Experimentacao agricola manual

UNIVERSIDADE EDUARDO MONDLANE
Manual Experimentação Agrária
Gilead Mlay, Prof. Associado, Departamento de Produção e Protecção Vegetal,
Faculdade de Agronomia e Engenharia Florestal
Sérgio Dista, Assistente Estagiário, Departamento de Matemática e Informática,
Faculdade de Ciências
e
Inácio C. Maposse, Prof. Auxiliar, Departamento de Produção e Protecção
Vegetal, Faculdade de Agronomia e Engenharia Florestal

Experimentação Agrária
CAPITULO I: INTRODUÇÃO
Experimento é um inquérito planeado para obter factos novos ou para confirmar resultados de estudos
prévios. O objectivo final da experimentação é a produção de informação que pode ser usada na tomada
de decisões. O problema com experimentos biológicos é a existência de grande variação que é inerente às
nas unidades experimentais. Esta variação incontrolável influencia os efeitos experimentais que se
pretende estudar.
Exemplo: Ensaios para comparar variedades da mesma cultura (ex: variedades de milho). Para fazer a
comparação, a área experimental é dividida em parcelas, e sementes das variedades são semeadas em
mais de uma parcela por variedade. No fim do experimento, podemos fazer comparações das variedades
com base em variáveis medidas. Contudo, experiência mostra que quando a mesma variedade é
produzida em todas as parcelas existirá ainda a variação da produção entre parcelas. As características
principais desta variação são:
i. Parcelas vizinhas têm resultados mais semelhantes do que parcelas distantes (afastadas).
ii. Pode existir um gradiente de factores de crescimento(ex: fertilidade do solo) que vai criar
diferenças na expressão das variáveis medidas nas parcelas.
iii. Se o mesmo ensaio for repetido em anos diferentes ou em campos diferentes, pode haver
mudanças significativas na produção média.
Com a situação acima referida, coloca-se a questão: como podemos planificar um experimento de modo a ser
possível separar os efeitos experimentais da variação incontrolável? Como podemos analisar os dados do ensaio de modo que
possamos tirar conclusões, e/ou decisões válidas?
Uma abordagem científica de experimentação inclui os seguintes elementos:
i. O Plano de Pesquisa:
a. Reconhecimento que existe um problema
b. Formulação do problema. Precisa de identificar as causas principais do problema
c. Os objectivos de pesquisa. O que é que o investigador pretende estudar e porquê?
ii. Escolha de factores e seus níveis
iii. Especificação de variáveis a medir
iv. Definição do espaço de inferência para o experimento
v. Escolha das unidades experimentais
vi. Escolha de delineamento experimental
vii. Colocação aleatória dos tratamentos às unidades experimentais
viii. Esboço da análise que corresponde ao delineamento escolhido, incluindo o modelo
estatístico que é a base de ANOVA
ix. Colecção de dados
x. Análise de dados
xi. Interpretação de Resultados e Conclusões
Manual de Experimentação Agrária 2

Uma proposta de pesquisa (A Research Proposal)
1. Introdução
Uma descrição breve sobre o assunto de pesquisa, incluindo antecedentes
Definição do problema e breve revisão da literatura sobre o mesmo
Objectivos da pesquisa
Questões principais da pesquisa
2. Revisão bibliográfica detalhada
Qual é estado de conhecimento sobre o problema de pesquisa? (Aspectos teóricos/ metodológicos e
empíricos)
3. Metodologia
Teoria (Quadro teórico ou Quadro Conceptual)
Delineamento do estudo incluindo materiais
Variáveis que serão medidas
Métodos de análise
4. Calendário das actividades
5. Orçamento
6. Lista de Referências
Os objectivos desta disciplina são os de estudar:
(i) princípios básicos para planificar experimentos biológicos;
(ii) delineamento simples com muitas aplicações na agricultura e silvicultura;
(iii) métodos de análise de dados na base dos delineamentos em (ii);
(iv) interpretação de resultados de análise estatística.

CAPITULO II: CONSIDERAÇÕES BÁSICAS NA
EXPERIMENTAÇÃO
Definições de alguns termos
(a) Um experimento é um inquérito planeado para obtenção de novos factos ou para confirmar
resultados de estudos prévios e para gerar informações a serem usadas na tomada de decisões.
Exemplo:
recomendação de uma nova variedade de milho;
métodos químicos para tratamento de madeira
recomendação de fertilizantes para uso numa cultura
recomendação de uma dieta para uma classe de animais.
Quer em agricultura, quer em florestas, os experimentos são conduzidos para responder a questões
chave cuja resolução se afigura necessária para incrementar a produção e/ou assegurar uma boa
utilização de produtos agrícolas e florestais.
(b) Unidade experimental: este é o mais pequeno material experimental no qual o tratamento é fixado
em casualizações singulares.
Exemplos:
• Talhão/parcela de terra em experimentos de fertilizantes e variedades
• Um pedaço de madeira num experimento de tratamento químico
• Um cercado com animais em pastoreio
(c) Tratamento: Este é um procedimento ou uma condição aplicada à unidade experimental que,
efectivamente está para ser dimensionada ou comparada com outras.
Exemplos
• Métodos de tratamento de madeira com um dado agente químico
• Variedades de uma dada cultura.
• Níveis de fertilizante nitrogénio aplicados a uma variedade de milho
• Época de sementeira de uma cultura
• Métodos de pastoreio
(d) Factor: Quando um conjunto de tratamentos está concebido em níveis diferentes, isto é referido
como um factor.
Exemplo: Quatro níveis (0,Kg/ha, 50kg/ha, l00 Kg/ha e l50 Kg/ha) do fertilizante Sulfato de Amónia
em experimentos de fertilização no milho. Os quatro níveis juntos formam o factor "fertilizante".
(e) Erro experimental: Esta é a dimensão da variação entre unidades experimentais igualmente tratadas.
Esta variação é devida à variabilidade inerente às unidades experimentais e ao falhanço das unidades
experimentais em serem processadas ou avaliadas identicamente (por erro do observador, limitações dos
instrumentos usados, etc.).
A presença do erro experimental em experimentos biológicos dá uma justificação à aplicação de técnicas
estatísticas. Na ausência do erro experimental, técnicas estatísticas não são necessárias, desde que a
observação singular em cada tratamento seja adequada para determinar se existem diferenças entre

tratamentos. Delineamentos dos experimentos e métodos estatísticos fornecem meios para dimensionar
o erro experimental e também para o seu controlo.
Fontes do erro experimental para experimentos de campo
— variabilidade de plantas
— variabilidade sazonal
— variabilidade de solo
— variabilidade de animais
— defeitos nos instrumentos de medição
(f) Exactidão (Accuracy) e Precisão (Precision)
Exactidão refere-se a contiguidade duma estimativa ao valor verdadeiro (parâmetro). É uma medida
relacionada com viés (‘Bias’)
Viés = E (X) – θ
Precisão e repetibilidade de medição estão relacionadas com o erro experimental
Princípios de Delineamento Experimental
Introdução
Quando um experimento é conduzido e uma diferença é notada entre as médias dos tratamentos, é
preciso ter-se uma base para atribuição do efeito aos tratamentos, desde que se torne claro que também,
a diferença seja devida à inerente variabilidade nas unidades experimentais ou falta de uniformidade na
condução física do experimento. Igualmente, se não for revelada alguma diferença entre tratamentos, é
preciso, ter-se uma base para dizer que não existem efeitos dos tratamentos desde que seja possível que
diferenças entre tratamentos não tenham sido detectadas devido a um maior erro experimental. Neste
caso, o experimento falhou na detecção das diferenças que, de facto, existem.
Uma outra consideração importante em experimentação são os limites do seu espaço de inferência. Isto
é, deve-se definir com antecedência, os limites dentro dos quais os resultados do experimento serão
aplicáveis.
Replicação (repetições)
Quando o tratamento aparece mais do que uma vez, diz-se que foi replicado. Replicações têm as
seguintes funções.
(i) Elas permitem a estimação do erro experimental que é necessário para avaliar a significância das
diferenças entre as médias dos tratamentos.
Exemplo:
Suponha que duas variedades A e B são comparadas em termos de produção de grão. Dois talhões do
mesmo tamanho são estabelecidos e a variedade A é semeada no primeiro talhão enquanto a variedade B
é semeada no segundo talhão.
No fim do experimento, o rendimento em kg de cada talhão é registado e a variedade com o mais
elevado rendimento é considerada como a melhor. Assim, a conclusão não deve ser verdadeira desde que
isto presume que, qualquer diferença entre os rendimentos é causada pela variedade e nada mais. Isto,
nunca pode ser correcto, mesmo se a mesma variedade fosse semeada em ambos os talhões, os
rendimentos iriam diferir por causa de variação inerente aos talhões e falta de uniformidade na condução

física do experimento. Por isso, é necessário isolar tal variação da variação total. Isto pode ser atingido se
o experimento for replicado.
(ii) Replicação melhora a precisão do experimento devido à redução do erro padrão das médias dos
tratamentos. Se r é igual ao número de repetições, o erro padrão das médias dos tratamentos é definido
como
r
σ
Obviamente quando o r aumenta, o erro padrão das médias dos tratamentos é reduzido.
Note: Deve manter um balanço entre melhoramento da precisão dum experimento e o aumento dos
custos do experimento.
(iii) Dentro das replicações é possível aumentar o âmbito de inferência do experimento, por selecção e
uso apropriado de uma gama de unidades experimentais.
Exemplo:
Um ensaio de variedades pode ser conduzido de tal modo que um número suficiente de replicações é
introduzido para cobrir o tipo de solos da área de estudo. Também, no sentido de contabilizar de ano
para ano a variabilidade atmosférica, o experimento pode ser repetido de acordo com o número de anos.
O número de replicações depende de:
- modelo e magnitude (extensão) da variabilidade de solos no campo experimental
- tamanho da diferença entre as médias dos tratamentos
- nível de significância estabelecido
- número de tratamentos
-recursos disponíveis
Determinação de número de repetições
Na comparação de dois tratamentos é necessário que o experimento seja suficientemente largo para
garantir se existe uma diferença verdadeira entre os tratamentos, o experimento obterá resultados
significativos.
O nível de precisão dum experimento é medido pela variância do erro ('error variance'). Portanto, o nível
de precisão desejável pode ser especificado em duas maneiras:
-pelo tamanho da diferença verdadeira entre as médias dos tratamentos,
-pela largura do intervalo de confiança
Seja d igual à diferença verdadeira especificada pelo investigador. Seja ji xx −
r
igual à diferença entre as
duas médias amostrais.
Se ji xx − > d, a diferença é significativa
Se <− ji xx d, a diferença não é significativa
O tamanho da amostra desejável pode ser determinado com a seguinte fórmula
r
s
xx
t
ji
2
2
−
=α

