1) O documento descreve os conceitos básicos da Análise de Variância (ANOVA), incluindo tratamentos, unidades experimentais, repetições e variável resposta. 2) Existem diferentes tipos de variação em um experimento, incluindo a variação entre tratamentos e dentro dos tratamentos. 3) A ANOVA é usada para decompor a variação total em suas fontes e testar se há diferenças significativas entre os tratamentos.

1. M É D I A E D E S V I O P A D R Ã O
A N Á L I S E D E V A R I Â N C I A ( A N O V A )
TIPOS DE VARIAÇÕES
PROF. DRA. ADRIANA DANTAS
DISCIPLINA: PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTOS

2. INTRODUÇÃO
• A Análise de Variância (ANOVA) é um
procedimento utilizado para comparar três ou mais
tratamentos.
• Existem muitas variações da ANOVA devido aos
diferentes tipos de experimentos que podem ser
realizados.

3. CONCEITOS BÁSICOS SOBRE EXPERIMENTAÇÃO
• Tratamento
• Unidade experimental ou parcela
• Repetição
• Variável resposta ou variável
dependente
• Delineamento experimental (Design)
• Modelo e análise de variância

4. TRATAMENTOS
• Um tratamento é uma condição imposta ou objeto que se deseja medir ou
avaliar em um experimento.
• Normalmente, em um experimento, é utilizado mais de um tratamento.
• Como exemplos de tratamentos, podem-se citar:
• Tratamentos quantitativos
• Dose de adubo, doses de nutrientes
• quantidade de sacarose
• níveis de temperatura
• períodos de coleta,
• Temperaturas de armazenamentos
• Tratamentos qualitativos
• variedades de plantas
• Métodos de preparação
• Coloração das colônias
• Diferentes meios de culturas

5. TRATAMENTO
• Cada tipo de tratamento também pode ser chamado de um fator.
• O tipo de tratamento tem importância na forma como os dados serão
analisados.
• Em tratamentos são quantitativos, pode-se usar, por exemplo, técnicas de
análise de regressão
• Os tratamentos são chamados de variáveis independentes.
• Apenas um tipo de variável independente, possuímos apenas um fator.
• Em um experimento, um fator pode ter varias categoriais que são chamadas
de níveis.
• Em um experimento, podem existir mais de um fator e mais de uma variável
resposta.
• Toda e qualquer variável que possa interferir na variável resposta ou
dependente deve ser mantida constante.
• Quando isso não é possível, existem técnicas ( estratégias) que podem ser
utilizadas para reduzir ou eliminar essa interferência.

6. EXEMPLO 1
• Um laboratório deseja estudar o efeito da
composição de peças de metal sobre a
dilatação.
• A composição das peças é o fator (
variável independente) .
• Os diferentes tipos de composição são os
níveis do fator.
• A dilatação das peças, medida em
milímetros, é a variável resposta ( variável
dependente) .

7. EXEMPLO 2
• Para curar uma certa doença existem quatro tratamentos
possíveis: A, B, C e D.
• Temos apenas um fator, Tratamento, que se apresenta em
quatro níveis, A, B, C e D.
• Através da aplicação da análise de variância com um fator
ou "one-way ANOVA",
• Hipótese :
• Pretende-se saber se existem diferenças significativas nos tratamentos
no que diz respeito ao tempo necessário para eliminar a doença,
podemos indagar se os tratamentos produzem os mesmos resultados
no que diz respeito à característica em estudo.

8. EXEMPLO 3
• Suponhamos agora que existe a suspeita de que
uma estação quente é um fator determinante para
uma cura rápida.
• Então,
• o estudo deve ser conduzido tendo em conta este
segundo fator = estação do ano.
• A técnica estatística apropriada será a análise de
variância com dois fatores = "two-way ANOVA".
• Testa-se se existe diferença entre os tratamentos e
também se existe diferença entre as estações do
ano, no que respeita ao tempo de tratamento até
à eliminação da doença.

9. UNIDADE EXPERIMENTAL OU PARCELA
• É onde é feita a aplicação do tratamento.
• É a unidade experimental que fornece os dados para serem avaliados.
• Exemplos de unidades experimentais ou parcelas:
• um vaso,
• uma planta,
• Uma placa de Petri com meio de cultura,
• uma porção de algum alimento,
• Uma área
• As unidades experimentais podem ser formadas por grupos ou indivíduos.
• Exemplo:
• quando trabalha-se com cobaias, pode-se ter apenas uma cobaia como unidade
experimental, ou seja, apenas um animal fornecerá a resposta do tratamento,
• pode-se ter um grupo de cobaias em uma gaiola fornecendo as informações.

