Um resumo básico sobre as operações de derivação e integração. Fiz para estudar para a disci

1. 1
Funções de Uma Variável
Derivação
Definição:
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
1. ( )
2. ( )
3. ( )
4. ( )
5. ( )
6. ( )
7. ( )
8. ( )
9. ( )
10. ( )
11., ( ) ( )- ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
12.0 ( )
1
, ( )-
13. Regra da Cadeia
Na notação de Newton:
( ) , ( ( )- ( ( )) ( )
Na notação de Leibniz:
Teorema sobre continuidade e derivabilidade
Se f for derivável em p, então f será contínua em p.
Ou, equivalentemente, a contra-positiva:
Se f não for contínua em p, então f não é derivável em p.
Integração
1. ∫ ( )
Rodrigo Thiago Passos Silva
Bacharelado em Ciência e Tecnologia
Universidade Federal do ABC

2. 2
2. ∫
3. ∫
4. ∫
5. ∫
6. ∫
7. ∫
8. ∫
9. ∫ ( ) ( )
10. ∫ ( ) ( )
11. ∫
12. ∫
13. ∫
√
Teorema fundamental do Cálculo
1. Se f é contínua em [a,b], então a função g, definida por
( ) ∫ ( ) ( )
é contínua em [a,b] e derivável em (a,b) e g’(x) = f (x).
2. Se f é contínua em [a,b], então
∫ ( ) ( ) ( )
onde F é qualquer primitiva de f, id est, uma função tal que F’ = f.
Áreas
A área S limitada pela região da reta x = b, x = a, y = 0 e y = f (x), onde f (x) é contínua
em [a,b], é
∫ ( )
A área S da região limitada pelas curvas y = f (x), y = g (x), e pelas retas y = b e y = a,
onde f e g são contínuas e f (x) ≥ g (x) para todo x em [a,b], é
∫ , ( ) ( )-
Rodrigo Thiago Passos Silva
Bacharelado em Ciência e Tecnologia
Universidade Federal do ABC

3. 3
Integração por partes
∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ( ) ( )
Exercícios
1. Seja ( ) . Prove que ( ) .
Pela definição de derivada temos:
( )
( )
Resolução do limite em vermelho:
Tomando: , temos então
Aplicando logaritmo natural em ambos os lados:
( )
( ) ( )
Quando , então:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) [ ( ) ]
Portanto, ( )
Rodrigo Thiago Passos Silva
Bacharelado em Ciência e Tecnologia
Universidade Federal do ABC

4. 4
2. Seja ( ) . Prove que ( ) .
Pela definição de derivada:
( ) . / . /
( )
( ) ( ) * ( ) +
( ) ( )
[ ] [ ]
( ) ( )
[ ] [ ]
( )
[ ]
3. Seja ( ) ( ) . f é contínua e diferenciável em 1?
f é contínua em 1 se
( ) ( )
Calculando o limite, utilizando os limites laterais:
( ) ( ) ( )
Portanto, existe ( ) e é igual a ( ), então a função é contínua no ponto 1.
( ) ( )
f é diferenciável no ponto 1 se o limite existir.
Para
( ) ( ) ( )( )
( )
Rodrigo Thiago Passos Silva
Bacharelado em Ciência e Tecnologia
Universidade Federal do ABC