Substitua ji xx − por ⎮d⎮para obter:
r
s
d
t
2
2
||
=α
Portanto,
2
22
2
d
st
r α
=
Outra regra:
3
d
s ji xx =−
ou
O d é pelo menos igual a 3 erros padrões. Isto garante dois erros padrões para atingir o nível de
significância de 5% e mais um erro padrão para medir o risco de não detectar diferença verdadeira.
Em termos gerais, o número de repetições varia de 4 a 8
Casualização/Aleatorização: Este é o procedimento para fixar os tratamentos nas unidades
experimentais de tal maneira que, cada tratamento tenha probabilidade igual de ser destinado a qualquer
unidade experimental (favorável ou não favorável). As razões de fazer casualização:
-Para eliminar viés através de controlo dos erros sistemáticos
-Para garantir que as observações sejam independentes.
Exemplo:
Suponha que duas variedades A e B de milho; cada uma é semeada em 4 talhões como se mostra a
seguir:
1 2 3 4 5 6 7 8
A A A A B B B B
──────────────────────────>
A fertilidade decresce no sentido indicado pela seta.
Se o campo tiver um gradiente de fertilidade com uma redução gradual da produtividade da esquerda
para direita, a variedade B estará então em desvantagem porque ela está sempre à direita da variedade A.
Por isso, a comparação do rendimento atingido será a favor da variedade A.
Para minimizar tais problemas, as variedades precisam de ser fixadas aleatoriamente às unidades
experimentais. A casualização pode ser efectuada com o uso de tabelas de números aleatórios. Porém,
mesmo com a casualização o problema pode persistir, pois não há garantia de que as duas variedades

estarão igualmente expostas às condições ambientais. É preciso considerar outras medidas, como a
formação de blocos (“blocking”), que veremos adiante. Essas outras medidas são colectivamente
referidas como controlo local.
Controlo local
O controlo local refere-se às técnicas de delineamento ou análise que são usadas para reduzir ou
controlar o erro experimental. O controlo local é assim, a selecção dum delineamento e/ou análise da
covariância.
(i) "Blocking": Este consiste no esboço dum experimento entretanto, algumas das variações naturais ao
longo da colecção das unidades experimentais são fisicamente manipuladas, tal que, elas não façam uma
contribuição ao erro experimental. Esta técnica envolve a priori, agrupamento de unidades experimentais
em grupos homogéneos, conhecidos como blocos. Os blocos são fixados desta maneira como forma de
maximizar as diferenças entre eles, enquanto se minimizam as diferenças dentro deles. Os tratamentos
são assim aleatoriamente fixados dentro dos blocos.
As diferenças observadas entre os tratamentos dentro dos blocos são largamente devidas aos efeitos de
tratamentos e são menos vistas como tendo sido devido à variação aleatória. As diferenças entre blocos
não são incluídas no erro experimental reduzindo-se assim, a magnitude do erro experimental.
Especificamente, as razões de 'blocking' são:
para aumentar a precisão do experimento
para que as comparações entre os tratamentos sejam mais uniformes devido ao facto de as
comparações entre os tratamentos serem feitas dentro de blocos com parcelas homogéneas.
para aumentar o âmbito de inferência.
Os blocos não devem ser vistos necessariamente como entidades físicas, pois o agrupamento de
unidades experimentais pode ser feito com entidades de outra natureza como espaço de tempo,
idade, raça, etc.
(ii) Análise de covariância: Quando variação dentro das unidades experimentais for em parte devido à
variação em algumas características não suficientemente controladas para ser útil na fixação das unidades
experimentais em blocos, assim, o erro experimental pode ser reduzido pelo uso da análise de
covariância. O método preciso do uso de observações suplementares. Para tal, deve se assegurar que a
covariável não sofre efeitos dos tratamentos e que é medida antes da aplicação dos tratamentos.

CAPITULO III: DELINEAMENTO COMPLETAMENTE CASUALIZADO
Quando usar o delineamento?
O delineamento é útil quando as unidades experimentais são essencialmente homogéneas. Isto é, quando
a variação entre as unidades experimentais é pequena.
Vantagens e desvantagens do delineamento
Vantagens
O delineamento é flexível no sentido de que o número de tratamentos e repetições é constrangido
apenas pela disponibilidade de unidades experimentais. Neste delineamento, o número de repetições
pode variar entre os tratamentos, embora, o mesmo número de repetições para todos tratamentos
seja preferível.
A análise estatística é simples.
A perda de informação quando há talhões perdidos é menor relativa aos outros delineamentos.
O número de graus de liberdade para estimar o erro experimental é máximo.
Desvantagens
O delineamento não é eficiente. Dado que a aleatorização não é restringida, o erro experimental
inclui a variação inteira entre as unidades experimentais, menos a variação devida aos tratamentos.
Casualização e 'layout'
Assuma que um investigador pretende avaliar 5 variedades de milho. Ele conseguiu um terreno
homogéneo que é suficiente para conduzir o ensaio utilizando 4 repetições para cada variedade. A
homogeneidade do terreno permite o uso do delineamento completamente casualizado. Faça
casualização e apresente o 'layout'.
Passo 1
Divida o terreno em 20 parcelas segundo as dimensões do investigador. Enumere as parcelas de 1 a 20.
1 5 9 13 17
2 6 10 14 18
3 7 11 15 19
4 8 12 16 20
Passo 2
Seleccione vinte números da tabela de números aleatórios usando um ponto de partida aleatoriamente
escolhido. O número de dígitos deve ser mais um acima do número de dígitos para o número total de
parcelas. No exemplo, o número de dígitos que será utilizado é 3 já que o número de dígitos para o
número total de parcelas é 2.

─────────────────────────────────────────────────────────
N.A Seq. N.A Seq. N.A Seq. N.A Seq. N.A Seq.
─────────────────────────────────────────────────────────
523 1 863 5 371 9 910 13 785 17
676 2 376 6 783 10 727 14 178 18
243 3 043 7 063 11 461 15 908 19
929 4 062 8 514 12 332 16 718 20
─────────────────────────────────────────────────────────
N.A= Número aleatório
Seq.=Sequência. (A sequência dos números aleatórios na tabela)
Passo 3
Ordene os números aleatórios de menor para maior
─────────────────────────────────────────────────────────────
Seq. Ord. Seq. Ord. Seq. Ord. Seq. Ord. Seq. Ord.
─────────────────────────────────────────────────────────────
1 11 5 17 9 07 13 19 17 16
2 12 6 08 10 15 14 14 18 04
3 05 7 01 11 03 15 09 19 18
4 20 8 02 12 10 16 06 20 13
─────────────────────────────────────────────────────────────
Seq.= Sequência, Ord = Ordem.
A sequência irá representar os tratamentos e a ordem, a parcela onde um tratamento específico será
colocado. No exemplo, sequência 1-4 representa a 1ª variedade, 5-8 a 2ª variedade, 9-12 a 3ª variedade,
13-16 a 4ª variedade e 17-20 a 5ª variedade. No caso da 1º variedade, será colocada nas parcelas 11, 12, 5,
e 20. A mesma coisa pode ser repetida para as outras variedades.
Passo 4
Utilizando a informação do passo 3 o seguinte 'layout é obtido
1
V2
5
V1
9
V4
13
V5
17
V2
2
V2
6
V4
10
V3
14
V4
18
V5
3
V3
7
V3
11
V1
15
V3
19
V4
4
V5
8
V2
12
V1
16
V5
20
V1

Análise de variância: Qualquer observação que é feita numa unidade experimental pode ser
representada por um modelo linear aditivo.
O Modelo Linear Aditivo (Uma observação por unidade experimental):
; i=1,2,...,t; j=1,2,...,rijiijY ετµ ++= i
Onde:
εij =O termo erro correspondente ao tratamento i na repetição j e εij ~ iidN (0, σ2) (iid = identicamente
e independentemente distribuídas)
Yij = O valor observado na unidade experimental j que recebeu o tratamento i.
µ= A média geral que é igual a ∑∑ ==
=
t
i
ii
t
i
ii ernonder
n 11
;
1
µµ é a média verdadeira para o tratamento i
τi = µµ −i (Efeito do tratamento i )
Para especificar o modelo completamente, precisa-se de apresentar os pressupostos sobre os efeitos dos
tratamentos (τi)
(a) Modelo Fixo
Os τi são fixos e ∑=
=
t
i
iir
1
0τ
Os tratamentos são deliberadamente seleccionados, e a repetição do experimento irá trazer no
experimento exactamente os mesmos tratamentos significando os mesmos τi. Assim, no modelo fixo os
τi são constantes fixos e o interesse é de fazer inferência apenas sobre os tratamentos que serão testados.
(b) Modelo Aleatório
No modelo aleatório, os tratamentos testados são uma amostra aleatória duma população de tratamentos
e a repetição do experimento será trazer novos tratamentos. Neste caso o interesse é de fazer inferência
sobre a população de tratamentos e não apenas sobre os tratamentos que serão testados. No modelo
aleatório, assume-se que τi ~ iidN (0, σ2
τ) e são independentes dos εij.

Notação
──────────────────────────────────────────────────────────────────
Tratamento Observações
──────────────────────────────────────
1 2 3 ... j ... ri Total Média
──────────────────────────────────────────────────────────────────
1 Y11 Y12 Y13 ... Y1j ... Y1r1 Y1. .1Y
2 Y21 Y22 Y23 ... Y2j ... Y2r2 Y2. .2Y
3 Y31 Y32 Y33 ... Y3j ... Y3r3 Y3. .3Y .
. . . . ... . ... . . .
. . . . ... . ... . . .
. . . . ... . ... . . .
i Yi1 Yi2 Yi3 ... Yij ... YIri Yi. .iY
. . . . ... . ... . . .
. . . . ... . ... . . .
. . . . ... . ... . . .
t YT1 YT2 YT3 ... Ytj ... Ytrt Yt. .tY
──────────────────────────────────────────────────────────────────
Note
n = (O número total de observações)∑=
t
i
ir
1
Y.. (O valor total para todas as observações)∑∑∑ == =
==
t
i
i
t
i
r
j
ij YY
i
1
.
1 1
..Y .= ∑ ∑∑= ==
==
t
i
t
i
i
r
j
ij
n
Y
Y
n
Y
n
i
1
..
1
.
1
11
(A média para todas as observações)
.iY = (O valor total para tratamento i)∑=
ir
j
ijY
1
.iY =
i
i
i
r
j
ij
r
Y
r
Y
i
.1
=
∑=
(Média para tratamento i)
(i) Variação total (Soma dos Quadrados Totais -SQT)
( )∑∑ ∑∑
∑∑
= = = =
= =
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=−=
t
i
r
j
t
i
r
j
t
i
r
j
ij
ijij
i i
i
n
Y
YYYSQT
1 1 1 1
2
1 122
..

Onde
( )
2
ijY
n
∑∑ é factor de correcção (FC) e n é o numero total de observações para o ensaio
Ou
2
..
1 1
2
YnYSQT
t
i
r
j
ij
i
−= ∑∑= =
(ii) Os diferentes componentes da variação total
A variação total pode ser apresentada pela seguinte identidade:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑∑∑ = = = = = = = == =
−−+−+−≡−+−≡−
t
i
r
j
t
i
r
j
t
i
r
j
t
i
r
j
iiijiiijiiij
t
i
r
j
ij
i i i ii
YYYYYYYYYYYYYY
1 1 1 1 1 1 1 1
....
2
...
2
.
2
....
1 1
2
.. 2
Podemos apresentar o terceiro termo da identidade da maneira seguinte:
( )( ) ( ) ( )∑∑∑∑ === =
−−=−−
ii r
j
iij
t
i
ii
t
i
r
j
iij YYYYYYYY
1
.
1
......
1 1
.
mas
( ) 0
1
=−∑=
ir
j
iij YY
Portanto: 2 ( )( ) 0...
1 1
. =−−∑∑= =
YYYY i
t
i
r
j
iij
i
Então
( ) ( ) ( ) ( )∑∑ ∑∑ ∑∑∑∑ = = = = = == =
−+−≡−+−≡−
t
i
r
j
t
i
r
j
t
i
r
j
iiijiiij
t
i
r
j
ij
i ii
YYYYYYYYYY
1 1 1 1 1 1
2
...
2
.
2
....
1 1
2
..
i
( )
n
Y
r
Y
YY
t
i i
i
t
i
r
j
iij
i 2
..
1
2
.
1 1
2
. −+−≡ ∑∑∑ == =
SQT SQE + SQTrat≡
SQT = Soma dos Quadrados Totais, Variação Total
SQE = Soma dos Quadrados do Erro, variação de cada observação da média do tratamento
correspondente (variação dentro da população), variação devido ao erro.
SQTrat = Soma dos Quadrados dos Tratamentos, variação das médias dos tratamentos da média geral
(variação entre tratamentos), variação devido aos tratamentos

