forma Percentual Forma Unitária Converta para a forma percentual: (a) 0,57 (b) 2,08 (c) 1,41. Converta para a forma unitária: (a) 163% (b) 2.107% (c) 12%. Calcule: (a) 25% de 350; (b) 42% de 68 ; (c) 127% de 560
  • 6. Operações com Percentagens • Em operações que envolvem aumentos percentuais, para obter o valor final, basta multiplicar o valor inicial por (1 + variação percentual em forma unitária). Um carro foi comprado por R$ 15.000,00. Por quanto deverá ser vendido para permitir um ganho de 25% sobre o preço inicial? Se uma geladeira, que custa R$ 800,00 entrar em promoção com desconto de 20% sobre o preço original, quanto passará a custar?
  • 7. Regra de 3 Simples Cresce na mesma proporção 3 homens comem 2 pizzas 6 homens comerão quantas pizzas? 3 homens → 2 pizzas 6 homens → X pizzas Se 2 pares de tênis custam R$ 250,00, quanto custarão 5 pares do mesmo tênis?
  • 8. Regra de 3 Inversa Cresce em proporção inversa 5 homens constroem a casa em 2 meses 10 homens construirão em quanto tempo? Inverti esse lado! 5 homens → 2 meses 10 homens → X meses Numa residência com 4 pessoas, uma caixa d’água de 1.000 litros é suficiente para 3 dias de consumo. Se chegarem mais 2 hóspedes quanto tempo irá durar a água da mesma caixa d’água?
  • 9. Potenciação n vezes Casos especiais que merecem destaque:
  • 10. Potenciação Aplicadas as regras descritas anteriormente, resolva as seguintes potências: a)73 b)52 x 53 c)25 x 87 d)450
  • 12. Equações de Primeiro Grau Uma mercadoria custava R$ 400,00. Um dia esta mesma mercadoria apareceu custando R$ 430,00. De quanto foi o aumento? Primeiro membro Segundo membro  Ambos os membros podem ser acrescidos ou subtraídos de uma constante sem alterar a igualdade;  Assim também os membros também pode ser multiplicados ou divididos por uma constante.
  • 13. Equações de Primeiro Grau O triplo de um número subtraído de 8 é igual a 37. Qual é esse número?
  • 14. Equações de Segundo Grau Resolução Se b2 – 4.a.c for: a)> 0 → 2 soluções distintas; b)= 0 → 2 soluções iguais; c)< 0 → não apresenta soluções reais;
  • 15. Equações de Segundo Grau Encontre o valor de X: a)X2 – 3X + 2 = 0 b)X2 + 4X + 4 = 0 c)X2 – 2x + 2 = 0
  • 16. Lista de Exercícios 1. Há oito anos, Pedro tinha a metade da idade que tem hoje. Qual a sua idade atual? 2. Em uma determinada empresa, em forma de Sociedade Anônima, com capital dividido em 350 milhões de ações, João possui 0,3% do capital dessa empresa. Considerando que será dada uma bonificação de uma nova ação para cada 7 ações que já possui, com quantas ações o João ficará?
  • 17. Lista de Exercícios 3. Certa máquina, trabalhando 12 horas por dia, consome, em 30 dias, 9780 kg de carvão. Considerando que esta máquina irá operar 12 horas e 30 minutos por dia, durante 90 dias ininterruptos e que o kg do carvão custa R$ 800,00 qual será o custo total gasto pela máquina? 4. Quanto é 25% da terça parte de 1026?
  • 18. Lista de Exercícios 5. Um comerciante comprou 10 sacas de batata, de 10 kg cada, por R$ 2.100,00. Por quanto deve vender cada kg para obter um lucro de 20%? 6. Um produto foi vendido por R$ 14.400,00 com prejuízo de 10% do preço da compra. Qual foi o preço da compra?
  • 19. Lista de Exercício 7. Dividiu-se um terreno de 1.296 m2 em 3 lotes. A área do primeiro corresponde a 4/5 da área do segundo e a área do terceiro é igual a soma das outras áreas. Qual o tamanho do maior lote? 8. Uma pessoa vai de A para B a 50 km/h de média e depois retorna de B para A numa velocidade média de 75 km/h. Qual a velocidade média total?
