O documento discute a Teoria dos Grafos, incluindo: (1) O problema das sete pontes de Königsberg que inspirou Euler a desenvolver a teoria; (2) A definição formal de grafo e elementos básicos como vértices, arestas e graus; (3) O teorema de Euler sobre a existência de caminhos eulerianos.
O documento introduz os conceitos básicos de teoria dos grafos, incluindo definições formais e informais de grafos, exemplos de grafos, terminologia comum e aplicações. Além disso, aborda conceitos específicos como grafos isomorfos, grafos planares, árvores e percursos em árvores.
O documento discute grafos e suas propriedades. Em três frases:
Discutiu os conceitos básicos de grafos incluindo vértices, arestas e graus. Apresentou exemplos de grafos simples e direcionados e discutiu representações computacionais como matriz de adjacências e lista de adjacências. Também abordou problemas clássicos em grafos como busca em largura, busca em profundidade e conectividade.
O documento apresenta os principais conceitos da Teoria dos Grafos, incluindo definições de vértices, arestas, caminhos, ciclos, graus, matrizes de adjacência e diversos tipos de grafos como completos, bipartidos e árvores.
1) A teoria dos grafos surgiu a partir do problema das sete pontes de Königsberg na Alemanha no século 18.
2) Euler resolveu o problema ao modelá-lo matematicamente usando vértices e arestas, fundando assim a teoria dos grafos.
3) Grafos podem ser usados para modelar diversos sistemas reais como redes de transporte, relações sociais em redes sociais.
Grafos e árvores são estruturas matemáticas que representam relações. Grafos consistem em vértices e arestas, e podem ser direcionados ou não. Árvores são grafos acíclicos e conexos. Árvores binárias dividem cada nó em no máximo duas subárvores esquerda e direita.
O documento discute grafos e sua representação matemática. Grafos são usados para modelar diversos sistemas como redes de comunicação, estruturas moleculares e mapas da internet. Um grafo consiste de vértices e arestas. Grafos podem ser direcionados ou não direcionados e são usados para resolver problemas como o problema dos vegetarianos e canibais.
O documento descreve funções de primeiro grau, incluindo sua forma geral como y = ax + b, onde a é a taxa de variação e b é o termo independente. Ele explica como calcular a raiz ou zero de uma função, que é o valor de x que torna y igual a zero. Também discute como determinar se uma função é crescente ou decrescente com base no sinal de a, e como identificar uma função de primeiro grau a partir de seu gráfico.
O documento discute a Teoria dos Grafos, incluindo: (1) O problema das sete pontes de Königsberg que inspirou Euler a desenvolver a teoria; (2) A definição formal de grafo e elementos básicos como vértices, arestas e graus; (3) O teorema de Euler sobre a existência de caminhos eulerianos.
O documento introduz os conceitos básicos de teoria dos grafos, incluindo definições formais e informais de grafos, exemplos de grafos, terminologia comum e aplicações. Além disso, aborda conceitos específicos como grafos isomorfos, grafos planares, árvores e percursos em árvores.
O documento discute grafos e suas propriedades. Em três frases:
Discutiu os conceitos básicos de grafos incluindo vértices, arestas e graus. Apresentou exemplos de grafos simples e direcionados e discutiu representações computacionais como matriz de adjacências e lista de adjacências. Também abordou problemas clássicos em grafos como busca em largura, busca em profundidade e conectividade.
O documento apresenta os principais conceitos da Teoria dos Grafos, incluindo definições de vértices, arestas, caminhos, ciclos, graus, matrizes de adjacência e diversos tipos de grafos como completos, bipartidos e árvores.
1) A teoria dos grafos surgiu a partir do problema das sete pontes de Königsberg na Alemanha no século 18.
2) Euler resolveu o problema ao modelá-lo matematicamente usando vértices e arestas, fundando assim a teoria dos grafos.
3) Grafos podem ser usados para modelar diversos sistemas reais como redes de transporte, relações sociais em redes sociais.
Grafos e árvores são estruturas matemáticas que representam relações. Grafos consistem em vértices e arestas, e podem ser direcionados ou não. Árvores são grafos acíclicos e conexos. Árvores binárias dividem cada nó em no máximo duas subárvores esquerda e direita.
O documento discute grafos e sua representação matemática. Grafos são usados para modelar diversos sistemas como redes de comunicação, estruturas moleculares e mapas da internet. Um grafo consiste de vértices e arestas. Grafos podem ser direcionados ou não direcionados e são usados para resolver problemas como o problema dos vegetarianos e canibais.
