O documento apresenta exercícios sobre logaritmos e suas propriedades. Inclui cálculos de logaritmos, aplicação de propriedades como log(ab) = loga + logb, e determinação de valores de logaritmos por meio de equações.

1. 81 log 92 2
9 9 = = ou
log 9 log 3 log 32 4 2 2
2 2 = - = -
log 3
Û = Û = -
9
3 log 3
= 3 =
log 16
log 6
3 3
= =
log 16
4 = =
sobre Logaritmos
3 3 = ¸ = - =
1
1
1
25
1
5
 Û x = Û x = Û x =
2 - Û x = -
= log 42
= 2
4 =
4
4
1
log 2
1
1


3
1
3
3
2
log 23
22 = = ´ =
´ = ´
18 15
6 5 log 3 3 3 3 = ´ = =
´
Filipe Mathusso Lunavo Página
log =
N a
a
b
=
b N
Exercícios Resolvidos
1. Calcule o valor de:
a) log
log 81 log 81 9 3 = ¸
b) 3log
c) log 0,25 2 2 =a Û
log Û 5
x =
5
d) 5 125
125
2
x x
5 5 2
e)
3
log
9
3
log
3
3
3 =
f)
log 5 16 4
5
4 =
g)
5 3 6
6 =
5
log 6
h)
1
1 =
log 16 2
7
7
2
i)
log 8
log 4 8 4
4
2. Calcule o valor dos logaritmos
a) log 18 log 6 log 3 3 - -
log (18 15) log 3 = ´ -
1
1
1
 x
- ´ = Û 
b) log 64 log 27 2 3 - para acharmos a solução desta expressão temos que achar em parte a solução de
cada logaritmo, isto é:
log 64 2 2 = a⇒ a =
1
3
4
log 2 3
2
2 2
2
2
4
2
100
2
2 a = Û a = Û a = Û a = -
25
5
25
5
125
5
5

1
2
1
3
0,4
5
5
0,6
5
7
7
7
2
log
7
4
2
4
2
= - = -


= =
-
8
4
2
4
4
5 log 15 3 3 + log 18 log 15 log 6 3 3 3 ⇒ + - -
log 3 3 log 9
6 5
26 ⇒a = 6
Ûa = -2
2
2 2
5 5
log 5 3 log 32 2
3 =

2. = ⇒ = ⇒ =
log 27 3 3 3
64 log 27 6 3 3
2 = a⇒ a = ⇒a =
5
4 = b⇒ b = ⇒ b = ⇒ b =
3
- = - 5
= 8 - 5
=
2 4 1 + -
1
 = Û = Û

= - 1 1
1
= Û = Û =
b 3
b b
log 27 log 3 3
3 3
- d d d
- = Û = Û = -
2log 36 log 6 4
1 Vamos resolver em partes.
=a Û a = Ûa =
5 b b
( ) 1
1
1
1
 = 
 Û = 
 = = Û

Û = - 1 5 1
log 2 + log 1+ 3 + 3 Vamos resolver em parte o valor de cada logaritmo
log 2 1 2 =
= ´ = ´ =
=
+
2 log 5 2 log 5
+
Filipe Mathusso Lunavo Página 2
2 3
3
3
lo
- = - =
b b b
c) log 16 log 32 2 4 -
log 16 2 24 4
2
log 32 4 25 22 25
2
2
2
log 16 log 32 4
(1)
(2)
d) log 8 log 27 2log 36 3 6
2
3
2
log 8 log 2 log
3
2
3
2
2


-
a a
( )
log 8 log 27 2log 36 3 3 4 4
3 6
1
2
2 2
6 6
+ - = - + - = -
e) log 18 + log 6 - log 12 = log (18 ´ 6) ¸ 12 = log 108 ¸ 12 = log 9 = log 32 =
2
3 3 3 3 3 3 3 f) log (log 125) 5
3
log 125 5 53 3
3
3
3
3
log log 125 log 3
1
3
3






-
b b
g)
(2 log 5)
2 10
log 1 0
( )
log 2 log 1 3( ) 1 0 45 46
3 3 3 9 5 45
2 log 5
2 10
10
3
3 3
+ + = + + =

3. 0 4
0 log 3
 ´
1
1
4
8
2
= ´ -
4 - = - = 
32 ´ 16
log y = log 32 + log 16 - log 8 ⇒ log y = log ⇒ y
= 4 4 4 4 4 4 4 4 log y log 27 10 log 3 log y
log 270 log 3
⇒ = - ⇒ = ¸ ⇒ =
log log 270 log 9 log log 270 9 log log 30
2 2 2 2 2 2 2
= y Û = y Û y =
1 1
1
1
1