  • 20. Lista de Exercícios 9. Num dia de futebol, as torcidas do time A e B compareceram na razão de 3 para 4. Sendo a lotação neste dia de 77 mil torcedores, quantos eram torcedores do time B? 10.Calcule as soluções para:  X2 – 9x + 6 = 0  X2 + 5x + 4 = 0  X2 – 7x + 9 = 0
  • 21. Matemática Financeira 1) Introdução
  • 22. Tempo e Dinheiro Alguém aí me empresta R$ 1.000,00 para eu pagar no mês que vem???
  • 23. Dinheiro tem um custo associado ao tempo  Fatores que influenciam a preferência pela posse atual do dinheiro: – RISCO: Sempre haverá o risco de não RISCO recer os valores programados em decorrência de imprevistos; – UTILIDADE: O investimento implica em UTILIDADE não consumir hoje para consumir no futuro; – OPORTUNIDADE: A posse do dinheiro OPORTUNIDADE permite aproveitar as oportunidades mais rentáveis que aparecerem.
  • 24. Matemática Financeira Conjunto de técnicas e formulações extraídas da matemática, com o objetivo de resolver problemas relacionados às Finanças de modo geral e, que, basicamente, consistem no estudo do valor do dinheiro no tempo. tempo
  • 25. Juro  Remuneração do capital, a qualquer título. título a) Remuneração do capital empregado em atividades produtivas; b) Custo do capital de terceiros; c) Remuneração paga pelas instituições financeiras sobre o capial nelas empregado.
  • 26. Juro  O Juro J também é o resultado da diferença do capital final F e do capital inicial P da operação financeira conhecida: J=F-P O resultado do cálculo de J é um valor monetário, um dado absoluto que não identifica o prazo de geração de J
  • 27. Taxa de Juros  É a velocidade com que o Juros aumenta! A taxa unitária I é o juro gerado por uma unidade de capital inicial $ 1 associado com o período de tempo de geração do juro.
  • 28. Taxa de Juros – Unidade de Medida  Os juros são fixados por meio de uma taxa percentual que sempre se refere a uma unidade de tempo (ano, semestre, trimestre, mês, dia, etc.).  Exemplo:  12% a.a. = 12 % ao ano;  4% a.s. = 4 % ao semestre;  1% a.m. = 1 % ao mês
  • 29. Variáveis Importantes • Capital, Principal ou Valor Presente (C, P ou VP) VP – É o recurso aplicado; • Taxa (i) – É o coeficiente obtido da relaçãoo dos juros (J) com o capital (C), que pode ser representado em forma percentual ou unitária. • Prazo ou Tempo ou Períodos (n) – É o tempo necessário que um certo capital (C), aplicado a uma taxa (i), necessita para produzir um montane (M). • Montante ou Valor Futuro (M ou VF) VF – É a quantidade monetária acumulada resultante de uma operação comercial ou financeira após um determinado período de tempo.
  • 30. Diagrama de Fluxo de Caixa (+) entradas Tempo (n) (-) saídas
  • 31. Regime de Capitalização dos Juros  Juros Simples  Juros Compostos
  • 32. Regimes de Capitalização • Suponha que você tenha investido R$ 10.000,00 pelo prazo de 12 meses com pagamento mensal de juro calculado com a taxa de juro de 2% ao mês.