O documento descreve funções de primeiro grau, incluindo sua forma geral como y = ax + b, onde a é a taxa de variação e b é o termo independente. Ele explica como calcular a raiz ou zero de uma função, que é o valor de x que torna y igual a zero. Também discute como determinar se uma função é crescente ou decrescente com base no sinal de a, e como identificar uma função de primeiro grau a partir de seu gráfico.
Rosáceas possuem um número finito de simetrias centradas em um ponto, frisos possuem uma infinidade de simetrias de translação em uma direção, e padrões possuem uma infinidade de simetrias de translação em mais de uma direção.
Os três principais problemas clássicos da geometria são: a duplicação do cubo, a trissecção do ângulo e a quadratura do círculo. Estes problemas estimularam o pensamento matemático por mais de 2000 anos, até ser demonstrado no século XIX que não podiam ser resolvidos usando apenas régua e compasso, como originalmente proposto.
Este documento discute relações matemáticas. Apresenta três categorias de modelos matemáticos usados para representar fenômenos da natureza: estruturas de ordem, estruturas algébricas e estruturas topológicas. Também define relações binárias e n-árias, e discute propriedades como reflexividade, simetria e transitividade.
Este documento apresenta conceitos de vetores em geometria analítica e álgebra linear. Discute definições de vetores, representações gráficas e simbólicas, operações como soma, diferença, produto escalar e vetorial. Explica norma, ângulo entre vetores, vetores unitários e aplicações em R2 e R3.
O documento apresenta os seguintes conceitos fundamentais da Teoria dos Conjuntos:
1) Define o que é um conjunto e apresenta exemplos de representação de conjuntos utilizando chaves;
2) Apresenta os conceitos primitivos da teoria dos conjuntos como elemento, pertinência, inclusão e cardinalidade;
3) Discorre sobre tipos de conjuntos como finitos, infinitos, unitários e vazios.
O documento descreve a axiomatização da geometria por Euclides, que estabeleceu cinco axiomas e cinco postulados como as bases da geometria euclidiana. O quinto postulado de Euclides sobre paralelas era mais complexo que os demais e levantou questões ao longo dos séculos. Geometrias não euclidianas substituíram esse postulado.
Critérios de paralelismo e perpendicularidadeJoana Ferreira
Este documento discute critérios de paralelismo e perpendicularidade entre retas e planos. Primeiro define retas e planos, e explica o que significa paralelismo e perpendicularidade. Em seguida, fornece critérios para determinar se retas e planos são paralelos ou perpendiculares, incluindo se duas retas em um plano são paralelas a outro plano, ou se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes em um plano. Exemplos ilustram como aplicar esses critérios na prática.
O documento apresenta conceitos sobre cálculo de limites de funções, incluindo regras adicionais para funções racionais e casos de indeterminação. São explicadas propriedades de limites como soma, diferença, produto e quociente. Um exemplo numérico é resolvido usando fatoração para eliminar uma indeterminação.
A matemática do Egito e Mesopotâmia .Artigo baseados em pesquisas bibliográfi...Zaqueu Oliveira
O documento apresenta um resumo sobre:
1) A matemática desenvolvida pelos egípcios e mesopotâmios, que resolviam problemas do dia a dia relacionados à agricultura e comércio.
2) Os egípcios utilizavam a escrita hieroglífica e registraram conhecimentos em papiros como os de Ahmes, Rhind e Moscow.
3) Os mesopotâmios utilizaram a escrita cuneiforme e tábuas como a de Plimpton 322 continham informações matemáticas.
Este documento apresenta os conteúdos, conceitos, procedimentos e atitudes a serem desenvolvidos nos 6°, 7° e 8° anos do ensino fundamental nos temas de Números, Grandezas, Geometria, Álgebra e Tratamento da Informação. Para cada ano são listados os principais tópicos a serem abordados em cada tema, assim como as habilidades correspondentes.
Gráficos de funções afim - Matemática 8º ano - Resumo da matériaO Bichinho do Saber
Resumo de matemática | 8º ANO | FUNÇÕES, SEQUÊNCIAS E SUCESSÕES - Gráficos de funções afim
- Função afim
- Equação de uma reta não vertical
- Equação de uma reta vertical
A matemática tem suas origens há milhares de anos, quando os egípcios e gregos antigos desenvolveram conceitos e sistemas de numeração. Ao longo do tempo, diferentes culturas criaram símbolos para representar números, culminando no sistema indo-arábico decimal utilizado atualmente. A matemática é essencial para a sociedade moderna e está presente em todos os aspectos da vida diária.
Inteligência Artificial - Aula2 - Busca em GrafosRafael Pinto
O documento discute problemas e algoritmos de busca em inteligência artificial. Aborda o que são problemas e algoritmos de busca, definindo características de um problema de busca e tipos de algoritmos como busca em profundidade, largura e informada. Explica conceitos como estado inicial, ações possíveis, modelo de transição e objetivo para definir formalmente um problema de busca.
