Fórmulas e nomenclaturas de matemática financeira

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  • Calcule a taxa efetiva anual associada a uma taxa nominal de 18% aa com capitalização: mensal, bimestral e semestral. Selecione a opção que represente sua resposta a cada item. Escolha uma: a. TEA=19,56% aa; TEA=19,41% aa; TEA=18,81% aa b. TEA=18,00% aa; TEA=18,00% aa; TEA=18,00% aa c. TEA=21,76% aa; TEA=20,10% aa; TEA=19,71% aa d. TEA=19,12% aa; TEA=19,05% aa; TEA=18,42% aa
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  • 1. Uma organização projeta um empreendimento com vida útil (n) de 4 anos. O investimento inicial (PV) no ano zero é de R$ 10.000,00 e os fluxos de benefícios esperados (PMT) do ano 1 ao ano 4 são de R$ 3.500,00/ano. Sendo a Taxa Mínima de Atratividade (TMA) de 10% ao ano,



    a) calcule e interprete o Valor Presente Líquido (VPL).



    b) demonstre no quadro a seguir os Fatores de Valor Presente (FVP) de cada ano e o Valor Presente (PV) dos fluxos de benefícios (PMT) para as taxas anuais de atratividade (TMA) de 10% a.a e 20% a.a. Para o cálculo dos Fatores de Valor Presente, sugere-se usar a fórmula a seguir:



    FVP = 1/( 1 + TMA)n onde n = o ano em que se calcula o FVP.



    c) por interpolação entre as taxas de atratividade (TMA) consideradas e seus respectivos valores presentes (PV), calcule e interprete a Taxa Interna de Retorno (TIR) do projeto em questão.
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Fórmulas e nomenclaturas de matemática financeira