Note: µµτ −= ii é o efeito verdadeiro do tratamento i e o seu estimador é ..
ˆ YYii −=τ . Assim, a
SQTrat poder ser apresentada da seguinte maneira:
∑∑ ∑= = =
==
t
i
r
j
t
i
iii
i
rSQTrat
1 1 1
22
ˆˆ ττ
Tabela de Análise de Variância para os Delineamentos Completamente Casualizados
──────────────────────────────────────────────────────────────────
Fonte de G.l SQ QM Quadrado Médio Esperado
__________________________________
Modelo fixo Modelo Casual
──────────────────────────────────────────────────────────────────
Tratamentos t-1 SQTrat
1−t
SQTrat 2
1
22
1
1
i
t
i
ir
t
τσε ∑=−
+ 2
0
2
τε σσ r+
Erro n-t SQE
tn
SQE
−
2
εσ 2
εσ
Total n-1 SQT
──────────────────────────────────────────────────────────────────
Onde
1
1
2
0
−
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
∑=
t
n
r
n
r
t
i
i

Inferências sob o modelo de efeitos fixos
Um teste de igualdade simultâneas de todas as médias
0...: 210 ==== tH τττ
Ha: A hipótese nula não verdadeira (pelo menos um iτ é diferente de zero
A hipótese nula acima pode ser apresentada também da seguinte forma:
Ho: µ1= µ2=...= µt
Ha: A hipótese nula não é verdadeira
A hipótese nula está a dizer que não há diferença entre as médias das populações. Num experimento
qualquer, espera-se que haja algumas diferenças entre as médias amostrais. Quanto desta variação é
devida à amostragem e aos factores não controláveis (variação casual)? De outra maneira, até que ponto
podemos dizer que a variação é tão grande que não pode ser atribuída inteiramente aos factores casuais,
mas também às diferenças entre as médias dos tratamentos? A resposta depende muito do tamanho da
variância entre as populações (σε
2).
F =
QMT
QME
~ Fn-t, t-1 se a hipótese nula fôr verdadeira. ;
Se a hipótese nula for verdadeira, significa que Σriτi
2 é igual a zero e E(QMT)=E(QME) e F=1. Se a
hipótese nula não for verdadeira, Σriτi
2 >0 e E(QMT)>E(QME) e F>1. Efeitos significativos dos
tratamentos são indicados apenas quando o valor da estatística F é suficientemente maior que 1. Por
outras palavras, se o valor de F calculado for inferior ao valor de F critico (que se pode encontrar na
tabela de F), quer dizer que a hipótese nula não é falsa. Não existe variação significativa nos efeitos dos
tratamentos.
Na prática valores de F menores que 1 podem ser encontrados. Tais valores serão justificados pelas
seguintes razões:
• Flutuação de amostragem aleatória ('Random sampling fluctuation'). Devido a tais flutuações,
sempre existe uma possibilidade do QMT ser um valor subestimado enquanto que o QME é
uma estimativa exagerada.
• Um modelo linear não correcto. Uso dum modelo não correcto pode gerar valores de F
menores que 1 por causa do erro experimental incluir a variação que um modelo correcto pode
tirar.

EXEMPLOS PARA O MODELO FIXO
(1) Quando o número de repetições é igual para todos os tratamentos
Foi conduzido um ensaio para comparar o rendimento de duas variedades estrangeiras de Soja (A e B)
com uma variedade local (C). O delineamento completamente casualizado com 10 repetições foi
utilizado para o ensaio. Os dados do ensaio são em baixo apresentados em termos de rendimento de
grão em kg por talhão.
Variedade
(i)
Repetições (j)
.iy .iy
A 3,0 2,9 2,7 3,0 2,8 3,1 2,9 3,0 3,0 3,1 29,5 3,0
B 2,6 2,4 2,4 2,3 2,6 2,6 2,6 2,9 2,3 2,5 25,2 2,5
C 3,1 3,2 2,9 3,1 3,0 3,0 3,0 3,0 3,1 3,1 30,5 3,1
.. 3,0 2,9,...,3.1 85,2ijY Y= = + =∑∑
.. 85,2
.. 2,84
10*3
Y
Y
rt
= = =
Pressupostos para a Análise de Variância
A análise de Variância apoia-se em vários pressupostos, sendo:
- homogeneidade de variâncias
- distribuição normal dos resíduos
- linearidade e aditividade de componentes do modelo
O teste de Homogeneidade das variâncias
Antes de fazer a análise de variância, é necessário verificar se as variâncias das três populações são
homogéneas ou não.
Ho: 2
3
2
2
2
1 σσσ ==
Para testar as hipóteses, o teste de Hartley pode ser usado.
(a) O teste de Hartley
tvF
S
S
F ,2
min
2
max
~=
Onde:
Max( )=a variância máxima2
iS
Min( )=a variância mínima2
iS
Fv, t =o valor da tabela de Hartley. O v são os graus de liberdade associados a . Se o v não for
constante para todas as variâncias, use o v mínima. O t representa o número de tratamentos.
2
iS

Se o valor calculado é menor do que o valor crítico, não se pode rejeitar a hipótese nula. Se o valor
calculado é maior do que o valor crítico a hipótese nula é rejeitada.
Do exemplo:
2
1s = 0,0161
2
2s = 0,0329
2
3s = 0,0072
0,0329
4,569
0,0072
F = =
F9,t=3, α=0,05 = 5,34
Dado que o valor calculado é menor do que o valor crítico, não se pode rejeitar a hipótese nula. Isto
significa que não há evidência que mostra que as variâncias são heterogéneas e assim, o pressuposto de
homogeneidade das variâncias é mantido.
(b) O teste de Bartlett
( )
( )
2
1
2
10
~
1
)13
1
1
log3026,2
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
+
−
= t
p
A
D
t
CSA
M χ se a hipótese nula for verdadeira
onde:
i
t
i
i ffA ;
1
∑=
= - são os graus de liberdade para a a variância amostral associada ao tratamento i
∑=
=
t
i
ii SfB
1
2
∑=
=
t
i
ii SfC
1
2
10log
∑=
=
t
i if
D
1
1
;
)1(...)1()1(
)1(...)1()1(
21
22
22
2
112
−++−+−
−++−+−
==
t
tt
p
rrr
SrSrSr
A
B
S
Pode-se usar a fórmula seguinte se o número de repetições é constante:
2
1
1
2
10
2
10
~
3
1
1
loglog3026,2
−
=
⎥
⎦
⎥
⎢
⎣
⎢ +
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
∑
t
t
i
ip
tf
t
SStf
Onde:
t = o número de tratamentos
f = graus de liberdade para cada variância

t
S
S
t
i
i
p
∑=
= 1
2
2
Do exemplo
0187,0
3
0072,00329,00161,01
2
2
=
++
==
∑=
t
s
s
t
i
i
p
7281,1log 2
10 −=ps
4187,5loglogloglog 2
310
2
210
2
110
1
2
10 −=++=∑=
ssss
t
i
i
( ) ( )[ ] 082,4
9*3*3
13
1
4187,57281,13*9*3026,2
=
+
+
−−−
=m
χ2
2, α=0,05=5,99
Dado que o valor calculado é menor do que o valor crítico não se pode rejeitar a hipótese nula.
O resultado do teste de homogeneidade mostra que as inferências estatísticas baseadas na análise de
variância serão válidas.
Análise de Variância
i. Factor de Correcção (CF)
968,241
10*3
2,85
2
1 1
==
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∑∑= =
rt
y
FC
t
i
r
j
ij
ii. Soma dos Quadrados Totais (SQT)
092,2968,2411,3...9,20,3 222
1 1
2
=−+++=−= ∑∑= =
FCySQT
t
i
r
j
ij

iii. Soma dos Quadrados dos Tratamentos (SQTrat)
586,1968,241
10
5,302,252,29 222
1
2
.
=−
++
=−=
∑=
FC
r
y
SQTrat
t
i
i
iv. Soma dos Quadrados do Erro (SQE)
SQE = SQT – SQtrat
=2,092-1,586
=0,506
Tabela da Análise de Variância
Fonte de variação G.L SQ QM Fcal F27,2;α=0,05 F27,2;α=0,01
Variedades 2 1,586 0,793 41,737 3,35 5,49
Erro 27 0,506 0,019
Total 29 2,092
Coeficiente de Variação (CV):
Expressa o nível de precisão dum experimento.
100*
..y
QME
CV =
Nos experimentos agrícolas o valor do CV é considerado:
Baixo - CV<10%
Médio - 10%<CV<20%
Alto - 20%<CV<30%
Muito alto - CV>30%
Há ensaios que por natureza têm coeficientes de variação elevados devido à variabilidade do material
experimental. Este problema é comum em ensaios de pastoreio e de alimentação de animais. Nos
ensaios de pastoreio contribuem para o erro experimental a variação entre cercados uma vez que são
maiores que parcelas usadas para ensaios agronómicos; a variação entre animais. Nos animais
procura-se sempre considerar a idade e a raça para minimizar o erro experimental, mas há outros
factores difíceis de controlar, como o estado fisiológico do animal.
Do exemplo anterior,
100*
..y
QME
CV = =4,9%
O nível de precisão do ensaio é alto e portanto as inferências baseadas nos dados do ensaio serão
seguras.

Da tabela da análise de variância, há evidência suficiente ao nível de significância de 1% para concluir que
os rendimentos médios das três variedades não são iguais.
Quando uma tabela da análise de variância mostra efeitos significativos dos tratamentos, um investigador
pode apresentar uma tabela de diferença entre as médias com o erro padrão das diferenças.
siYY si ≠− ;.. é um estimador não enviesado ('unbiased estimator') de µi-µj e com o erro padrão
correspondente de :
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+=−
si
YY
rr
QMES si
11
..
se ri é igual a rs a formular será
r
QME
S si YY
2
..
=−
Do exemplo
Ay =3,0
By =2,5
Cy =3,1
062,0
10
019,0*22
..
===−
r
QME
s si yy
A Tabela de Diferenças entre as Média
──────────────────────────────────
Variedades Diferença Erro padrão
──────────────────────────────────
A e B 0,5 0,062
A e C -0,1 0,062
B e C -0,6 0,062
──────────────────────────────────
O teste de DMS
Para responder ao objectivo do ensaio, os rendimentos médios das variedades estrangeiras serão
comparados com o rendimento médio da variedade local, usando o teste de DMS.
127,0062,0*052,2* ..025,02/,27025,02/ === −== si yystDMS αα
Se .. si yy − >DMSα/2 significa que a diferença entre as duas médias é significativa.
Se .. si yy − <DMSα/2 significa que não há diferença significativa entre as duas médias.
Os resultados do ensaio mostram que existe uma diferença significativa em rendimento médio entre a
variedades estrangeira B e a variedade local C (p<0,05). A variedade local é significativamente superior na
produção média de grão do que a variedade estrangeira B. Não há diferença significativa entre a
variedade estrangeira A e a variedade local C em termos de rendimento médio de grão.