O documento apresenta os conceitos fundamentais sobre funções quadráticas, incluindo: (1) como identificar os coeficientes a, b e c; (2) como determinar os zeros ou raízes; (3) como determinar o vértice. Exemplos são fornecidos para ilustrar cada conceito.
Este documento fornece informações sobre monômios e polinômios. Resume:
1. Apresenta exemplos de monômios e explica que um monômio é uma expressão algébrica constituída por um número ou produto de números e letras, podendo ter expoentes.
2. Explica que um polinômio é uma soma algébrica de dois ou mais monômios.
3. Demonstra como determinar o grau de um monômio e de um polinômio, que é igual à soma dos expoentes das letras nos
O documento define circunferência como um conjunto de pontos equidistantes de um centro, com cordas e raios como elementos. Um círculo é a área plana limitada por uma circunferência. Uma esfera é um sólido limitado por uma superfície curva de revolução com todos os pontos igualmente distantes de um centro interior, com suas seções formando círculos.
Este documento descreve um projeto de pesquisa e aprendizagem sobre matemática e raciocínio lógico para séries iniciais do ensino fundamental. Seu objetivo é desenvolver a habilidade do raciocínio lógico por meio de cálculos e atividades criativas utilizando cálculo mental, material concreto e tecnologia.
O documento fornece um resumo da história da matemática ao longo dos tempos, desde a antiguidade no Egito e Babilônia, passando pela Grécia e China antigas, até os desenvolvimentos modernos. Aborda conceitos importantes como sistemas numéricos, geometria, álgebra, cálculo e teoria dos conjuntos.
Domínio, contradomínio e imagem de uma funçãoDosvaldo Alves
Uma função é uma expressão matemática que relaciona valores de conjuntos diferentes, tendo domínio, contradomínio e imagem. Estas características podem ser representadas por um diagrama de flechas. Um exemplo é dado para a função f(x)=x+1, mostrando o domínio A=(1,2,3,4,5), o contradomínio B=(1,2,3,4,5,6,7) e a imagem (2,3,4,5,6).
O documento discute conceitos lógicos como tautologias, contradições, contingências e equivalências. Uma tautologia é sempre verdadeira independente da atribuição de valores lógicos, enquanto uma contradição é sempre falsa. Uma contingência não é nem tautologia nem contradição. Duas proposições são logicamente equivalentes se tiverem tabelas-verdade idênticas.
O algoritmo de Kruskal constrói a árvore geradora mínima ordenando as arestas por peso crescente e adicionando-as à árvore se não causarem ciclos, ignorando arestas que criem ciclos. Ele começa com vértices isolados e vai juntando os de menor custo até cobrir todos os vértices.
O documento apresenta uma introdução sobre análise de redes sociais, discutindo o que se quer quando se estuda redes sociais e fornecendo exemplos de redes políticas e financeiras. Também discute a visualização de redes para entender conexões através de mapeamentos e apresenta conceitos-chave como nós, arestas, atributos de arestas, representações de dados como matrizes de adjacência e listas, e métricas como grau, distribuição de grau e componentes conectados.
Rosáceas possuem um número finito de simetrias centradas em um ponto, frisos possuem uma infinidade de simetrias de translação em uma direção, e padrões possuem uma infinidade de simetrias de translação em mais de uma direção.
Os três principais problemas clássicos da geometria são: a duplicação do cubo, a trissecção do ângulo e a quadratura do círculo. Estes problemas estimularam o pensamento matemático por mais de 2000 anos, até ser demonstrado no século XIX que não podiam ser resolvidos usando apenas régua e compasso, como originalmente proposto.
Este documento discute relações matemáticas. Apresenta três categorias de modelos matemáticos usados para representar fenômenos da natureza: estruturas de ordem, estruturas algébricas e estruturas topológicas. Também define relações binárias e n-árias, e discute propriedades como reflexividade, simetria e transitividade.
Este documento apresenta conceitos de vetores em geometria analítica e álgebra linear. Discute definições de vetores, representações gráficas e simbólicas, operações como soma, diferença, produto escalar e vetorial. Explica norma, ângulo entre vetores, vetores unitários e aplicações em R2 e R3.
O documento apresenta os seguintes conceitos fundamentais da Teoria dos Conjuntos:
1) Define o que é um conjunto e apresenta exemplos de representação de conjuntos utilizando chaves;
2) Apresenta os conceitos primitivos da teoria dos conjuntos como elemento, pertinência, inclusão e cardinalidade;
3) Discorre sobre tipos de conjuntos como finitos, infinitos, unitários e vazios.
