Seminário apresentado na disciplina de Teoria Quântica de Campos da UFABC em 2008.

1. Introdu¸c˜ao
Potencial Efetivo
Expans˜ao em Loop
Divergˆencia Quadr´atica
Conclus˜ao
Universidade Federal do ABC
M´etodo da A¸c˜ao Efetiva em Teoria Quˆantica de
Campos
Leandro Seixas Rocha
26 de setembro de 2008
Leandro Seixas Rocha M´etodo da A¸c˜ao Efetiva em Teoria Quˆantica de Campos

2. Introdu¸c˜ao
Potencial Efetivo
Expans˜ao em Loop
Divergˆencia Quadr´atica
Conclus˜ao
Campo escalar
Integrais de Trajet´orias
A¸c˜ao Efetiva
Campo Escalar Real
A Lagrangiana do campo escalar real ´e
L =
1
2
∂µϕ(x)∂µ
ϕ(x)−V (ϕ), (1)
com o potencial V (ϕ) sendo
V (ϕ) =
1
2
m2
ϕ2
+
1
4!
λϕ4
. (2)
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3. Introdu¸c˜ao
Potencial Efetivo
Expans˜ao em Loop
Divergˆencia Quadr´atica
Conclus˜ao
Campo escalar
Integrais de Trajet´orias
A¸c˜ao Efetiva
Integrais de Trajet´orias
M´etodo de quantiza¸c˜ao de campos cl´assicos desenvolvido por
Feynman.
Possui um funcional Z[J] dado por
Z[J] = N Dϕ exp iS [ϕ]+i d4
xJ(x)ϕ(x) = 0+
|0−
(3)
que gera as fun¸c˜oes de Green.
As fun¸c˜oes de Green s˜ao obtidas por
G(N)
(x1,...,xN) = (−i)N δN
δJ(x1)···δJ(xN)
Z[J]
J=0
. (4)
O VEV do campo ϕ ´e dado por
ϕ = lim
J→0
0+|ˆϕ|0−
J
0+|0−
J
. (5)
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4. Introdu¸c˜ao
Potencial Efetivo
Expans˜ao em Loop
Divergˆencia Quadr´atica
Conclus˜ao
Campo escalar
Integrais de Trajet´orias
A¸c˜ao Efetiva
Funcional W[J] e Campo Cl´assico
´E conveniente definir o funcional W [J]:
W [J] =
¯h
i
lnZ[J]. (6)
Gerador das Fun¸c˜oes de Green Conexas.
Tamb´em vamos definir o campo cl´assico ϕc(x):
ϕc(x) =
0+|ˆϕ|0−
J
0+|0−
J
, (7)
de modo que
δW [J]
δJ(x)
= ϕc(x). (8)
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5. Introdu¸c˜ao
Potencial Efetivo
Expans˜ao em Loop
Divergˆencia Quadr´atica
Conclus˜ao
Campo escalar
Integrais de Trajet´orias
A¸c˜ao Efetiva
A¸c˜ao Efetiva
A a¸c˜ao efetiva ´e definida como
Γ[ϕc] = W [J]− d4
x ϕc(x)J(x). (9)
Transforma¸c˜ao de Legendre de W [J] na vari´avel J(x).
A a¸c˜ao efetiva obedece
δΓ[ϕc]
δϕc(x)
= −J(x). (10)
Para J = 0 temos ϕc = ϕ e assim
δΓ[ϕc]
δϕc(x) ϕc = ϕ
= 0. (11)
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6. Introdu¸c˜ao
Potencial Efetivo
Expans˜ao em Loop
Divergˆencia Quadr´atica
Conclus˜ao
Campo escalar
Integrais de Trajet´orias
A¸c˜ao Efetiva
Fun¸c˜oes de Green 1PI
O funcional Γ[ϕc] ´e o funcional gerador das fun¸c˜oes de Green
1PI (one particle irreducible).
Γ[ϕc] =
∞
∑
n=0
1
n!
d4
x1 ...d4
xn Γ(n)
(x1,...,xn)ϕc(x1)...ϕc(xn),(12)
onde Γ(n)(x1,...,xn) ´e a fun¸c˜ao de Green 1PI de n pontos.
