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Fluxo de Caixa
A representação do fluxo de caixa de um projeto consiste de uma escala horizontal onde são marcados
os períodos de tempo e na qual são representadas com setas para cima as entradas e com setas para
baixo as saídas de caixa. A unidade de tempo - mês, semestre, ano - deve coincidir com o período de
capitalização de juros considerado.<O:P</O:P




Adotaremos as convenções a seguir descritas que procuram auxiliar a memorização da simbologia

PV = quantia existente ou equivalente no instante inicial e conhecida por Valor Presente ou Valor Atual
(ou hoje): A representação gráfica é a seguinte:




FV = quantia existente ou equivalente num instante futuro em relação ao inicial e conhecida por Valor
Futuro (ou montante);<O:P</O:P
A representação gráfica é a seguinte




                              i= taxa de juros por período de capitalização;
                                 n= número de períodos de capitalização;

PMT = valor de cada contribuição considerada em uma série uniforme de dispêndios (prestações ou
parcelas iguais) ou recebimentos que ocorrem nos períodos 1,2,3,...,n chamados Períodos de
Capitalização;
A representação gráfica é a seguinte:




G= quantia chamada Gradiente Aritmético que aumenta, gradativamente, de forma uniforme, após cada
período de capitalização, constituindo uma série de valores G, 2G, 3G,..., (N-1)G que ocorrem nos
instantes 2,3,4,..n.
A representação gráfica é a seguinte:
Equivalência
Definição: vários capitais são ditos equivalentes quando os seus valores, transformados para a mesma
data, com a mesma taxa de juros (custo de oportunidade), são iguais (Hummel, 1986).
Exemplo 01:
Considere-se um empréstimo de R$ 1.000,00 hoje, a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano,
sendo os juros capitalizados anualmente. No final do quinto ano, quando se tiver de pagar o empréstimo
de uma só vez, ter-se-á de pagar R$ 1.610,00. Diz-se então que, a uma taxa de 10% ao ano, após cinco
anos a quantia de R$ 1.610,00 é equivalente à quantia de R$ 1.000,00 no momento zero (ou seja, hoje)
(Hummel, 1986).

Exemplo 02:
Considere que você deseja fazer um empréstimo de R$ 10.000,00, para compra de veículo em uma
concessionária, a uma taxa de juros de 10% ao ano. A concessionária lhe oferece então quatro formas
de pagamento : plano I, II, III e IV, veja quadro abaixo. Pergunta-se há diferença em pagar ou outro plano
do ponto de vista econômico? (Hummel, 1986).

Ano      Investimento       Plano I 1_ftn1       Plano II 2      Plano III 3         Plano IV 4
0               R$ 10.000,00R$ 1.000,00        R$ 2.000,00                 R$ 1.627,00
1                                   R$ 1.000,00        R$ 1.900,00         R$ 1.627,00
    2                               R$ 1.000,00        R$ 1.800,00         R$ 1.627,00
    3                               R$ 1.000,00        R$ 1.700,00         R$ 1.627,00
    4                               R$ 1.000,00        R$ 1.600,00         R$ 1.627,00
    5                               R$ 1.000,00        R$ 1.500,00         R$ 1.627,00
    6                               R$ 1.000,00        R$ 1.400,00         R$ 1.627,00
    7                               R$ 1.000,00        R$ 1.300,00         R$ 1.627,00
    8                               R$ 1.000,00        R$ 1.200,00         R$ 1.627,00
    9                              R$ 11.000,00        R$ 1.100,00         R$ 1.627,00
    10                                                                                        R$ 25.937,00

Se analisarmos o quadro anterior, observaremos que todos os planos de I a IV a uma taxa de 10% ao
ano são equivalentes. Isto porque todos são planos que possibilitam a esta taxa o pagamento de uma
dívida de R$ 10.000,00 hoje. Portanto, pode-se dizer que é indiferente pagar um ou outro plano.

Analisando, no entanto, o quadro abaixo, observando que há diferentes taxas de juros, as séries de
pagamentos anteriores correspondem a diferentes valores quando trazidas para o presente, ou seja, não
são equivalentes, exceto para a taxa de juros de 10% a qual foi inicialmente calculada.