O documento descreve a axiomatização da geometria por Euclides, que estabeleceu cinco axiomas e cinco postulados como as bases da geometria euclidiana. O quinto postulado de Euclides sobre paralelas era mais complexo que os demais e levantou questões ao longo dos séculos. Geometrias não euclidianas substituíram esse postulado.
Critérios de paralelismo e perpendicularidadeJoana Ferreira
Este documento discute critérios de paralelismo e perpendicularidade entre retas e planos. Primeiro define retas e planos, e explica o que significa paralelismo e perpendicularidade. Em seguida, fornece critérios para determinar se retas e planos são paralelos ou perpendiculares, incluindo se duas retas em um plano são paralelas a outro plano, ou se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes em um plano. Exemplos ilustram como aplicar esses critérios na prática.
O documento apresenta conceitos sobre cálculo de limites de funções, incluindo regras adicionais para funções racionais e casos de indeterminação. São explicadas propriedades de limites como soma, diferença, produto e quociente. Um exemplo numérico é resolvido usando fatoração para eliminar uma indeterminação.
A matemática do Egito e Mesopotâmia .Artigo baseados em pesquisas bibliográfi...Zaqueu Oliveira
O documento apresenta um resumo sobre:
1) A matemática desenvolvida pelos egípcios e mesopotâmios, que resolviam problemas do dia a dia relacionados à agricultura e comércio.
2) Os egípcios utilizavam a escrita hieroglífica e registraram conhecimentos em papiros como os de Ahmes, Rhind e Moscow.
3) Os mesopotâmios utilizaram a escrita cuneiforme e tábuas como a de Plimpton 322 continham informações matemáticas.
Este documento apresenta os conteúdos, conceitos, procedimentos e atitudes a serem desenvolvidos nos 6°, 7° e 8° anos do ensino fundamental nos temas de Números, Grandezas, Geometria, Álgebra e Tratamento da Informação. Para cada ano são listados os principais tópicos a serem abordados em cada tema, assim como as habilidades correspondentes.
Gráficos de funções afim - Matemática 8º ano - Resumo da matériaO Bichinho do Saber
Resumo de matemática | 8º ANO | FUNÇÕES, SEQUÊNCIAS E SUCESSÕES - Gráficos de funções afim
- Função afim
- Equação de uma reta não vertical
- Equação de uma reta vertical
A matemática tem suas origens há milhares de anos, quando os egípcios e gregos antigos desenvolveram conceitos e sistemas de numeração. Ao longo do tempo, diferentes culturas criaram símbolos para representar números, culminando no sistema indo-arábico decimal utilizado atualmente. A matemática é essencial para a sociedade moderna e está presente em todos os aspectos da vida diária.
Inteligência Artificial - Aula2 - Busca em GrafosRafael Pinto
O documento discute problemas e algoritmos de busca em inteligência artificial. Aborda o que são problemas e algoritmos de busca, definindo características de um problema de busca e tipos de algoritmos como busca em profundidade, largura e informada. Explica conceitos como estado inicial, ações possíveis, modelo de transição e objetivo para definir formalmente um problema de busca.
O documento apresenta os conceitos fundamentais sobre funções quadráticas, incluindo: (1) como identificar os coeficientes a, b e c; (2) como determinar os zeros ou raízes; (3) como determinar o vértice. Exemplos são fornecidos para ilustrar cada conceito.
Este documento fornece informações sobre monômios e polinômios. Resume:
1. Apresenta exemplos de monômios e explica que um monômio é uma expressão algébrica constituída por um número ou produto de números e letras, podendo ter expoentes.
2. Explica que um polinômio é uma soma algébrica de dois ou mais monômios.
3. Demonstra como determinar o grau de um monômio e de um polinômio, que é igual à soma dos expoentes das letras nos
O documento define circunferência como um conjunto de pontos equidistantes de um centro, com cordas e raios como elementos. Um círculo é a área plana limitada por uma circunferência. Uma esfera é um sólido limitado por uma superfície curva de revolução com todos os pontos igualmente distantes de um centro interior, com suas seções formando círculos.
Este documento descreve um projeto de pesquisa e aprendizagem sobre matemática e raciocínio lógico para séries iniciais do ensino fundamental. Seu objetivo é desenvolver a habilidade do raciocínio lógico por meio de cálculos e atividades criativas utilizando cálculo mental, material concreto e tecnologia.
O documento fornece um resumo da história da matemática ao longo dos tempos, desde a antiguidade no Egito e Babilônia, passando pela Grécia e China antigas, até os desenvolvimentos modernos. Aborda conceitos importantes como sistemas numéricos, geometria, álgebra, cálculo e teoria dos conjuntos.
