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Washington Franco Mathias
        José Maria Gomes


Matemática
 Financeira
        Com + de 600 exercícios
          resolvidos e propostos


                        5ª Edição
Capítulo 7




          EMPRÉSTIMOS

Mathias
Gomes
Empréstimos - Introdução
               A dívida é gerada quando uma importância
          é emprestada por um certo prazo.

          Os empréstimos podem ser de:
          • curto prazo;
          • médio prazo;
          • longo prazo.

                Os juros devem ser calculados sempre so-
          bre o saldo devedor.


Mathias
Gomes
Empréstimos - Definições
          Mutante ou Credor: a pessoa ou instituição que dá o em-
          préstimo.
          Mutuário ou Devedor: a pessoa ou instituição que rece-
          be o empréstimo.
          Taxa de juros: é a taxa de juros contratada entre as par-
          tes.
          IOF: imposto sobre operações financeiras.
          Prazo de Utilização: intervalo de tempo em que recursos
          estão disponíveis para o saque.
          Prazo de Carência: intervalo de tempo entre o prazo de u-
          tilização e o pagamento da primeira amortização.



Mathias
Gomes
Empréstimos - Definições
           Parcelas de Amortização: corresponde às parcelas de de-
           volução do principal.
           Prazo de Amortização: tempo em que são pagas as amor-
           tizações.
           Prestação: é a soma da amortização mais juros e outros
           encargos.
           Planilha: quadro com o cronograma do empréstimo e a-
           mortizações.
           Prazo Total do Financiamento: é a soma do prazo de ca-
           rência com o prazo de amortização.
           Saldo Devedor: é o estado da dívida num dado instante.
           Período de Amortização: é o intervalo entre duas amorti-
           zações.


Mathias
Gomes
Classificação das Modalidades de
     Amortização

          Sistema de Amortização Constante (SAC)
          • As parcelas de amortização são iguais entre si.
          • Os juros são calculados sobre o saldo devedor.

          Representação:
                   Prestação


                               Juros



                               Amortização


                                               Períodos
                                                              EXEMPLO


Mathias
Gomes
Exemplo
          1) Uma empresa pede emprestado $ 100.000,00 que o banco
          entrega no ato. Sabendo que o banco concedeu 3 anos de ca-
          rência, que os juros serão pagos anualmente, que a taxa de
          juros é de 10% ao ano e que o principal será amortizado em
          4 parcelas anuais, construir a planilha.

          Resolução: A amortização anual é

                             100.000,00
                                        = 25.000,00
                                  4

          Vamos admitir que o principal fora emprestado no início do pri-
          meiro ano e que as prestações e os juros sejam pagos no fim
          de cada ano.
Mathias
Gomes
Exemplo
          Temos:
          Ano     Saque        Saldo Devedor   Amortização   Juros (Jk )   Prestação
          (k)                      (Sdk )         (Ak)                       (Ak +Jk )
           0      100.000,00    100.000,00          -             -              -
           1         -          100.000,00          -        10.000,00      10.000,00
           2         -          100.000,00          -        10.000,00      10.000,00
           3         -           75.000,00      25.000,00    10.000,00      35.000,00
           4         -           50.000,00      25.000,00     7.500,00      32.500,00
           5         -           25.000,00      25.000,00     5.000,00      30.000,00
           6         -               -          25.000,00     2.500,00      27.500,00
          Total      -               -         100.000,00    45.000,00     145.000,00


      O raciocínio foi o seguinte:
      a) Do início do primeiro ano (data zero) até o fim do terceiro a-
      no, temos 3 períodos, que correspondem à carência.
Mathias
Gomes
Exemplo
      Logo após terminado o período de carência, temos a primeira a-
      mortização de $ 25.000,00.
      b) Os juros são calculados sempre sobre o saldo devedor do pe-
      ríodo anterior.
      Ou seja: sendo Jk o juro devido no período k, sendo i a taxa de
      juros e Sdk-1 o saldo devedor do período anterior, temos:

                             Jk = iSdk − 1
      Observe, no exemplo, que o juro do período é calculado multi-
      plicando-se a taxa (na forma unitária) pelo saldo devedor do
      período anterior.
      c) A prestação é obtida somando-se, ao final de cada período, a
      amortização com os juros.
      d) A linha de total serve para verificar se as somas batem, e,
      portanto, se as contas estão certas.

Mathias
Gomes
Exemplo
          2) Em alguns casos, como o da implantação de uma fábrica no-
          va, as partes podem combinar o não-pagamento dos juros du-
          rante o período de carência. Diz-se então que os juros foram
          capitalizados durante a carência. Tudo se passa como se a enti-
          dade financeira tivesse concedido um empréstimo adicional pa-
          ra o pagamento dos juros.
          Podemos ter dois casos:
          a) As amortizações são calculadas em relação ao valor inicial
          emprestado e os juros capitalizados são pagos no primeiro ano
          de amortização.
          b) As amortizações são calculadas em relação ao valor inicial
          emprestado mais os juros capitalizados durante a carência.
          Tomando como base o exemplo apresentado no item anterior,
          vejamos os dois casos:

Mathias
Gomes
Exemplo
          CASO A
          Ano     Saque        Saldo Devedor   Amortização   Juros (Jk )   Prestação
          (k)                      (Sdk )         (Ak)                       (Ak +Jk )
           0      100.000,00    100.000,00          -             -              -
           1         -          110.000,00          -             -              -
           2         -          121.000,00          -             -              -
           3         -           75.000,00      25.000,00    33.100,00      58.100,00
           4         -           50.000,00      25.000,00     7.500,00      32.500,00
           5         -           25.000,00      25.000,00     5.000,00      30.000,00
           6         -               -          25.000,00     2.500,00      27.500,00
          Total      -               -         100.000,00    48.100,00     148.100,00


      Ao saldo devedor, no fim de cada período, foi acrescentado o
      juro devido, calculado à taxa de 10% a.a. Ao final do 3° ano,
      os juros capitalizados foram pagos juntamente com a primei-
      ra prestação, como no exemplo do item anterior.
Mathias
Gomes
Exemplo
          CASO B
            Ano Saldo Devedor   Amortização      Juros    Prestação
             (k)                     (1)          (2)        (1+2)
              0   100.000,00          -            -           -
              1   110.000,00          -            -           -
              2   121.000,00          -            -           -
              3    99.825,00      33.275,00        -       33.275,00
              4    66.550,00      33.275,00    9.982,50    43.257,50
              5    33.275,00      33.275,00    6.655,00    39.930,00
              6        -          33.275,00    3.327,50    36.602,50
            Total      -         133.100,00   19.965,00   153.065,00


            Neste caso, ao fim de cada período foi calculado o juro
      de 10% sobre o saldo devedor e acrescido ao mesmo.
            No terceiro período, o saldo devedor era:
Mathias
Gomes
Exemplo
                            Sd3 = 133.100,00

          Portanto, as parcelas de amortização:
                                133.100,00
                             A=            = 33.275,00
                                     4
                 O cálculo restante da planilha é processado como no ca-
          so anterior. Observe-se que o fluxo de prestações é mais unifor-
          me que no caso anterior.
                 Comparando os totais das prestações nos três casos já a-
          presentados, temos para um empréstimo de $ 100.000,00:

                 SAC                   145.000,00
                 CASO A:               148.100,00
                 CASO B:               153.065,00
Mathias
Gomes
Exemplo
          Aparentemente está havendo um acréscimo no custo total,
          mas este acréscimo é devido ao fato de que está amortizan-
          do o principal com maior defasagem. Verifique que o valor
          atual das prestações descontadas a 10% a.a. é exatamente
          igual a $ 100.000,00 e, portanto, o custo do empréstimo é
          de 10% a.a.