Taxa de Juros        Plano I                 Plano II          Plano III            Plano IV
0%                   20.000                  15.500            16.270               25.937
        5%                     13.861               12.278            12.563               15.923
       10%                     10.000               10.000            10.000               10.000
       15%                     7.491                  8.340            8.166                6.411
       20%                     5.808                  7.096            6.821                4.189
1 O plano I : corresponde no sistema de amortização de dívidas ao Sistema de Americano, que será
visto mais detalhadamente a frente.
2 O plano II : corresponde no sistema de amortização de dívidas ao Sistema de Amortização Constante -
SAC
3 O plano III : corresponde no sistema de amortização de dívidas ao Sistema de Prestações Constantes -
PRICE
4 O plano IV : corresponde no sistema de amortização de dívidas ao Sistema de Pagamento Único


Relação entre FV e PMT
Representação Gráfica :




Exemplo::
Ricardo deseja amortizar uma dívida da compra de uma casa, cujo valor restante a ser pago daqui a 5
meses será R$ 4.000,00. O valor da taxa de juros é 4% a.m. Pergunta-se, quanto Ricardo terá que pagar
de prestações iguais, a cada fim de mês, sem entrada, durante 5 meses para quitar esta dívida?

Solução:

a) Resolvendo utilizando fórmula
PMT = montante devido




b) Resolvendo com a calculadora
HP12C
CASIO




Exercício 01:
Verônica deseja fazer depósitos ao fim de cada mês, de modo a obter um montante equivalente a R$
5.000,00, para trocar seus móveis, daqui a 2 anos (24 meses). Sabendo-se que ela vai depositar na
caderneta de poupança que tem remuneração média esperada de 1% a.m., pergunta-se quanto ela
deverá depositar mensalmente sem entrada para obter o valor desejado? Resposta: R$ 185,37 por mês.


Exercício 02:
Fábio deseja ter um montante igual a R$ 12.000,00 para financiar seus estudos na universidade, daqui a
48 meses (4 anos). Quanto ele deve depositar mensalmente sem entrada em fundo de aplicações (por
exemplo, FIX 30), para obter esta quantia? O fundo de aplicações remunera a uma taxa de 3,5 % a.m.
Resposta: R$ 99,68 por mês.


Exercício 03: André tem uma dívida de R$ 1.200,00 a ser paga daqui a 18 meses (1 ano e meio). No
entanto, ele deseja depositar ao fim de cada mês uma certa quantia para criar fundo de reserva para
quitar a dívida. Pergunta-se quanto André deverá depositar mensalmente em parcelas iguais, a cada fim
de mês, para obter o montante desejado? O fundo de aplicações remunera a uma taxa de 2,5% a.m.
Resposta: R$ 53,61 por mês

Relação entre FV e PV
Representação Gráfica :




Exemplo:
Vera deseja quitar uma dívida da comprar de um aparelho celular, cujo preço
ao final de 5 meses é de R$ 700,00. A taxa de juros compostos do crediário é
de 2% a.m. Pergunta-se, quanto Vera terá de pagar se desejar liquidar o
empréstimo hoje?
Solução :


a) Resolvendo utilizando fórmula
PV = valor atual a ser pago hoje
b) Resolvendo com a calculadora

HP12C




CASIO




Exercício 01:
Se eu quiser ter R$ 100.000,00 dentro de 20 anos, quanto deverei aplicar agora, considerando-se uma
taxa de juros de 10 % a.a.?
Resposta: R$ 14.864,30 hoje

Exercício 02:
Quer-se depositar uma quantia a 8% a.a. a fim de obter, 13 anos mais tarde a quantia de R$ 5.000,00.
Quanto se deverá depositar hoje?
Resposta: R$ 1.838,49 hoje

Exercício 03:
Se eu quiser ter R$ 400.000,00 dentro de 5 anos, quanto deverei aplicar agora, considerando-se uma
taxa de juros de 10% a.a.?
Resposta: R$ 248.368,53 hoje