Domínio, contradomínio e imagem de uma funçãoDosvaldo Alves
Uma função é uma expressão matemática que relaciona valores de conjuntos diferentes, tendo domínio, contradomínio e imagem. Estas características podem ser representadas por um diagrama de flechas. Um exemplo é dado para a função f(x)=x+1, mostrando o domínio A=(1,2,3,4,5), o contradomínio B=(1,2,3,4,5,6,7) e a imagem (2,3,4,5,6).
O documento discute conceitos lógicos como tautologias, contradições, contingências e equivalências. Uma tautologia é sempre verdadeira independente da atribuição de valores lógicos, enquanto uma contradição é sempre falsa. Uma contingência não é nem tautologia nem contradição. Duas proposições são logicamente equivalentes se tiverem tabelas-verdade idênticas.
O algoritmo de Kruskal constrói a árvore geradora mínima ordenando as arestas por peso crescente e adicionando-as à árvore se não causarem ciclos, ignorando arestas que criem ciclos. Ele começa com vértices isolados e vai juntando os de menor custo até cobrir todos os vértices.
O documento apresenta uma introdução sobre análise de redes sociais, discutindo o que se quer quando se estuda redes sociais e fornecendo exemplos de redes políticas e financeiras. Também discute a visualização de redes para entender conexões através de mapeamentos e apresenta conceitos-chave como nós, arestas, atributos de arestas, representações de dados como matrizes de adjacência e listas, e métricas como grau, distribuição de grau e componentes conectados.
Aplicação da Teoria dos Grafos e Algoritmos na Engenharia de Software: Hyperl...Thiago Colares
O documento discute a aplicação da teoria dos grafos e algoritmos HITS para identificar God Classes em sistemas de software. Especificamente, o HITS é usado para ranquear classes de acordo com seu peso como autoridade ou hub, onde classes com alto peso em ambos podem indicar God Classes. Futuros trabalhos incluem benchmarking com outras técnicas e aplicação do PageRank.
O documento descreve o que são grafos, fornecendo exemplos de como grafos podem modelar relações entre estados brasileiros e redes de computadores. Grafos consistem em vértices e arestas que conectam vértices, e podem ser usados para modelar diversas situações reais como transporte, comunicação e genealogia.
Este documento apresenta os principais conceitos da Teoria dos Grafos em 3 frases:
1) Introduz os conceitos básicos de grafos como vértices, arestas, caminhos, circuitos e ciclos, além de definir graus de vértices, grafos completos e bipartidos.
2) Discute aplicações da Teoria dos Grafos como problemas de roteamento, menor distância entre vértices e coloração de mapas, e apresenta algoritmos de busca em profundidade e largura.
3) Cobre diversos tópicos avanç
Este documento descreve as tabelas hash, incluindo:
1) Uma tabela hash mapeia chaves para valores usando uma função hash;
2) Funções hash mapeiam chaves para índices de uma tabela para permitir buscas rápidas;
3) Colisões ocorrem quando chaves diferentes mapeiam para o mesmo índice e devem ser tratadas.
O documento descreve o algoritmo de Bellman-Ford para encontrar o caminho mínimo em grafos. O algoritmo funciona em três etapas: inicialização, relaxamento e verificação de ciclos negativos. Ele pode lidar com grafos cujas arestas possuem pesos negativos, ao contrário do algoritmo de Dijkstra. A complexidade do algoritmo é O(AV) onde A é o número de arestas e V o número de vértices.
MACS - grafos, trajetos e circuitos eulerianos; circuitos eulerianos...Joana Pinto
O documento define e explica conceitos básicos sobre grafos, incluindo suas partes constituintes (vértices e arestas), tipos de grafos (conexo, digrafo, completo), características dos vértices (grau, par ou ímpar) e problemas relacionados a grafos (euleriano, hamiltoniano). Também apresenta métodos para resolver esses problemas, como algoritmos para encontrar caminhos mínimos ou árvores geradoras.
O documento discute grafos e sua representação em computação. Ele define grafos, apresenta conceitos básicos como vértices, arestas e grau. Também descreve tipos de grafos como completos, regulares e ponderados. Por fim, aborda formas de representar grafos no computador como matriz e lista de adjacência.
O documento discute conceitos de projeto de experimentos científicos, definindo termos como variável resposta, fatores, níveis, replicação e interação. Explica sobre objetivos de projeto experimental como obter maior informação com menor esforço e sobre erros comuns. Apresenta tipos de projetos como simples, fatorial completo e fracionado.
O documento apresenta um problema sobre a área total alugada por Fernanda para montar uma loja, sendo que o depósito é um quadrado de 9 m2. As alternativas são: 42, 51, 54 e 58 m2.
