Fluxo de caixa

Matemática Financeira Professor Gerson Leite Bezerra
www.consultefinancas.com.br 1
FLUXO DE CAIXA
Um fluxo de caixa representa uma série de pagamentos ou de recebimentos que se
estima ocorrer em determinado intervalo de tempo. É bastante comum, na prática,
defrontar-se com operações financeiras que se representam por um fluxo de caixa.
Toda operação financeira é representada em termos de fluxos de caixa, ou seja, em
fluxos esperados de recebimentos e pagamentos de caixa. A avaliação desses
fluxos consiste, em essência, na comparação dos valores presentes, calculados segundo
o regime de juros compostos a partir de uma dada taxa de juros, das saídas e
entradas de caixa. (ASSAF, 200)
DIAGRAMAS DE FLUXO DE CAIXA
O diagrama de fluxo de caixa é um valioso instrumento auxiliar para o uso de sua
calculadora nos cálculos financeiros. O diagrama não é nada mais do que uma descrição
gráfica temporal e direcional das transações financeiras, rotulada com termos
correspondentes ao teclado da sua calculadora.
O diagrama começa com uma linha horizontal denominada linha de tempo. Ela representa
o período de duração do problema financeiro e é dividida em períodos de composição.
Por exemplo, um problema financeiro planejado para 6 meses, tendo uma composição
de juros mensal, teria o seguinte diagrama:
0 1 2 3 4 5 6
O intercâmbio do dinheiro num problema é desenhado com flechas verticais. O dinheiro
recebido é representado por uma flecha apontada para cima, que se inicia no ponto
da linha de tempo onde a transação ocorreu; o dinheiro pago é representado
por uma flecha apontada para baixo.

Dinheiro recebido (entra no caixa) → Apresentado como um valor positivo ( + )
Dinheiro pago (sai do caixa) → Apresentado como um valor negativo ( - )
FLUXOS DE CAIXA PADRÃO
O modelo padrão de um fluxo de caixa é verificado quando os termos de uma sucessão
de pagamentos ou recebimentos apresentam, ao mesmo tempo, as seguintes
classificações:
Postecipados – indica que os fluxos de pagamentos ou recebimentos começam a
ocorrer ao final do primeiro intervalo de tempo. Por exemplo, não havendo carência, a
prestação inicial de um financiamento é paga ao final do primeiro período do
prazo contratado, vencendo as demais em intervalos sequências.
Limitados – o prazo total do fluxo de caixa é conhecido a priori, sendo finito o número de
termos (pagamentos e recebimentos). Por exemplo, um financiamento por 2 anos envolve
desembolsos neste intervalo fixo de tempo sendo, consequentemente, limitado o número
de termos do fluxo (prestações do financiamento).
Constantes - indica que os valores dos termos que compõem o fluxo de caixa são
iguais entre si.
Periódicos – é quando os intervalos entre os termos do fluxo são idênticos entre si.
Ou seja, o tempo entre um fluxo e outro é constante. (ASSAF, 2012).
Dinheiro recebido Dinheiro Pago

Exercícios
1. Quanto terá no final de quatro anos uma pessoa que aplica R$ 500,00 por mês,
durante esse prazo, em um “Fundo de Renda Fixa”, à taxa de 3% ao mês?
Solução:
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
[ f ] CLEAR [REG] 0,00 Limpam registradores
48 [ n ] 48,00 Número de aplicações mensais
500 [PMT] 500,00 Valor das aplicações mensais
3 [ i ] 3,00 Taxa mensal
[FV] - 52.204,20 Valor do montante no final de quatro anos
[ g ] [END]: Caso o BEGIN não esteja acesso no visor, a máquina já está
configurada para séries postecipadas. Assim, o uso das teclas [ g ] [END] é
desnecessário.
2. Quanto uma pessoa terá de aplicar mensalmente num “Fundo de Renda Fixa”,
durante cinco anos, para que possa resgatar R$ 200.000,00 no final de 60 meses,
sabendo-se que o fundo proporciona um rendimento de 2% ao mês?
Solução:
[ f ] CLEAR [REG] ou [FIN] 0,00 Limpam registradores
60 [ n ] 60,00 № de aplicações mensais
200000 [FV] 200.000,00 Montante no final de 60 meses
2 [ i ] 2,00 Taxa mensal
[PMT] - 1.753,59 Valor a ser aplicado mensalmente

