02 logaritmos

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02 logaritmos

  1. 1. MATEMÁTICA Editora Exato 4 LOGARITMOS 1. DEFINIÇÃO Dados a, b * +∈ R e a 1≠ . x alog b x a b= ↔ = 2. ELEMENTOS log b a = x logaritmando Logaritmo base O logaritmo representa o expoente da base pa- ra gerar o logaritmando. Exemplo E.1) x x 3 2log 8 x 2 8 2 2 x 3= ⇒ = ⇒ = ⇒ = . E.2) 3 x x 2 2 3 log 2 2 x 2 2 2 2 2 x 2 = ⇒ = ⇒ = ⇒ = . 2.2. Conseqüências da Definição Dados x, b, a 0> e a 1≠ . alog 1 0= , pois a0 =1. alog a 1= , pois a1 =a. m alog a m= , pois am =am . alog b a b= . a alog x log b x b= ⇒ = 2.3. Representações Especiais O logaritmo na base 10 é escrito sem a ba- se, isto é, 10log b log b= . O logaritmo na base e (número periano) é escrito como elnb log b= 2.4. Propriedades Operatórias Satisfeitas as condições de existência, temos: P1) logb (ac) = alogb + clogb ; P2) logb       c a = alogb − clogb ; P3) logbam = m . alogb ; P4) alog m 1 alog bmb ⋅= . 2.5. Mudança de Base O alog b pode ser escrito em qualquer base ( )x x 0 e x 1> ≠ como a divisão de xlog b e xlog a , ou se- ja, x a x log b log b log b = (com a 0> e a 1≠ ). Exemplo: E.1) 2 3 2 log 5 log 5 log 3 = E.2) Calcule o valor de 3log 2 , sabendo que 10log 2 0,301= e 10log 3 0,477= . Resolução: Mudando o logaritmo para a base 10, temos: 3 log 2 0,301 log 2 log 3 0,477 = = 2.6. Antilogaritmo e Cologaritmo Define-se como antilog de x na base a como o logaritmando do logaritmo de b na base a, ou seja, a alog b x antilog x b= ⇔ = . Define-se como cologaritmo de b na base a como o oposto do logaritmo de b na base a, ou seja, a acolog b log b= − . Exemplo: E.1) 2 2b antilog 3 log b 3 b 8= ⇔ = ⇒ = . E.2) Determine o 2 2colog 16 log 16 4= − = − . 2.7. Equações Logarítmicas Para resolver as equações logarítmicas da mesma base, usamos o fato de a função logarítmica ser injetora, ou seja, quando suas imagens são iguais, então os elementos correspondentes do domínio são iguais (supondo satisfeitas as condições de existência dos logaritmos). Em símbolos, temos: ( )c 1 c 2 1 2 1 2log x log x x x x , x ,c e c 1+ += ⇔ = ∈ ∈ ≠R R . Exemplo: E.1) Calcule o valor de x na equação ( ) ( )log x 3 log 2x 5− = − Resolução: Usando a propriedade na equação. ( ) ( )log x 3 log 2x 5 x 3 2x 5 x 2− = − ⇒ − = − ⇒ = , como x 2= não satisfaz à condição de existência, pois o logaritmando se torna negativo, então o con- junto solução é vazio. 3. LOGARITMOS DECIMAIS Denomina-se de logaritmo decimal ou de Brigss a todo logaritmo de base 10. Esses logaritmos podem ser escritos como abaixo. log b= c + 0, m Representa a mantissa (parte fracionária do logaritmo). Representa a característica (parte inteira do logaritmo). 3.1. Cálculo da Característica Considere o logaritmo logb, em que b está es- crito na forma decimal.