Introdução à Teoria dos Grafos e Análise de Redes Sociaisfabiomalini
O documento apresenta um curso sobre extração, mineração e visualização de controvérsias em redes sociais. O curso objetiva capacitar os participantes no uso de ferramentas para análise de redes sociais, compreender termos e métricas básicas e realizar atividade prática analisando um caso sobre o Marco Civil da Internet no Twitter.
Este documento apresenta uma introdução sobre grafos. Ele discute conceitos básicos como vértices, arestas e grau de vértices usando exemplos de um torneio de vôlei entre turmas de escola. Também introduz formas de representar grafos através de listas e desenhos.
O documento explica três formas principais de representar grafos em estruturas de dados: matriz de adjacência, lista de adjacência e matriz de incidência. Apresenta exemplos de cada uma e discute quando cada uma é mais apropriada dependendo do tipo e tamanho do grafo. Também introduz alguns algoritmos básicos para grafos como busca em profundidade.
O documento discute ordenação topológica em grafos dirigidos acíclicos (DAGs). Explica conceitos como grafos dirigidos e DAGs, define ordenação topológica como uma sequência de vértices onde cada vértice vem antes dos vértices que dependem dele, e descreve um algoritmo de ordenação topológica baseado em busca em profundidade que imprime os vértices em ordem inversa.
Treinamento Para competições de Programação do INF-UFG - Grafos Parte 1 - Tur...Murilo Adriano Vasconcelos
O documento fornece uma introdução sobre grafos, definindo seus principais conceitos como vértices, arestas e tipos de grafos. Explica as representações de grafos por matrizes de adjacência e listas de adjacência e apresenta os algoritmos de busca em largura e profundidade como aplicações importantes de grafos.
Introdução aos grafos: Principais conceitosssusera0fc94
O documento descreve conceitos básicos de grafos, incluindo o problema das pontes de Königsberg que inspirou a teoria dos grafos. Ele define grafos, vértices, arestas e conceitos como ordem, adjacência e grau de um vértice. Também apresenta formas de representar grafos como matrizes de adjacência e lista de adjacência.
O documento discute o problema das pontes de Königsberg e como ele levou ao desenvolvimento da teoria dos grafos. Ele introduz o problema original das sete pontes de Königsberg e como Euler resolveu o problema em 1736, o que é considerado o primeiro artigo sobre teoria dos grafos. Em seguida, o documento apresenta conceitos básicos de grafos, incluindo definições de vértices, arestas, grau de vértices, subgrafos e representações de grafos como matrizes de adjacência e lista de adjacência.
Slides da disciplina de Análise de Algoritmos, ministrada pelo Prof. Marcelo H. Carvalho no curso de Pós-Graduação em Ciência da Computação, FACOM - UFMS.
O documento descreve o algoritmo de Kosaraju para encontrar componentes fortemente conexos em um grafo. O algoritmo realiza uma DFS no grafo original e em seu transposto, empilhando os vértices visitados. Uma segunda DFS nos vértices empilhados encontra os componentes.
O documento descreve o algoritmo de busca em largura (breadth-first search) para grafos. Ele começa explorando todos os vértices vizinhos da raiz e, em seguida, os vértices vizinhos desses vértices, repetindo o processo até encontrar o alvo da busca ou todos os vértices terem sido explorados. O algoritmo garante que nenhum vértice ou aresta seja visitado mais de uma vez usando uma fila. Sua complexidade é O(V+E) no tempo e O(V) no espaço, onde V é o número de vé
O documento discute coloração de grafos e suas aplicações. Em 3 frases:
1) A coloração de grafos envolve atribuir cores a vértices de um grafo de forma que vértices adjacentes recebam cores diferentes. 2) Isso tem aplicações como separar produtos químicos explosivos e atribuir frequências de rádio, entre outras. 3) Determinar o número cromático mínimo de um grafo é um problema NP-difícil, mas existem algoritmos como força bruta e heurísticas.
Este documento descreve o algoritmo de busca em largura para grafos. Ele começa no vértice raiz e explora todos os vértices vizinhos, e então explora os vizinhos desses vértices e assim por diante até encontrar o alvo. O algoritmo usa uma fila FIFO para garantir a ordem de visita dos vértices e marca cada vértice como branco, cinza ou preto durante a busca. Sua complexidade de tempo é O(|V| + |E|) e de espaço é O(|V|) no pior caso.
Teoria de Grafos.ppt.pptx para estudar MACSsandra soares
Este documento apresenta alguns conceitos básicos sobre grafos, incluindo vértices, arestas, grau de vértices e tipos de grafos como grafos regulares e completos. Ilustra como grafos podem ser usados para modelar diversas situações como rotas de carteiros, plantas de casas e problemas de otimização.