Exercício 04:
Fernanda tem uma dívida de R$ 1.000,00 a ser paga daqui a 4 meses, a uma taxa de juros compostos
de 4% a.m. No entanto, ela recebeu hoje uma quantia de R$ 900,00. Pergunta-se ela conseguirá quitar a
dívida hoje?
Resposta: Sim, poderá quitar a dívida

Relação entre PMT e FV
Representação Gráfica :
Exemplo:
Luiz deseja quitar uma dívida da compra de uma estante, cujas
prestações são no valor R$ 250,00 mensais. Faltam ainda pagar 5 (0+5)
prestações. A taxa de juros compostos do crediário é de 4% a.m.
Pergunta-se, quanto Luiz terá de pagar se desejar liquidar o empréstimo
no final de meses?


Solução:

a) Resolvendo utilizando fórmula <O:P</O:P
FV = montante devido




b) Resolvendo com a calculadora

HP12C




CASIO




Exercício 01:
Marcos fez um crediário para a compra de algumas camisas, cujas prestações são no valor R$ 50,00
mensais. Faltam ainda pagar 3 (0+3) prestações. A taxa de juros compostos do crediário é de 8% a.m..
Estando, no momento, impossibilitado de pagar as prestações da dívida, Marcos foi à loja e perguntou se
poderia renegociar a dívida e pagar todas as prestações acumuladas daqui a três meses (sem juros de
mora). Pergunta-se qual é o valor da dívida acumulada destas três últimas prestações?<O:P</O:P
Resposta: R$162,32 daqui a 3 meses

Exercício 02:
Antônio fez um crediário para a compra de um televisor, cujas prestações são no valor R$ 40,00
mensais. Faltam ainda pagar 7 (0+7) prestações. A taxa de juros compostos do crediário é de 9% a.m..
Se Antônio quiser quitar toda a dívida de uma só vez daqui a 7 meses, quanto ele terá que pagar?
(despreze os juros de mora)
Resposta: R$ 368,02 daqui a 7 meses

Exercício 03: Rosana e Marcos, preocupados com o futuro de seu filho, depositam ao fim de cada mês
uma quantia de R$ 500,00, em fundo de aplicações que rende 3,5% a.m.. Pergunta-se quanto se terá ao
final de 48 meses (4 anos)? Resposta: R$ 60.194,13 daqui a 4 anos

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Fluxo de Caixa - Análise e Representação