10. REPETIÇÃO
• É o número de vezes que um tratamento aparece
no experimento.
• O número de repetições, em um experimento, vai
depender também dos recursos disponíveis, do tipo
de experimento ( delineamento) e, também, da
variabilidade do experimento ou da variável
resposta.

11. VARIÁVEL RESPOSTA
OU VARIÁVEL DEPENDENTE
• Uma variável é qualquer característica que apresenta variação:
• Altura de pessoas, o peso de animais, o comprimento de uma peça, o número de
microrganismos em um litro de leite etc.
• Quando o valor de uma variável não pode ser determinado antes da
realização de um experimento, tem-se então uma variável aleatória.
• Variáveis aleatórias discretas - Assumem valores e numeráveis:
• o numero de sementes germinadas, o numero de microrganismos em um litro de
leite.
• Variáveis aleatórias contınuas - assumem valores em um intervalo
• o peso de animais, o teor de umidade em um alimento, o conteúdo de óleo em uma
semente.
• Em um experimento, podem ser medidas muitas variáveis, mas deve-se
considerar somente aquelas que possam contribuir para a explicação
da hipótese formulada.

13. DELINEAMENTO EXPERIMENTAL
• Tem a finalidade de reduzir o erro experimental
• É a forma como os tratamentos ou níveis de um fator são
designados às unidades experimentais ou parcelas.
• A analise de variância e baseada no delineamento
experimental escolhido
• Um delineamento experimental é planejado de tal forma que
a variação ao acaso seja reduzida o máximo possível.
• Alguns dos principais delineamentos experimentais sao:
• delineamento completamente casualizado (DCC)
• delineamento em blocos casualizados (DBC)
• quadrado latino.

14. MEDIDAS DE VARIAÇÃO OU DISPERSÃO
• Indicam quanto as observações diferem entre si ou o
grau de afastamento das observações em relação à
média.
• As medidas de variação mais utilizadas são:
• Média, a variância, o desvio padrão e o coeficiente de
variação.
• Objetivo:
• Avaliar se duas ou mais amostras diferem significativamente
com relação a alguma variável.
• É necessário um método estatístico para solucionar o
problema.
• A analise de variância foi introduzida por Fisher.

15. • São atribuídas a causas conhecidas e numa parte devida as
desconhecidas
• O efeito das causas desconhecidas contribuem para uma porção
da variação total, que é isolada na análise de variância,
recebendo a denominação de Erro ou Resíduo.
• Inerente a própria variabilidade do material experimental;
• Proveniente da falta de uniformidade do ambiente em que é
conduzido o experimento.
DECOMPOSIÇÃO DA ANALISE DE
VARIÂNCIA

16. DECOMPOSIÇÃO DA VARIAÇÃO
• Causas conhecidas
Variação entre amostragens (tratamentos)
• Causas desconhecidas
Variação dentro das amostragens (erro ou resíduo)
Efeito de diferentes inseticidas no controle de pulgão
da batata.
Causas desconhecidas = diferenças existentes entre
as plantas (parcelas), condicionando um tipo
diferente de resposta a um mesmo inseticida.

17. VARIÂNCIA
• A variância = s2
• é a medida de dispersão mais utilizada
• facilidade de compreensão e cálculo
• possibilidade de emprego na inferência estatística.
• A variância é definida como sendo a média dos quadrados
dos desvios em relação à média aritmética.
• Assim, temos.

18. TIPOS DE VARIAÇÃO
• Variação dos dados de uma amostra que será
utilizada para inferir sobre a população, então a
medida que deve ser utilizada é a variância com
denominador n −1.
• Variância for utilizada apenas para descrever a
variação de um conjunto de dados, então, ela
poderá ser calculada utilizando o número de
observações (n) como denominador e será
denotada por s2
N ou seja,