5. 5
Para
( ) ( )
Conclusão:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
e portanto, f não é diferenciável no ponto 1.
4. Seja ( ) ( ) . f é contínua e derivável em 0?
( ) ( )
f é derivável no ponto 0 se o limite existir.
Para
( ) ( )
Para
( ) ( )
Conclusão:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
e, portanto, f é diferenciável no ponto 0. Logo, se é diferenciável, é também contínua no
mesmo ponto.
5. Use as regras de derivação para calcular f’(x).
( )( ) ( )( ) ( ) ( )
1. ( ) ( ) , - , -
2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
3. ( ) √ √ ( )
√ √
4. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
, ( )- ( ) ( ) (
)
Rodrigo Thiago Passos Silva
Bacharelado em Ciência e Tecnologia
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6. 6
5. ( ) , ( )- ( ) ( )* , ( )-+ ( )* , (
)-+ ( ) , ( )- * , ( )-+ , ( )-
( ) , ( )- , ( )- , ( ) ( )-
( ) , ( )- , ( )- , - ( ) , (
)- ( ) , ( )-
6. Calcule:
1. ∫ . / ∫( )
2. ∫ . / ∫( )
3. ∫( √ ) ∫( ) √
4. ∫ . / ∫( )
5. ∫ ( ) ( )
( )
6. ∫ ( ) ( ( ))
7. ∫ ∫. /
8. ∫( )
7. Calcule:
( ) √
1. ∫ ( ) 0 1 ( ) . /
2. ∫ ( ) , -
3. ∫ ∫ * + , √ - ( √ ) ( √ )
√
Rodrigo Thiago Passos Silva
Bacharelado em Ciência e Tecnologia
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7. 7
4. ∫ ∫ . / ∫ ( ) 0 1 0 1
. / . /
5. ∫ ∫ . / ∫ ( ) , - , -
. / . /
8. Calcule, usando mudança de variável:
1. ∫
Fazendo , temos: ( )
Portanto:
∫ ∫ ∫ , - ( )
2. ∫ √
Fazendo , temos ( )
Portanto:
∫ √ ∫ √ ∫ √ [ √ ] ( √ √ )
√ √
( √ √ ) √ √
3. ∫ √
Fazendo , temos ( )
Portanto:
∫ √ ∫ √ ∫ √
Observação:
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8. 8
∫√ ∫√ (√ )
(√ )
√ (√ ) | √ (√ ) |
(√ )
√ (√ )
√
Regra geral:
∫√ √ | √ |
onde,
. √ /
4. ∫ √
Fazendo: , temos ( )
Portanto:
∫ √ ∫ ( ) √ ∫ ( )
∫ ( ) [ ]
( )
5. ∫ ( )
Fazendo , temos ( )
Portanto:
∫ ( ) ∫ ∫ * + ( )
6. ∫
Tomando , temos que ( )
Portanto:
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Bacharelado em Ciência e Tecnologia
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9. 9
∫ ∫ ∫ , - ( ) ( )
9. Calcule (usando integração por partes):
1. ∫
Fazendo ( ) ( ) e ( ) ( )
Fórmula: ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ( ) ( )
∫ ∫ ( )
2. ∫
Fazendo ( ) ( ) e ( ) ( )
Fórmula: ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ( ) ( )
∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( )
Calculando ∫ ( ) por partes:
Fazendo ( ) ( ) e ( ) ( )
∫ ( ) ∫
Portanto:
∫
10. Calcule:
1. ∫
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Bacharelado em Ciência e Tecnologia
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10. 10
O grau do numerador é estritamente menor do que o do denominador, portanto, existe A
e B, tal que
( ) ( )
( )( )
Então:
( ) ( )
Fazendo , temos: ( )
Fazendo , temos: ( )
Logo:
∫ ∫( )
2. ∫
Fazendo a divisão , temos quociente ( ) e resto ( ) .
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Como ( ) ( ) ( ) ( ), então ( ) ( )
( ) ( )
Logo,
e
∫ ∫( ) ∫( )
Calculando, agora, os valores de A e B:
( ) ( )
( )( )
Tem-se:
( ) ( )
Fazendo , temos: ( ) ( )
Fazendo , temos: ( ) ( )
Portanto:
Por consequência:
∫( ) ∫( )
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Bacharelado em Ciência e Tecnologia
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11. 11
Voltando à integral que se quer calcular:
∫ ( )
3. ∫ ( )
Fazendo , tem-se ( )
( )
∫ ∫ ∫
( )
∫( )
Portanto:
( )
∫ ( )
( )
4. ∫
Fazendo a divisão dos polinômios, obtêm-se ( ) e ( ) .
Portanto,
( )( )
A fração equivale a e pode ser escrita da forma
( )( )
Logo,
( )( ) ( ) ( )
( )( )
e,
( )( ) ( ) ( )
Fazendo temos ( )( )
Fazendo temos ( )( )
Fazendo temos ( )( )
Então:
Calculando a integral:
Rodrigo Thiago Passos Silva
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12. 12
∫ ∫* +
5. ∫
∫ ∫ ∫
( ) ( )
Fazendo , teremos ( )
Então:
( )
∫ ∫ ∫ ∫( )
( )
( ) ( )
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