          3) Seja ainda o exemplo 1), mas admitindo-se que o emprés-
          timo de $ 100.000,00 seja dado pelo banco em duas parcelas
          iguais, defasadas em 1 ano e que as demais condições sejam
          as mesmas.
          A planilha, então, é montada do seguinte modo:



Mathias
Gomes
Exemplo
             Ano   Saldo Devedor   Amortização      Juros    Prestação
             (k)       (Sdk )           (Ak )        (Jk )     (Ak +Jk )
              0      50.000,00            -            -           -
              1     100.000,00            -       5.000,00    5.000,00
              2     100.000,00            -      10.000,00    10.000,00
              3      75.000,00       25.000,00   10.000,00    35.000,00
              4      50.000,00       25.000,00    7.500,00    32.500,00
              5      25.000,00       25.000,00    5.000,00    30.000,00
              6          -           25.000,00    2.500,00    27.500,00
             Total       -          100.000,00   40.000,00   140.000,00

                   O leitor deve comparar esta planilha com aquela o-
          btido no item 1) e constatar que, à exceção do juro pago
          após o primeiro período, os demais valores são iguais. Nes-
          tas condições o único efeito de um prazo de utilização não-
          -utilitário é gerar um fluxo de prestações mais uniforme.

Mathias
Gomes
Exemplo
                  A capitalização dos juros no prazo de carência pode
          ser feita como já se analisou.
                  O fato de o total das prestações ser inferior aos to-
          tais dos casos anteriores também não quer dizer que a taxa
          seja menor. Ela é exatamente de 10% a.a., como podemos
          verificar.

          a) O valor atual, na data zero, dos desembolsos feitos pelo
          banco, à taxa de 10% a.a., é:

                              50.000,00 50.000,00
                       VB =           0
                                        +       1
                                                  ≅ 95.454,55
                               (1,10)     (1,10)

            b) E o valor das prestações pagas pelo cliente, nas mes-
            mas condições:

Mathias
Gomes
Exemplo
                   5.000,00 10.000,00 35.000,00 32.500,00
              Vc =         1
                              +          2
                                            +          3
                                                         +        4
                                                                    +
                     (1,10)      (1,10)         (1,10)     (1,10)
                 30.000,00 27.500,00
               +         5
                             +         6
                                           ≅ 95.454,55
                  (1,10)        (1,10)


             Logo, VB = VC, ou seja, os capitais são equivalentes na
      data zero. Isto quer dizer que o cliente do banco devolveu exa-
      tamente o que lhe foi emprestado, à taxa de juros contratada.




Mathias
Gomes
Classificação das Modalidades de
          Amortização
                                                        EXEMPLO
           Sistema Francês (SF)
           • As prestações são iguais entre si.
           • Também é conhecido como sistema PRICE (lê-se
           “PRAICE”).
           Representação:
                   Prestação


                               Amortização



                               Juro


                                             Períodos


Mathias
Gomes
Exemplo
          Sistema Francês (SF), com prazo de utilização unitário
          e sem prazo de carência
          1) Um banco empresta $ 100.000,00, entregues no ato, sem
          prazo de carência. Sabendo que o banco utiliza o sistema fran-
          cês, que a taxa contratada foi de 10% a.a. e que o banco quer
          a devolução em 5 prestações, construir a planilha.
          Resolução: Se o principal vai ser devolvido em 5 prestações i-
          guais e postecipadas, temos exatamente uma anuidade que se
          conforma ao nosso modelo básico:

                          P = R.a¬i
                                 n

                             100.000,00 100.000,00
               Ou seja:   R=           =           ≅ 26.379,75
                                 a¬ 10
                                  5      3,790787

Mathias
Gomes
Exemplo

      Teremos então 5 prestações iguais de $ 26.379,75. Os juros se-
      rão calculados do modo já visto no sistema de amortização cons-
      tante, ou seja, aplicando a taxa de juros ao saldo devedor do pe-
      ríodo anterior.

      A amortização será calculada pela diferença entre a prestação
      e o juro do período. Por sua vez, o saldo devedor do período
      será calculado como sendo a diferença entre o saldo devedor
      do período anterior e a amortização do período:




Mathias
Gomes
Exemplo
            Ano Saldo Devedor   Amortização      Juros      Prestação
             (k)     (Sdk )          (Ak )    (Jk=iSdk-1)     (Ak +Jk )
              0   100.000,00           -           -              -
              1    83.620,25      16.379,75   10.000,00      26.379,75
              2    65.602,53      18.017,72    8.362,03      26.379,75
              3    45.783,03      19.819,50    6.560,25      26.379,75
              4    23.981,58      21.801,45    4.578,30      26.379,75
              5        -          23.981,58    2.398,16      26.379,74
            Total      -         100.000,00   31.898,74     131.898,74


          Nota: Fez-se um pequeno acerto no último período:
                  O procedimento, portanto, é o seguinte:



Mathias
Gomes
Exemplo
                   a) Calcula-se a prestação R.
                   b) Calculam-se para cada período (k) os juros sobre
          o saldo devedor do período anterior:

                                Jk = iSdk − 1
                   c) Faz-se para cada período (k) a diferença entre a
          prestação e o juro, obtendo-se o valor da amortização:

                                Ak = R − Jk
                   d) A diferença, em cada período (k), entre o saldo
          devedor do período anterior e a amortização do período dá o
          saldo devedor do período:


                            Sdk = Sdk − 1 − Ak
Mathias
Gomes
Exemplo
          Sistema Francês (SF), com prazo de utilização unitário
          e com prazo de carência
          2) Quando se tem prazo de carência, podem ocorrer duas hi-
          póteses:

          CASO A: durante a carência o mutuário paga os juros devidos.
          CASO B: durante a carência, os juros são capitalizados e incor-
          porados ao principal, para serem amortizadas nas prestações.
                  É possível pensar também nos juros como sendo capi-
          talizados e pagos de uma só vez juntamente com a primeira
          prestação, mas esta modalidade raramente é utilizada nas a-
          plicações práticas.
                  A fim de ilustrar os dois casos, admitamos o exemplo
          do item anterior com 3 anos de carência e as demais condi-
          ções iguais.
Mathias
Gomes
Exemplo
          CASO A:
                 O procedimento durante o período de carência é o mes-
          mo já visto para o SAC, ou seja, os juros são calculados sobre
          o saldo devedor.
                 O cálculo das prestações e a separação entre amortiza-
          ções e juros se processa como explicado no item anterior:
             Ano Saldo Devedor   Amortização      Juros      Prestação
              (k)     (Sdk )          (Ak )    (Jk=iSdk-1)   (R=Ak +Jk )
               0   100.000,00           -           -             -
               1   100.000,00           -      10.000,00      10.000,00
               2   100.000,00           -      10.000,00      10.000,00
               3    83.620,25      16.379,75   10.000,00      26.379,75
               4    65.602,53      18.017,72    8.362,03      26.379,75
               5    45.783,03      19.819,50    6.560,25      26.379,75
               6    23.981,58      21.801,45    4.578,30      26.379,75
               7        -          23.981,58    2.398,16      26.379,74
             Total      -         100.000,00   51.898,74     151.898,74
Mathias
Gomes
Exemplo
                 A única diferença, portanto, é obtermos um fluxo maior
          de prestações. O leitor deve calcular o valor atual das presta-
          ções de 10% a.a., na data focal zero e constatar que é igual a
          $100.000,00.