19. REPARTINDO A VARIÂNCIA TOTAL

20. VARIÂNCIA TOTAL

21. VARIAÇÃO ENTRE OS GRUPOS

22. VARIAÇÃO DENTRO DOS GRUPOS

23. MÉDIA DE ALTURA DE PLANTAS

24. SIMBOLOGIA MÉDIA, DESVIO PADRÃO
E VARIÂNCIA

25. SOMATÓRIO SIMPLES ( Σ )
• Considere X uma variável que assume as
determinações: Xi (i = 1, 2, ..., N).
• A soma dos valores de Xi é x1 + x2 + ... + xN
que pode ser sintetizada por:
Σ= x1 + x2 + ... + xN
• O símbolo Σ (sigma) indica somatório

26. MEDIDAS DA VARIÂNCIA
• Soma dos quadrados (SQ)
• Número de graus de liberdade (GL)
• SQ/GL = Quadrados médio (QM)
• são as variâncias entre as amostras
• Estas são confrontadas através de um teste de
hipótese (Teste F)
• avalia-se sua significância

27. TESTE DE FISHER (F)
• Ronald Aylmer Fisher, trouxe contribuições
valiosas à Estatística.
• Fisher, descobriu as distribuições amostrais
dos coeficientes de correlação, regressão,
correlação múltipla e a distribuição da razão
entre duas variâncias, chamada Análise da
Variação
• Fisher trabalhou por quatorze anos na Estação
Experimental de Rothamstead, Inglaterra, e, devido aos
trabalhos que lá desenvolveu, é considerado o pai da
Estatística Experimental.
Ronald Fisher
(1890 - 1962)

28. ESTATÍSTICA F – ONE-WAY ANOVA

29. QUADRO DA ANÁLISE DA VARIÂNCIA

30. QUADRO DA ANÁLISE DA
VARIÂNCIA
Causas da
variação
Graus de
liberdade
(GL)
Soma dos quadrados
(SQ)
Quadrados m édios
(QM)
F calculado
Entre amostras t - 1 SQ 1 QM 1 = SQ 1/t-1 F= QM 1 / QM 2
Dentro das
amostras
T (r-1) SQ 2 = SQ total – SQ 1 QM 2 =SQ 2/t (r – 1)
Total t.r - 1 SQ total

31. CALCULO DA ANALISE DE VARIÂNCIA

32. CALCULO DO DESVIO PADRÃO
• Definido como a raiz quadrada positiva de
variância

33. COEFICIENTE DE VARIAÇÃO (CV)
• Compara as variabilidades de diferentes conjuntos de dados.
• É definido de variação é definido como a proporção da
média representada pelo desvio padrão e dado por:

34. GRÁFICO EM CAIXA (BOX PLOT)
• A informação obtida pode ser apresentada em
forma de um gráfico em caixa, que agrega uma
série de informações da distribuição dos dados:
• localização, dispersão, assimetria, caudas e dados
discrepantes
• Antes de construir o gráfico precisamos definir o
que são valores adjacentes.
• São adjacentes o menor e o maior valores não
discrepantes de um conjunto de dados
• o maior valor que não ultrapassa a cerca superior e o
menor valor que não ultrapassa a cerca inferior.

35. GRÁFICO EM CAIXA (BOX PLOT)
• Se num conjunto de dados nenhum
valor é considerado discrepante, os
valores adjacentes são os próprios
extremos.
• No retângulo onde estarão
representados os quartis e a
mediana.
• A partir do retângulo, para cima e
para baixo, seguem linhas,
denominadas bigodes, que vão até
os valores adjacentes.
• Valores discrepantes recebem uma
letra ou um símbolo ( * ).
• Posição central dos valores é dada
pela mediana e a dispersão pela
amplitude interquartílica (aq).
• Posições relativas da mediana e dos
quartis e o formato dos bigodes dão
uma noção da simetria e do
tamanho das caudas da distribuição.

36. TIPOS DE DISTRIBUIÇÕES
a) distribuição assimétrica positiva, com três valores discrepantes superiores;
b) distribuição simétrica, com um valor discrepante inferior;
c) distribuição assimétrica negativa, sem valores discrepantes.

38. • Considere o seguinte experimento que foi conduzido, considerando
um delineamento inteiramente casualizado.
• Foram comparados 4 tratamentos (tipos de cultivo):
• Agar (A), Cássia (C) , Guar (G) , Leucena ( L) .
• Mediu-se o crescimento, em gramas, de explantes de morango.

