Resolução - P2 - Modelo C - Geometria Analítica

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Resolução da P2 de Geometria Analítica, modelo C.

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Resolução - P2 - Modelo C - Geometria Analítica

  1. 1. 2ª Avaliação de Geometria Analítica (Resolução)1. O plano é determinado pelas retas e ( ) ( ), onde . Determine equações gerais dos planos que distam 2 de .Separando a equação da reta r em duas igualdades: e e admitindo , encontramos as equações paramétricas: O plano determinado por r e s é dado por [⃗⃗⃗⃗⃗ ] , onde ( ) e X é umponto genérico do plano. [⃗⃗⃗⃗⃗ ] | |Os planos que possuem distância não nula de devem ser paralelos a ele e portantopossuir o mesmo vetor normal. Logo, os planos paralelos são da forma . ( ) ( ) ( ) | ( ) | ( ) | | √ ( )2. Sejam . Determine:a) m de modo que os planos ( ) ( ) ( )e sejam paralelos e distintos.⃗⃗⃗⃗ ( ) ( ) é o vetor normal do plano . ̂ ̂ ̂ ⃗⃗⃗⃗ | | ( )Os planos e são paralelos se seus vetores normais são linearmente dependentes, idest, se a razão entre suas coordenadas é constante. não convém pois torna o vetor normal de nulo. 1
  2. 2. O ponto ( ) pertence também ao plano , então, não existe plano queseja paralelo e distinto de . Para , e são paralelos e coincidentes.b) a posição relativa entre o plano ( ) ( ) ( ) e a reta ( ) ( ).Se o conjunto *( )( )( )+ for LD a reta e o plano são paralelos.Calculando o determinante: | |Então, a reta é transversal ao plano .3. Calcule:a) a distância entre os planos e ; ( ) ( ), ( ) | | √ ( ) ( ) √ √ √b) a distância entre as retas e .Reescrevendo as equações na forma paramétrica: r e s são paralelas, então: ( ) ( ) ( ) |⃗⃗⃗⃗⃗ | |( ) ( )| |( )| √( ) ( ) ( ) ( ) | | |( )| |( )| ( ) ( ) √4. Faça um esboço e determine o centro, vértices, focos e excentricidade da cônica: ( ) ( ) ,( ) - ,( ) -Observe que no primeiro colchete temos o equivalente a e no segundo . Para que a segunda equação seja equivalente a primeira devemossubtrair 1 no primeiro colchete e subtrair 25 no segundo. ,( ) - ,( ) - 2
  3. 3. ( ) ( )Dividindo a equação por 225: ( ) ( )A equação acima representa uma hipérbole.Centro: ( ). √Vértices (considerando que o centro da hipérbole é a origem): ( ) ( ) ( ) ( )Focos (considerando que o centro da hipérbole é a origem): ( ) ( √ ) ( ) ( √ )Efetuando as translações (considerando o centro como (-1,5)), temos: ( )e ( ) ( √ )e ( √ )Excentricidade: √Figura 1 - Gráfico da hipérbole. Em verde está representada a curva com centro na origem. Em azul está a curva para o centro (-1,5) 3
  4. 4. 5. Defina hipérbole como lugar geométrico. Identifique seus principais elementos eindique sua equação geral.Sejam e pontos distintos, 2c, sua distância, e a, um número real tal que .O lugar geométrico H dos pontos X tais que | ( ) ( )| chama-sehipérbole. Cada um dos pontos e é chamado foco da hipérbole, o segmentoé chamado segmento focal, seu ponto médio, centro da hipérbole, e 2c, distânciafocal. A reta chama-se reta focal, e qualquer segmento cujas extremidades(distintas) pertencem a H chama-se corda da hipérbole. [1]1 CAMARGO, I. BOULOS, P. Geometria Analítica. 3 ed rev e ampl. São Paulo: Prentice Hall, 2005. p. 297 4

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