  • 1. Fluxo de Caixa A representação do fluxo de caixa de um projeto consiste de uma escala horizontal onde são marcados os períodos de tempo e na qual são representadas com setas para cima as entradas e com setas para baixo as saídas de caixa. A unidade de tempo - mês, semestre, ano - deve coincidir com o período de capitalização de juros considerado.<O:P</O:P Adotaremos as convenções a seguir descritas que procuram auxiliar a memorização da simbologia PV = quantia existente ou equivalente no instante inicial e conhecida por Valor Presente ou Valor Atual (ou hoje): A representação gráfica é a seguinte: FV = quantia existente ou equivalente num instante futuro em relação ao inicial e conhecida por Valor Futuro (ou montante);<O:P</O:P A representação gráfica é a seguinte i= taxa de juros por período de capitalização; n= número de períodos de capitalização; PMT = valor de cada contribuição considerada em uma série uniforme de dispêndios (prestações ou parcelas iguais) ou recebimentos que ocorrem nos períodos 1,2,3,...,n chamados Períodos de Capitalização; A representação gráfica é a seguinte: G= quantia chamada Gradiente Aritmético que aumenta, gradativamente, de forma uniforme, após cada período de capitalização, constituindo uma série de valores G, 2G, 3G,..., (N-1)G que ocorrem nos instantes 2,3,4,..n. A representação gráfica é a seguinte:
  • 2. Equivalência Definição: vários capitais são ditos equivalentes quando os seus valores, transformados para a mesma data, com a mesma taxa de juros (custo de oportunidade), são iguais (Hummel, 1986). Exemplo 01: Considere-se um empréstimo de R$ 1.000,00 hoje, a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, sendo os juros capitalizados anualmente. No final do quinto ano, quando se tiver de pagar o empréstimo de uma só vez, ter-se-á de pagar R$ 1.610,00. Diz-se então que, a uma taxa de 10% ao ano, após cinco anos a quantia de R$ 1.610,00 é equivalente à quantia de R$ 1.000,00 no momento zero (ou seja, hoje) (Hummel, 1986). Exemplo 02: Considere que você deseja fazer um empréstimo de R$ 10.000,00, para compra de veículo em uma concessionária, a uma taxa de juros de 10% ao ano. A concessionária lhe oferece então quatro formas de pagamento : plano I, II, III e IV, veja quadro abaixo. Pergunta-se há diferença em pagar ou outro plano do ponto de vista econômico? (Hummel, 1986). Ano Investimento Plano I 1_ftn1 Plano II 2 Plano III 3 Plano IV 4 0 R$ 10.000,00R$ 1.000,00 R$ 2.000,00 R$ 1.627,00 1 R$ 1.000,00 R$ 1.900,00 R$ 1.627,00 2 R$ 1.000,00 R$ 1.800,00 R$ 1.627,00 3 R$ 1.000,00 R$ 1.700,00 R$ 1.627,00 4 R$ 1.000,00 R$ 1.600,00 R$ 1.627,00 5 R$ 1.000,00 R$ 1.500,00 R$ 1.627,00 6 R$ 1.000,00 R$ 1.400,00 R$ 1.627,00 7 R$ 1.000,00 R$ 1.300,00 R$ 1.627,00 8 R$ 1.000,00 R$ 1.200,00 R$ 1.627,00 9 R$ 11.000,00 R$ 1.100,00 R$ 1.627,00 10 R$ 25.937,00 Se analisarmos o quadro anterior, observaremos que todos os planos de I a IV a uma taxa de 10% ao ano são equivalentes. Isto porque todos são planos que possibilitam a esta taxa o pagamento de uma dívida de R$ 10.000,00 hoje. Portanto, pode-se dizer que é indiferente pagar um ou outro plano. Analisando, no entanto, o quadro abaixo, observando que há diferentes taxas de juros, as séries de pagamentos anteriores correspondem a diferentes valores quando trazidas para o presente, ou seja, não são equivalentes, exceto para a taxa de juros de 10% a qual foi inicialmente calculada. Taxa de Juros Plano I Plano II Plano III Plano IV 0% 20.000 15.500 16.270 25.937 5% 13.861 12.278 12.563 15.923 10% 10.000 10.000 10.000 10.000 15% 7.491 8.340 8.166 6.411 20% 5.808 7.096 6.821 4.189
  • 3. 1 O plano I : corresponde no sistema de amortização de dívidas ao Sistema de Americano, que será visto mais detalhadamente a frente. 2 O plano II : corresponde no sistema de amortização de dívidas ao Sistema de Amortização Constante - SAC 3 O plano III : corresponde no sistema de amortização de dívidas ao Sistema de Prestações Constantes - PRICE 4 O plano IV : corresponde no sistema de amortização de dívidas ao Sistema de Pagamento Único Relação entre FV e PMT Representação Gráfica : Exemplo:: Ricardo deseja amortizar uma dívida da compra de uma casa, cujo valor restante a ser pago daqui a 5 meses será R$ 4.000,00. O valor da taxa de juros é 4% a.m. Pergunta-se, quanto Ricardo terá que pagar de prestações iguais, a cada fim de mês, sem entrada, durante 5 meses para quitar esta dívida? Solução: a) Resolvendo utilizando fórmula PMT = montante devido b) Resolvendo com a calculadora HP12C