  • 33. Regimes de Capitalização Sem reinvestir os juros Meses Juro Mensal Juros Valor Futuro (2%) acumulados 1 200,00 200,00 10.200,00 2 200,00 400,00 10.400,00 3 200,00 600,00 10.600,00 4 200,00 800,00 10.800,00 5 200,00 1.000,00 11.000,00 6 200,00 1.200,00 11.200,00 7 200,00 1.400,00 11.400,00 8 200,00 1.600,00 11.600,00 9 200,00 1.800,00 11.800,00 10 200,00 2.000,00 12.000,00 11 200,00 2.200,00 12.200,00 12 200,00 2.400,00 12.400,00
  • 34. Regimes de Capitalização Reinvestindo os juros Meses Juro Mensal Juros Valor Futuro (2%) acumulados 1 200,00 200,00 10.200,00 2 204,00 404,00 10.404,00 3 208,08 612,08 10.612,08 4 212,24 824,32 10.824,32 5 216,49 1.040,81 11.040,81 6 220,81 1.261,62 11.261,62 7 225,24 1.486,86 11.486,86 8 229,73 1.716,59 11.716,59 9 234,34 1.950,93 11.950,93 10 239,01 2.189,94 12.189,94 11 243,80 2.433,74 12.433,74 12 248,68 2.682,42 12.682,42
  • 35. Regimes de Capitalização Sem reinvestir os juros Reinvestindo os juros Meses Juro Mensal Juros Valor Futuro Juro Mensal Juros Valor Futuro (2%) acumulados (2%) acumulados 1 200,00 200,00 10.200,00 200,00 200,00 10.200,00 2 200,00 400,00 10.400,00 204,00 404,00 10.404,00 3 200,00 600,00 10.600,00 208,08 612,08 10.612,08 4 200,00 800,00 10.800,00 212,24 824,32 10.824,32 5 200,00 1.000,00 11.000,00 216,49 1.040,81 11.040,81 6 200,00 1.200,00 11.200,00 220,81 1.261,62 11.261,62 7 200,00 1.400,00 11.400,00 225,24 1.486,86 11.486,86 8 200,00 1.600,00 11.600,00 229,73 1.716,59 11.716,59 9 200,00 1.800,00 11.800,00 234,34 1.950,93 11.950,93 10 200,00 2.000,00 12.000,00 239,01 2.189,94 12.189,94 11 200,00 2.200,00 12.200,00 243,80 2.433,74 12.433,74 12 200,00 2.400,00 12.400,00 248,68 2.682,42 12.682,42
  • 36. Regimes de Capitalização JUROS SIMPLES JUROS COMPOSTOS Meses Juro Mensal Juros Valor Futuro Juro Mensal Juros Valor Futuro (2%) acumulados (2%) acumulados 1 200,00 200,00 10.200,00 200,00 200,00 10.200,00 2 200,00 400,00 10.400,00 204,00 404,00 10.404,00 3 200,00 600,00 10.600,00 208,08 612,08 10.612,08 4 200,00 800,00 10.800,00 212,24 824,32 10.824,32 5 200,00 1.000,00 11.000,00 216,49 1.040,81 11.040,81 6 200,00 1.200,00 11.200,00 220,81 1.261,62 11.261,62 7 200,00 1.400,00 11.400,00 225,24 1.486,86 11.486,86 8 200,00 1.600,00 11.600,00 229,73 1.716,59 11.716,59 9 200,00 1.800,00 11.800,00 234,34 1.950,93 11.950,93 10 200,00 2.000,00 12.000,00 239,01 2.189,94 12.189,94 11 200,00 2.200,00 12.200,00 243,80 2.433,74 12.433,74
  • 38. Característica Principal  Os juros gerados durante a operação são acumulados SEM REMUNERAÇÃO até o final da operação, quando são capitalizados.
  • 39. Crescimento Linear Ano Saldo Início do Ano Juros no Ano Saldo no final do Ano 1 R$ 1.000,00 8% x R$ 1.000,00 = R$ 80,00 R$ 1.080,00 2 R$ 1.080,00 8% x R$ 1.000,00 = R$ 80,00 R$ 1.160,00 3 R$ 1.160,00 8% x R$ 1.000,00 = R$ 80,00 R$ 1.240,00 4 R$ 1.240,00 8% x R$ 1.000,00 = R$ 80,00 R$ 1.320,00
  • 40. Fórmulas Fórmula para Valor Futuro Fórmula para Valor Presente Fórmula para Taxa de Juros Fórmula para Prazo
  • 41. Exercícios 1. Foram aplicados R$ 8.500,00 durante 5 meses com taxa de juros de 2,14% ao mês. Calcule o valor do resgate no regime de juros simples. 2. Suponha que você aplicou R$ 5.500,00 com taxa de juros de 1,45% ao mês (considere juro simples). Calcule o prazo necessário para que a aplicação alcance R$ 6.058,25. 3. Foram aplicados R$ 3.000,00 durante 5 meses, no regime de juros simples. Ao final do quinto mês foram resgatados R$ 3.850,50. Calcule a taxa de juros da operação.