Diagramas de Feynman 1PI n˜ao podem ser compostos por
outros diagramas 1PI.
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7. Introdu¸c˜ao
Potencial Efetivo
Expans˜ao em Loop
Divergˆencia Quadr´atica
Conclus˜ao
Potencial Efetivo
O potencial efetivo Veff(ϕc) ´e definido de forma que
Γ[ϕc] = d4
x −Veff(ϕc)+
1
2
∂µϕc∂µ
ϕc . (13)
Quando ϕc(x) = ρ = constante, temos
Γ[ρ] = −ΩVeff(ρ), (14)
onde Ω = d4x = (2π)4δ4(0) ´e o volume do espa¸co-tempo.
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8. Introdu¸c˜ao
Potencial Efetivo
Expans˜ao em Loop
Divergˆencia Quadr´atica
Conclus˜ao
Expans˜ao em Loop
Expandindo a a¸c˜ao S [ϕ] em torno de ϕ0, com ϕ0 satisfazendo
δS [ϕ]
δϕ(x) ϕ=ϕ0
= −J(x), (15)
obtemos
S [ϕ +ϕ0] = S [ϕ0]+ d4
x ϕ(x)
δS [ϕ]
δϕ(x) ϕ=ϕ0
+ (16)
+
1
2
d4
xd4
y ϕ(x)ϕ(y)
δ2S [ϕ]
δϕ(x)δϕ(y) ϕ=ϕ0
+··· .
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9. Introdu¸c˜ao
Potencial Efetivo
Expans˜ao em Loop
Divergˆencia Quadr´atica
Conclus˜ao
Propagador de Feynman
A segunda derivada funcional da a¸c˜ao est´a relacionada com o
propagador ∆[ϕ0] da seguinte forma
x|i∆−1
[ϕ0]|y =
δ2S [ϕ]
δϕ(x)δϕ(y) ϕ=ϕ0
. (17)
Assim obtemos
S [ϕ +ϕ0] = S [ϕ0]−(ϕ,J)+
1
2
(ϕ,i∆−1
[ϕ0]ϕ). (18)
O Funcional Z[J] fica na forma
Z[J] = exp
i
¯h
(S [ϕ0]+(ϕ0,J)) N Dϕ exp
i
2¯h
(ϕ,i∆−1
ϕ) .(19
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10. Introdu¸c˜ao
Potencial Efetivo
Expans˜ao em Loop
Divergˆencia Quadr´atica
Conclus˜ao
Expans˜ao em Loop 2
A integral de trajet´oria anterior fornece
Dϕ exp
i
2¯h
(ϕ,i∆−1
ϕ) = det(i∆−1
[ϕ0])
−1/2
. (20)
Assim a equa¸c˜ao (19) torna-se
W [J] = S [ϕ0]+(ϕ0,J)+
i ¯h
2
ln det(i∆−1
[ϕ0]) . (21)
Usando ln(det(A)) = tr(ln(A)) obtemos
W [J] = S [ϕ0]+(ϕ0,J)+
i ¯h
2
tr ln(i∆−1
[ϕ0]) . (22)
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11. Introdu¸c˜ao
Potencial Efetivo
Expans˜ao em Loop
Divergˆencia Quadr´atica
Conclus˜ao
Expans˜ao em Loop 3
Para uma aproxima¸c˜ao em primeira ordem temos
ϕc = ϕ0 +ϕ1. (23)
Assim,
S [ϕ0] = S [ϕc −ϕ1] = S [ϕc]− d4
x ϕ1(x)
δS [ϕ]
δϕ(x) ϕ=ϕ0
.(24)
A equa¸c˜ao (22) torna-se
W [J] = S [ϕc]+(ϕc,J)+
i ¯h
2
tr ln(i∆−1
[ϕc]) , (25)
e a a¸c˜ao efetiva fica
Γ[ϕc] = S [ϕc]+
i ¯h
2
tr ln(i∆−1
[ϕc]) . (26)
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12. Introdu¸c˜ao
Potencial Efetivo
Expans˜ao em Loop
Divergˆencia Quadr´atica
Conclus˜ao
Expans˜ao em Loop 4
Para J = 0, ϕc = ρ e a equa¸c˜ao acima torna-se
Γ[ρ] = S [ρ]+
i ¯h
2
tr ln(i∆−1
[ρ]) . (27)
O potencial efetivo Veff(ϕc) fica na forma
Veff(ϕc) = V (ϕc)−
i ¯h
2
Ω−1
tr ln(i∆−1
[ϕc) . (28)
Usando a defini¸c˜ao do tra¸co obtemos
Veff(ϕc) = V (ϕc)−
i ¯h
2
d4p
(2π)4
ln p|i∆−1
[ϕc]|p . (29)
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13. Introdu¸c˜ao
Potencial Efetivo
Expans˜ao em Loop
Divergˆencia Quadr´atica
Conclus˜ao
Campo escalar real
Cutoff
Problema da Hierarquia
Divergˆencia Quadr´atica
Para a teoria do campo escalar com massa mϕ o potencial
efetivo ´e
Veff(ϕc) = V (ϕc)−
i ¯h
2
d4p
(2π)4
ln −p2
+m2
ϕ , (30)
com m2
ϕ = µ2 + 1
2 λϕ2.