O documento apresenta uma introdução sobre árvores espalhadas mínimas e descreve dois algoritmos para encontrar tal árvore em um grafo: o algoritmo de Prim e o algoritmo de Kruskal. O documento discute o funcionamento, análise de complexidade e corretude de cada algoritmo e faz uma comparação entre eles.
O documento apresenta os conceitos básicos de grafos, incluindo definições de vértices, arestas e representações comuns como matriz de adjacências e lista de adjacências. Ilustra alguns exemplos de aplicações de grafos em problemas de fornecimento entre fábricas, mapas rodoviários e redes sociais.
1. O documento apresenta as definições fundamentais da geometria analítica plana, incluindo vetores no plano cartesiano, produto escalar, projeção, equações de retas e circunferências, e distâncias.
2. São definidos conceitos como origem, sentido positivo/negativo, abscissa, vetor, soma e diferença de vetores, produto escalar, projeção, equações de retas e circunferências.
3. Exemplos e exercícios são fornecidos para exemplificar cada definição.
1) O documento apresenta as definições fundamentais da geometria analítica plana, incluindo vetores no plano, produto escalar, projeção, estudo de retas, distâncias, circunferências e cônicas.
2) São definidos conceitos como origem, sentido positivo/negativo, abscissa, vetor, soma e diferença de vetores, produto escalar, projeção, equações de retas, distâncias entre pontos, retas e circunferências.
3) O documento também apresenta exercícios resolvidos
Este documento apresenta um plano de trabalho para um curso de matemática do 3o ano do ensino médio sobre geometria analítica. O plano inclui instruções para atividades sobre distância entre pontos, equações de retas e posições relativas entre retas.
O documento discute o desenvolvimento de um protótipo de software para obter a menor distância entre pontos específicos de rotas utilizando o algoritmo de Dijkstra. O projeto teve como objetivo principal otimizar a busca pela menor distância entre rotas cadastradas no sistema a partir de um ponto de origem até um destino. Os testes realizados cumpriram os objetivos propostos, embora tenham sido identificadas limitações na geração de rotas e na simulação do protótipo em ambiente real.
O documento discute exercícios sobre teoria dos grafos. Aborda particionamento de arestas em grafos eulerianos, algoritmo de Dijkstra em um exemplo, sequência de De Brujin, grafo de Petersen não hamiltoniano e algoritmo para encontrar ciclo euleriano.
As classes de modelagem podem ser comparadas a moldes ou
formas que definem as características e os comportamentos dos
objetos criados a partir delas. Vale traçar um paralelo com o projeto de
um automóvel. Os engenheiros definem as medidas, a quantidade de
portas, a potência do motor, a localização do estepe, dentre outras
descrições necessárias para a fabricação de um veículo
A linguagem C# aproveita conceitos de muitas outras linguagens,
mas especialmente de C++ e Java. Sua sintaxe é relativamente fácil, o que
diminui o tempo de aprendizado. Todos os programas desenvolvidos devem
ser compilados, gerando um arquivo com a extensão DLL ou EXE. Isso torna a
execução dos programas mais rápida se comparados com as linguagens de
script (VBScript , JavaScript) que atualmente utilizamos na internet
1. Grafos
Samyra Lara
Graduanda em Tecnologia em
Sistemas para Internet – IFPB,
campus João Pessoa.
2. Porque aprender Grafos?
Estamos conhecendo: GRAFOS
Importante ferramenta matemática com aplicação em diversas áreas
do conhecimento como: genética, química, pesquisa operacional,
telecomunicações, engenharia elétrica, redes de computadores,
conexão de voos aéreos, restrições de precedência, fluxo de
programas, dentro outros;
Utilizados na definição e/ou resolução de problemas;
Existem centenas de problemas computacionais que empregam
grafos com sucesso;
3. Porque aprender Grafos?
Que tal começar pela Conectividade Social?
Estamos conhecendo: GRAFOS
5. Definição de Grafos
É um conceito matemático que basicamente estuda os elementos de um
conjunto e a relação entre eles;
Definição matemática:
G = {V, A}
V : Vértices (elementos);
A: Arestas ou Arcos (relações entre elementos);
|V| e |A| representam a cardinalidade dos conjuntos V e A, isto é, número de
elementos dos respectivos conjuntos.
Terminologias: vértice = nós ; aresta = arco.
Pode variar conforme o autor.
