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ANOVA DE 1 VIAPaulo Novis RochaNefrologistaProfessor Adjunto do Depto. Medicina FMB-UFBAProfessor Colaborador do PPgCS
Situação Problema (hipotética)Suponha que se deseja estudar o efeito de 6 drogas analgésicas no tratamento da cefaléiaPara isto, foram estudados 30 indivíduos adultos, aleatoriamente distribuídos em 6 gruposDroga 1Droga 2Droga 3Droga 4Droga 5Droga 6
Situação ProblemaVariável independente (resposta): DORquantitativaVariável dependente (fator) – tipo de DROGAqualitativa
Desenho experimentalApós 30 minutos de ingestão da droga, por vi oral, os pacientes eram convidados a graduar a sua cefaléia (de 0 a 15):15: dor excruciante0: ausência de dor
Escala de Dor
Representação gráficaH0: µ1 = µ2 = µ3 = µ4 = µ5 = µ6HA: nem todas estas médias de intensidade de dor são iguais
PerguntaAs médias de intensidade de dor são diferentes entre as 6 drogas?
Formulação das hipótesesH0: µ1 = µ2 = µ3 = µ4 = µ5 = µ6HA: nem todas estas médias de intensidade de dor são iguais
ANOVA 1 via: Quando é aplicadaComparação de 3 ou mais médiasApenas 1 fatorPressupostosAmostragem aleatóriaObservações independentesDistribuição normal (alternativa: Kruskal-Wallis)Variâncias iguais
Porque não realizar o teste t?Problemas com comparar médias 2 a 2Múltiplas comparações
Erro tipo IQuanto maior o número de comparações, maior a probabilidade de cometer um erro tipo IPara um α = 0,05, tem-se uma probabilidade de:0,05 (5%) de rejeitar uma H0 verdadeira0,95 (95%) de aceitar uma H0 verdadeiraSe fizermos 15 comparações, a probabilidade de aceitar  pelo menos uma H0 verdadeira seria (0,95)15 = 0,463291A probabilidade de rejeitar pelo menos uma H0 verdadeira seria 1 - (0,95)15 = 1 - 0,463291 = 0,536709
Análise de variânciasA variabilidade dos dados pode ser atribuída à duas fontes distintas, da seguinte forma: à variabilidade devida à variação entre os indivíduos dentro de cada grupo (withingroup);  à variabilidade devida a qualquer diferença sistemática entre os grupos (betweengroups)
ANOVA 1 via: Representação Gráfica
Análise de variânciasA estatística de teste será baseada na comparação da variação observada entre os grupos (entre suas médias) com a variação entre os indivíduos dentro dos grupos.  F = variação entre grupos / variação dentro dos gruposSe o valor da estatística F for grande (p-valor pequeno) rejeitamos a  afirmativa de igualdade entre as médias dos grupos.
Escala de Dor
Tabela ANOVAGl: (número de termos na soma) – número de médias calculadas
  Entre grupos: 6 – 1 = 5
  Dentro grupos: 30 – 6 = 24Tabela ANOVAPara um α = 0,05, o valor crítico de F é 2,76 (tabela F)Como 6,4 > 2,76, rejeita-se H0 (nem todas as médias são iguais, o que equivale a dizer que nem todos os tratamentos têm o mesmo efeito
Exemplo no SPSS
Onde estão as diferenças?Em outras palavras, que médias são diferentes?“Post-hoc” testsCorreção de Bonferroni: α: 0,05/no máx. possível de comparações 2 a 2No nosso caso: α: 0,05/15 = 0,0033

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  • 2. Situação Problema (hipotética)Suponha que se deseja estudar o efeito de 6 drogas analgésicas no tratamento da cefaléiaPara isto, foram estudados 30 indivíduos adultos, aleatoriamente distribuídos em 6 gruposDroga 1Droga 2Droga 3Droga 4Droga 5Droga 6
  • 3. Situação ProblemaVariável independente (resposta): DORquantitativaVariável dependente (fator) – tipo de DROGAqualitativa
  • 4. Desenho experimentalApós 30 minutos de ingestão da droga, por vi oral, os pacientes eram convidados a graduar a sua cefaléia (de 0 a 15):15: dor excruciante0: ausência de dor
  • 6. Representação gráficaH0: µ1 = µ2 = µ3 = µ4 = µ5 = µ6HA: nem todas estas médias de intensidade de dor são iguais
  • 7. PerguntaAs médias de intensidade de dor são diferentes entre as 6 drogas?