  • 43. Descontos • As operações de desconto representam a antecipação do recebimento (ou pagamento) de valores futuros, representados por títulos.
  • 44. Desconto • Como o dinheiro tem um valor no tempo, para antecipar um valor futuro deve-se deduzir o custo de oportunidade aplicando um desconto. desconto Capitalização Levar do Presente para o Futuro ≠ Desconto Trazer do Futuro para o Presente
  • 45. Desconto Desconto Valor Presente Valor Futuro Valor Líquido Valor Nominal
  • 46. Desconto Racional (Por Dentro) • No Desconto Racional, ou por Dentro, a taxa incide sobre o Valor Presente da operação.
  • 47. Desconto Racional (Por Dentro) • Calcule o desconto racional e o valor líquido recebido proveniente do desconto de um título de valor nominal R$ 500,00 com vencimento para daqui a 3 meses, com uma taxa de 4,5 % a.m.
  • 48. Desconto Racional (Por Dentro) • Calcule o desconto racional e o valor líquido recebido proveniente do desconto de um título de valor nominal R$ 500,00 com vencimento para daqui a 3 meses, com uma taxa de 4,5 % a.m.
  • 49. Desconto Comercial (Por Fora) • No Desconto Comercial, ou por Fora, a taxa incide sobre o Valor Futuro da operação.
  • 50. Desconto Comercial (Por Fora) • Qual o valor líquido de um título de valor nominal de R$ 500,00 com vencimento daqui a 5 meses e taxa de juros por fora de 3% a.m.
  • 51. Desconto Comercial (Por Fora) • Qual o valor líquido de um título de valor nominal de R$ 500,00 com vencimento daqui a 5 meses e taxa de juros por fora de 3% a.m.
  • 52. Exercícios 1. Um título de valor nominal de R$ 25.000,00 é descontado 2 meses antes de seu vencimento à taxa de juros simples de 2,5% a.m.. Qual o valor recebido? 2. Qual o valor do desconto comercial de título de R$ 3.000,00 descontado 90 dias antes do vencimento à taxa de 2,5%a.m?
  • 53. Exercícios 3. Um título com valor nominal de R$ 3.836,00 foi resgatado 4 meses antes de seu vencimento, tendo sido concedido desconto racional simples à taxa de 10% a.m. Qual o valor recebido? 4. Considere o mesmo exercício acima, mas agora com desconto comercial. Qual seria o valor recebido?
  • 56. Exercício / Exemplo • Qual o montante acumulado ao final de 8 meses de uma aplicação de R$ 6.000,00 a uma taxa de juros compostos de 1,2% a.m.?
  • 57. Exercício / Exemplo • Qual o montante acumulado ao final de 8 meses de uma aplicação de R$ 6.000,00 a uma taxa de juros compostos de 1,2% a.m.?
  • 58. Exercício / Exemplo • Calcule quanto deveria ser aplicado hoje para possibilitar um resgate de R$ 10.000,00 daqui a um ano, a uma taxa de juros compostos constante de 2,2%a.m.
  • 59. Exercício / Exemplo • Calcule quanto deveria ser aplicado hoje para possibilitar um resgate de R$ 10.000,00 daqui a um ano, a uma taxa de juros compostos constante de 2,2%a.m.
  • 60. Exercício / Exemplo • Sabendo que R$ 1.000,00 foram transformados em R$ 2.000,00, graças a uma taxa de 4% a.m., calcule o prazo dessa operação.
  • 61. Exercício / Exemplo • Sabendo que R$ 1.000,00 foram transformados em R$ 2.000,00, graças a uma taxa de 4% a.m., calcule o prazo dessa operação.
  • 62. Exercício / Exemplo • Um investimento de R$ 100.000,00 por 6 meses rendeu R$ 41.852,00 de juros. Calcule a taxa a que este capital estava aplicado.