          CASO B:
                 Devemos, inicialmente, capitalizar o saldo devedor à ta-
          xa de 10% a.a., durante os 2 anos de carência, isto porque a
          amortização deve começar no fim do 3° ano de carência:

                        S1 = 100.000,00(1,10) = 110.000,00
                        S2 = 100.000,00(1,10)2 = 121.000,00

                 Sobre este saldo devedor, calcula-se o valor da presta-
          ção:
Mathias
Gomes
Exemplo
                       121.000,00 121.000,00
                    R=           =           = 31.919,49
                           a¬10
                            5
                                   3,790787
                 A partir da prestação, o cálculo segue o sistema francês
          como já explicado:
             Ano  Saldo Devedor   Amortização      Juros      Prestação
             (k)      (Sdk )           (Ak )    (Jk=iSdk-1)   (R=Ak +Jk )
             0     100.000,00            -           -             -
             1     110.000,00            -           -             -
             2     121.000,00            -           -             -
             3     101.180,51       19.819,49   12.100,00      31.919,49
             4      79.379,07       21.801,44   10.118,05      31.919,49    =======

             5      55.397,49       23.981,58    7.937,91      31.919,49
             6      29.017,75       26.379,74    5.539,75      31.919,49
             7          -           29.017,75    2.901,78      31.919,53
            Total       -          121.000,00   38.597,49     159.597,49    =======

Mathias
Gomes
Exemplo
          Sistema Francês (SF), quando o período a que se refere
          a taxa de juros não coincide com o período a que se re-
          fere a amortização
          3) Foi emprestada a importância de $ 100.000,00 para uma em-
          presa a qual deve fazer a amortização em 4 parcelas semestrais
          pelo SF, sem carência. Sabendo-se que a taxa de juros cobrada
          é de 12% a.a. e que se vai trabalhar com a taxa efetiva, cons-
          truir a planilha.

          Resolução: A taxa de juros efetiva é:
                                i" = 1,12 − 1 ≅ 0,0583
                                i" = 5,83%a.s.
          ou, portanto, com r = 4:

Mathias
Gomes
Exemplo
                         a ¬5,83 ≅ 3 , 478647
                           4
                               100 . 000 , 00
                Logo:    R =                  ≅ 28 . 746 ,89
                                3 , 478647



           Ano Saldo Devedor   Amortização         Juros       Prestação
            (k)     (Sdk )          (Ak )       (Jk=iSdk-1)    (R=Ak +Jk )
             0   100.000,00           -              -              -
             1    77.083,11      22.916,89       5.830,00       28.746,89
             2    52.830,17      24.252,94       4.493,95       28.746,89
             3    27.163,28      25.666,89       3.080,00       28.746,89
             4        -          27.163,28       1.583,61       28.746,89
           Total      -         100.000,00      14.987,56      114.987,56




Mathias
Gomes
Exemplo
          Sistema Price

          4) Um banco emprestou $ 100.000,00, entregues no ato, sem
          prazo de carência. Sabendo-se que a taxa de juros cobrada pe-
          lo banco é de 12% a.a., tabela Price, e que a devolução deve
          ser feita em 8 meses, construir a planilha.

          Resolução: Se o sistema adotado é “tabela Price” e sendo de
          12% a.a. a taxa, temos que a taxa proporcional mensal é:

                                     0,12
                             i12 =        = 0,01a.m. = 1%a.m.
                                      12
          Como são 8 prestações, calculamos:



Mathias
Gomes
Exemplo
                        a¬ 1≅ 7,651678
                         8

                             100.000,00
            Portanto:   R=              ≅ 13.069,03
                              7,651678

           Ano Saldo Devedor    Amortização      Juros      Prestação
            (k)     (Sdk )           (Ak )    (Jk=iSdk-1)   (R=Ak +Jk )
             0   100.000,00            -           -             -
             1    87.930,97       12.069,03    1.000,00      13.069,03
             2    75.741,25       12.189,72     879,31       13.069,03
             3    63.429,63       12.311,62     757,41       13.069,03
             4    50.994,90       12.434,73     634,30       13.069,03
             5    38.435,82       12.559,08     509,95       13.069,03
             6    25.751,15       12.684,67     384,36       13.069,03
             7    12.939,63       12.811,52     257,51       13.069,03
             8        -           12.939,63     129,40       13.069,03
           Total      -          100.000,00    4.552,24     104.552,24
Mathias
Gomes
Exemplo
                 O leitor deve observar que, como foi feita a taxa pro-
          porcional simples, a taxa de juros composta equivalente a-
          nual é maior.
                 Neste caso, tem-se:
                          1 + i' = (1,01) ≅ 1,126825
                                         12



                 A taxa efetiva que está sendo cobrada pelo banco é
          de 12,68% a.a., ou seja, é um pouco maior que a taxa nomi-
          nal de 12% a.a. que o banco diz cobrar.




Mathias
Gomes
Classificação das Modalidades de
          Amortização
                                                               EXEMPLO
           Sistema Americano
           • Após um certo prazo, o devedor paga o empréstimo
           em uma única parcela.
           • Em geral, os juros são pagos durante a carência.
           • Fundo de amortização (“sinking fund”) é uma aplica-
           ção que iguala o pagamento.
           Representação:
                      Prestação
                                                Principal




                                  Juro


                                                    Períodos
Mathias
Gomes
Exemplo
          Sistema Americano (SA), com devolução dos juros du-
          rante a carência

          1) Um banco empresta $ 100.000,00 a uma empresa, a uma
          taxa de juros de 6% a.s. com prazo de utilização unitário, pa-
          ra ser devolvido após uma carência de 2 anos. Sabendo-se que
          que os juros serão cobrados semestralmente, calcular a plani-
          lha pelo sistema americano. Qual é a taxa efetiva anual ?

          Resolução: Como já é dada a taxa em termos semestrais, te-
          mos:




Mathias
Gomes
Exemplo
           Ano Saldo Devedor   Amortização      Juros    Prestação
            (k)    (Sdk )          (Ak )         (Jk )     (Ak +Jk )
             0   100.000,00          -             -           -
             1   100.000,00          -        6.000,00    6.000,00
             2   100.000,00          -        6.000,00    6.000,00
             3   100.000,00          -        6.000,00    6.000,00
             4        -         100.000,00    6.000,00   106.000,00
           Total      -         100.000,00   24.000,00   124.000,00


          A taxa efetiva anual é:
                         1 + if = (1,06)2 ≅ 1,1236
           Ou seja:
                         if = 12,36%a.a.