  • 8. Formulação das hipótesesH0: µ1 = µ2 = µ3 = µ4 = µ5 = µ6HA: nem todas estas médias de intensidade de dor são iguais
  • 9. ANOVA 1 via: Quando é aplicadaComparação de 3 ou mais médiasApenas 1 fatorPressupostosAmostragem aleatóriaObservações independentesDistribuição normal (alternativa: Kruskal-Wallis)Variâncias iguais
  • 10. Porque não realizar o teste t?Problemas com comparar médias 2 a 2Múltiplas comparações
  • 11. Erro tipo IQuanto maior o número de comparações, maior a probabilidade de cometer um erro tipo IPara um α = 0,05, tem-se uma probabilidade de:0,05 (5%) de rejeitar uma H0 verdadeira0,95 (95%) de aceitar uma H0 verdadeiraSe fizermos 15 comparações, a probabilidade de aceitar pelo menos uma H0 verdadeira seria (0,95)15 = 0,463291A probabilidade de rejeitar pelo menos uma H0 verdadeira seria 1 - (0,95)15 = 1 - 0,463291 = 0,536709
  • 12. Análise de variânciasA variabilidade dos dados pode ser atribuída à duas fontes distintas, da seguinte forma: à variabilidade devida à variação entre os indivíduos dentro de cada grupo (withingroup); à variabilidade devida a qualquer diferença sistemática entre os grupos (betweengroups)
  • 13. ANOVA 1 via: Representação Gráfica
  • 14. Análise de variânciasA estatística de teste será baseada na comparação da variação observada entre os grupos (entre suas médias) com a variação entre os indivíduos dentro dos grupos. F = variação entre grupos / variação dentro dos gruposSe o valor da estatística F for grande (p-valor pequeno) rejeitamos a afirmativa de igualdade entre as médias dos grupos.
  • 16. Tabela ANOVAGl: (número de termos na soma) – número de médias calculadas
  • 17. Entre grupos: 6 – 1 = 5
  • 18. Dentro grupos: 30 – 6 = 24Tabela ANOVAPara um α = 0,05, o valor crítico de F é 2,76 (tabela F)Como 6,4 > 2,76, rejeita-se H0 (nem todas as médias são iguais, o que equivale a dizer que nem todos os tratamentos têm o mesmo efeito
  • 20. Onde estão as diferenças?Em outras palavras, que médias são diferentes?“Post-hoc” testsCorreção de Bonferroni: α: 0,05/no máx. possível de comparações 2 a 2No nosso caso: α: 0,05/15 = 0,0033
  • 22. SITUAÇÃO PROBLEMASuponha que se deseja estudar o efeito de três dietas sobre o metabolismo basal 6 horas após sua ingestão.
  • 23. Para isto foram estudados 20 indivíduos do sexo masculino adultos de 22 a 28 anos, aleatoriamente distribuídos em 4 grupos: Grupo Controle, Dieta I, Dieta II e Dieta III
  • 24. SITUAÇÃO PROBLEMACONTROLE DIETA I DIETA II DIETA III 32,7 38,2 47,1 36,2 33,7 31,3 46,4 35,9 31,6 36,1 46,5 38,7 32,7 38,4 45,2 32,1 36,1 37,0 44,1 38,3 30,7 36,2 45,1 34,2 31,7 29,3 44,4 33,9 29,6 34,1 44,5 36,7 30,7 36,4 43,2 30,1 34,1 35,0 42,1 36,3
  • 25. Preparação no banco de dados dieta basal 1. controle 32.7 2. controle 33.7 3. controle 31.6 4. controle 32.7 5. controle 36.1 6. controle 30.7 7. controle 31.7 8. controle 29.6 9. controle 30.7 10. controle 34.1 11. dieta I 38.2 12. dieta I 31.3 13. dieta I 36.1 14. dieta I 38.4 15. dieta I 37.0 16. dieta I 36.2 17. dieta I 29.3 18. dieta I 34.1 19. dieta I 36.4 20. dieta I 35.0 21. dieta II 47.1 22. dieta II 46.4 23. dieta II 46.5 24. dieta II 45.2 25. dieta II 44.1 26. dieta II 45.1 27. dieta II 44.4 28. dieta II 44.5 29. dieta II 43.2 30. dieta II 42.1 31. dieta III 36.2 32. dieta III 35.9 33. dieta III 38.7 34. dieta III 32.1 35. dieta III 38.3 36. dieta III 34.2 37. dieta III 33.9 38. dieta III 36.7 39. dieta III 30.1 40. dieta III 36.3
  • 26. SITUAÇÃO PROBLEMAPodemos notar que existem duas variáveis:
  • 27. Dieta, com 4 possibilidades (independente) – qualitativa
  • 29. Dependente: É a variável que mede o fenômeno que se estuda e que se quer explicar (tem que ser quantitativa para ANOVA).
  • 30. Independente: É(são) a(s) variável(eis) que se considera(m) candidata(s) a explicar a variável dependente (qualitativa na ANOVA).
  • 31. de Controle: É (ou são) a(s) variável (eis) que se considera(m) capaz(es) de interferir na relação entre dependente e independente, podendo sugerir relações falsas que dizem respeito à sua interferência e não à relação estudada; ex.: sexo e idade, variáveis segundo as quais a relação entre asma e alergia pode variar.SITUAÇÃO PROBLEMA dieta mean(basal) sd(basal) N(basal)controle 32.4 1.920184 10dieta I 35.2 2.924989 10dieta II 44.9 1.547184 10dieta III 35.2 2.689569 10
  • 33. ANOVA ANÁLISE DE VARIÂNCIAComparação de vários grupos.