(2) Quando o número de repetições varia entre os tratamentos
Os dados abaixo apresentados são de conteúdo de ácido ascórbico de três variedades de pêssegos
maduros. O conteúdo de ácido ascórbico é medido em mg por 100g. Faça análise de variância e o teste F
ao nível de significância de 0,05.
Variedade
(i)
Replicações
.iy .iy
∑=
ir
j
ijy
1
2
A 5,34 5,58 5,26 5,47 5,39 5,50 5,42 5,47 5,71 5,62 54,76 5,48 300,0284
B 7,12 6,89 6,93 6,82 7,06 6,80 6,91 6,76 55,29 6,91 382,2331
C 6,28 6,01 6,27 6,15 6,38 6,40 6,12 6,24 6,31 6,37 62,53 6,25 391,1433
(a) Teste de homogeneidade das variâncias
Ho: 2
3
2
2
2
1 σσσ ==
O teste de Hartley
2
1s = 0,0181
2
2s = 0,0157
2
3s = 0,0159
tvF
S
S
F ,2
min
2
max
~= se a hipótese nula for verdadeira
Fcal
0,0181
1,15
0,0157
= = Fv=7, t=3=α=0,05 = 6,94
Dado que o valor calculado é menor do que o valor crítico, não se pode rejeitar a hipótese nula.
O teste de Bartlett
Quando os graus de liberdade não são iguais a seguinte formula é usada.
( )
( )
2
1
2
10
~
1
)13
1
1
log3026,2
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
+
−
= t
p
A
D
t
CSA

onde:
i
t
i
i ffA ;
1
∑=
= - são os graus de liberdade para a a variância amostral associada ao tratamento i
∑=
=
t
i
ii SfB
1
2
∑=
=
t
i
ii SfC
1
2
10log
∑=
=
t
i if
D
1
1
;
)1(...)1()1(
)1(...)1()1(
21
22
22
2
112
−++−+−
−++−+−
==
t
tt
p
rrr
SrSrSr
A
B
S
A = 25
B = 0,4159
C = -44,1874
D = 0,3651
2
ps =0,0166
log( )=-1,7790
2
ps
m = 0,0483
χ2
2,α=0,05=5,99
Dado que o valor calculado é menor do que o valor crítico, não se pode rejeitar a hipótese nula.
Análise de variância
i. Factor de Correcção (FC)
( ) 7081,1063
28
53,6229,5576,54
2
2
1 1
=
++
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
∑∑= =
n
y
FC
t
i
r
j
ij
, onde n = r1 + r2 + r3
ii. Soma dos Quadrados Totais (SQT)
6957,97081,106337,6...58,534,5 222
1 1
2
=−+++=−= ∑∑= =
FCySQT
t
i
r
j
ij
iii. Soma dos Quadrados dos Tratamentos (SQTrat)
2798,91081,1063
10
53,62
8
29,55
10
76,54 222
1
2
.
=−++=−= ∑=
FC
r
y
SQTrat
t
i i
i

iv. Soma dos Quadrados do Erro (SQE)
SQE = SQT – SQTrat
= 9,6957-9,2798
= 0,4159
Quadro da Análise de Variância
Fonte de variação G.L SQ QM Fcal F27,2;α=0,05 F27,2;α=0,01
Variedades 2 9,2798 4,6399 279,51 3,39 7,77
Erro 25 0,4159 0,0166
Total 27 9,6957
CV = 2,1%
O nível de precisão do ensaio é alto e portanto, as inferências baseadas nos dados do ensaio serão
seguros.
Comparação simultânea das médias dos Tratamentos
Ho: µ1= µ2= µ3
Ha: A hipótese nula não é verdadeira.
Dado que o valor de F calculado é maior do que o valor crítico, existe efeitos significativos das
variedades de pêssegos sobre o conteúdo do acido ascórbico (p<0,01).

EXEMPLO PRÁTICO:
Foi realizado um ensaio para saber se os tratamentos com químicos diferem no rendimento da
cultura de couve. Foram testados 3 tratamentos (A, B, C), com 8 repetições. Os dados são
apresentados na tabela seguinte e estão em Kg/talhão.
Variedade
(i)
Repetições (j)
A 4 5 5 4 6 6 4 5
B 4 5 4 3 4 5 3 3
C 5 3 3 3 3 3 4 5
Faça análise de variância ao nível de significância de 5%.
Resolução:
Ho: µA = µB = µC
Tratamento A B C
Totais 39 31 29 99
Factor de correcção (FC):
FC=
( ) 375,408
3*8
293139
*
2
2
1 1
=
++
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∑∑= =
tr
y
t
i
r
j
ij
Soma dos quadrados totais (SQT):
625,22375,4085...54 222
1 1
2
=−+++=−= ∑∑= =
FCySQT
t
i
r
j
ij

Soma de quadrados dos tratamentos (SQTrat):
0,7375,408
8
293139 222
1
2
.
=−
++
==
∑=
r
y
SQTrat
t
i
i
Soma de quadrados do erro (SQE)
625.15
0.7625.22
=
−=
−=
SQE
SQE
SQTratSQTSQE
Fonte de variação GL SQ QM Fcal F21,2,0.05
Tratamento 2 7.0 3.5 4.7 3.47
Erro 21 15.625 0.744
Total 23 22.625
Fcal > Fcrit ⇒ Rejeita-se Ho.
Com base no teste e no nível de significância, temos evidência suficiente para rejeitar a Ho. Então, os
tratamentos químicos aplicados dão diferentes rendimentos em Kg/talhão da cultura de couve.
Teste DMS
Tratamento A B C y..
Totais 39 31 29 99
Médias 4,875 3,875 3,625
897,0
8
744,0*2
*080,2
2
*
2
* 05,0,21)1( ==== =−
r
QME
t
r
QME
tDMS rt α

Tratamentos a serem comparados Diferença das médias DMS Decisão
A – B 1.0 0.897 Significativo
A – C 1.25 0.897 Significativo
B – C 0.25 0.897 Não significativo
Exercícios
1. Desejamos saber se 4 tratamentos de pesticidas para broca de milho diferem na eficácia.
Um talhão foi sujeito a diferentes tratamentos. No fim de um determinado período específico foi-se
medir a eficácia do tratamento, e obtiveram-se resultados seguintes:
T1
64
T3
74
T4
80
T2
80
T4
88
T1
71
T4
95
T2
70
T1
72
T3
60
T1
79
T3
75
T2
76
T1
88
T3
66
T4
87
T2
75
T4
85
T3
58
T4
90
T2
90
T1
80
T3
82
T2
82
a) Use α = 0.05
b) Use α = 0.01
2. Um experimento foi conduzido para comparar três métodos de empacotamento duma certa
comida congelada.
O critério foi o conteúdo de Ácido Ascórbico (mg/100mg) depois de um determinado tempo. Os
dados obtidos foram as seguintes:
Método de empacotamento
A B C
14.29 20.06 20.04
19.10 20.64 26.23
19.09 18.00 22.74
16.25 19.56 24.04
15.09 19.47 23.37
16.61 19.07 25.02
19.63 18.38 23.27
a) Forneça evidência suficiente a nível de significância de 0.01 que os dados indicam uma diferença
no método de empacotamento
b) Use α = 0.05

3. Três grupos de animais foram usados num experimento para comparar o tempo de resposta, em
segundos, a três diferentes estimulantes. Os resultados obtidos foram os seguintes:
Estimulante
I II III
16 6 8
14 7 10
14 7 9
13 8 10
13 4 6
12 8 7
12 9 10
17 6 9
17 8 11
17 6 11
19 4 9
14 9 10
15 5 9
20 5 5
Forneça evidência suficiente que os dados indicam uma verdadeira diferença no meio da população?
a) Use α = 0.05
b) Use α = 0.01
c) Com base no teste DMS, compare as médias.
4. Um estudante do 5º ano pretende avaliar quatro variedades de feijão. A faculdade atribuí u - lhe
um terreno homogéneo e ele decide conduzir o ensaio utilizando três repetições para cada variedade.
Faça casualização e apresente o “layout” do ensaio.
5. Acredita-se que a concentração de colesterol de alta densidade (HDL) no plasma sanguíneo esteja
associada ao reduzido risco da doença da artéria coronária. Para investigar os mecanismos que
contribuem para a baixa incidência da doença do coração em atletas da modalidade de longa
distância, mediram-se concentrações de HDL (ml de HDL por 100 ml de plasma sanguíneo) para 20
atletas de elite, 8 atletas considerados bons e 72 não praticantes da modalidade. Usar os dados
sumarizados para testar a possibilidade que a prática da modalidade aumenta a concentração de
HDL?
Elite
(n=20)
Bom
(n=8)
Não
(n=72)
Média 56 52 49
Variância 146.41 118.81 110.25
a) Formular as Hipóteses.
b) Com teste DMS compare todos pares possíveis de média.
6. Em 5 vasos, cada um com adubação diferente, cultivou-se algodão. Determinou-se a resistência à
tracção em 3 fibras retiradas ao acaso em cada vaso. Investigar se a adubação produz efeitos sobre a
característica do algodão que foi observada. Os resultados constam do quadro que se segue.

Adubação com K2O em kg/ha
0 50 100 150 200
7.62 8.14 7.76 7.17 7.46
8.00 8.15 7.73 7.57 7.68
7.93 7.87 7.74 7.80 7.21
7. Investigadores desejam comparar 4 programas de saúde física para agricultores. 30 agricultores
foram casualizados e destinados a um dos 4 programas. A tabela que se segue mostra resultados das
diferenças entre a saúde dos agricultores antes e depois da participação no programa.
Programa
A B C D
13 11 12 22
24 13 19 26
19 20 9 22
18 14 14 22
9 11 21 26
21 21 7 19
17 14 6
22 8
24
a) Podemos concluir com estes dados que os 4 programas diferem na sua eficácia? (α = 0.05)
b) faça o teste DMS, para comparar as médias.

8. Deseja-se estudar as alturas, em metros, das árvores de 3 tipos de povoamento florestal. Do
levantamento que se fez resultou a tabela seguinte:
Povoamentos Tipo 1 tipo 2 tipo 3
1 23.4 22.5 18.9
2 24.4 22.9 21.1
3 24.6 23.7 21.2
4 24.9 24.0 22.1
5 25.0 24.4 22.5
6 26.2 24.5 23.6
7 26.3 25.3 24.5
8 26.8 26.0 24.6
9 26.8 26.2 26.2
10 26.9 26.4 26.7
11 27.0 26.7 -
12 27.6 26.9 -
13 27.7 27.4 -
14 - 28.5 -
a) Com base nestes dados verificar se existe diferença significativa de um tipo para outro.
9. Um editor deseja escolher uma capa dentre 3 possíveis para um novo livro. Para testar as três
capas, recolheu uma amostra aleatória de 15 consumidores e remeteu cada capa a 5 dentre eles
tomados aleatoriamente. Seguidamente pediu a cada um deles para atribuir uma nota de 1 a 20. Eis os
resultados obtidos.
C1 C2 C3
14 16 14
6 14 16
12 8 14
10 8 14
8 14 12
a) Com base nestes resultados tirar as conclusões apropriadas.
Resultados
2. Fcal = 20.83
7. Fcal = 6.48
9. Fcal = 2.31

CAPITULO IV: DELINEAMENTO DE BLOCOS COMPLETOS CASUALIZADOS
Quando usar o delineamento
Este delineamento usa-se para reduzir o erro experimental, através da eliminação da contribuição das
fontes de variação conhecidas nas unidades experimentais. Isto é, se as unidades experimentais não
forem homogéneas mas podendo ser significativamente agrupadas, de modo que a variabilidade dentro
de cada grupo (bloco) seja minimizada e a variabilidade entre blocos seja maximizada então este
delineamento torna-se apropriado para uso.
Definição
Um bloco é um grupo de unidades experimentais que fornecem efeitos homogéneos numa variável de
resposta. Um bloco completo é um grupo homogéneo de unidades experimentais nas quais cada um dos
tratamentos aparece o mesmo número de vezes (que no caso normal cada tratamento aparece só uma
vez).
Portanto a noção de 'Blocking' refere a agrupamentos específicos de unidades experimentais nas quais
subconjuntos de unidades experimentais homogéneas são identificadas.
Exemplos de casos em que (DBCC) é apropriado:
(a) Num experimento com animais: onde os animais são agrupados na base de características como:
peso, sexo, idade, estágio de aleitamento, raça, etc.
(b) Ensaio de culturas ou árvores no campo onde cada bloco consiste em agrupamento de talhões.
Experimentos no campo devem tomar em conta os seguintes aspectos para o processo da formação de
blocos:
• Selecção de fonte de variabilidade a ser usada como base na formação dos blocos;
• Selecção do tipo de bloco e sua orientação.
Uma fonte ideal de variação a ser usada como base para o processo "BLOCKING" é aquela que é larga
(ampla) e prognosticável tal como:
(i) A heterogeneidade do solo no caso dum ensaio de variedades ou dum ensaio de fertilizantes onde o
rendimento é a característica de interesse primária.
(ii) Declive do campo num estudo da reacção da planta ao stress hídrico.