Mathias
Gomes
Exemplo
          Sistema Americana (SA), com a capitalização dos juros

          2. Seja o mesmo exemplo do item anterior, em que se admite
          a capitalização dos juros durante a carência.
          Resolução:

             Ano Saldo Devedor            Amortização          Juros         Prestação
              (k)    (Sdk )                   (Ak )             (Jk )          (Ak +Jk )
               0   100.000,00                   -                 -                -
               1   106.000,00                   -                 -                -
               2   112.360,00                   -                 -                -
               3   119.101,60                   -                 -                -
               4        -                  100.000,00        26.247,70       126.247,70
             Total      -                  100.000,00        26.247,70       126.247,70

           Nota: O leitor deve constatar que a taxa efetiva anual continua sendo de 12,36% a.a.
Mathias
Gomes
Exemplo
          Sinking Fund

          Um banco empresta $ 100.000,00 a uma empresa, cobrando a
          taxa de juros de 12% a.a. Sabendo que o prazo de utilização é
          unitário, que não há carência, que os juros serão cobrados em
          base anual e que o método utilizado pelo banco é o sistema a-
          mericano com um prazo total de 4 anos, pede-se:
          a) Construir a planilha do empréstimo.
          b) Admitindo-se uma taxa de aplicação de 10% a.a., construir
          a planilha do fundo de amortização.

          Resolução:
          a) Planilha pelo sistema americano


Mathias
Gomes
Exemplo
            Ano Saldo Devedor   Amortização       Juros     Prestação
             (k)    (Sdk )          (Ak )          (Jk )      (Ak +Jk )
              0   100.000,00          -              -            -
              1   100.000,00          -         12.000,00    12.000,00
              2   100.000,00          -         12.000,00    12.000,00
              3   100.000,00          -         12.000,00    12.000,00
              4        -         100.000,00     12.000,00   112.000,00
            Total      -         100.000,00     48.000,00   148.000,00


          b) Planilha do fundo de amortização
          Sendo:          P = 100.000,00
                          ia = 10% a.a.
                          n = 4 anos
          Tem-se:
                        S ¬10 4 ,641
                          4
                            =
Mathias
Gomes
Exemplo
          Portanto, o depósito anual deve ser:
                        P
                    R=
                       S¬ 10
                         4

                       100.000,00
                    R=            ≅ 21.547,08
                           4,641
                    Ano     Saldo Credor   Depósito       Juros
                    (k)         (Sc k )       (Ak )        (Jk )
                     0            -             -            -
                     1        21.547,08    21.547,08         -
                     2        45.248,87    21.547,08    2.154,71
                     3        71.320,84    21.547,08    4.524,89
                     4       100.000,00    21.547,08    7.132,08
                    Total         -        86.188,32   13.811,68
Mathias
Gomes
Exemplo
          Nota: O leitor deve observar que quando se calculou o depó-
          sito (Rk) estava-se encontrando um valor que, capitalizado,
          será igual ao principal. Daí a necessidade do cálculo de juros
          sobre o saldo credor.




Mathias
Gomes
Classificação das Modalidades de
          Amortização
                                                           EXEMPLO
           Sistema de Amortização Variáveis
           • As parcelas de amortização são contratadas entre as
           partes.
           • Os juros são calculados sobre o saldo devedor.
           Representação:
                   Prestação



                               Juros



                               Amortização

                                               Períodos


Mathias
Gomes
Exemplo
          Uma empresa pede emprestado $ 100.000,00, que serão a-
          mortizados anualmente do seguinte modo:

          - 1° ano: 10.000,00                  - 3° ano: 30.000,00
          - 2° ano: 20.000,00                  - 4° ano: 40.000,00

                  Sabendo-se que o banco concedeu 3 anos de carência
          para o início das amortizações, que a taxa de juros é de 10%
          a.a. e que os juros devidos serão pagos anualmente, construir
          a planilha.
          Resolução: A planilha é constituída colocando-se inicialmente
          as amortizações. A seguir, são calculados os juros sobre o sal-
          do devedor do período anterior e calculada a prestação:


Mathias
Gomes
Exemplo
             Ano Saldo Devedor    Amortização      Juros    Prestação
              (k)     (Sdk )           (Ak )        (Jk )       (Rk )
               0   100.000,00            -            -           -
               1   100.000,00            -      10.000,00    10.000,00
               2   100.000,00            -      10.000,00    10.000,00
               3    90.000,00       10.000,00   10.000,00    20.000,00
               4    70.000,00       20.000,00    9.000,00    29.000,00
               5    40.000,00       30.000,00    7.000,00    37.000,00
               6        -           40.000,00    4.000,00    44.000,00
             Total      -          100.000,00   50.000,00   150.000,00

          Nota: Deixamos de analisar o chamado sistema alemão (ou
          de juros antecipados) por ter utilidade prática reduzida. O lei-
          tor pode encontrar tal método na bibliografia citada.


Mathias
Gomes
Custo Efetivo de um
          Empréstimo                                EXEMPLO



                 Uma operação financeira envolve im-
           postos (IOF), taxas administrativas e outros
           encargos.

                 Para calcular o Custo Real ou Custo Efe-
           tivo de um empréstimo, deve-se utilizar o
           conceito de Taxa de Retorno.




Mathias
Gomes
Exemplo
          Uma empresa obtém um empréstimo de $ 100.000,00, nas se-
          guintes condições:

          - taxa de juros: 10% a.a. ou 5% a.s.;
          - prazo de utilização unitário;
          - prazo de carência: 2 semestres;
          - IOF: 1% sobre o total de amortizações e encargos, cobrado
          no ato;
          - aval: 2% sobre o saldo devedor ao fim de cada ano;
          - sistema de amortização constante, em parcelas semestrais.

          Pede-se para construir a planilha e calcular a taxa de juros re-
          al do empréstimo.

          Resolução: Nas condições enunciadas a prestação deve levar
          em conta a despesa de IOF mais a de aval.
Mathias
Gomes
Exemplo
   Semestres   Saldo Devedor   IOF      Aval   Amortizações   Juros     Prestação
      (k)          (Sdk )       (1)      (2)     (3) (Ak )  (4) (Jk ) (1)+(2)+(3)+(4)
        0       100.000,00   1.195,00     -          -          -        1.195,00
        1       100.000,00       -        -          -      5.000,00     5.000,00
        2        75.000,00       -    1.500,00  25.000,00   5.000,00     31.500,00
        3        50.000,00       -        -     25.000,00   3.750,00     28.750,00
        4        25.000,00       -     500,00   25.000,00   2.500,00     28.000,00
        5            -           -        -     25.000,00   1.250,00     26.250,00
      Total          -       1.195,00 2.000,00 100.000,00 17.500,00     120.695,00



             O valor do IOF foi obtido calculando-se 1% sobre o total
     do aval, amortização e juros.
             Para calcular a taxa de retorno, consideremos o fluxo de
     caixa sobre o ponto de vista do banco que fez o empréstimo:


Mathias
Gomes
Exemplo
           Semestres     Aplicação          Recebimentos           Fluxo de caixa
                             (1)                  (2)                   (2)-(1)
               0         100.000,00            1.195,00              -98.805,00
               1              -                5.000,00                5.000,00
               2              -               31.500,00               31.500,00
               3              -               28.750,00               28.750,00
               4              -               28.000,00               28.000,00
               5              -               26.250,00               26.250,00