41. Conclusão da análise de variância: De acordo com o teste F, foram
encontradas evidências de diferenças significativas, ao nível de 1% de
probabilidade, entre os tratamentos, com relação ao crescimento.
Rejeitamos, portanto, a hipótese de nulidade H0 . Deve existir, pelo
menos um contraste significativo entre as médias de tratamentos, com
relação ao crescimento médio.

42. TESTE DE KRUSKAL-WALLIS
• A análise de variância exige que os erros tenham distribuição
Normal e deve haver variâncias homogêneas.
• Este pressuposto nem sempre são satisfeitos em um experimento ou
conjunto de dados.
• Como uma alternativa para a análise de variância
paramétrica para um delineamento completamente
casualizado: Teste de Kruskal-Wallis
k ≥ 3 tratamentos
• Uma exigência do teste de Kruskal-Wallis é que a variável em
estudo seja contíınua.
• Outra é que as observações devem ser independentes.

43. TESTE DE KRUSKAL-WALLIS
• A analise consiste em obter o posto de cada uma das
observações.
• Adota-se que o menor valor recebe ( ranking ou posto)
1 , o segundo 2 e assim por diante, até que todas as
observações tenham sido consideradas.
• Quando ocorrerem empates, atribui-se o valor médio
entre as observações, ou seja, atribui-se a média das
ordens que seriam atribuídas a elas se não ocorresse o
empate.
• Se, por exemplo, as duas menores observações forem
iguais há um empate. Neste caso, cada uma recebe o
posto 1 , 5 que é a médias dos valores 1 e 2 .

45. EXEMPLO
• Em um experimento para avaliar o consumo de
energia elétrica em KWh de três motores durante
um hora de funcionamento, obteve-se os seguintes
resultados:

46. DELINEAMENTOS EXPERIMENTAIS

47. DELINEAMENTOS ESTATÍSTICOS
É o processo de planejar e conduzir um
ensaio ou experiência, incluindo a sua
implantação, de modo que seja possível
recolher dados que possam ser analisados,
usando as metodologias estatísticas
apropriadas, e que conduzam a conclusões
válidas e objetivas.

48. DELINEAMENTO EXPERIMENTAL
1. Reconhecimento do problema e objetivos
2. Identificação das unidades experimentais
3. Seleção dos fatores, tratamentos
4. Seleção da(s) variável(eis)-resposta
5. Escolha do tipo de delineamento
6. Realização do ensaio e recolha de dados
7. Análise estatística dos resultados
8. Conclusões e recomendações

49. DELINEAMENTO EXPERIMENTAL
• Identificação das unidades experimentais
• Adequação ao ensaio
• Uniformidade
• No. de unidades experimentais disponíveis
• Serão necessários blocos
• Variáveis independentes
• São as variáveis controladas pelo experimentador, e que se
pretende testar se produzem algum efeito numa (ou várias)
variável-resposta.
• Fatores fixos: número fixo de níveis
• Fatores aleatórios: amostra aleatória de níveis

50. TRATAMENTOS
• São os vários níveis de cada um dos fatores do
ensaio.
• Controle ou testemunha:
• É um dos níveis do fator, e que serve de termo de
comparação aos restantes tratamentos.
• Pode ser o “nível zero” de um fator.

51. REPETIÇÃO OU REPLICAÇÃO
• É a atribuição do mesmo tratamento a várias
unidades experimentais.
• Objetivos:
• Estimar o erro experimental
• Estimar o efeito do tratamento
• Repetição ≠ Medidas repetidas

52. ALEATORIZAÇÃO
• As unidades experimentais devem receber
os tratamentos de um modo
completamente aleatório.
• A análise estatística requer que as
observações (isto é, os dados recolhidos
das unidades experimentais) sejam variáveis
aleatórias independentes.
• A aleatorização garante este pressuposto

53. SELEÇÃO DOS FATORES
• Três tipos de fatores (quanto à importância):
• Fatores importantes e interessantes (“design
factores”)
• Fatores importantes mas não interessantes (“held
constant factores”) = Uniformização pelos blocos
• Fatores menos importantes (“allowed-to-vary”)
• Natureza dos fatores
• Numéricos - Modelos de regressão
• Categóricos - Modelos de ANOVA

54. SELEÇÃO DA VARIÁVEL-RESPOSTA
• Variável aleatória
• Tipo de variável
• escalar, ordinal, %,
• Tempo de resposta
• Adequação aos objetivos do ensaio
• Ensaios com múltiplas respostas
• Vantagens em termos de optimização
•Atenção à complexidade!