  • 4. CASIO Exercício 01: Verônica deseja fazer depósitos ao fim de cada mês, de modo a obter um montante equivalente a R$ 5.000,00, para trocar seus móveis, daqui a 2 anos (24 meses). Sabendo-se que ela vai depositar na caderneta de poupança que tem remuneração média esperada de 1% a.m., pergunta-se quanto ela deverá depositar mensalmente sem entrada para obter o valor desejado? Resposta: R$ 185,37 por mês. Exercício 02: Fábio deseja ter um montante igual a R$ 12.000,00 para financiar seus estudos na universidade, daqui a 48 meses (4 anos). Quanto ele deve depositar mensalmente sem entrada em fundo de aplicações (por exemplo, FIX 30), para obter esta quantia? O fundo de aplicações remunera a uma taxa de 3,5 % a.m. Resposta: R$ 99,68 por mês. Exercício 03: André tem uma dívida de R$ 1.200,00 a ser paga daqui a 18 meses (1 ano e meio). No entanto, ele deseja depositar ao fim de cada mês uma certa quantia para criar fundo de reserva para quitar a dívida. Pergunta-se quanto André deverá depositar mensalmente em parcelas iguais, a cada fim de mês, para obter o montante desejado? O fundo de aplicações remunera a uma taxa de 2,5% a.m. Resposta: R$ 53,61 por mês Relação entre FV e PV Representação Gráfica : Exemplo: Vera deseja quitar uma dívida da comprar de um aparelho celular, cujo preço ao final de 5 meses é de R$ 700,00. A taxa de juros compostos do crediário é de 2% a.m. Pergunta-se, quanto Vera terá de pagar se desejar liquidar o empréstimo hoje? Solução : a) Resolvendo utilizando fórmula PV = valor atual a ser pago hoje
  • 5. b) Resolvendo com a calculadora HP12C CASIO Exercício 01: Se eu quiser ter R$ 100.000,00 dentro de 20 anos, quanto deverei aplicar agora, considerando-se uma taxa de juros de 10 % a.a.? Resposta: R$ 14.864,30 hoje Exercício 02: Quer-se depositar uma quantia a 8% a.a. a fim de obter, 13 anos mais tarde a quantia de R$ 5.000,00. Quanto se deverá depositar hoje? Resposta: R$ 1.838,49 hoje Exercício 03: Se eu quiser ter R$ 400.000,00 dentro de 5 anos, quanto deverei aplicar agora, considerando-se uma taxa de juros de 10% a.a.? Resposta: R$ 248.368,53 hoje Exercício 04: Fernanda tem uma dívida de R$ 1.000,00 a ser paga daqui a 4 meses, a uma taxa de juros compostos de 4% a.m. No entanto, ela recebeu hoje uma quantia de R$ 900,00. Pergunta-se ela conseguirá quitar a dívida hoje? Resposta: Sim, poderá quitar a dívida Relação entre PMT e FV Representação Gráfica :
  • 6. Exemplo: Luiz deseja quitar uma dívida da compra de uma estante, cujas prestações são no valor R$ 250,00 mensais. Faltam ainda pagar 5 (0+5) prestações. A taxa de juros compostos do crediário é de 4% a.m. Pergunta-se, quanto Luiz terá de pagar se desejar liquidar o empréstimo no final de meses? Solução: a) Resolvendo utilizando fórmula <O:P</O:P FV = montante devido b) Resolvendo com a calculadora HP12C CASIO Exercício 01: Marcos fez um crediário para a compra de algumas camisas, cujas prestações são no valor R$ 50,00 mensais. Faltam ainda pagar 3 (0+3) prestações. A taxa de juros compostos do crediário é de 8% a.m.. Estando, no momento, impossibilitado de pagar as prestações da dívida, Marcos foi à loja e perguntou se
  • 7. poderia renegociar a dívida e pagar todas as prestações acumuladas daqui a três meses (sem juros de mora). Pergunta-se qual é o valor da dívida acumulada destas três últimas prestações?<O:P</O:P Resposta: R$162,32 daqui a 3 meses Exercício 02: Antônio fez um crediário para a compra de um televisor, cujas prestações são no valor R$ 40,00 mensais. Faltam ainda pagar 7 (0+7) prestações. A taxa de juros compostos do crediário é de 9% a.m.. Se Antônio quiser quitar toda a dívida de uma só vez daqui a 7 meses, quanto ele terá que pagar? (despreze os juros de mora) Resposta: R$ 368,02 daqui a 7 meses Exercício 03: Rosana e Marcos, preocupados com o futuro de seu filho, depositam ao fim de cada mês uma quantia de R$ 500,00, em fundo de aplicações que rende 3,5% a.m.. Pergunta-se quanto se terá ao final de 48 meses (4 anos)? Resposta: R$ 60.194,13 daqui a 4 anos