              Para calcular a taxa de retorno devemos determinar a ta-
     xa i”, tal que:          − 98 . 805 5 . 000 31 . 500 28 . 750
                    V ( i" ) =               +             +            +
                                (1 + i " ) 0   (1 + i " ) 1 (1 + i " ) 2 (1 + i " ) 3
                       28 . 000       26 . 250
                    +             +              =0
                      (1 + i " ) 4 (1 + i " ) 5
Mathias
Gomes
Exemplo
          onde V(i”) é o valor atual do fluxo à taxa i”.
                Vamos determinar i” por tentativa de erro:

          a) 1ª iteração: começamos com a taxa de 5% ao semestre,
          pois é a taxa de juros cobrada:
                         i1 = 5% a.s. => V(i1) = 2.966,90
                  Como o valor ainda é positivo, usamos uma taxa de
          juros um pouco maior (7% a.s.):
                         i2 = 7% a.s. => V(i2) = -3.073,27
                  Sendo V(i2)<0, fazemos a interpolação linear e assim:
                             i '−5           0 − 2.966,90
                                     =
                            7 − 5 − 3.073,27 − 2966,90
                            i ' = 5 + 2 x 0,4912
                            i ' ≅ 5,98% a.s.
Mathias
Gomes
Exemplo
                Calculando-se o valor atual do fluxo com esta taxa,
          obtemos:
                       i’ = 5,98% a.s. => V(i’) = -59,52
                Ou seja, o valor atual ainda não é nulo.

          b) 2ª iteração: partindo do resultado inferior, fazemos a se-
          gunda iteração:       i"−5        0 − 2.966,90
                                       =
                             5,98 − 5 − 59,52 − 2966,90
                             i" = 5 + 0,98 x0,9803
                             i" ≅ 5,961
                 Como verificação, calculamos o valor atual a esta ta-
          xa:
                        i” = 5,961 => V(i”) = -2,1 => 0
                 Portanto, concluímos que o custo do empréstimo é
          de 5,96% a.s.
Mathias
Gomes

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Matemática Financeira - Empréstimos