  • 63. Exercício / Exemplo • Um investimento de R$ 100.000,00 por 6 meses rendeu R$ 41.852,00 de juros. Calcule a taxa a que este capital estava aplicado.
  • 64. Exercícios 1) Um investimento de R$ 650.000,00 será remunerado a uma taxa de juros composto de 1,35% a.m. durante os 4 primeiros meses e com a taxa de 1,24% a.m. durante os oito meses restantes da operação. Calcule o valor do resgate após um ano de aplicação. 2) João vai necessitar de R$ 12.000,00 para a compra de um equipamento daqui a 5 meses. O banco em que João possui conta oferece remuneração de 2,5%a.m. para aplicação. Quanto João terá que investir hoje para garantir a compra do equipamento tão esperado?
  • 65. Exercícios 3) Qual a taxa de juro composto que permite dobrar o capital ao final de 2 anos? 4) Uma aplicação de R$ 3.600,00, com taxa de juro de 1,69% a.m. gerou um resgate de R$ 4.116,50. Calcule quanto tempo foi necessário para isso.
  • 66. Desconto – Juros Compostos
  • 68. Desconto Racional • Calcule o desconto de um título de valor nominal de US$ 600,00, descontado 5 meses antes do vencimento a uma taxa de desconto racional composto igual a 4 % a.m.
  • 70. Desconto Comercial • Uma duplicata de R$ 8.000,00 foi descontada 4 meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto comercial composto de 3 % a.m.. Calcule o valor líquido da operação e o desconto sofrido pelo título.
  • 71. Exercícios 1. Qual o desconto racional de um título no valor de R$ 20.000,00 se ele for pago 2 meses antes do vencimento a uma taxa de 3,5 % a.m. no regime de juros compostos? Qual o valor a ser recebido? 2. Um título será quitado 6 meses antes de seu vencimento. Sabendo que a taxa de juros cobrada “por dentro” é de 5 % a.m. e que o valor líquido recebido foi de R$ 880,50, informe o valor nominal do título.
  • 72. 3. João comprou um imóvel na construção prometendo pagar R$ 100.000,00 na entrega das chaves. Agora, faltando 4 meses para a entrega das chaves, João recebeu um dinheiro extra e resolveu quitar logo essa dívida. A construtora propõe um desconto bancário de 2% a.m.. Quanto João terá que desembolsar hoje? 4. Um cheque de R$ 15.000 descontado 3 meses antes do prazo a uma taxa por fora de 7% a.m. resulta em que valor líquido? Exercícios
  • 74. Taxa Efetiva • Taxa Efetiva é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. • Exemplos: – 2% ao mês, capitalizados mensalmente; – 3% ao trimestre, capitalizados trimestralmente; – 6% ao semestre, capitalizados semestralmente; – 12% ao ano, capitalizados anualmente.
  • 75. Taxas Proporcionais – Juros Simples • Taxas Proporcionais são taxas de juros fornecidas em unidade de tempo diferentes que, ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo, produzem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo, no regime de juros simples. 12% ao ano = 6% ao semestre = 3% ao trimestre = 1% ao mês Isso só vale para Juros Simples!!!
  • 76. Exemplos • Calcule as taxas proporcionais em meses: – 1% ao dia → 30% ao mês – 12% ao ano → 1% ao mês – 6% ao mês → 6% ao mês
  • 77. Taxas Equivalentes – Juros Compostos • Taxas Equivalentes são taxas de juros fornecidas em unidades de tempo diferentes que ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo produzem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo, no regime de juros compostos. (1+iano) = (1+isemestre)2 = (1+itrimestre)4 = (1+imês)12 = (1+idia)360 12,6825% ao ano = 6,1520% ao semestre = 1,0000% ao mês Isso só vale para Juros Compostos!!!
  • 79. Taxa Nominal • Taxa Nominal é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. • Exemplo – 12% ao ano, capitalizados mensalmente; – 24% ao ano, capitalizados semestralmente; – 10% ao ano, capitalizados trimestralmente; – 18% ao ano, capitalizados diariamente.