Tipo de blocos a usar
(a) Quando o gradiente for unidireccional use blocos que são longos e estreitos. A orientação dos blocos
deve ser de modo que o seu comprimento seja perpendicular à direcção do gradiente como se mostra
abaixo.
Direcção do gradiente.
(b) Quando o gradiente de fertilidade ocorre em duas direcções; ambos de igual tamanho e
perpendiculares um do outro usa-se blocos quadrados ou blocos estreitos (rectangulares), com o seu
comprimento perpendicular à direcção de um dos gradientes; e a técnica de covariância para outro
gradiente. Alternativamente usa-se o delineamento dos quadrados latinos.
Bloco Estreito e Comprido
Bloco quadrado
Se o modelo de variabilidade não for conhecido os blocos devem ser quadrados.
Layout e Casualização
O número de unidades experimentais (talhões) dentro do bloco deve corresponder ao número de
tratamentos como se mostra no exemplo abaixo:
Ensaio com 6 tratamentos e quatro repetições (replicações)
Gradiente
1 4
2 5
3 6
Bloco I Bloco II Bloco III Bloco IV

Como se mostra acima, a área experimental é dividida em 4 blocos. O tipo e a orientação dos blocos são
baseados nas indicações previamente apresentadas. Cada bloco é dividido em 6 talhões representando o
número de tratamentos.
Casualização
Esta é feita separadamente para cada bloco.
Passo 1: Enumere cada talhão consecutivamente de cima para baixo como se apresenta para o bloco 1.
Passo 2: Seleccione seis números da tabela de números aleatórios usando um ponto de partida
aleatoriamente escolhido:
Número Aleatório Sequência de selecção
36 1
55 2
09 3
30 4
56 5
81 6
Passo 3: Ordene os números aleatórios do menor para o maior como se mostra abaixo.
Número aleatório Sequência Ordem
36 1 (A) 3
55 2 (B) 4
09 3 (C) 1
30 4 (D) 2
56 5 (E) 5
81 6 (F) 6
Passo 4: Conceda os seis tratamentos para os seis talhões, usando a sequência em que ocorreram os
números aleatórios como os números dos tratamentos e a correspondente ordem como número do
talhão para o qual o particular tratamento está para ser fixado (assinado).
Se os tratamentos são A, B, C, D, E, e F, a concessão será como se mostra abaixo
1 C 4 B
2 D 5 E
3 A 6 F
Repita as quatro fases para os blocos restantes, separadamente.

Análise de variância
O Modelo Linear Aditivo (Uma observação por unidade experimental):
Yij = µ + τi + Βi + εij ; εij ~ iidN(0,σ²)
onde:
Yij = é o valor observado no bloco j que recebeu o tratamento i (i=1,2, ...,t ; j = 1,2,...,r)
µ = média geral
τi = µi.-µ efeito do tratamento i
Βj = µ.j-µ o efeito do bloco j
εij = Erro ( a parte de variação devido a factores não controlados).
Antes da análise deve-se decidir o tipo de modelo que se tem: modelo fixo, modelo casual (aleatório) ou
modelo misto.
Modelo fixo: Neste caso tanto os tratamentos e blocos são seleccionados, e não casuais (aleatórios);
Significa que todos os tratamentos em que as suas inferências estão para ser consideradas são incluídos
no ensaio (experimento). O mesmo aplica-se para os blocos. Neste caso, efeitos de blocos e tratamentos
podem ser testados pelo quadrado médio do erro.
Para este modelo, um pressuposto adicional é:
Στi = ΣΒj =0, significa que os efeitos dos tratamentos e dos blocos são medidos como desvio da
média geral.
Modelo Aleatório: Neste caso os tratamentos e blocos, incluídos no ensaio (experimento) são amostras
casuais das respectivas populações dos tratamentos e dos blocos. Inferências neste caso são tomadas
acerca da população dos tratamentos e blocos em simultâneo no ensaio, e não separadamente. Ambos
efeitos de blocos e tratamentos podem ser testadas pelo uso do quadrado médio do erro.
Para este modelo, os pressupostos adicionais são:
τi ~iidN(0, στ
2)
Βj ~ iidN(0, σΒ
2)
E τ's Β's e ε's são independentemente distribuídos
Modelo Misto: Este tipo de modelo é aplicável onde um dos factores (bloco ou tratamento) é aleatório e
o outro é fixo. Muitas vezes os blocos são casuais e os tratamentos são fixos nos casos onde este modelo
é válido.

Formato de Análise
─────────────────────────────────────────────────────────────
Blocos
Tratamento Totais Médias
1 2 ... j ... r Yi. .iY
─────────────────────────────────────────────────────────────
1 Y11 Y12 ... Y1j ... Y1r Y1. .1Y
2 Y21 Y22 ... Y2j ... Y2r Y2. .2Y
.
.
.
i Yi1 Yi2 ... Yij ... Yir Yi.. .iY
.
.
.
t Yt1 Yt2 ... Ytj ... Ytr Yt.. .tY
─────────────────────────────────────────────────────────────
Totais de Blocos Y.1 Y.2 ... Y.j ... Y.r ..Y
(Y.j)
Médias de Blocos 1.Y 2.Y ... jY. ... rY. ..Y
)( . jY
─────────────────────────────────────────────────────────────
Onde: e
..1 1
.. ∑∑= =
=
t
i
r
j
ijYY
..
1 1
..
rt
Y
Y
t
i
r
j
ij∑∑= =
=
Os estimadores de efeitos dos tratamentos e dos blocos são:
...
ˆ YYii −=τ
...
ˆ YY jj −=β
(i) Factor de Correcção (FC): FC=
rt
Y
t
i
r
j
ij
2
1 1
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∑∑= =
(ii) Soma dos Quadrados Totais (SQT): SQT = FCY
t
i
r
j
ij −∑∑= =1 1
2

(iv) Soma dos Quadrados dos Blocos (SQB): SQB = FC
t
Y
r
j
j
−
∑=1
2
.
(v) Soma dos Quadrados dos Tratamentos (SQTrat): SQTrat = FC
r
Y
t
i
i
−
∑=1
2
.
(vi) Soma dos Quadrados do Erro (SQE): SQE = SQT – SQB – SQTrat
Quadro de Análise de Variância
──────────────────────────────────────────────────────────────────
Fonte GL SQ QM F Quadrados Médios Esperados
───────────────────────────
Modelo Fixo Modelo Aleatório
──────────────────────────────────────────────────────────────────
Blocos r-1 SQB
1−r
SQB
QME
QMB
---- ----
Tratamentos t-1 SQTrat
1−t
SQtrat
QME
QMT
σ2
ε + ∑=−
t
i
i
t
r
1
2
1
τ σ2
ε+rσ2
τ
Erro (r-1)(t-1) SQE
)1)(1( −− tr
SQE
- σ2
ε σ2
ε
Total rt-1 SQT - - …. …….
──────────────────────────────────────────────────────────────────
1. Erro padrão da média dum tratamento
r
QME
S iY
=.
2. Erro padrão da diferença entre duas médias
r
QME
S si YY
2
..
=−
3. Coeficiente de Variação (CV)
100
..
x
Y
QME
CV =

Exemplo
Um ensaio para avaliar o rendimento de 5 variedades de milho produziu os resultados apresentados
abaixo. Os rendimentos foram medidos em kg por 100m2
BlocosVariedades
1 2 3 4 5
Total
A 34 26 33 36 31 160
B 26 37 42 34 36 175
C 37 45 39 41 53 215
D 23 28 30 37 35 150
Total 120 136 144 148 152 700
Faça Análise de Variância e dê conclusões?
Resolução:
Passo 1: Faça um teste de homogeneidade das variâncias
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
= ∑
∑
=
=
r
j
r
j
ij
iji
r
y
y
r
s
1
2
122
1
1
3,31;0,40;0,34;5,14 2222
==== DCBA ssss
2222
: DCBAoH σσσσ ===
:aH A hipótese nula não é verdadeira
Fcal= 76,2
5,14
0,40
2
min
2
max
==
s
s
5,2505,0:5,4 ==αF
Dado que o Fcal e inferior ao Fcrit, não se pode rejeitar a hipótese nula. Conclui-se com base no teste
de Hartley ao nível de significância de 0,05 não há evidencia que mostre que as variâncias são
diferentes.
Passo 2: Faça a análise de variância com base nos dados amostrais sem transformação (Dado que o
pressuposto de homogeneidade das variâncias não foi violado)
Soma de quadrados totais (SQT):
2
700
24500
20
FC = =
2 2 2
34 26 32 24500
950
SQT
SQT
= + + + −
=
K
Manual de Experimentação Agrária
22 2 2
160 175 215 150
24500
5
490
SQTrat
SQTrat
+ + +
= −
=
37

Soma de quadrados do tratamento (SQTrat):
Soma de quadrados dos blocos (SQB)
2 2 2 2 2
120 136 144 148 152
24500
4
160
SQB
SQB
+ + + +
= −
=
Soma de quadrados do erro (SQE)
uadrado médio do tratamento (QMTrat):
uadrado médio do bloco (QMB)
(QME):
a tratamentos:
950 490 160
300
SQE
SQE
= − −
=
Q
Q
Quadrado médio do erro
490
3
163.33
QMTrat
QMTrat
=
=
160
4
40
QMB
QMB
=
=
300
QME =
Cálculo de F par
3* 4
25QME =
163.33
6.53calF =
25
cal =F
Bloco 4 160 40
Tratamento 3 6.53 3.49490 163.3
Erro 12 300 25
Total 19 950

Com bas ste F e no nível de significância de 5%, o agró mo pode então concluir que as
ariedades estudadas não têm, em média, a mesma produção.
e no te no
v

Exemplo prático
Um ensaio foi conduzido para comparar seis proporções de sementeira de arroz, variedade IR8. O
ensaio foi desenhado num DBCC com 4 repetições (replicações). Do ensaio resultaram os seguintes
dados que se apresentam abaixo:
Rendimento do grão de arroz variedade IR8
────────────────────────────────────────────
Rendimento do grão, kg/ha
Tratamento ─────────────────────────────────
kg Semente/ha Total Média
Rep I RepII RepIII RepIV .iy .iy
────────────────────────────────────────────
25 5.113 5.398 5.307 4.678 20.496 5.124
50 5.346 5.952 4.719 4.264 20.281 5.070
75 5.272 5.613 5.483 4.749 21.217 5.304
100 5.164 4.831 4.986 4.410 19.391 4.848
125 4.804 4.848 4.432 4.748 18.832 4.708
150 5.254 4.542 4.919 4.098 18.813 4.703
────────────────────────────────────────────
Totais dos
blocos 30.953 31.184 29.846 26.947)( . jy
Médias dos
Blocos )( . jy 5.159 5.197 4.974 4.491
Total de todas as observações 118.930)( ..y
Média geral )( ..y 4.955
────────────────────────────────────────────
Factor da Correcção (FC)
FC = 704.347.589
6*4
030.1190 22
..
==
rt
y
Soma de Quadrados Totais (SQT)
∑∑= =
−=
t
i
r
j
ij FCySQT
1 1
2
=(5.113²+5.398²+...+4.098²)-589.347.704
= 4.659.968
Soma de Quadrados dos blocos (SQB)
FC
t
y
SQB
r
j
j
−=
∑=1
2
.