  • 1. Washington Franco Mathias José Maria Gomes Matemática Financeira Com + de 600 exercícios resolvidos e propostos 5ª Edição
  • 2. Capítulo 7 EMPRÉSTIMOS Mathias Gomes
  • 3. Empréstimos - Introdução A dívida é gerada quando uma importância é emprestada por um certo prazo. Os empréstimos podem ser de: • curto prazo; • médio prazo; • longo prazo. Os juros devem ser calculados sempre so- bre o saldo devedor. Mathias Gomes
  • 4. Empréstimos - Definições Mutante ou Credor: a pessoa ou instituição que dá o em- préstimo. Mutuário ou Devedor: a pessoa ou instituição que rece- be o empréstimo. Taxa de juros: é a taxa de juros contratada entre as par- tes. IOF: imposto sobre operações financeiras. Prazo de Utilização: intervalo de tempo em que recursos estão disponíveis para o saque. Prazo de Carência: intervalo de tempo entre o prazo de u- tilização e o pagamento da primeira amortização. Mathias Gomes
  • 5. Empréstimos - Definições Parcelas de Amortização: corresponde às parcelas de de- volução do principal. Prazo de Amortização: tempo em que são pagas as amor- tizações. Prestação: é a soma da amortização mais juros e outros encargos. Planilha: quadro com o cronograma do empréstimo e a- mortizações. Prazo Total do Financiamento: é a soma do prazo de ca- rência com o prazo de amortização. Saldo Devedor: é o estado da dívida num dado instante. Período de Amortização: é o intervalo entre duas amorti- zações. Mathias Gomes
  • 6. Classificação das Modalidades de Amortização Sistema de Amortização Constante (SAC) • As parcelas de amortização são iguais entre si. • Os juros são calculados sobre o saldo devedor. Representação: Prestação Juros Amortização Períodos EXEMPLO Mathias Gomes
  • 7. Exemplo 1) Uma empresa pede emprestado $ 100.000,00 que o banco entrega no ato. Sabendo que o banco concedeu 3 anos de ca- rência, que os juros serão pagos anualmente, que a taxa de juros é de 10% ao ano e que o principal será amortizado em 4 parcelas anuais, construir a planilha. Resolução: A amortização anual é 100.000,00 = 25.000,00 4 Vamos admitir que o principal fora emprestado no início do pri- meiro ano e que as prestações e os juros sejam pagos no fim de cada ano. Mathias Gomes
  • 8. Exemplo Temos: Ano Saque Saldo Devedor Amortização Juros (Jk ) Prestação (k) (Sdk ) (Ak) (Ak +Jk ) 0 100.000,00 100.000,00 - - - 1 - 100.000,00 - 10.000,00 10.000,00 2 - 100.000,00 - 10.000,00 10.000,00 3 - 75.000,00 25.000,00 10.000,00 35.000,00 4 - 50.000,00 25.000,00 7.500,00 32.500,00 5 - 25.000,00 25.000,00 5.000,00 30.000,00 6 - - 25.000,00 2.500,00 27.500,00 Total - - 100.000,00 45.000,00 145.000,00 O raciocínio foi o seguinte: a) Do início do primeiro ano (data zero) até o fim do terceiro a- no, temos 3 períodos, que correspondem à carência. Mathias Gomes
  • 9. Exemplo Logo após terminado o período de carência, temos a primeira a- mortização de $ 25.000,00. b) Os juros são calculados sempre sobre o saldo devedor do pe- ríodo anterior. Ou seja: sendo Jk o juro devido no período k, sendo i a taxa de juros e Sdk-1 o saldo devedor do período anterior, temos: Jk = iSdk − 1 Observe, no exemplo, que o juro do período é calculado multi- plicando-se a taxa (na forma unitária) pelo saldo devedor do período anterior. c) A prestação é obtida somando-se, ao final de cada período, a amortização com os juros. d) A linha de total serve para verificar se as somas batem, e, portanto, se as contas estão certas. Mathias Gomes
  • 10. Exemplo 2) Em alguns casos, como o da implantação de uma fábrica no- va, as partes podem combinar o não-pagamento dos juros du- rante o período de carência. Diz-se então que os juros foram capitalizados durante a carência. Tudo se passa como se a enti- dade financeira tivesse concedido um empréstimo adicional pa- ra o pagamento dos juros. Podemos ter dois casos: a) As amortizações são calculadas em relação ao valor inicial emprestado e os juros capitalizados são pagos no primeiro ano de amortização. b) As amortizações são calculadas em relação ao valor inicial emprestado mais os juros capitalizados durante a carência. Tomando como base o exemplo apresentado no item anterior, vejamos os dois casos: Mathias Gomes
  • 11. Exemplo CASO A Ano Saque Saldo Devedor Amortização Juros (Jk ) Prestação (k) (Sdk ) (Ak) (Ak +Jk ) 0 100.000,00 100.000,00 - - - 1 - 110.000,00 - - - 2 - 121.000,00 - - - 3 - 75.000,00 25.000,00 33.100,00 58.100,00 4 - 50.000,00 25.000,00 7.500,00 32.500,00 5 - 25.000,00 25.000,00 5.000,00 30.000,00 6 - - 25.000,00 2.500,00 27.500,00 Total - - 100.000,00 48.100,00 148.100,00 Ao saldo devedor, no fim de cada período, foi acrescentado o juro devido, calculado à taxa de 10% a.a. Ao final do 3° ano, os juros capitalizados foram pagos juntamente com a primei- ra prestação, como no exemplo do item anterior. Mathias Gomes
  • 12. Exemplo CASO B Ano Saldo Devedor Amortização Juros Prestação (k) (1) (2) (1+2) 0 100.000,00 - - - 1 110.000,00 - - - 2 121.000,00 - - - 3 99.825,00 33.275,00 - 33.275,00 4 66.550,00 33.275,00 9.982,50 43.257,50 5 33.275,00 33.275,00 6.655,00 39.930,00 6 - 33.275,00 3.327,50 36.602,50 Total - 133.100,00 19.965,00 153.065,00 Neste caso, ao fim de cada período foi calculado o juro de 10% sobre o saldo devedor e acrescido ao mesmo. No terceiro período, o saldo devedor era: Mathias Gomes
  • 13. Exemplo Sd3 = 133.100,00 Portanto, as parcelas de amortização: 133.100,00 A= = 33.275,00 4 O cálculo restante da planilha é processado como no ca- so anterior. Observe-se que o fluxo de prestações é mais unifor- me que no caso anterior. Comparando os totais das prestações nos três casos já a- presentados, temos para um empréstimo de $ 100.000,00: SAC 145.000,00 CASO A: 148.100,00 CASO B: 153.065,00 Mathias Gomes
  • 14. Exemplo Aparentemente está havendo um acréscimo no custo total, mas este acréscimo é devido ao fato de que está amortizan- do o principal com maior defasagem. Verifique que o valor atual das prestações descontadas a 10% a.a. é exatamente igual a $ 100.000,00 e, portanto, o custo do empréstimo é de 10% a.a. 3) Seja ainda o exemplo 1), mas admitindo-se que o emprés- timo de $ 100.000,00 seja dado pelo banco em duas parcelas iguais, defasadas em 1 ano e que as demais condições sejam as mesmas. A planilha, então, é montada do seguinte modo: Mathias Gomes
  • 15. Exemplo Ano Saldo Devedor Amortização Juros Prestação (k) (Sdk ) (Ak ) (Jk ) (Ak +Jk ) 0 50.000,00 - - - 1 100.000,00 - 5.000,00 5.000,00 2 100.000,00 - 10.000,00 10.000,00 3 75.000,00 25.000,00 10.000,00 35.000,00 4 50.000,00 25.000,00 7.500,00 32.500,00 5 25.000,00 25.000,00 5.000,00 30.000,00 6 - 25.000,00 2.500,00 27.500,00 Total - 100.000,00 40.000,00 140.000,00 O leitor deve comparar esta planilha com aquela o- btido no item 1) e constatar que, à exceção do juro pago após o primeiro período, os demais valores são iguais. Nes- tas condições o único efeito de um prazo de utilização não- -utilitário é gerar um fluxo de prestações mais uniforme. Mathias Gomes
  • 16. Exemplo A capitalização dos juros no prazo de carência pode ser feita como já se analisou. O fato de o total das prestações ser inferior aos to- tais dos casos anteriores também não quer dizer que a taxa seja menor. Ela é exatamente de 10% a.a., como podemos verificar. a) O valor atual, na data zero, dos desembolsos feitos pelo banco, à taxa de 10% a.a., é: 50.000,00 50.000,00 VB = 0 + 1 ≅ 95.454,55 (1,10) (1,10) b) E o valor das prestações pagas pelo cliente, nas mes- mas condições: Mathias Gomes