55. ESCOLHA DO TIPO DE
DELINEAMENTO
• Uni ou multi-fatorial
• Número de repetições
• (tamanho amostral)
• Blocos?
• (Uniformidade das unidades experimentais)
• Equilibrado ou desequilibrado
• Aleatorização

56. DELINEAMENTO INTEIRAMENTE OU
COMPLETAMENTE CASUALIZADO
• Todas as unidades experimentais deverão ser
homogêneas.
• É o delineamento que assegura completa
aleatorização na distribuição dos tratamentos às
unidades
• Facilidade de implantação
• Flexibilidade: número de tratamentos; repetições
• Facilidade de interpretação dos resultados: a
variabilidade é apenas devida aos tratamentos ou ao
erro experimental
• Maximiza os graus de liberdade do erro experimental

57. DELINEAMENTO COMPLETAMENTE
CASUALIZADO (DCC)
• O DDC é o mais simples de todos os delineamento
estatístico
• Levam em conta somente princípios da repetição e da
casualização, sem controle local
• Dessa forma, os tratamentos são localizados nas
parcelas de uma maneira totalmente aleatória.
• Pelo fato de não terem controle local, exige-se que o
ambiente do experimento seja o mais uniforme possível.
• São recomendados na experimentação em
laboratórios, viveiros, casa-de-vegetação, estábulo,
etc.

58. VANTAGENS
•Qualquer número de tratamentos
ou de repetições pode ser usado
•O número de repetições pode
variar de um tratamento para
outro
•A análise estatística é a mais
simples
•O número de graus de liberdade
para o resíduo é o maior possível

59. DESVANTAGENS
•Exige homogeneidade total
das condições experimentais
•Conduz estimativas elevadas
do erro experimental

60. INSTALAÇÃO DO EXPERIMENTO
DCC
• Consideremos um experimento com 4
tratamentos (A, B, C e D) e 5 repetições,
que dá um total de 20 parcelas (que é o
numero mínimo de parcelas exigido por
ensaio) Então temos:
A1 A3 D2 B1 D4 B2 B4 A4 B5 C4
C2 D1 A5 C1 C5 D5 C3 D3 B3 A2
Observa-se que todos os tratamentos com suas respectivas repetições foram
distribuídos aleatoriamente nas parcelas.

61. ETAPAS
1. Definir o local onde o experimento será conduzido, que
neste caso, seria, por exemplo, o laboratório, a casa de
vegetação, um estábulo, etc.
2. Identificar as parcelas experimentais com etiquetas,
plaquetas, etc., seguindo o que consta no croqui do
experimento.
3. As parcelas nesse caso poderiam ser, por exemplo, placas
de petri, vasos, caixas, baias, gaiolas, etc.
4. Distribuis as parcelas experimentais no local onde o
experimento será conduzido, conforme croqui do
experimento
5. Colocar as plantas, animais, etc., correspondentes ao seu
respectivo tratamento em cada parcela.

62. EFEITO DE 4 DOSES DE PENICILINA NO DESENVOLVIMENTO
DE COLÓNIAS DE ESCHERICHIA COLLI.
• A penicilina é adicionada ao meio de cultura.
• Ensaio laboratorial:
• cultura em estufa à temperatura constante de 25ºC
• As unidades experimentais
• as caixas de Petri
• É um tratamento uni-factorial:
• único tratamento n dose
• 4 níveis do fator ou 4 tratamentos
• Variável resposta:
• diâmetro da colônia de E. colli em cm, em cada uma das
placas de Petri

63. ESQUEMA DA ANÁLISE DA VARIÂNCIA
INTEIRAMENTE CASUALIZADO
OU COMPLETAMENTE CASUALIZADO
Causas da
variação
Graus de
liberdade
(GL)
Soma dos quadrados
(SQ)
Quadrados m édios
(QM)
F calculado
Entre amostras t - 1 SQ 1 QM 1 = SQ 1/t-1 F= QM 1 / QM 2
Dentro das
amostras
T (r-1) SQ 2 = SQ total – SQ 1 QM 2 =SQ 2/t (r – 1)
Total t.r - 1 SQ total

64. SOMA DOS QUADRADOS
SQ total = x2 - (x)2
N
X = valor de cada observação
N = número de observações, que corresponde ao
número de tratamentos (t) multiplicado pelo número de
repetições do experimento (r )
SQ tratamentos = T2 - (x)2
R N
T = total de cada tratamento
SQ resíduo = SQ total – SQ tratamentos

65. QUADRADOS MÉDIOS
QM tratamentos = SQ tratamentos
GL tratamentos
QM resíduo = SQ resíduo
GL resíduo
O QM resíduo corresponde à estimativa da variância
do erro experimental (s2), cujo valor é utilizado nos
testes de hipóteses, objetivando verificar se existe
ou não diferença significativa entre os tratamentos
avaliados.