  2. 2. Editora Exato 5 Se b 1> , então a característica de log b é encontrada subtraindo uma unidade do nú- mero de algarismos que b apresenta em sua parte inteira. Exemplo: E.1) { 4alg log3478,701 4 1 3⇒ − = E.2) { 1 alg log 2 ,347 c 1 1 0⇒ = − = . Se b 1< , então a característica de log b é i- gual ao oposto do números de zeros que b apresenta antes do primeiro algarismo não nulo. Exemplo: E.1) { 2 zeros log 0,0 31 c 2⇒ = − . E.2) 4 zeros log0,000345 c 4⇒ = −123 3.2. Cálculo da Mantissa É obtida em tabela conhecida como tábua de logaritmos. Propriedade: se as representações decimais de dois números positivos diferem apenas na posição da vírgula, então os logaritmos possuem a mesma man- tissa. Exemplo: E.1) log 271 = 2 + 0,43297 = 2,43297 E.2) log 2,71 = 0 + 0,43297 = 0,43297 E.3) log 0,0271 = −2 + 0,43297 = −1, 56703 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1 Resolva: 625 log 5 Resolução: 625log 5 (lê-se log de 5 na base 625)x= Fatorar: 625 125 25 5 1 5 5 5 5 5 4 ( ) 1 4 2 625 5 1 5 5 4 2 1 8 x x x x = / /= → = = 2 A soma 2 2 log 8 log 16+ . Resolução: 2log 8 2 8 2 2 3 x x x x = = = = 2 4 log 16 2 16 2 2 4 x x x x = = = = 3 + 4 = 7 3 Qual o valor da expressão 5 3 log 25 log 81+ ? Resolução: 5 2 log 25 5 25 5 5 2 x x x x = = = = 3 4 log 81 3 81 3 3 4 x x x x = = = = 2 + 4 = 6 EXERCÍCIOS 1 (PUC) Se 2 2 log 512 x= , então x vale: a) 6 b) 3/2 c) 9 d) 3 e) 2/3 2 (FESP) A expressão 2 4 log 16 log 32− é igual a: a) ½ b) 3/2 c) 1 d) 2 e) 2/3 3 (CESCEM) O valor da expressão 1 0,1 2 log 32 log0,001 log 10 10+ − é: a) –13 b) 2 c) –13/2 d) 13/2 e) –19/2 4 A solução da equação ( )8 8 log x log 3x 2 1+ − = é i- gual a: a) –4/3 b) 1/2 c) –2 d) 2 e) 4/3
  3. 3. Editora Exato 6 5 Se 2 log x a= , então 8 log x é igual a: a) a/3. b) a/4 c) 2a. d) 3a. e) 4a. 6 O produto 9 2 5 log 2 log 5 log 3⋅ ⋅ é igual a: a) 0. b) 1. c) 1/5. d) 1/3. e) 1/2. 7 O valor da expressão 3 25 log 5 log 27⋅ é: a) 2/3. b) 3/2. c) 2. d) 3. e) 1/3. 8 (MACK) O valor de ( )3 42 log log 2 log 3⋅ é: a) 2. b) 1/2. c) –1/2. d) –2. e) 3/2. 9 (FUVEST) Se 2 2 log b log a 5− = , o quociente b a vale: a) 10. b) 25. c) 32. d) 64. e) 128. 10 (UFMT) Sendo 4 x log 25 3 = , podemos afirmar que 2 log 5 é igual a: a) x 3 b) 2x 3 c) 2 x 9 d) 3 x 3 e) 2 3 x 9 11 (FEI-SP) Se log2 a= e log3 b= , escrevendo 32 log 27 em função de a e b, obtemos: a) 2a+b b) 2a-b c) 2ab d) 2a b e) 5a-3b 12 (FATEC) A solução da equação 7 5 log 10 log 7 logx 4⋅ ⋅ = é: a) 625. b) 2401. c) 10000. d) 710 . e) 57 . 13 A característica de log2 é: a) 2. b) 1. c) 0. d) 1. e) 2 . 14 (PUC) O logaritmo negativo 10 log a 3,415= − po- derá ser escrito: a) 3.415. b) 4,415 . c) 3,415 . d) 4,585 . e) Nenhuma. 15 (GAMA FILHO) Dado log3 0,47712= , calcule log81 log2,43+ a) 2,29408. b) 1.01476. c) 2,01002. d) 3,65432. e) 2,41784. 16 (CESCEM) As características, no sistema deci- mal, de log7, log 0,032, log105 e log0,00010, são, respectivamente: a) 1, -1, 6, -3. b) 1, -1, 5, -3. c) 0, -1, 5, -4. d) 0, -2, 5, -4. e) 7, 0, 5, 0.
  4. 4. Editora Exato 7 17 Supondo-se para log 2 o valor aproximado 0,301, acha-se para log 12,5 o valor: a) 0,602. b) 0,398. c) 0,903. d) 0,097. e) 1,097. GABARITO 1 A 2 B 3 C 4 D 5 A 6 E 7 B 8 D 9 C 10 A 11 E 12 A 13 C 14 D 15 A 16 D 17 E

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