  • 17. Exemplo 5.000,00 10.000,00 35.000,00 32.500,00 Vc = 1 + 2 + 3 + 4 + (1,10) (1,10) (1,10) (1,10) 30.000,00 27.500,00 + 5 + 6 ≅ 95.454,55 (1,10) (1,10) Logo, VB = VC, ou seja, os capitais são equivalentes na data zero. Isto quer dizer que o cliente do banco devolveu exa- tamente o que lhe foi emprestado, à taxa de juros contratada. Mathias Gomes
  • 18. Classificação das Modalidades de Amortização EXEMPLO Sistema Francês (SF) • As prestações são iguais entre si. • Também é conhecido como sistema PRICE (lê-se “PRAICE”). Representação: Prestação Amortização Juro Períodos Mathias Gomes
  • 19. Exemplo Sistema Francês (SF), com prazo de utilização unitário e sem prazo de carência 1) Um banco empresta $ 100.000,00, entregues no ato, sem prazo de carência. Sabendo que o banco utiliza o sistema fran- cês, que a taxa contratada foi de 10% a.a. e que o banco quer a devolução em 5 prestações, construir a planilha. Resolução: Se o principal vai ser devolvido em 5 prestações i- guais e postecipadas, temos exatamente uma anuidade que se conforma ao nosso modelo básico: P = R.a¬i n 100.000,00 100.000,00 Ou seja: R= = ≅ 26.379,75 a¬ 10 5 3,790787 Mathias Gomes
  • 20. Exemplo Teremos então 5 prestações iguais de $ 26.379,75. Os juros se- rão calculados do modo já visto no sistema de amortização cons- tante, ou seja, aplicando a taxa de juros ao saldo devedor do pe- ríodo anterior. A amortização será calculada pela diferença entre a prestação e o juro do período. Por sua vez, o saldo devedor do período será calculado como sendo a diferença entre o saldo devedor do período anterior e a amortização do período: Mathias Gomes
  • 21. Exemplo Ano Saldo Devedor Amortização Juros Prestação (k) (Sdk ) (Ak ) (Jk=iSdk-1) (Ak +Jk ) 0 100.000,00 - - - 1 83.620,25 16.379,75 10.000,00 26.379,75 2 65.602,53 18.017,72 8.362,03 26.379,75 3 45.783,03 19.819,50 6.560,25 26.379,75 4 23.981,58 21.801,45 4.578,30 26.379,75 5 - 23.981,58 2.398,16 26.379,74 Total - 100.000,00 31.898,74 131.898,74 Nota: Fez-se um pequeno acerto no último período: O procedimento, portanto, é o seguinte: Mathias Gomes
  • 22. Exemplo a) Calcula-se a prestação R. b) Calculam-se para cada período (k) os juros sobre o saldo devedor do período anterior: Jk = iSdk − 1 c) Faz-se para cada período (k) a diferença entre a prestação e o juro, obtendo-se o valor da amortização: Ak = R − Jk d) A diferença, em cada período (k), entre o saldo devedor do período anterior e a amortização do período dá o saldo devedor do período: Sdk = Sdk − 1 − Ak Mathias Gomes
  • 23. Exemplo Sistema Francês (SF), com prazo de utilização unitário e com prazo de carência 2) Quando se tem prazo de carência, podem ocorrer duas hi- póteses: CASO A: durante a carência o mutuário paga os juros devidos. CASO B: durante a carência, os juros são capitalizados e incor- porados ao principal, para serem amortizadas nas prestações. É possível pensar também nos juros como sendo capi- talizados e pagos de uma só vez juntamente com a primeira prestação, mas esta modalidade raramente é utilizada nas a- plicações práticas. A fim de ilustrar os dois casos, admitamos o exemplo do item anterior com 3 anos de carência e as demais condi- ções iguais. Mathias Gomes
  • 24. Exemplo CASO A: O procedimento durante o período de carência é o mes- mo já visto para o SAC, ou seja, os juros são calculados sobre o saldo devedor. O cálculo das prestações e a separação entre amortiza- ções e juros se processa como explicado no item anterior: Ano Saldo Devedor Amortização Juros Prestação (k) (Sdk ) (Ak ) (Jk=iSdk-1) (R=Ak +Jk ) 0 100.000,00 - - - 1 100.000,00 - 10.000,00 10.000,00 2 100.000,00 - 10.000,00 10.000,00 3 83.620,25 16.379,75 10.000,00 26.379,75 4 65.602,53 18.017,72 8.362,03 26.379,75 5 45.783,03 19.819,50 6.560,25 26.379,75 6 23.981,58 21.801,45 4.578,30 26.379,75 7 - 23.981,58 2.398,16 26.379,74 Total - 100.000,00 51.898,74 151.898,74 Mathias Gomes
  • 25. Exemplo A única diferença, portanto, é obtermos um fluxo maior de prestações. O leitor deve calcular o valor atual das presta- ções de 10% a.a., na data focal zero e constatar que é igual a $100.000,00. CASO B: Devemos, inicialmente, capitalizar o saldo devedor à ta- xa de 10% a.a., durante os 2 anos de carência, isto porque a amortização deve começar no fim do 3° ano de carência: S1 = 100.000,00(1,10) = 110.000,00 S2 = 100.000,00(1,10)2 = 121.000,00 Sobre este saldo devedor, calcula-se o valor da presta- ção: Mathias Gomes
  • 26. Exemplo 121.000,00 121.000,00 R= = = 31.919,49 a¬10 5 3,790787 A partir da prestação, o cálculo segue o sistema francês como já explicado: Ano Saldo Devedor Amortização Juros Prestação (k) (Sdk ) (Ak ) (Jk=iSdk-1) (R=Ak +Jk ) 0 100.000,00 - - - 1 110.000,00 - - - 2 121.000,00 - - - 3 101.180,51 19.819,49 12.100,00 31.919,49 4 79.379,07 21.801,44 10.118,05 31.919,49 ======= 5 55.397,49 23.981,58 7.937,91 31.919,49 6 29.017,75 26.379,74 5.539,75 31.919,49 7 - 29.017,75 2.901,78 31.919,53 Total - 121.000,00 38.597,49 159.597,49 ======= Mathias Gomes
  • 27. Exemplo Sistema Francês (SF), quando o período a que se refere a taxa de juros não coincide com o período a que se re- fere a amortização 3) Foi emprestada a importância de $ 100.000,00 para uma em- presa a qual deve fazer a amortização em 4 parcelas semestrais pelo SF, sem carência. Sabendo-se que a taxa de juros cobrada é de 12% a.a. e que se vai trabalhar com a taxa efetiva, cons- truir a planilha. Resolução: A taxa de juros efetiva é: i" = 1,12 − 1 ≅ 0,0583 i" = 5,83%a.s. ou, portanto, com r = 4: Mathias Gomes
  • 28. Exemplo a ¬5,83 ≅ 3 , 478647 4 100 . 000 , 00 Logo: R = ≅ 28 . 746 ,89 3 , 478647 Ano Saldo Devedor Amortização Juros Prestação (k) (Sdk ) (Ak ) (Jk=iSdk-1) (R=Ak +Jk ) 0 100.000,00 - - - 1 77.083,11 22.916,89 5.830,00 28.746,89 2 52.830,17 24.252,94 4.493,95 28.746,89 3 27.163,28 25.666,89 3.080,00 28.746,89 4 - 27.163,28 1.583,61 28.746,89 Total - 100.000,00 14.987,56 114.987,56 Mathias Gomes
  • 29. Exemplo Sistema Price 4) Um banco emprestou $ 100.000,00, entregues no ato, sem prazo de carência. Sabendo-se que a taxa de juros cobrada pe- lo banco é de 12% a.a., tabela Price, e que a devolução deve ser feita em 8 meses, construir a planilha. Resolução: Se o sistema adotado é “tabela Price” e sendo de 12% a.a. a taxa, temos que a taxa proporcional mensal é: 0,12 i12 = = 0,01a.m. = 1%a.m. 12 Como são 8 prestações, calculamos: Mathias Gomes
  • 30. Exemplo a¬ 1≅ 7,651678 8 100.000,00 Portanto: R= ≅ 13.069,03 7,651678 Ano Saldo Devedor Amortização Juros Prestação (k) (Sdk ) (Ak ) (Jk=iSdk-1) (R=Ak +Jk ) 0 100.000,00 - - - 1 87.930,97 12.069,03 1.000,00 13.069,03 2 75.741,25 12.189,72 879,31 13.069,03 3 63.429,63 12.311,62 757,41 13.069,03 4 50.994,90 12.434,73 634,30 13.069,03 5 38.435,82 12.559,08 509,95 13.069,03 6 25.751,15 12.684,67 384,36 13.069,03 7 12.939,63 12.811,52 257,51 13.069,03 8 - 12.939,63 129,40 13.069,03 Total - 100.000,00 4.552,24 104.552,24 Mathias Gomes
  • 31. Exemplo O leitor deve observar que, como foi feita a taxa pro- porcional simples, a taxa de juros composta equivalente a- nual é maior. Neste caso, tem-se: 1 + i' = (1,01) ≅ 1,126825 12 A taxa efetiva que está sendo cobrada pelo banco é de 12,68% a.a., ou seja, é um pouco maior que a taxa nomi- nal de 12% a.a. que o banco diz cobrar. Mathias Gomes