  • 34. A análise de variância é chamada de um fator ou critério quando utilizamos uma única característica para classificar a população em diferentes grupos. É comum chamar os grupos de tratamentos.
  • 35. O princípio básico da análise de variância é particionar a variabilidade total de um conjunto de dados em componentes, devido à diferentes fontes de variação.ANÁLISE DE VARIÂNCIAA variabilidade dos dados pode ser atribuída à duas fontes distintas, da seguinte forma: à variabilidade devida à variação entre os indivíduos dentro de cada grupo (within group);
  • 36. à variabilidade devida a qualquer diferença sistemática entre os grupos (between groups)
  • 37. As hipóteses sãoH0) Não há diferença entre as médias dos gruposH1) Pelo menos uma das médias é diferente das demais
  • 38. ANÁLISE DE VARIÂNCIABA = Variabilidade dentro do grupoAB= Variabilidade entre o grupoSe B > A  Ho será rejeitada
  • 39. ANÁLISE DE VARIÂNCIABA = Variabilidade dentro do grupoAB= Variabilidade entre o grupoSe B < A  Ho será aceita
  • 40. ANÁLISE DE VARIÂNCIAA estatística de teste será baseada na comparação da variação observada entre os grupos (entre suas médias) com a variação entre os indivíduos dentro dos grupos. F =Se o valor da estatística F for grande (p-valor pequeno) rejeitamos a afirmativa de igualdade entre as médias dos grupos.
  • 41. SITUAÇÃO PROBLEMATabela ANOVASource SS df MS F Prob > F-------------------------------------------------------------------------------------Between groups 896.178943 3 298.726314 54.64 0.0000Within groups 196.832022 36 5.46755616------------------------------------------------------------------------------------ Total 1093.01097 39 28.0259222MS=SS/dfF=MS between groups/MS within groups
  • 42. ANÁLISE DE VARIÂNCIAPressupostos:Normalidade, Homogeneidade das Variâncias dos Grupos e Independência das Observações.
  • 43. Estes pressupostos servem para implementar o teste estatístico para a hipótese que não há diferença entre as médias dos grupos ou tratamentos em questão.Teste de aderência à distribuição normal e homogeneidade de variânciasShapiro-Wilk W test for normal data-> dieta = controle Variable | Obs W V z Prob>z -------------+------------------------------------------------- basal | 10 0.97606 0.369 -1.561 0.94069_______________________________________________________________________________-> dieta = dieta I Variable | Obs W V z Prob>z -------------+------------------------------------------------- basal | 10 0.89214 1.662 0.918 0.17922_______________________________________________________________________________-> dieta = dieta II Variable | Obs W V z Prob>z -------------+------------------------------------------------- basal | 10 0.96918 0.475 -1.191 0.88313_______________________________________________________________________________-> dieta = dieta III Variable | Obs W V z Prob>z -------------+------------------------------------------------- basal | 10 0.94499 0.848 -0.279 0.60971Bartlett's test for equal variances: chi2(3) = 4.2344 Prob>chi2 = 0.237
  • 44. COMPARAÇÕES MÚLTIPLAS Quando concluímos que as médiasdos grupos diferem (rejeitamos H0) no caso de três ou mais grupos, devemos continuar nossa análise para identificar de que forma são as diferenças comparando cada par de médias ou apenas os pares de interesse. COMPARAÇÕES MÚLTIPLASProblema: Quando fazemos muitas comparações a chance de cometermos o erro do tipo I em pelo menos um dos testes aumenta muito.
  • 45. Foram desenvolvidos vários testes para fazer comparações múltiplas, todos tendo como objetivo principal controlar o erro do tipo I (global).COMPARAÇÕES MÚLTIPLASO teste de Tuckey, Scheffé, Dunnet, Ducan....
  • 46. Por exemplo, o teste Tukey permite estabelecer a menor diferença entre as médias dos grupos que deve ser tomada com significante.
  • 47. Vale ressaltar que na realização destes testes de comparações múltiplas usa-se a variância comum a todos os grupos.COMPARAÇÕES MÚLTIPLASEm muitos estudos as comparações de interesse são especificadas após a coleta dos dados. Nesse caso, deve-se levar em consideração todas as possíveis comparações.(Scheffe)Row Mean-| Col Mean | controle dieta I dieta II ---------+--------------------------------- dieta I | 2.8 | 0.079 | dieta II | 12.5 9.7 | 0.000 0.000 | dieta III| 2.9 0.0 -9.6 | 0.073 1.000 0.000
  • 48. Análise de covariância anova systolic drug age,continuous(age) Number of obs = 58 R-squared = 0.5526 Root MSE = 8.87986 Adj R-squared = 0.5188 Source | Partial SS df MS F Prob > F -----------+--------------------------------------------------------------- Model | 5161.00551 4 1290.25138 16.36 0.0000 | drug | 2928.07959 3 976.02653 12.38 0.0000 age | 2027.767 1 2027.767 25.72 0.0000 | Residual | 4179.14966 53 78.8518805 -----------+-------------------------------------------------------------- Total | 9340.15517 57 163.862371