  1. 1. MATEMÁTICA FINANCEIRA Fórmulas e Nomenclaturas Prof. Esp. Mário Ferreira Neto1 10/AGOSTO/20111 Professor Especialista em Matemática e Estatística pela Universidade Federal de Lavras – Minas Gerais. 1
  2. 2. Fator multiplicativo ou fator matemático: i Fm  100Fm→ fator matemáticoi→ taxa de jurosFórmula da capitalização simples ou juros simples: J = PV . i. n ou J = C . i . nJ→ jurosPV→ valor presentei→ taxa de jurosn→ número de períodos (período de tempo)C→ capital FV = PV + J ou M = C +JFV→ valor futuroPV→ valor presenteM→ montanteC→ capitalJ→ juros J = FV – PV ou J = M - CJ→ jurosFV→ valor futuroPV→ valor presenteM→ montanteC→ capitalFórmulas auxiliares de juros simples: 2
  3. 3. 1- Valor presente ou capital: J PV  i.nPV→ valor presenteJ→ jurosi→ taxa de jurosn→ número de períodos (período de tempo)2- taxa: J i PV .ni→ taxa de jurosJ→ jurosPV→ valor presenten→ número de períodos (período de tempo)3- número de períodos ou período de tempo: J n PV .in→ número de períodos (período de tempo)J→ jurosPV→ valor presentei→ taxa de jurosFórmula da capitalização composta ou juroscompostos: J = PV . [(1 + i)n - 1] ou J = C . [(1 + i)n – 1])J→ jurosPV→ valor presente 3
  4. 4. i→ taxa de jurosn→ número de períodos (período de tempo)C→ capital FV = PV . (1 + i)n ou M = C . (1 + i)nFV→ valor futuroPV→ valor presentei→ taxa de jurosn→ número de períodos (período de tempo)M→ montanteC→ capital J = FV – PV ou J = M – CJ→ jurosFV→ valor futuroPV→ valor presenteM→ montanteC→ capitalFórmulas auxiliares de juros compostos:1- Valor presente ou capital: J PV  1  i n  1PV→ valor presentei→ taxa de jurosn→ número de períodos (período de tempo)2- taxa: 4
  5. 5. FV in 1 PVi→ taxa de jurosFV→ valor futuroPV→ valor presenten→ número de períodos (período de tempo)3- número de períodos ou período de tempo: FV log n PV log 1  i n→ número de períodos (período de tempo)FV→ valor futuroPV→ valor presentei→ taxa de juroslog→ logaritmoFórmula de financiamento (coeficiente definanciamento): i CF  1  1  i  n ou i CF  1 1 1  i n 5
  6. 6. CF→ coeficiente de financiamentoi→ taxa de jurosn→ número de períodos (período de tempo)Fórmula de financiamento (valor da prestação): PMT = PV . CF ou VP = C . CFPMT→ valor da prestaçãoPV→ valor presenteCF→ coeficiente de financiamentoVp→ valor da prestaçãoC→ capitalFórmula de financiamento (valor da prestação comum valor de entrada): PMT = (PV – PMT) CF ou VP = (C – Vpe). CFPMT→ valor da prestaçãoPV→ valor presenteCF→ coeficiente de financiamentoVp→ valor da prestaçãoC→ capitalVpe→ valor da prestação de entradaFórmula de financiamento (valor da prestação igualao valor da entrada):PMT→ valor da prestaçãoPV→ valor presente (igual ao valor á vista do produto) 6
  7. 7. CF→ coeficiente de financiamento PMT PV  CFPV→ valor presente (igual ao valor á vista do produto)PMT→ valor da prestaçãoCF→ coeficiente de financiamentoTaxa é um índice numérico relativo cobrado sobre umcapital para a realização de alguma operação financeira.Fórmula de taxa proporcional: i1 t  1 i2 t2i1→ taxa inicial (taxa que tenho)i2→ taxa final (taxa que quero)t1→ tempo inicial (tempo que tenho em mês)t1→ tempo final (tempo que tenho convertido para onúmero de capitalizações)Fórmula de taxa equivalente: ie = (1 + ik)k – 1ie→ taxa equivalente (taxa que quero)ik→ taxa equivalente qualquer (taxa que tenho)k→ número de capitalizações convertido para a unidadepadrão ou unidade apropriadaFórmula de situações possíveis com taxa equivalente: 7
  8. 8. Número de Fórmula Taxa Período capitalizações 1+ia = (1+isem)2 isem semestre 2 1+ia = (1+iquad)3 iquad quadrimestre 3 1+ia = (1+itrim)4 itrim trimestre 4 1+ia = (1+imes)12 imes mês 12 1+ia = (1+iquinz)24 iquinz quinzena 241+ia = (1+isemana)24 isemana semana 52 1+ia = (1+idias)365 idias Dia 365Taxa Nominal é quando o período de formação eincorporação dos juros ao capital não coincide comaquele a que a taxa está referida. iN = n x iin→ taxa nominali→ taxa de jurosn→ número de capitalizações ou número de períodosTaxa Efetiva é quando o período de formação eincorporação dos juros ao Capital coincide com aquele aque a taxa está referida. ie = (1 + ie)1/n – 1in→ taxa nominali→ taxa de jurosn→ número de capitalizações ou número de períodosTaxa Real é a taxa efetiva corrigida pela taxainflacionária do período da operação. 8
  9. 9. Taxa acumulada de juros com taxas variáveis énormalmente utilizada em situações de correções decontratos como, por exemplo, atualização de aluguéis,saldo devedor da casa própria e contratos em geral.Taxa aparente é a taxa que se obtém em uma operaçãofinanceira sem se considerar os efeitos da inflação.Taxa over é uma taxa usada pelo mercado financeiropara determinar a rentabilidade por dia útil,normalmente é multiplicada por 30 (conversão domercado financeiro).Taxa média é a taxa de juros que tem como base teóricao conceito estatístico da média geométrica.Conexão entre as taxas real, efetiva e de inflação: ataxa real não é a diferença entre a taxa efetiva e a taxa dainflação. Na realidade existe uma ligação íntima entre astrês taxas dadas por: 1+iefetiva = (1+ireal) (1+iinflação)Exemplo: Se a taxa de inflação mensal foi de 30% e umvalor aplicado no início do mês produziu um rendimentoglobal de 32,6% sobre o valor aplicado então o resultadoé igual a 1,326 sobre cada 1 unidade monetária aplicada.A variação real no final deste mês será definida por: vreal = 1 + irealpode ser calculada por: vreal = resultado / (1 + iinflação)isto é: 9