 = - Û = Û =
1
2
1
= Û = Û = Û = Û = ´
log 3 2
y y y y y

= Û - 3
= Û = + 3
Û = 4 + 3
Û =  y - y y y y
Filipe Mathusso Lunavo Página 3
h) ( )
4
18
2
3
2
6
4
1
2
log 2 log
log 2 log 2
+
log 1 log 81
3 3
log 64 log 8
3
2
2
6
2
3
2
6
2
4
3
2 1
2
-
=


´ -

=



= +
´
+
=
´
-
3. Calcule o valor de y.
Lembre-se que a c a c b b log = log Û =
a)
512
8
log log
8
log log 64 64 4 4 ⇒ y = y =
b) log log 27 log 27 log 10 2log 3 2 2 2 2 2 y = + + -
( )
30
2
2 2 2
2
2 2 2
⇒ =
= ´ - ⇒ = -
y
y y y
c) log log 5 5 2 2 y = Û y =
d) log log 8 8 15 15 y = Û y =
e) log 1000 log lg 10 log 3 10
3
3
3
3
1
3
3
f) log log 7 7 1000 1000 y = Û y =
g) lg y = lg 4Û y = 4 Lembre-se dos logaritmos de base 10.
h)
2
2
log 8 3 2
3
3 3 3 = Û 

-
y - y - y y
1
i) 3 3 9 9
2
2
2 2
2
j) log 216 = 3 Û (2 y )3 = 63 ⇒ (2 y )3 = 23 ´ 33 Û y = 3
2 y
k) lg y = lg 3 + lg 5Û lg y = lg 3´ 5 Û lg y = lg15 Û y = 15
l)
7
2
2
2
2 2
2
lg 2
3
2
lg
(1)
(2)


9
18
18


2
2

4. m) lg(5y + 9) = lg y + lg 2Û lg(5y + 9) = lg 2y Û5y + 9 = 2y Û 5y - 2y = -9
3
9
Û 3y = -9 Û y = - Û y = -
3
3 log 2y- = log 8y
n) 4
3
5
1
3
1
1
1
1
Û 3 1 = 4 Û 1 = Û = Û - = - - -
4
5
4
9
4
Û y - y = Û y - y = Û - y = Û -y = ´ Û -y = /-1
3
3
3
3
= Û y = Û y = ´ Û y = Û y = Û y = y
log 2 2 2


1
log = 5Û 2 = Û 2 22 25 32
1
lg 0,001 = a Û10a = Û a = -3 Û a = -
lg = a Û a = -2 Û a = -
3 3 3 a + b - c = - + - = - = -
+ = - + log
b
= - + 4
= - 6 + 4
= - = - 3 3 log log 3 3

c

log Resolução: log = log - log = - 3 - 5 = - 8 b b b b
Filipe Mathusso Lunavo Página 4
3 1
5
( ) ( ) y y
y y
y y y y
3
4
1
3
3
2 8 2 2 4
2 3
3
24
3 3
4
5
12
5
4
12
12
12
12
12
12
1
3
3
4
1
3
(4) (3) (4)
4 Û y = -
5
3
o) 2 2 2 2 2 2 2
2
3
2
2 3
2 2
2
p) ( ) y y y y y y = Û = Û = Û =  

 

5 5
2
5
2
4. Calcule:
q) 10 1000 3
1000
r) lg10000 = a Û10a =104 Ûa = 4
1
s) 10 100 2
100
5. Sendo log 3 3 a = - , log 4 3 b = e log 2 3 c = , determine:
a) (ab) 3 log Resolução : log log 3 4 1 3 3 a + b = - + =
ab
b) 3 2 log
c
Resolução: log log log 2 3 4 22 1 4 3
c) a b 3 log
2
Resolução: 1
2
2
2
3
2
a b
6. Sabendo que log a = 5 b e log c = -3 b determine o valor de :
a) (ac) b log Resolução: log (ac) = log a + log c = 5 + (- 3) = 5 - 3 = 2 b b b

c

a

b) 


c a
a

5. c) log 3 ac b Resolução: ( )
log
log log
= + - log 3 =
2 log = log + log = 2log + log
5

log + - = + = 

p p p
l = + +  l

= + + 
l
l
1
log 2 2 log 2 8 8 8 = ´p + ¸ = p + ´ = p +
Filipe Mathusso Lunavo Página 5
2
3
5 3
3
3
3
+
= = ac a c
ac b b b
b
d) ( )4 log ac b Resolução: log ( )4 log 4 log 4 54 ( 3)4 (5 3)4 24 16 ac = a + c = + - = - = = b b b
7. Desenvolva, aplicando as propriedades dos logaritmos
a) (a2b)
log
2 Resolução: (a 2
b) a 2
b a b 2
2 2 2

 6
5 4
b) 

5
log p
5
Resolução: p 6
log p 6
log 5 log 4 6log
p 5 5 5
5 5 5
4
log
4


c)
log
2
log 2 log 2 log log log 2 log
8
8 8 8 8 8 8
l
g
g
g

 

g
g
l
g
2
log 2
2