66. EXERCÍCIO 1.
A PARTIR DOS DADOS DA TABELA 1, PEDE-SE:
A) FAZER A ANALISE DE VARIÂNCIA
B) OBTER COEFICIENTE DE VARIAÇÃO
Repetições
Linhagens
1 2 3 4 5 6
Totais de
linhagens
MSE1
MSE2
MSE3
MSE4
MSE5
MSE6
MSE7
MSE8
MSE9
385
406
354
271
344
354
167
344
385
323
385
292
208
292
354
115
385
385
417
444
389
347
354
410
194
410
396
370
443
312
302
354
453
130
437
453
437
474
432
370
401
448
240
437
458
340
437
299
264
306
417
139
410
417
2.272
2.589
2.078
1.762
2.051
2.436
985
2.423
2.494
Total 19.090

67. DELINEAMENTO EM BLOCOS CASUALIZADOS (DBC)
• Levam em consideração três princípios básicos da
experimentação: repetição, casualização e controle local.
• O controle local e usado na sua forma mais simples possível
representado pelos blocos:
• cada um dos quais inclui todos os tratamentos são atribuídos as
parcelas aleatoriamente.
• Em experimentos zootécnicos, cada bloco constituído de
animais de características semelhantes:
• interesse em estudar rações para galinhas poedeiras,
colocaremos no mesmo bloco animais da mesma raça,
da mesma idade, da mesma época de postura e de
produção de ovos semelhantes.

68. BLOCOS
• Lotes de unidades experimentais o mais homogêneas
possíveis.
• certeza da heterogeneidade,
Objetivo dos blocos:
• Homogeneizar as unidades experimentais dentro de cada
bloco, de modo a minimizar a variabilidade dentro dos
blocos, e maximizar a variabilidade entre os blocos.
• Em cada bloco:
• uma ou mais repetições de cada um dos tratamentos

69. NUM EXPERIMENTO COM 4 TRATAMENTOS PODEMOS
TER AS SEGUINTES FORMAS PARA OS BLOCOS:
A B C D
A C
B D

70. O DBC APRESENTA VANTAGENS:
a) A perda total de um ou mais blocos ou de um
ou mais tratamentos em nada dificulta a
análise estatística
b) Conduz a estimativas menos elevada do erro
experimental
c) A analise estatística é relativamente simples
d) Permite, dentro de certos limites, utilizar
qualquer número de tratamentos e repetições
e) Controla a homogeneidade do ambiente
onde o experimento e conduzido

71. INSTALAÇÃO DO EXPERIMENTO
• Consideremos 5 tratamentos (A, B, C, D e E)
e 4 repetições
A C D B E C E A B D
E A C D B D A E B C
Observa-se que em cada bloco os tratamentos foram distribuídos aleatoriamente
nas parcelas e que os mesmos só aparecem uma única vez por bloco.
BI
BII
BIII
BIV

72. ESQUEMA DA ANALISE DE
VARIÂNCIA DBC
Causas da
variação
GL SQ QM F
Tratamentos
Blocos
residuo
t-1
r - 1
t (r-1)
SQ tratamentos
SQ blocos
SQ residuo
QM tratamentos
QM blocos
QM residuo
QM trat/QM resíduo
QM blocos / QM residuo
Total tr - 1 SQ total

73. SOMA DOS QUADRADOS DBC
SQ total = x2 - (x)2
N
Onde:
X = valor de cada observação
N = número de observações, que corresponde ao número de tratamentos (t)
multiplicado pelo número de repetições do experimento (r )
SQ tratamentos = T2 - (x)2
R N
T = total de cada tratamento
SQ tratamentos = B2 - (x)2
t N
SQ resíduo = SQ total – (SQ tratamentos + SQ blocos)