Fazendo a rota¸c˜ao de Wick, p0 → ip4, o espa¸co-tempo
torna-se pseudo-Euclidiano e a equa¸c˜ao (30) fica como
Veff(ϕc) = V (ϕc)+
¯h
2
d4p
(2π)4
ln p2
+m2
ϕ . (31)
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14. Introdu¸c˜ao
Potencial Efetivo
Expans˜ao em Loop
Divergˆencia Quadr´atica
Conclus˜ao
Campo escalar real
Cutoff
Problema da Hierarquia
Cutoff
O integrando da equa¸c˜ao anterior ´e divergente, por essa raz˜ao
vamos introduzir uma escala de corte (cutoff) Λ de forma que
o resultado n˜ao seja divergente, assim
Veff(ϕc) = V (ϕc)+
¯h
16π2
Λ
0
dp p3
ln p2
+m2
ϕ . (32)
Resolvendo a equa¸c˜ao (32) encontramos o resultado
V (1)
(ϕc) =
¯h
16π2
Λ2
2
m2
ϕ +
m4
ϕ
4
ln
m2
ϕ
Λ2
−
1
2
−
m2
ϕ
6Λ2
+··· ,(33)
onde V (1)(ϕc) = Veff(ϕc)−V (ϕc).
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15. Introdu¸c˜ao
Potencial Efetivo
Expans˜ao em Loop
Divergˆencia Quadr´atica
Conclus˜ao
Campo escalar real
Cutoff
Problema da Hierarquia
Problema da Hierarquia
A minimiza¸c˜ao do potencial efetivo (33) leva a massa do
campo com os efeitos das corre¸c˜oes radiativas. A corre¸c˜ao no
termo de massa µ2 vai ser de aproximadamente
δµ2
=
3λ
16π2
Λ2
+ µ2
ln
m2
ϕ
Λ2
. (34)
Essa divergˆencia quadr´atica na corre¸c˜ao de µ2 ´e conhecida
como Problema da Hierarquia na F´ısica de Part´ıculas.
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16. Introdu¸c˜ao
Potencial Efetivo
Expans˜ao em Loop
Divergˆencia Quadr´atica
Conclus˜ao
Conclus˜ao
No quantiza¸c˜ao de um campo cl´assico v´arios efeitos ocorrem
devido as corre¸c˜oes radiativas desse campo, ´e poss´ıvel formular a
Teoria Quˆantica de Campos em termos de um campo cl´assico e
fazer com que as corre¸c˜oes radiativas venham de termos novos da
a¸c˜ao. A a¸c˜ao de um campo cl´assico que possui as corre¸c˜oes
radiativas ´e chamada de a¸c˜ao efetiva, e da mesma forma podemos
introduzir um potencial com tais corre¸c˜oes radiativas tamb´em, que
´e chamado de potencial efetivo. A express˜ao do potencial efetivo
em primeira ordem para o campo escalar ´e mostrada na equa¸c˜ao
(29), e um fenˆomeno conhecido do campo escalar quˆantico que ´e a
divergˆencia quadr´atica da corre¸c˜ao da massa, o Problema da
Hierarquia, ´e mostrada na equa¸c˜ao (34).
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