  10. 10. vreal = 1,326 / 1,3 = 1,02o que significa que a taxa real no período foi de: ireal = 2%Capitalização em períodos fracionários:CONVENÇÃO LINEAR por esta convenção calcula-se omontante ou valor futuro a juros compostos donúmero de períodos inteiros. Ao valor futuro(montante) obtido adicionam-se os juros simplescorrespondentes no período fracionário. FV = PV . (1 + i)n + PV (1 + i)n . i . p/q Juros compostos Juros simples Nos períodos inteiros Nas frações de períodos (taxa proporcional)FV→ valor futuroPV→ valor presentei→ taxa de jurosn→ número de capitalizações ou número de períodosn + p/q→ prazo totalp/q→ fração do período totaln + p/q: prazo total de n: número de períodos inteirose p/q: fração desse período para calcular o montanteou valor futuro atingido pelo capital ou valor presentena taxa: i no fim de n + p/q períodos: 10
  11. 11. FV = PV (1 + i)n . [1 + i . (p/q)]FV→ valor futuroPV→ valor presentei→ taxa de jurosn→ número de capitalizações ou número de períodosn + p/q→ prazo totalp/q→ fração do período totalCONVENÇÃO EXPONENCIAL na convençãoexponencial o capital ou valor presente renderá juroscompostos durante todo o período de aplicação, ouseja, nos períodos inteiros e fracionários. Éconveniente notar que, nos períodos fracionários, ocálculo é efetuado pela taxa equivalente. FV = PV (1 + i)n . (+ p/q)FV→ valor futuroPV→ valor presentei→ taxa de jurosn→ número de capitalizações ou número de períodosn + p/q→ prazo totalp/q→ fração do período totalATENÇÃO: ao se resolverem problemas de capitalizaçãocom períodos fracionários, o primeiro passo é definirclaramente qual a convenção a ser utilizada, isto é, sevai ser aplicada a convenção linear ou a exponencial.Se definido que a capitalização é LINEAR deve-setrabalhar com taxas proporcionais para o cálculo dacapitallização no período fracionário. Se definido que seráempregada a EXPONENCIAL será utilizada a taxaequivalente. 11
  12. 12. DESCONTO COMERCIAL (POR FORA)ATENÇÃO: O desconto comercial difere do descontoracional principalmente por que se trata de uma taxaaplicada ao valor nominal do título. Não é umadescapitalização, como no caso do desconto racional e asequações do desconto comercial, são diferentes dasequações dos descontos racionais. O desconto comercialsimples é o tipo de desconto aplicado no comércio e ataxa de desconto é única para cada prazo determinado.Assim, um título pago com um mês de antecedência deveser descontado a uma taxa diferente de um título pagocom três meses de antecedência.O valor do desconto é obtido diretamente do produto dataxa de desconto ao valor nominal do título. O valor atualou valor a ser pago pelo título é o valor nominaldescontadoEquação ou Formula do Desconto Comercial Simples: Dc = N – AcDc→ DescontoN→ Valor nominal = valor bruto = valor de faceAc→ Valor atual = valor líquidoi→ taxa de jurosn→ número de períodos de antecipaçãoEquação ou Formula do Desconto Comercial Simples: Dc = N . i . nDc→ DescontoN→ Valor nominal = valor bruto = valor de facei→ taxa de jurosn→ número de períodos antecipação 12
  13. 13. Fórmulas auxiliares do desconto comercial:1- taxa: D i N .ni→ taxa de jurosD→ DescontoN→ Valor nominal = valor bruto = valor de facen→ número de períodos de antecipação2- valor nominal: D N i.nN→ Valor nominal = valor bruto = valor de faceD→ Descontoi→ taxa de jurosn→ número de períodos antecipaçãoEquação ou Formula do Valor Atual ComercialSimples: A = N . (1 – i.n)A→ Valor atual = valor líquidoN→ Valor nominal = valor bruto = valor de facei→ taxa de jurosn→ número de períodos de antecipaçãoFórmulas auxiliares do valor atual:1- taxa: 13
  14. 14. D 1 i N ni→ taxa de jurosD→ DescontoN→ Valor nominal = valor bruto = valor de facen→ número de períodos de antecipaçãoEquação ou Formula do Desconto ComercialComposto: Dc = N – AcDc→ DescontoN→ Valor nominal = valor bruto = valor de faceAc→ Valor atual = valor líquidoi→ taxa de jurosn→ número de períodos de antecipação N Ac = N . (1 + i) –n ou Ac  (1  i ) nN→ Valor nominal = valor bruto = valor de faceAc→ Valor atual = valor líquidoi→ taxa de jurosn→ número de períodos de antecipação DESCONTO RACIONAL (POR DENTRO) COMPOSTO Dr = N – ArDr→ Desconto RacionalAr→ Valor atual = valor líquidoi→ taxa de jurosn→ número de capitalizações ou número de períodosEquação ou Formula do Desconto Racional Composto: 14
  15. 15. N Ar  (1  i ) nAr→ Valor atual = valor líquidoN→ Valor nominal = valor bruto = valor de facei→ taxa de jurosn→ número de capitalizações ou número de períodosEquivalência de taxas de descontos: (1 + ic . (1 + ir) = 1Ar→ Valor atual = valor líquidoN→ Valor nominal = valor bruto = valor de facei→ taxa de jurosn→ número de capitalizações ou número de períodosATENÇÃO: O desconto racional é juro. Ele é obtidoexatamente da mesma forma que o juro, com a diferençaque o desconto corresponde a uma descapitalização. Paraobter o valor D do desconto racional simples a serconcedido sobre o valor nominal N de um título que venceem n períodos, sobre o qual se paga uma taxa de juros i,utiliza-se como taxa de desconto a taxa de juros ecalcula-se o valor do desconto.Se o desconto racional a ser aplicado é o composto,utiliza-se a mesma equação da descapitalização no jurocomposto (chamando de o valor a ser pago). O valor dodesconto pode ser obtido com a equação equivalente domontante: N=A+DO desconto racional também é chamado de descontoverdadeiro, desconto justo e desconto real. 15

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