= 728.894.1704.347.589
6
9475.26...284.31953.30 22
=−
+++
Soma dos Quadrados dos Tratamentos (SQTrat)
FC
r
y
SQTrat
t
i
i
−=
∑=1
2
.
= 481.131.1704.347.589
4
813.18...281.20496.20 222
=−
+++
Soma dos Quadrados do Erro (SQE)
SQE = SQT – SQB – SQTrat
=4.659.968-1.894.728-1.131.481
=1.633.759
Tabela de Análise de Variância
──────────────────────────────────────────────────────────────
Fcrít.
Fonte de Variação GL SQ QM Fcal α=0,05 α=0,01
──────────────────────────────────────────────────────────────
Blocos 3 1.894.728 631.576 5,80** 3,29 5,42
Tratam. 5 1.131.481 226.296 2,08 2,90 4,56
Erro 15 1.633.759 108.917 - - -
Total 23 4.659.968
──────────────────────────────────────────────────────────────
CV = %7,6100
..
=x
y
QME
Conclusão
Tratamentos:
Desde que o valor do F calculado seja menor do que o valor do F tabelado ao nível de significância
de 5% conclui-se que não há evidência que mostre que as seis proporções de sementeira são
diferentes em termos de rendimento de arroz.
b) Blocos:
A pesar de se fazer cálculos da Soma de Quadrados, Quadrado Médio e valor de F para os Blocos, o
teste dos efeitos deste não tem qualquer utilidade, uma vez não constituir uma hipótese de interesse.
Por outro lado tal teste viola regras estatísticas uma vez que os blocos não estão replicados. Portanto,
a inclusão dos blocos nas fontes de variação serve apenas para se absorver a variação que de outro
modo seria incluída no Erro Experimental.
Eficiência de Formação de Blocos

O cálculo da Eficiência Relativa (E R) envolve a determinação da magnitude de redução do erro
experimental devido a formação de blocos. Isto é, ganho de eficiência atingido no processo de
formação de blocos em relação ao delineamento completamente casualizado. Calcula-se da seguinte
maneira:
QMErt
QMEtrQMBr
ER
)1(
)1()1(
−
−+−
=
Onde:
QME= Quadrado Médio do Erro no DBCC
QMB= Quadrado Médio dos Blocos
Se os graus de liberdade do erro forem menores que 20 o valor ER é ajustado com a seguinte
fórmula:
( )( )[ ] ( )[ ]
( )( )[ ] ( )[ ]11311
31111
+−+−−
+−+−−
=
rttr
rttr
k
Do exemplo:
63,1
917.108*)124(
917.108*5*4576.631*3
=
−
+
=ER
Mas note que os graus de liberdade do erro são 15, por isso é necessário usar um factor de ajuste K:
[ ][ ]
[ ][ ]
882,0
13*635*3
33*615*3
=
++
++
60,1982,0*63,1* === ERkERajustada
O resultado mostra que o uso do DBCC em vez do DCC aumentou a precisão do ensaio em 60
porcento.

O teste de DMS
(i) O Erro padrão duma média (
.iY
S )
r
QME
S iY
=.
Do exemplo
kg/ha013.165
4
917.108
.
==iys
(ii) O Erro padrão duma diferença entre duas médias (syi-yl)
r
QME
S si YY
2
..
=−
Do exemplo,
hakgs si yy /36.233
4
917.108*2
..
==−
Assumindo que a proporção de sementeira de 50Kg/ha é um sistema padrão na área de estudo e o
experimento teve como objectivo a comparação deste sistema padrão com os outros, o teste de DMS
será apropriado para tal.
080,40936,233*753,1* ..05,0),1)(1(05,0 === −=−−= si yytr stDMS αα
─────────────────────────────────────────────────────
Pares comparados Diferenças entre as Decisão
médias
─────────────────────────────────────────────────────
(25kg e 50Kg) 5.124 - 5.070 = 54 não é significativa
(75Kg e 50Kg) 5.279 - 5.070 = 209 " "
(100Kg e 50Kg 4.848 - 5.070 = 222 " "
(125Kg e 50Kg) 4.708 - 5.070 = 362 " "
(150Kg e 50Kg) 4.703 - 5.070 = 367 " "
─────────────────────────────────────────────────────
Na base do teste DMS ao nível de significância de 0,05 não existem diferenças significativas em
produção média entre o sistema padrão e os outros. Isto é, a diminuição ou o aumento da proporção
de sementeira da proporção padrão não tem efeito significativo na produção de arroz.
Análise de Variância com Talhão Perdido
Suponha que no experimento com arroz foi perdido o talhão com tratamento 4 no bloco II. Para
fazer análise de variância é necessário estimar o valor para o talhão perdido. Tal valor é artificial e não

contribui com informação adicional. Para fazer análise de variância com talhão perdido, use o
procedimento seguinte;
Passo l
Use a fórmula seguinte para estimar o valor perdido.
( )( )
0 0
1 1
rB tT G
y
r t
+ −
=
− −
Onde:
y = estimativa do valor perdido.
B0 = é total dos talhões restantes no bloco em que figura o talhão perdido.
r = número de repetições
t = é o número de tratamentos
T = é o valor total do tratamento do talhão perdido nos outros blocos
G0= é o total dos talhões disponíveis.
Do exemplo
245.5
)16)(14(
099.114)560.14(6)353.26(4
=
−−
−+
=y
Passo 2
Substitua o valor y no lugar do dado perdido e faça análise de variância.
Do exemplo obtemos os resultados seguintes.
Tabela de Análise de Variância
─────────────────────────────────────────
Fonte GL SQ QM
─────────────────────────────────────────
Blocos 3 2.116.459 705.486
Tratamentos 5 1.078.040 215.608
Erro 15 1.526.706 101.780
Total 23 4.721.205
─────────────────────────────────────────
Passo 3
Faça as seguintes modificações nos resultados de Análise de Variância do passo 2:
(a) Subtraia 1 nos graus de liberdade tanto para o total como para o erro
(b) Calcule o factor de correcção, usando a fórmula seguinte:
[ ] [ ] 546
)16(6
)245.5)(16(353.26
)1(
)1(
2
0
=
−
−−
=
−
−−
=
tt
ytB
B
(c) Subtraia o factor B da soma dos quadrados totais e da soma dos quadrados dos tratamentos.

Portanto,
SQT Adjustado = SQT - B
= 4.721.205-546
= 4.720.659
SQTtrat(Adjustado) = SQTtrat - B
=1.078.040 - 546
=1.077.494
Então a tabela de análise de variância final é:
Fonte de variação G.L SQ QM Fcal 05,0=αF 01,0=αF
Blocos 3 2.116.459 705.486
Tratamentos 5 1.077.494 215.499 1,98 2,96 4,69
Erro 14 1.526.706 109.050
Total 22 4.720.659
Passo 4
Para fazer comparações entre médias onde um tratamento tem um valor perdido, use a fórmula
seguinte:
( )( ) ( ) ( )
hakg
trr
t
r
ss si yy /79,255
16*14*4
6
4
2
050.109
11
22
..
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
+=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
+=−
7,54879,255*145,2* ..05,0,1405,0 === −== si yystDMS αα

Exercício
1. Três sistemas de serviço de comida foram testados em 5 hospitais. A variabilidade de interesse foi
o tempo (em minutos) utilizado por refeição servida. A refeição do meio dia foi servida por cada
hospital e por cada método, com seguintes resultados.
Hospital Método
A B C Total
1 7.56 9.68 11.65 28.89
2 9.98 9.69 10.69 30.36
3 7.23 10.49 11.77 29.49
4 8.22 8.55 10.72 27.49
5 7.59 8.30 12.36 28.25
total 40.58 46.71 57.19 144.48
Depois de eliminados os efeitos dos hospitais, sugere a estes dados uma diferença entre os métodos
em tempos médios por cada refeição servida.
Use nível de significância de 5%.
2. Dezasseis (16) obesos participaram num estudo para comparar 4 regimes de perda de peso. Os
obesos foram agrupados consoante ao peso inicial e cada 4 obesos de cada grupo de peso inicial
foram casualmente destinados para um dos 4 regimes. No fim do período experimental, as seguintes
perdas de peso ( em libras) foram registados.
Peso inicial Regime
(em libras) A B C D TOTAL
150-174 12 26 24 23 85
175-199 15 29 23 25 92
200-225 15 27 25 24 91
>225 18 38 33 31 120
TOTAL 60 120 105 103 388
Dê evidência ao nível de significância de 0.01 que os dados dão uma diferença nos regimes.
3. Quatro variedades participaram num experimento para comparar 3 métodos de alívio de stress
hídrico. Cada variedade foi colocada numa situação de stress em três diferentes ocasiões. Os
diferentes métodos para a redução do stress foram usados para cada variedade. Os resultados que
estão na tabela são quantidades de decréscimo do nível de stress, medido antes e depois dos
tratamentos.
Tratamento
Variedade A B C
1 16 26 22
2 16 20 23
3 17 21 22
4 28 29 26
Faça a tabela de ANOVA e faça o teste F com nível de significância de 5% para tirar conclusões.

4. Foi conduzido um ensaio para estudar o efeito da rega e de adubação na capacidade de retenção de
água pelas folhas de alface. Para isso foram usados dois níveis de rega (nível baixo R0 e médio R1) e
dois níveis de adubação ( 0kg/ha - N0; 50kg/ha - N1). O delineamento usado foi o de blocos
completos casualizados. Os resultados do ensaio estão apresentados na tabela abaixo.
Blocos
Tratamento I II III IV totais
R0N0 10.4 8.0 15.6 7.4 41.4
R0N1 15.6 12.3 20.0 23.8 71.7
R1N0 23.1 33.8 23.1 46.9 126.9
R1N1 19.0 31.5 21.2 28.3 100.0
Totais 68.1 85.6 79.9 106.4 340
a) Dê o modelo estatístico para o ensaio.
b) Assumindo homogeneidade das variâncias, faça Análise das Variância e o teste F ao nível de
significância de 0.05.
c) Faça comparações apropriadas para os componentes significativos
d) Sumarize as suas conclusões sobre o ensaio.
5. Os delineamentos de blocos completos casualizados, são muito usados na investigação
agronómica. Porém, têm as suas vantagens e desvantagens e limitações.
a) Em que casos é aconselhável o seu uso?
b) Quais são as suas limitações e vantagens?

6. Foi realizado um ensaio para comparar 6 variedades de feijão vulgar ( A, B, C, D, E, F ). Para isso
foi usado o Delineamento de Blocos Completos Casualizados. Os dados do ensaio são apresentados
abaixo em termos de rendimento de grão em Kg/parcela.
A
60
E
65
C
66
F
59
D
59
B
56
Bloco I
F
45
A
55
C
59
E
58
D
50
B
57
Bloco II
B
55
C
51
E
43
D
54
A
45
F
50
Bloco III
a) Faça o teste apropriado ao nível de significância de 5%
b) Com base no teste DMS, faça a comparação das variedades A e B com a variedade D. Dê
conclusões.
c) Calcule a eficiência do uso de blocos em relação ao DCC. A que conclusões você chega?
7. Imagine agora que no mesmo ensaio acima, o rendimento do tratamento D no bloco II foi perdido
devido a inundações.
A
60
E
65
C
66
F
59
D
59
B
56
Bloco I
F
45
A
55
C
59
E
58
D
?
B
57
Bloco II
B
55
C
51
E
43
D
54
A
45
F
50
Bloco III
8. A tabela abaixo apresenta dados sobre a produção de milho da SEMOC em ton/ha, de quatro
variedades de milho em cinco tipos de solo.
Tipo de solo Variedade
A B C D Totais
Arenoso 4.00 4.00 5.52 3..76 17.28
Areno-limoso 4.48 4.72 4.72 4.00 17.92
franco 4.16 5.28 5.44 4.32 19.2
Areno-argiloso 4.40 4.72 5.76 4.96 19.84
Argiloso 5.76 5.28 5.76 4.96 21.76
Totais 22.8 24 27.2 22 96
a) Faça um teste apropriado ao nível de significância de 5% e tire as conclusões sobre a produção de
milho na SEMOC?