74. QUADRADOS MÉDIOS DBC
QM tratamentos = SQ tratamentos
GL tratamentos
QM blocos = SQ blocos / GL blocos
QM resíduo = SQ resíduo
GL resíduo

75. EXERCÍCIO 2.
A PARTIR DOS DADOS DA TABELA 2, PEDE-SE:
A) FAZER A ANALISE DA VARIÂNCIA
B) OBTER O COEFICIENTE DE VARIAÇÃO
Tabela 2. Comportamento de clones de seringueira (Hevea sp.) em relação ao
desenvolvimento do tronco
Blocos (média 8 plantas)
Clones 1 2 3 4 5
Totais
FX 2804
FX 4425
FX 567
FX 652
FX 3032
PB 86
FX 516
FX 4109
FX 3635
FX 232
FX 25
68,61
56,39
63,51
62,28
57,11
49,83
54,09
56,01
61,49
62,01
58,94
69,69
53,38
63,63
59,26
56,11
43,50
48,09
44,71
63,10
62,58
57,96
70,21
54,21
64,91
60,90
57,20
43,58
49,86
45,60
63,94
63,31
59,56
72,49
56,27
67,87
64,19
60,01
43,76
47,52
47,93
66,70
65,08
62,32
74,85
61,57
69,75
68,77
61,38
46,66
50,01
49,96
69,37
68,05
64,42
355,85
281,82
329,67
315,40
291,81
227,33
250,38
244,21
324,60
321,03
303,20
Totais dos
blocos
650,27 622,82 633,28 654,14 684,79 3.245,30

76. EXPERIMENTOS FATORIAIS
• Em casos em que vários grupos de tratamentos são
estudados simultaneamente para que possam nos conduzir a
resultados de interesse
• Por exemplo, o estudo de efeito de diferentes
espaçamentos em cultivares de milho em uma
determinada região.
• Exemplo combinamos 5 cultivares - Fator: nos 2
espaçamentos - Fator: espaçamento – níveis: 2
• Experimentos fatoriais dois termos devem ser definidos: fator e
nível.
• Fator é qualquer grupo de tratamentos avaliado
• Nível é qualquer uma das subdivisões dentro do fator
cultivares

77. ESQUEMA DA ANALISE DE VARIÂNCIA
• Considerando o experimento fatorial 3 x 2, onde
combinamos 3 tratamentos A (A0, A1 e A2) e 2
tratamentos B (B0 e B1) e 4 repetições, teremos o
seguinte quadro de variância?

78. Causas da
variação
GL SQ QM F
Tratamento A
Tratamento B
Interação (A x B)
tA-1
tB-1
(tA-1)(tB-1)
SQ tratamento A
SQ tratamento B
SQ interação
QM trat. A
QM trat. B
QM interação
QM trat. A/QM resíduo
QM trat. B/QM residuo
QM inter.(A x B)/QM residuo
Tratamentos
Blocos
Resíduo
t-1
r-1
(t-1)(r-1)
SQ tratamentos
SQ blocos
SQ resíduo QM residuo
Total tr - 1 SQ total
Onde:
GL = número de graus de liberdade
SQ = soma dos quadrados
QM = quadrado médio
F = valor calculado do teste F
T = número de tratamentos (combinações)
R = número de repetições
tA = numero de tratamentos A
tB = número de tratamentos B

79. SOMA DOS QUADRADOS
SQ total =x2 - (x)2
N
X = valor de cada observação
N = número de observações, que corresponde ao número de tratamentos (t) multiplicado pelo
número de repetições do experimento (r )
SQ tratamentos = T(AB)2 - (x)2
R N
T(AB) = total de cada combinação (AB)
SQ blocos = B2 - (x)2
t N
B = total de cada bloco
SQ tratamentos A = T(tA)2 - (x)2
r.tB N
SQ tratamentos B = T(tB)2 - (x)2
r.tA N
SQ interação (AxB) = T(AB)2 - (x)2 – (SQ trat. A + SQ trat.B)
R N
SQ resíduo = SQ residuo
GL residuo

80. QUADRADOS MÉDIOS
QM tratamentos A = SQ tratamentos A
GL tratamentos A
QM tratamentos B = SQ tratamentos B
GL tratamentos B
QM interação (AxB) = SQ interação AXB
GL interação AXB
QM blocos = SQ blocos / GL blocos
QM resíduo = SQ resíduo
GL resíduo