Exercício linearização entrada-estado

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Exercício linearização entrada-estado

  1. 1. EXERCÍCIO LINEARIZAÇÃO ENTRADA-ESTADO Manuel Ricardo Vargas Ávila Manuel06_20@hotmail.com Universidade Federal do Rio Grande do Sul Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica ELE222- Sistemas Não Lineares RESUMO: O presente documento consiste em umdesenvolvimento dos exercícios propostos (Input-state ̇ ( ) ( ) (3)linearization) na aula de sistemas não lineares.Linearização entrada-estado é uma das técnicas de ( ( ))controle mais conhecidas para lidar com os sistemas nãolineares e é muito eficaz em problemas de controle na Onde:vida real.  Controle linearizante PALAVRAS-CHAVE: Linearização, variáveis deestado, difeomorfismo, LQR, Matlab. ( ) (4) ( )  (A,B) controlável e ( ) não singular em .1 BASE TEÓRICA1.1 LINEARIZAÇÃO ENTRADA-ESTADO A não linearidade do sistema pode ser eliminada pela equação (4), o qual pode estar definida em um domínio e por tanto a linearização só será linear em aquele domínio. Escrevendo ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) Nós podemos reescrever (3) expressado nas novas coordenadas: ̇ ( ) ( ) (5) Figura1 - Input-state linearization DEFINIÇÃO1: Considerando o seguinte sistemanão-linear SISO1, representado no modelo state-space Mas, quando é possível obter um sistema dado nada forma: forma (3) ? A resposta é derivando a equação (2). ̇ ( ) ( ) (1) ̇ ̇ ( ) ( ) (6) ( ) Onde ( ) é o vetor de estados, ( ) éa E igualando a (3), nós concluímos que oentrada, ( ) é a medição da saída, e e difeomorfimos deve satisfazer as seguintes condições:definidas no domínio .A equação (1) élinearizable entrada-estado si um difeomorfismo2 ( ) contem o origem e o trocode variáveis ( ) ( ) ( ) ( ) (7) ( ) (2) ( ) ( ) (8)A equação (2) transforma o sistema (1) em:1 2 Sistema que tem uma entrada e uma saída É uma mudança de variáveis T tal que ( ) esta definido no domínio , sua inversa ( ) está definida em ( ). 1
  2. 2. Agora tendo: ( ) [ ][ ] ( ) ( ) [ ] (9) ( ) ( ) [ ][ ] (A equação (7) é equivalente a: ( ) [ ][ ] ( ) ( ) Nos podemos observar que ( ) não depende de e , por tanto: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Agora: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ][ ] ( ) A equação (8) é equivalente a: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ][ ] ( ) ( ) ( ) Por tanto: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] A existência de que satisfazem (9) e(10) é uma condição necessário e suficiente para que (1)seja linearizavel entrada-estado. O sistemas nas novas variáveis de estados fica: Exemplo (exercício 12.5 do libro NONLINEARSYSTEMS, Hassan K. Khalil, 2ed)Considere o seguinte sistema: { ̇ ̇ A representação do sistema nas novas variáveis de estados é: ̇Agora a partir da equação (1) : ̇ ̇ ̇ ̇ ( ) [ ] ( ) [ ] ̇ ̇Nós devemos procurar uma função ( ) que satisfaça(10) e (11). Agora nós podemos escolher (4) para cancelar o termo não lineal da 2 e 3 equação: 2
  3. 3. ( ) ( ) ( )Por tanto o sistema linearizado fica: ̇ { ̇ ̇2 CONCLUSÕES  A linearização por realimentação tem 3 limitações. A primeira é que ela não pode ser usado para todos os sistemas não lineares (não todos os sistemas são linearizable feedback). A segunda limitação é que todos os estados do sistema devem ser acessíveis. A terceira é que a robustez da técnica não é garantida em presencia de incerteza.  Si o sistema não linear não tem a estrutura (20), isso não quer dizer que não é possível fazer linearização por realimentação, pois a representação no espaço de estados não é única, é possível que um câmbio de variáveis o transforme.3 REFERÊNCIAS[1] Métodos Analíticos para a Síntesis de Controladores em sistemas de potencia, tese de Doctorado, Alexandre Sanfelice Bazanella[2] H. Khalil, ”Nonlinear Systems”, 2nd. ed., Prentice Hall, NJ, , 1996. 3

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