9. O Departamento de Florestas da Faculdade de Agronomia e Engenharia Florestal tem um estudo
sobre o crescimento de três variedades de Eucaliptus spp em diferente regiões. Para o estudo usou-se o
Delineamento de blocos completos Casualizados. A tabela mostra os resultados em metros/dia
Região variedade
A B C Totais
Maputo 50 57 60 167
Beira 54 60 62 176
Nampula 58 61 58 177
Quelimane 49 59 56 164
Totais 211 237 236 684
a) Faça Análise de Variância e o teste F ao nível de significância de 5%.
b) Faça o teste DMS para comparar as médias.
c) Tire algumas conclusões.
10. São dados os pesos de três ratos aos 30, 34, 38, 42, 46 dias de idade.
Considere que cada animal é um bloco e que as idades são tratamentos.
a) Faça Análise de Variância e interprete os resultados.
b) Critique a concepção deste ensaio, no que respeita aos tratamentos.
Idade
Rato 30 34 38 42 46
1 83 86 103 116 132
2 63 69 79 81 98
3 55 61 79 79 91
Resultados
1. Fcal = 13.17
3. Fcal = 3.74
9. a) Fcal = 8.68
9. b) A-B - significativo; A-C - significativo; A-D - não significativo

CAPITULO V: DELINEAMENTO DOS QUADRADOS LATINOS (DQL)
Quando usar o delineamento?
O delineamento de Quadrados Latinos (DQL) é usado nas situações em que existam duas fontes de
variação conhecidas dentro das unidades experimentais. As duas fontes de variação são assim usadas
como critério no processo de "BLOCKING". As duas direcções do "blocking" são comumente
referidas como o "blocking" das linhas e o "blocking" das colunas.
Neste delineamento cada tratamento ocorre somente uma vez em cada bloco da coluna e em cada
bloco da linha. Com este procedimento torna possível estimar a variação dentro dos blocos da linha,
assim como dos blocos das colunas, removendo-os do erro experimental.
Exemplo:
A B C D
B A D C
C D A B
D C B A
Nota-se acima, que cada tratamento aparece somente uma vez em cada coluna e linha, sendo o
número das replicações (repetições) igual ao número de tratamentos.
O uso do delineamento depende das seguintes condições:
i. O número de tratamentos deve ser igual ao número de replicações.
ii. Não pode haver uma interacção entre as duas fontes de variação e os tratamentos.
iii. A casualização dos tratamentos deve ser feita de tal modo que cada tratamento apareça apenas
uma vez em cada coluna e linha.
Exemplos onde DQL pode ser usado
(i) Campos de experimentação onde existam dois gradientes de fertilidade do solo orientados
perpendicularmente um do outro.
(ii) Experimento em que a direcção de sombreamento é perpendicular ao gradiente de fertilidade do
solo dominante no local do experimento.
(iii) Experimentos de processamento de alimentos em que há variação na qualidade do produto final
ao longo dos dias úteis da semana e em que há diferentes operadores de máquinas de
processamento, trabalhando em igual número de turnos.

Vantagens e Desvantagens do Delineamento
Vantagem
Permite-se o controlo de duas fontes de variação
Desvantagens
Os graus de liberdade para o erro são reduzidos
Ensaios envolvendo um largo número de tratamentos aparecem como impraticáveis por causa
do largo número de replicações requerido.
Na prática, o delineamento é usado quando o número de tratamentos estiver compreendido entre 4
e 8.
Aleatorização e Layout
(i) Faz-se um plano inicial ou selecciona-se um plano inicial dum livro de experimentação (ex.
Cochrane e Cox, Experimental Designs 1957) como se mostra abaixo para quadrado latino de 5x5
onde A,B,C,D,E são os tratamentos.
Plano 1
A B C D E
B A E C D
C D A E B
D E B A C
E C D B A
Note que cada letra (tratamento) aparece apenas uma vez na linha e na coluna.
(ii) Casualize a organização das linhas do plano inicial usando os números aleatórios. Neste caso,
faz-se a selecção de números aleatórios com dois dígitos, da tabela de número aleatórios como se
mostra abaixo.
────────────────────────────────────────
Nºs aleatórios Sequência Ordem
────────────────────────────────────────
92 1 5
16 2 1
72 3 4
49 4 2
70 5 3
────────────────────────────────────────
Onde: A sequência representa como os números foram ordenados na tabela.
Ordem= A magnitude relativa dos números.

Use a ordem para representar as linhas do plano inicial e a sequência para representar as linhas do
plano novo. Para o exemplo acima, linha 5 do plano inicial torna-se a linha 1 de plano novo, linha 1
torna-se a linha 2, etc como se mostra abaixo.
Plano 2
E C D B A
A B C D E
D E B A C
B A E C D
C D A E B
(iii) Casualize as colunas do 2º plano usando os mesmos passos acima descritos. Da tabela de
números aleatórios:
────────────────────────────────
Nº aleatório sequência Ordem
────────────────────────────────
02 1 1
41 2 3
16 3 2
65 4 5
49 5 4
────────────────────────────────
Da tabela acima, a coluna 1 do plano 2 torna-se coluna 1 do plano 3, coluna 3 torna-se coluna 2, etc
como o plano que se mostra abaixo:
Plano 3: Plano final
E D C A B
A C B E D
D B E C A
B E A D C
C A D B E

Modelo estatístico (modelo fixo)
Yij(k) = µ + ßi + τj + Γ(k) + εij;
Onde:
Yij(k) = é o valor observado da intersecção da iésima linha e jésima coluna e associado com o
késimo tratamento. (i = 1, 2 , ..., t; j = 1, 2 , ..., t; k = 1, 2, ..., t)
βi = efeito da linha i
τj = efeito da coluna j
Γ(k) = efeito do tratamento k
εij = erro.
Pressupostos do modelo
- Os componentes do modelo são aditivos
- εij ~ iidN (0,σ²)
- 0e0;0
1
)(
11
=Γ== ∑∑∑ ===
t
k
k
t
j
j
t
i
i τβ
Estimação e os Cálculos para o DQL
Apenas dois subscritos (ij) são necessários para identificar uma observação qualquer porque só um
tratamento aparece para uma dada linha e coluna. O terceiro subscrito (k) será necessário para
indicar qual é o tratamento que foi aleatoriamente colocado na célula (i,j). Os totais usados na
estimação de parâmetros e na Análise de Variância são:
i. O valor total para todas as observações
∑∑= =
=
t
i
t
j
ijkYY
1 1
...
ii. O valor total da linha i
∑=
=
t
j
ijki YY
1
..
iii. O valor total da coluna j
∑=
=
t
i
ijkj YY
1
..
iv. O total do tratamento k: é Y..k
v. Estimador de efeitos dos tratamentos:
.....
ˆ YY k −=Γ

a. O Factor de Correcção (FC)
2
2
1 1
t
Y
FC
t
i
t
j
ijk ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
∑∑= =
b. A Soma dos Quadrados Totais (SQT)
FCYSQT
t
i
t
j
ijk −= ∑∑= =1 1
2
c. A Soma dos Quadrados das Linhas (SQL)
FC
t
Y
SQL
t
i
i
−=
∑=1
2
..
d. A Soma dos Quadrados das Colunas (SQC)
FC
t
Y
SQC
t
j
j
−=
∑=1
2
..
e. A Soma dos Quadrados dos Tratamentos (SQTrat)
FC
t
Y
SQTrat
t
k
k
−=
∑=1
2
..
f. A Soma dos Quadrados do Erro (SQE)
SQE = SQT – SQL – SQC – SQTrat

───────────────────────────────────────────────────────────────
───Fonte de Variação G.L SQ QM Quadrados Médios Esperados
────────────────────────────────
Modelo Fixo Modelo Casual
───────────────────────────────────────────────────────────────
───Linhas t-1 SQL QML --- ---
Colunas t-1 SQC QMC --- ---
Tratamentos t-1 SQTrat QMT ∑=
Γ
−
+
t
k
i
t
t
1
22
1
1
εσ σ2
ε
22
Γ+ σσε t
Erro (t-1)(t-2) SQE QME 2
εσ 2
εσ
Total t2-1 SQT
──────────────────────
────────────────────────────────────────────
Exemplo
Foi conduzido um ensaio da variedade de milho , envolvendo três híbridos (A , B e D ) e uma
variedade de controlo C usando 4×4 DQL. O ensaio resultou em dados abaixo apresentados.
───────────────────────────────────────────────────────────────
───
Nº da Rendimento do grão
linha ───────────────────────────────────────────
Col.1 Col. 2 Col. 3 Col.4 Total
───────────────────────────────────────────────────────────────
───
1 1,640(B) 1,210(D) 1,425(C) 1,345(A) 5,620
2 1,475(C) 1,185(A) 1,400(D) 1,290(B) 5,350
3 1,670(A) 0,710(C) 1,665(B) 1,180(D) 5,225
4 1,565(D) 1,290(B) 1,655(A) 0,660(C) 5,170
───────────────────────────────────────────────────────────────
──
Total 6,350 4,395 6,145 4,475 21,365
───────────────────────────────────────────────────────────────
──
Da tabela acima, obtêm-se totais (y..k) e médias ( ў..k) de tratamentos, como se mostra a seguir:
Tratamento A
1..y = [1,670+1,185+1,655+1,345) = 5,855
464,1
4
855,5
4
1..
1.. ===
y
y
Tratamento B
2..y = 1,640+1,290+1,665+1,290 = 5,885
471,1
4
885,5
2
2..
2.. ===
y
y

Tratamento C
3..y =1,475+0,710+1,425+0,660 = 4,270
068,1
4
270,4
4
3..
3.. ===
y
y
Tratamento D
4..y = 1,565+1,210+1,400+1,180 = 5,355
339,1
4
355,5
4
4..
4.. ===
y
y
────────────────────────────────────────
Tratamento Total ( ) Média (ky.. ky.. )
────────────────────────────────────────
A 5,855 1,464
B 5,885 1,471
C 4,270 1,068
D 5,355 1,339
────────────────────────────────────────
(i) Factor de correcção (FC)
528952,28
16
365,21
4
2
2
2
4
1
4
1
==
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
∑∑= =i j
ijky
FC
(ii) Soma de Quadrados Totais (SQT)
( )
413923,1528952,289428746,29
528952,28660,0...210,1649,1 222
4
1
4
1
2
=−=
−+++=−= ∑∑= =
FCySQT
i j
ijk
(iii) Soma de Quadrados das Linhas (SQL)
030154,0
4
170,5225,5350,5620,5
4
2222
4
1
2
..
=−
+++
==
∑=
FC
y
SQL i
i
(iv) Soma de Quadrados das Colunas (SQC)

827342,0
4
475,4145,6395,4350,6
4
2222
4
1
2
..
=−
+++
=−=
∑=
FCFC
y
SQC
j
j
(v) Soma de Quadrados dos Tratamentos (SQTrat)
426842,0
4
355,5270,4885,5855,5
4
2222
4
1
2
..
=−
+++
=−=
∑=
FCFC
y
SQtrat k
k
(vi) Soma dos Quadrados do erro (SQE)
SQE = SQT – SQL – SQC – SQTrat
= 1,413923 - 0,030154 - 0,827342 - 0,426842
= 0,129585
───────────────────────────────────────────────────────────────
──
Fonte GL SQ QM F F6,3
α=0,05 α=0,01
───────────────────────────────────────────────────────────────
──
Linhas 3 0,0301554 0,010051 0,47 4,76 09,78
Colunas 3 0,827342 0,275781 12,77**
Tratamentos 3 0,426842 0,142281 6,59*
Erro 6 0,129585 0,021598
Total 15 1,413923
───────────────────────────────────────────────────────────────
──
%11100
335,1
021592,0
100
...
=== xx
y
QME
CV
O valor de CV calculado mostra que o nível de precisão está dentro dos limites aceitáveis e assim, as
inferências baseadas nestes dados serão provavelmente seguras.
Os resultados do teste de F mostram que existem efeitos significativos das variedades no rendimento
de milho (p<0,05). Notemos, no entanto, que este teste não nos diz que variedades são
significativamente diferentes.
Erro padrão duma média
0735,0
4
021598,0
..
===
t
QME
s ky
Erro padrão duma diferença entre duas médias

1039,0
4
021598,0*22
....
===−
t
QME
s sk yy
Quadro de Diferenças entre as Médias
Variedades
sk yy .... − sk yys .... −
A e B -0,007 0,1039
A e C 0,396 0,1039
A e D 0,125 0,1039
B e C 0,403 0,1039
B e D 0,132 0,1039
C e D -0,271 0,1039
Eficiência do Delineamento
As linhas e as colunas servem unicamente para explicar a variação que de outro modo iria
contaminar o Erro Experimental, enfraquecendo os testes. Assim, à semelhança do que afirmámos
em relação aos blocos, os testes associados às linhas e às colunas não são relevantes e nem obedecem
a um rigor estatístico. Assim que se tiver usado o DQL pode-se calcular a eficiência relativa ao DCC
e DBCC.
Eficiência Relativa(ER) do DQL
-Relativa ao DCC:
QMEt
QMEtQMCQML
DCCER
)1(
)1(
)(
−
−++
=
Onde
QML = Quadrado Médio da linha.
QMC = Quadrado Médio da coluna
QME = Quadrado Médio do erro
t = Número de tratamentos.
0,010051+0,275781+(4-1)(0,021598)
( ) 3.2
(4-1)(0,021598)
ER DCC = = 5
Os resultados mostram que usando o delineamento de quadrados latinos em vez do delineamento
completamente casualizado, a eficiência foi aumentada em 325%.