  • 32. Classificação das Modalidades de Amortização EXEMPLO Sistema Americano • Após um certo prazo, o devedor paga o empréstimo em uma única parcela. • Em geral, os juros são pagos durante a carência. • Fundo de amortização (“sinking fund”) é uma aplica- ção que iguala o pagamento. Representação: Prestação Principal Juro Períodos Mathias Gomes
  • 33. Exemplo Sistema Americano (SA), com devolução dos juros du- rante a carência 1) Um banco empresta $ 100.000,00 a uma empresa, a uma taxa de juros de 6% a.s. com prazo de utilização unitário, pa- ra ser devolvido após uma carência de 2 anos. Sabendo-se que que os juros serão cobrados semestralmente, calcular a plani- lha pelo sistema americano. Qual é a taxa efetiva anual ? Resolução: Como já é dada a taxa em termos semestrais, te- mos: Mathias Gomes
  • 34. Exemplo Ano Saldo Devedor Amortização Juros Prestação (k) (Sdk ) (Ak ) (Jk ) (Ak +Jk ) 0 100.000,00 - - - 1 100.000,00 - 6.000,00 6.000,00 2 100.000,00 - 6.000,00 6.000,00 3 100.000,00 - 6.000,00 6.000,00 4 - 100.000,00 6.000,00 106.000,00 Total - 100.000,00 24.000,00 124.000,00 A taxa efetiva anual é: 1 + if = (1,06)2 ≅ 1,1236 Ou seja: if = 12,36%a.a. Mathias Gomes
  • 35. Exemplo Sistema Americana (SA), com a capitalização dos juros 2. Seja o mesmo exemplo do item anterior, em que se admite a capitalização dos juros durante a carência. Resolução: Ano Saldo Devedor Amortização Juros Prestação (k) (Sdk ) (Ak ) (Jk ) (Ak +Jk ) 0 100.000,00 - - - 1 106.000,00 - - - 2 112.360,00 - - - 3 119.101,60 - - - 4 - 100.000,00 26.247,70 126.247,70 Total - 100.000,00 26.247,70 126.247,70 Nota: O leitor deve constatar que a taxa efetiva anual continua sendo de 12,36% a.a. Mathias Gomes
  • 36. Exemplo Sinking Fund Um banco empresta $ 100.000,00 a uma empresa, cobrando a taxa de juros de 12% a.a. Sabendo que o prazo de utilização é unitário, que não há carência, que os juros serão cobrados em base anual e que o método utilizado pelo banco é o sistema a- mericano com um prazo total de 4 anos, pede-se: a) Construir a planilha do empréstimo. b) Admitindo-se uma taxa de aplicação de 10% a.a., construir a planilha do fundo de amortização. Resolução: a) Planilha pelo sistema americano Mathias Gomes
  • 37. Exemplo Ano Saldo Devedor Amortização Juros Prestação (k) (Sdk ) (Ak ) (Jk ) (Ak +Jk ) 0 100.000,00 - - - 1 100.000,00 - 12.000,00 12.000,00 2 100.000,00 - 12.000,00 12.000,00 3 100.000,00 - 12.000,00 12.000,00 4 - 100.000,00 12.000,00 112.000,00 Total - 100.000,00 48.000,00 148.000,00 b) Planilha do fundo de amortização Sendo: P = 100.000,00 ia = 10% a.a. n = 4 anos Tem-se: S ¬10 4 ,641 4 = Mathias Gomes
  • 38. Exemplo Portanto, o depósito anual deve ser: P R= S¬ 10 4 100.000,00 R= ≅ 21.547,08 4,641 Ano Saldo Credor Depósito Juros (k) (Sc k ) (Ak ) (Jk ) 0 - - - 1 21.547,08 21.547,08 - 2 45.248,87 21.547,08 2.154,71 3 71.320,84 21.547,08 4.524,89 4 100.000,00 21.547,08 7.132,08 Total - 86.188,32 13.811,68 Mathias Gomes
  • 39. Exemplo Nota: O leitor deve observar que quando se calculou o depó- sito (Rk) estava-se encontrando um valor que, capitalizado, será igual ao principal. Daí a necessidade do cálculo de juros sobre o saldo credor. Mathias Gomes
  • 40. Classificação das Modalidades de Amortização EXEMPLO Sistema de Amortização Variáveis • As parcelas de amortização são contratadas entre as partes. • Os juros são calculados sobre o saldo devedor. Representação: Prestação Juros Amortização Períodos Mathias Gomes
  • 41. Exemplo Uma empresa pede emprestado $ 100.000,00, que serão a- mortizados anualmente do seguinte modo: - 1° ano: 10.000,00 - 3° ano: 30.000,00 - 2° ano: 20.000,00 - 4° ano: 40.000,00 Sabendo-se que o banco concedeu 3 anos de carência para o início das amortizações, que a taxa de juros é de 10% a.a. e que os juros devidos serão pagos anualmente, construir a planilha. Resolução: A planilha é constituída colocando-se inicialmente as amortizações. A seguir, são calculados os juros sobre o sal- do devedor do período anterior e calculada a prestação: Mathias Gomes
  • 42. Exemplo Ano Saldo Devedor Amortização Juros Prestação (k) (Sdk ) (Ak ) (Jk ) (Rk ) 0 100.000,00 - - - 1 100.000,00 - 10.000,00 10.000,00 2 100.000,00 - 10.000,00 10.000,00 3 90.000,00 10.000,00 10.000,00 20.000,00 4 70.000,00 20.000,00 9.000,00 29.000,00 5 40.000,00 30.000,00 7.000,00 37.000,00 6 - 40.000,00 4.000,00 44.000,00 Total - 100.000,00 50.000,00 150.000,00 Nota: Deixamos de analisar o chamado sistema alemão (ou de juros antecipados) por ter utilidade prática reduzida. O lei- tor pode encontrar tal método na bibliografia citada. Mathias Gomes
  • 43. Custo Efetivo de um Empréstimo EXEMPLO Uma operação financeira envolve im- postos (IOF), taxas administrativas e outros encargos. Para calcular o Custo Real ou Custo Efe- tivo de um empréstimo, deve-se utilizar o conceito de Taxa de Retorno. Mathias Gomes
  • 44. Exemplo Uma empresa obtém um empréstimo de $ 100.000,00, nas se- guintes condições: - taxa de juros: 10% a.a. ou 5% a.s.; - prazo de utilização unitário; - prazo de carência: 2 semestres; - IOF: 1% sobre o total de amortizações e encargos, cobrado no ato; - aval: 2% sobre o saldo devedor ao fim de cada ano; - sistema de amortização constante, em parcelas semestrais. Pede-se para construir a planilha e calcular a taxa de juros re- al do empréstimo. Resolução: Nas condições enunciadas a prestação deve levar em conta a despesa de IOF mais a de aval. Mathias Gomes
  • 45. Exemplo Semestres Saldo Devedor IOF Aval Amortizações Juros Prestação (k) (Sdk ) (1) (2) (3) (Ak ) (4) (Jk ) (1)+(2)+(3)+(4) 0 100.000,00 1.195,00 - - - 1.195,00 1 100.000,00 - - - 5.000,00 5.000,00 2 75.000,00 - 1.500,00 25.000,00 5.000,00 31.500,00 3 50.000,00 - - 25.000,00 3.750,00 28.750,00 4 25.000,00 - 500,00 25.000,00 2.500,00 28.000,00 5 - - - 25.000,00 1.250,00 26.250,00 Total - 1.195,00 2.000,00 100.000,00 17.500,00 120.695,00 O valor do IOF foi obtido calculando-se 1% sobre o total do aval, amortização e juros. Para calcular a taxa de retorno, consideremos o fluxo de caixa sobre o ponto de vista do banco que fez o empréstimo: Mathias Gomes
  • 46. Exemplo Semestres Aplicação Recebimentos Fluxo de caixa (1) (2) (2)-(1) 0 100.000,00 1.195,00 -98.805,00 1 - 5.000,00 5.000,00 2 - 31.500,00 31.500,00 3 - 28.750,00 28.750,00 4 - 28.000,00 28.000,00 5 - 26.250,00 26.250,00 Para calcular a taxa de retorno devemos determinar a ta- xa i”, tal que: − 98 . 805 5 . 000 31 . 500 28 . 750 V ( i" ) = + + + (1 + i " ) 0 (1 + i " ) 1 (1 + i " ) 2 (1 + i " ) 3 28 . 000 26 . 250 + + =0 (1 + i " ) 4 (1 + i " ) 5 Mathias Gomes
  • 47. Exemplo onde V(i”) é o valor atual do fluxo à taxa i”. Vamos determinar i” por tentativa de erro: a) 1ª iteração: começamos com a taxa de 5% ao semestre, pois é a taxa de juros cobrada: i1 = 5% a.s. => V(i1) = 2.966,90 Como o valor ainda é positivo, usamos uma taxa de juros um pouco maior (7% a.s.): i2 = 7% a.s. => V(i2) = -3.073,27 Sendo V(i2)<0, fazemos a interpolação linear e assim: i '−5 0 − 2.966,90 = 7 − 5 − 3.073,27 − 2966,90 i ' = 5 + 2 x 0,4912 i ' ≅ 5,98% a.s. Mathias Gomes
  • 48. Exemplo Calculando-se o valor atual do fluxo com esta taxa, obtemos: i’ = 5,98% a.s. => V(i’) = -59,52 Ou seja, o valor atual ainda não é nulo. b) 2ª iteração: partindo do resultado inferior, fazemos a se- gunda iteração: i"−5 0 − 2.966,90 = 5,98 − 5 − 59,52 − 2966,90 i" = 5 + 0,98 x0,9803 i" ≅ 5,961 Como verificação, calculamos o valor atual a esta ta- xa: i” = 5,961 => V(i”) = -2,1 => 0 Portanto, concluímos que o custo do empréstimo é de 5,96% a.s. Mathias Gomes