  • 80. Taxa Efetiva e Taxa Nominal • 12% ao ano, capitalizados mensalmente; Nominal Efetiva • 18% ao ano, capitalizados diariamente; Nominal Efetiva Não se faz conta com Taxa Nominal. Deve-se sempre encontrar a Taxa Efetiva.
  • 81. Exercícios • Calcule as Taxas Proporcionais: – 2% ao mês, em anos; – 1,5% ao dia em semestres; – 30% ao ano, em trimestres;
  • 82. Exercícios • Calcule as Taxas Equivalentes: – 2% ao mês, em anos; – 1,5% ao dia em semestres; – 30% ao ano, em trimestres;
  • 84. Fluxo de Caixa – Séries Uniformes
  • 85. Tipos de Séries de Pagamento • Postecipadas – São aquelas em que os pagamentos ocorrem no final de cada período e não na origem. tempo 0 1 2 3 … n-1 n É a mais comum!
  • 86. Tipos de Séries de Pagamento • Antecipadas – Os pagamentos são feitos no início de cada período respectivo. tempo 0 1 2 3 … n-1 n
  • 87. Tipos de Séries de Pagamento • Diferidas – O período de carência constitui-se em um prazo que separa o início da operação do período de pagamento da primeira parcela. Período de Carência tempo 0 1 2 3 … n-1 n
  • 88. VP Fórmulas PMT tempo 0 1 2 3 … n-1 n ipada Postec
  • 89. Exemplo R$ 1.000,00 = 36 x R$ 42,53 taxa de 2,45% a.m. pada Posteci
  • 90. Exemplo Quanto custa este veículo se o dono pede 24 x de R$ 499,00, sem entrada, e a taxa de juros média cobrada neste setor está atualmente em 1,99% a.m.? pada Posteci
  • 91. ipada Postec Exercícios 1. O Banco XYZ está oferecendo um empréstimo de R$ 10.000,00 para pagar em 36 x com taxa de 3 % a.m. Qual o valor da prestação? 2. A Caixa Econômica cobra 1,75% a.m. nos financiamentos imobiliários. Se podemos pagar prestações de até R$ 700,00 e o prazo máximo disponível é de 360 meses, qual o valor que podemos pegar emprestado?
  • 92. Exercícios ipada Postec 3. Quanto custa uma TV de LED que é anunciada em 12 parcelas de R$ 220,00 a 4,5% a.m.? 4. Considerando a mesma taxa de juros, quanto custaria se o parcelamento da mesma TV fosse feito em 18 meses?
  • 93. VP Séries Diferidas Período de Carência tempo 0 1 2 3 … n-1 n VPcorrigido 0 1 tempo 0 1 2 3 … n-1 n
  • 94. VP Período de Carência Fórmulas tempo 0 1 2 3 … n-1 n i da f er Di VPcorrigido 0 1 tempo 0 1 2 3 … n-1 n
  • 95. VPcorrigido Fórmulas 0 1 tempo 0 1 2 3 … n-1 n i da f er Di tempo 0 1 … n-1 n Uma vez corrigido o VP resolve-se como uma série Postecipada normal!
  • 96. ida f er Di Exemplos Um curso oferece uma promoção de inicie o curso agora e só comece a pagar daqui a 3 meses. Se o valor do curso é de R$ 3.000,00, a taxa de juros cobrada é de 2,0 % a.m. e o curso deve ser pago em 6 parcelas, determine o valor dessas parcelas.
  • 97. ida Fluxo de Caixa do Exemplo Di fer VP = R$ 3.000,00 Período de Carência = 3 meses tempo 0 1 2 3 … 8 9 Período de Pagamento = 6 meses
  • 98. ida Fluxo de Caixa do Exemplo Di fer VP = R$ 3.000,00 VPcorrigido 0 1 5 6 tempo 0 1 2 3 … 8 9 Período de Pagamento = 6 meses
  • 99. ida Fluxo de Caixa do Exemplo Di fer tempo 0 1 2 3 4 5 6
  • 100. ida fer Exercício Di 1. O BNDES financia caminhões com carência de 6 meses. Se um caminhão custa R$ 120.000,00, podendo ser financiado até 70% com juros de 2,85%a.m. em 36 meses após a carência, quanto custará a prestação?