3. Quantas prestações de R$ 4.000,00 devo aplicar trimestralmente, à taxa de 7% ao
trimestre, para acumular um montante de R$ 100.516,08, no final de certo prazo? E qual
esse prazo?
Solução:
4000 [CHS] [PMT] - 4.000,00 Valor das prestações trimestrais
7 [ i ] 7,00 Taxa trimestral
100516,08 [FV] 100.516,08 Montante no final do prazo
[ n ] 15,00 № de prestações trimestrais
4. Uma pessoa depositou anualmente R$ 25.000,00 numa conta de poupança, em nome
de seu filho, a juros de 6% ao ano. O primeiro depósito foi feito no dia em que o filho
completou um ano, e o último por ocasião do seu 18º aniversário. O dinheiro continuou
depositado até o dia em que o filho completou 21 anos, ocasião em que o montante foi
sacado. Quanto recebeu o filho?
Solução:
25000 [PMT] 25.000,00 Valor dos depósitos anuais
6 [ i ] 6,00 Taxa anual de juros
18 [ n ] 18,00 № de depósitos
[FV] - 772.641,31 Montante acumulado até o 18º ano
[ f ] CLEAR [FIN] [PV] - 772.641,31
[ f ] CLEAR [FIN] Limpa registradores
financeiros (mas não limpa o visor) e
introduz o montante em PV.
3 [ n ] 3,00 Prazo a decorrer do 18º ao 21º ano
[FV] 920.228,17 Montante sacado pelo filho
O n É SEMPRE APROXIMADO!
A HP 12C sempre aproxima o cálculo de N para o inteiro superior.

5. Márcio e Daniela ficaram noivos e pretendem casar-se dentro de 20 meses. Como
entendem ser mais aconselhável adquirir a vista todos os móveis necessários, pretendem
fazer aplicações mensais, cujo montante deverá ser sacado três meses antes do
casamento, para a devida compra. Sabendo-se que:
a) essa aplicação deverá render 2,25% ao mês;
b) o montante desejado é de R$ 80.000,00 (valor que os mesmos estimam para os
móveis daqui a 17 meses)
c) o casal já aplicou hoje R$ 12.000,00.
Indaga-se qual o valor de cada uma das 17 prestações mensais, iguais e consecutivas
necessárias para totalizar um montante de R$ 80.000,00 no final de 17 meses?
Solução:
12000 [PV] 12.000,00 Valor da aplicação inicial
2,25 [ i ] 2,25 Taxa mensal de juros
17 [ n ] 17,00 № de depósitos
[FV] - 17.516,92 Montante do depósito inicial
80000 [ + ] 62.483,08
Montante que deverá ser obtido com a aplicação de 17 parcelas iguais
[ f ] CLEAR [FIN] [FV] 62.483,08
[ f ] CLEAR [FIN] Limpa registradores
financeiros e armazena o montante em
FV.
[PMT] - 3.057,95 Valor das aplicações mensais
6. Determinar o valor do montante FV do fluxo de caixa que se segue, com taxa de10%
ao ano, no regime de juros compostos. Com prestações de R$ 1.000,00 em um prazo de
5 anos.
Solução: para os dados desse problema o esquema padrão tem a seguinte
apresentação:

5 [ n ] 5,00 № de aplicações anuais
1000 [CHS] [PMT] - 1.000,00 Valor das aplicações anuais
[FV] 6.105,10 Valor do montante
7. Um investidor efetua os quatro depósitos anuais de R$ 5.000,00; com taxa de 8% ao
ano. Determinar o valor acumulado por esse investidor no final do quarto ano, nas
seguintes situações:
a) imediatamente após a realização do quarto depósito;
b) imediatamente antes da realização do quarto depósito.
Solução:
a)
4 [ n ] 4,00 № de aplicações anuais
5000 [CHS] [PMT] - 5.000,00 Valor das aplicações anuais
[FV] 22.530,56 Valor do montante
b) O saldo acumulado, imediatamente antes da realização do 4º depósito, é obtido
subtraindo-se, do saldo calculado no item a, o valor do último depósito, isto é:
R$ 22.530,56 – R$ 5.000,00 = R$ 17.530,56
8. Determinar o valor dos quatro depósitos trimestrais do fluxo de caixa, capazes de
produzir o montante de R$ 10.000,00 no final do 4º trimestre, com taxa efetiva de 3% ao
trimestre, no regime de juros compostos.
Solução:

4 [ n ] 4,00 № de aplicações trimestrais
3 [ i ] 3,00 Taxa trimestral de juros
10000 [CHS] [FV] - 10.000,00 Valor do montante
[PMT] 2.390,27 Valor das prestações
Curiosidade da HP 12C!!!
Para desligar e travar a calculadora, impossibilitando o uso por terceiros
pressione as seguintes teclas: 45 [ENTER] [ON] [PMT] (juntos) [ON] [PMT]
(juntos) [1/x] para ligar novamente: [ON] [PMT] (juntos).
9. Determinar o valor de seis depósitos mensais, iguais e sucessivos, capazes de
produzir um montante de R$ 5.000,00 no final do 6º mês, imediatamente após a
realização do 6º depósito, sabendo-se que esses depósitos são remunerados com uma
taxa de 12% ao ano, capitalizados mensalmente.
Solução: 12%/12 = 1% ao mês.
6 [ n ] 6,00 № de aplicações trimestrais
1 [ i ] 1,00 Taxa trimestral de juros
5000 [CHS] [FV] - 5.000,00 Valor do montante
[PMT] 812,74 Valor das prestações
FLUXO DE CAIXA NÃO CONVENCIONAL
Esta parte dedica-se, mais especificamente, aos fluxos de caixa considerado não
convencional ou não padrão. No tipo postecipado, a série de pagamentos/recebimentos
começa a ocorrer exatamente ao final do primeiro período (mês, trimestre, semestre
etc). O fluxo de caixa antecipado indica que a série de valores começa a ocorrer antes
do final do primeiro período. E o diferido indica que os termos da série começam a
ocorrer após o final do primeiro período. (ASSAF, 2012).

Exercícios
1. Quanto terei de aplicar mensalmente, a partir de hoje, para acumular no final de 36
meses um montante de R$ 300.000,00. Sabendo-se que o rendimento firmado é de
34.489% ao ano, e que as prestações são iguais e consecutivas e em número de 36?
Solução:
1,34489 [ENTER] 1,34489 1 + a taxa anual (forma unitária)
12 [ 1/x ] [ y
x
] 1,025 1 + a taxa mensal (forma unitária)
1 [ - ] 100 [ x ] [ i ] 2,50 Taxa mensal (forma percentual)
[ g ] [BEG] 2,50 Begin:
Posiciona a calculadora para resolver problemas com pagamentos antecipados
300000 [FV] 300.000,00 Valor do montante
[PMT] - 5.107,77 Valor das aplicações mensais
2. Quantas aplicações mensais de R$ 1.000,00 são necessárias para obter um
montante de R$ 33.426,48, sabendo-se que a taxa é de 3 % ao mês, e que a
primeira aplicação é feita no ato da assinatura do contrato e a última em 30 dias
antes do resgate daquele valor?
Solução:
[ g ] [BEG] 0,00 Aciona a calculadora em begin
1000 [CHS] [PMT] - 1.000,00 Valor das aplicações mensais
33426,48 [FV] 33.426,48 Valor do montante
3 [ i ] 3,00 Taxa mensal de juros
[ n ] 23,00 № de Aplicações mensais

3. Qual o valor de um empréstimo que pode ser liquidado em 10 prestações à taxa de
3,5% ao mês, sendo as 4 primeiras prestações de R$ 3.000,00 e as 6 últimas de R$
4.500,00?
Solução:
4 [ n ] 4,00 № de prestações de 3.000,00
3000 [PMT] 3.000,00 Valor das prestações iniciais
[PV] - 11.019,24 PV das seis primeiras prestações
[CHS] [STO] 0 11.019,24 Troca o sinal e armazena
6 [ n ] 6,00 № de prestações de 4.500,00
4500 [PMT] 4.500,00 Valor das 6 últimas prestações
[PV] -23.978,49 PV das 6 prestações no final do 4º mês.
[ f ] CLEAR [FIN] [FV] - 23.978,49 Armazena o valor presente em FV
4 [ n ] 4,00
№ de meses da data do contrato ao 4º
mês.
[PV] 20.895,87
PV das 6 últimas prestações na data do
empréstimo.
[RCL] 0 [ + ] 31.915,11 Valor do empréstimo

REFERÊNCIAS
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas aplicações. 7. ed. São
Paulo: Atlas, 2002. 436 p.
BRUNI, Adriano Leal; FAMÁ, Rubens. Matemática Financeira com: HP-12C e
Excel. 4. ed. São Paulo: Atlas, 2007. 464 p.
SILVA, Gerson José Leite Bezerra da. Matemática Financeira e Estatística: Exame de
Suficiência do CFC. São Paulo: Edipro, 2012.
Manual da Calculadora HP 12C. Hewllet-Packard: San Diego, 2004. 220 p.
VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática Financeira. 7. ed. São Paulo: Atlas,
2000. 409 p.

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