-Relativa ao DBCC
QMEt
QMEtQML
linhaDBCCER
*
)1(
),(
−+
=
QMEt
QMEtQMC
colunaDBCCER
*
)1(
),(
−+
=
Quando os graus de liberdade para o erro no DQL forem menores que 20, o valor da ER será
ajustada pelo seguinte factor.
( )( )[ ]( )[ ]
( )( )[ ]( )[ ]11321
31121
2
2
+−+−−
+−+−−
=
ttt
ttt
k
Do exemplo:
ER (DBCC,linha) = 87,0
021598,0*4
021598,0*)14(010051,0
=
−+
ER (DBCC,Coluna) = 94,3
021598,0*4
021598,0*)14(275781,0
=
−+
Porque os graus de liberdade do erro são apenas seis, os dois valores acima necessitam de ser
ajustados:
( )( )[ ]( )[ ]
( )( )[ ]( )[ ] 93,0
11432414
31412414
2
2
=
+−+−−
+−+−−
=k
ER (DBCC, linha) ajustada = 0,87x0,93 = 0,81
ER (DBCC, coluna) ajustada = 3,94x0,93 = 3,66
Os resultados mostram que "blocking" por linhas não aumentou a precisão comparado com o
DBCC enquanto blocking por colunas aumentou a eficiência em 366%. A implicação global é de que
o DBCC com colunas como blocos será tão eficiente como o delineamento dos quadrados latinos.
O Teste de DMS
Comparação entre as variedades híbridas com a variedade de controlo.
396,0068,1464,1 =−=− CA yy
403,0068,1471,1 =−=− CB yy
271,0068,1339,1 =−=− CD yy
DMS α=0,05 = 1,943*0,1039=0,2019
Então

CA yy − >DMS0,05 = significativa
CB yy − >DMS0,05 = significativa
CD yy − >DMS0,05 = significativa.
Os híbridos A e B são significativamente superiores à variedade de controlo em termos de
rendimento médio, enquanto que o híbrido D é significativamente inferior à variedade de controlo
em termos de rendimento médio.
Análise de Variância com Talhão Perdido
Suponhamos que no experimento com milho foi perdido o talhão da 4ª linha e 3ª coluna (1,655 é
perdido).
Passo 1 Usa-se a fórmula seguinte para estimar o valor perdido
( )
( )( )
2
1 2
t Lo Co To Go
y
t t
+ + −
=
− −
Onde t = número de tratamentos
Lo = é o total de valores na linha com o valor perdido
Co = é o total de valores na coluna com o valor perdido
To = é o total do tratamento do valor perdido (soma do tratamento cujo valor foi perdido).
Go = é total dos talhões disponíveis (grande total sem o valor do talhão perdido).
Do Exemplo:
[ ] t/ha567,1
2*3
)710,19(2)200,4490,4515,3(4
=
−++
=y
Passo 2 : Substitua o valor y no lugar do dado perdido e faça Análise de Variância. Do exemplo,
obtemos os resultados seguintes:
Quadro de Análise de Variância
───────────────────────────────────────
Fonte G.L SQ QM
───────────────────────────────────────
Linha 3 0,039142 0,013047
Coluna 3 0,793429 0,264476
Tratamentos 3 0,405689 0,1352297
Erro 6 0,126658 0,0211097
Total 15 1,364918 ─
───────────────────────────────────────
Passo 3 Faça as seguintes modificações para os resultados da análise de variância em passo 2
-Subtraia 1 grau de liberdade tanto para o total como para o erro.
-Calcule o factor de correcção como:

[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
022251,0
)24)(14(
200,1044(490,4515,3710,19
)2)(1(
)1(
2
2
2
2
0000
=
−−
−−−−
=
−−
−−−−
=
tt
TtCLG
B
Subtraia o factor B da soma dos quadrados totais e da soma dos quadrados dos tratamentos
Portanto:
SQ T(ajustada) = SQT–B
= 1,364918-0,022251
= 1,342667
SQTrat(ajustada) = SQTrat – B
= 0,405689-0,022251
= 0,383438
Então o quadro da Análise de Variância final será:
───────────────────────────────────────────────────────────────
───
Fonte de variação G.L SQ QM F F5,3
α =0,05 α=0,01
───────────────────────────────────────────────────────────────
───
Linha 3 0,039142 0,013047 <1 - -
Coluna 3 0,793429 0,264476 10,44* 5,41 12,06
Tratamentos 3 0,383438 0,127813 5,05 5,41 12,06
Erro 5 0,126658 0,025332
Total 14 1,342667
───────────────────────────────────────────────────────────────
───
Para fazer comparação entre médias onde um tratamento tem valor perdido, use a fórmula seguinte
para calcular o erro padrão duma diferença entre duas médias:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
+=−
)2)(1(
122
....
ttt
ss sk yy
Do Exemplo
12995,012995,0
)24)(14(
1
4
2
025332,0....
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
−−
+=− sk yys
Exemplo prático
Pretende-se estudar o rendimento na produção das sementes da árvore de Leucaena com duas
fontes de variação: tipo de solo e período de sementeira. Os dados são apresentados na tabela
seguinte (nº de sementes/árvore).

Período de sementeiraTipo de
solo 1 2 3 4 5 totais
1 A58 D80 B78 E74 C66 356
2 C60 A62 D81 B81 E70 354
3 E64 C65 A67 D89 B74 359
4 B68 E69 C68 A70 D80 355
5 D68 B70 E70 C70 A65 343
totais 318 346 364 384 355 1767
Faça Análise de Variância e o teste F ao nível de significância de 5%.
Resolução
2
1767
124891.56
25
FC = =
Soma de quadrados totais (SQT):
2 2 2 2
58 60 80 65
1319.44
SQT FC
SQT
= + + + + −
=
K
Soma de quadrados dos tratamentos (SQTrat):
22 2 2 2
322 371 329 398 347
5
784.24
SQTrat FC
SQTrat
+ + + +
= −
=
Soma de quadrados das linhas (SQL)
22 2 2 2
356 354 559 355 343
5
29.84
SQL FC
SQL
+ + + +
= −
=

Soma de quadrados das coluna (SQC)
oma de quadrados do erro (SQE)
uadrado médio do tratamento (QMTrat):
(QMC)
(QME):
tratamentos:
1319.44 29.84 471.84 784.24
33.52
SQE
SQE
= − − −
=
2 2 2 2 2
318 346 364 384 355
5
471.84
SQC FC
SQC
+ + + +
= −
=
S
Q
784.24
4
196.06
QMTrat
QMTrat
=
=
29.84
4
QML =
Quadrado médio da linha (QML)
7.46L =QM
Quadrado médio da coluna
Quadrado médio do erro
Cálculo de F para
33.52
12
QME =
471.84
4
QMC =
117.96QMC =
2.793QME =
196.06
2.793
70.19calF =
calF =

Linhas 4 29.84 7.46 2.67 3.26
Coluna 4 471.84 117.96 42.23* 3.26
Tratamento 4 784.24 196.06 70.19* 3.26
Erro 12 33.52 2.793
Total 24 1319.44
Com base no teste F e ao nível de significância de 5%, pode-se concluir que as variedades não
têm a mesma produção de sementes por árvore.
Exercício
1. Um investigador pretende avaliar o diâmetro do caule (em cm) da Zea mays em diferentes
pontos da zona norte do País. Segundo o investigador, as zonas seriam definidas em função da
altitude: 10m, 80m, 240m. O investigador acha que o período de cultivo seria importante para o
seu estudo.
a) Faça a casualização e apresente o Layout.
b) Faça o esqueleto da ANOVA e diga qual seria o problema do Delineamento
escolhido?
c) Dê o modelo estatístico e os seus pressupostos.
2. Muitas vezes os investigadores usam Delineamento de Quadrados Latinos para verificar se
existem diferenças significativas entre tratamentos.
a) Quando recomendaria o seu uso?
b) Qual é a diferença entre o DQL e DBCC?
c) Quais são os indicadores que mostram que no próximo Experimento seria
aconselhável ou não o uso do DQL? Justifique como?
3. O INIA (Instituto Nacional de Investigação Agronómica) realizou um experimento usando o
Delineamento de Quadrados Latinos. O ensaio consistia em avaliar o efeito de 5 tipos de
tratamento e num determinado período. Os resultados estão apresentados na tabela seguinte:
VARIEDADE
PERÍODO 1 2 3 4 5
1 A10 B14 C16 D19 E21
2 B12 C18 D13 E23 A19
3 C14 D23 E11 A22 B15
4 D13 E20 A15 B13 C11
5 E12 A17 B8.0 C18 D9.0
a) Faça Análise de Variância e o teste F ao nível de significância de 5%.
b)Tire conclusões.
4. Um estudante do 5º ano da Faculdade de Agronomia e Engº Florestal pretende verificar se
existem diferenças significativas entre as variedades de tomate se aplicados adubos em diferentes
condições de solo.
Condições Adubo

do solo N P K Orgânico Totais
1 D20 A28 B27 C30 105
2 A27 B30 C34 D14 105
3 B31 C38 D20 A23 112
4 C35 D18 A30 B20 103
Totais 113 114 111 87 425
a) Dê o modelo estatístico para o ensaio?
b) Assumindo que as variâncias são homogéneas, faça Análise de Variância e o teste F ao nível de
significância de 5% e 1%.
c) Com base no teste DMS, faça comparações entre os tratamentos
d) Aconselharia no próximo ensaio o uso de DBCC? Porquê?
e) Calcule o CV e elabore as conclusões.
5. Foi realizado um ensaio para avaliar o efeito de quatro tipos de ração (A, B, C e D), sobre a
produção de leite de vaca. Para tal foi usado o Delineamento de Quadrados Latinos e, cada
animal foi submetido a cada um dos quatro tipos de ração num período de três semanas e o leite
total no fim das três semanas foi registado (em decilitros). Os resultados estão apresentados na
tabela abaixo.
VACA
período 1 2 3 4 totais
1 A191 B195 C292 D249 928
2 B190 D203 A218 C210 821
3 C214 A139 D245 B163 761
4 D221 C152 B204 A134 711
Totais 817 689 959 756 3221
a) Faça a Análise de Variância e o teste F ao nível de significância de 5%. Comente os seus
resultados.
b) Calcule o erro padrão da diferença entre duas médias dos tratamentos
c) Calcule o erro padrão duma média dum tratamento.

6. Suponha agora que no ensaio da pergunta nº 5, o leite colhido na 2ª vaca do período 3
derramou no chão e o resultado ficou perdido.
VACA
Período 1 2 3 4 Totais
1 A191 B195 C292 D249 928
2 B190 D?? A218 C210 618
3 C214 A139 D245 B163 761
4 D221 C152 B204 A134 711
Totais 817 486 959 756 3018
a) Faça a Análise de Variância e o teste F ao nível de significância de 5%.
b) Calcule o CV e comente os seus resultados.

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