Estamos conhecendo: GRAFOS
7. Tipos de Grafos
NÃO-DIRIGIDOS:
As arestas indicam uma conexão bidirecional
DIRIGIDOS:
As arestas determinam o sentido da conexão
através de uma seta;
Faz distinção entre origem e destino;
Convenção:
aresta: GND / arco: GD
Estamos conhecendo: GRAFOS
8. Grafo dirigido
Exemplo de Grafo Dirigido
G = {V,A}
V = {0,1,2,3}
A = { {0,1}, {0,3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {2,2} , {3,0}}
|V| = 4
|A| = 7
Estamos conhecendo: GRAFOS
9. Conceitos Básicos
Vértice Adjacente
Vértices ligados por uma aresta
Exemplo:
• Vértice 1 é adjacente a 0
• Vértice 1 é adjacente a 2
Aresta Incidente
Uma aresta/arco que conecta dois vértices em particular
Exemplo:
• A aresta (0,1) é incidente aos vértices 0 e 1
• O arco {3,4} é incidente de 3 ou incidente a 4
Estamos conhecendo: GRAFOS
(0,1)
10. Conceitos Básicos
Grau de um vértice
Número de arestas/arcos incidentes a um vértice
Exemplo: o grau do vértice “1” é 2;
Tratando-se de Grafos dirigidos, temos:
Grau de Emissão: # arcos que partem de v;
Grau de Recepção: # arcos que chegam em v;
Exemplo: Grau do vértice 0:
Emissão: 2;
Recepção: 1.
Estamos conhecendo: GRAFOS
11. Grafo dirigido
Caminho:
É determinado através da sequência de um ou mais arcos. É possível chegar
até outro vértice (não adjacente), através do percurso dos arcos.
Exemplo:
“0” não é adjacente a “2”, é possível chegar
até ele através dos arcos {0,1} e {1,2}.
Estamos conhecendo: GRAFOS
13. Formas de representação
1ª FORMA: Matriz de Adjacência (estática):
A partir de um Grafo (G), dado por:
G = (V, A);
n = número de vértices (n > 0).
Consiste em uma matriz (E) quadrada (n x n), cujos elementos, são:
eij = 1, se a aresta <ei, ej> pertence a “A”
eij = 0, caso contrário.
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14. Matriz de Adjacência
Como montar essa matriz de adjacência ?
1. Identificar a quantidade de vértices;
2. Montar uma matriz com essa quantidade;
3. Usar a regra (slide anterior) para determinar os
elementos dessa matriz.
Estamos conhecendo: GRAFOS
15. Matriz de Adjacência
• O Grafo (G), possui 6 vértices.
• Implica dizer que a matriz será
composta por 6 linhas e 6 colunas.
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GRAFO G
17. Matriz de Adjacência
Vantagens:
Fácil visualização dos dados;
Pesquisas são facilmente respondidas:
Quantidade de arestas/arcos do grafo;
Grau de cada vértice;
Existência de caminhos;
Existência de ciclos;
Existência de Laços (loop).
Estamos conhecendo: GRAFOS
18. Matriz de Adjacência
Desvantagens:
Estamos conhecendo: GRAFOS
Geralmente essa matriz de representação é esparsa, uma vez que, são
representados, mesmo que não existam, arestas/arcos entre os
vértices;
Piorando a situação, as aplicações reais costumam não possuir
limitações quanto ao número de vértices.
19. Formas de representação
Estamos conhecendo: GRAFOS
2ª FORMA: Lista de Adjacências (dinâmica)
• É uma lista (L), onde cada nó possui uma lista de seus vértices
adjacentes.
20. Lista de Adjacências
Como montar essa lista de adjacência ?
Estamos conhecendo: GRAFOS
1. Identificar a quantidade de vértices;
2. Montar uma lista com essa quantidade (nó);
3. Cada nó dessa lista contém a identificação do vértice de um
apontador para o próximo vértice, cujo valor será nulo (zero ou
NULL) quando for o fim da lista.
21. Lista de Adjacências
Estamos conhecendo: GRAFOS
Exemplo:
Qual seria a representação do Grafo (G), usando a representação
“Lista de Adjacência” ?
22. Lista de Adjacências
Vantagens:
• Fácil visualização dos dados;
• Ocupa pouco espaço;
• Fácil responder as perguntas.
Desvantagens:
• Complica “um pouco” a implementação.
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23. Percursos
Algumas regras
Estamos conhecendo: GRAFOS
A partir de uma ordem pré-estabelecida, os vértices de um grafo são
percorridos, a partir de um deles;
Todos os caminhos relacionados a um vértices devem ser percorridos;
A escolha desse vértice inicial pode ser aleatório ou predefinido;
Geralmente a ideia é descobrir o melhor caminho, ou seja, o de
menor comprimento.
24. Percursos
Algumas regras
Estamos conhecendo: GRAFOS
É necessário que o algoritmo, de percurso, defina o primeiro “nó” a
ser visitado, podendo ser:
Escolhido;
Será selecionado aleatoriamente.
Também deve ser definido a ordem que será seguida para visitar os
“nó” sucessores a um determinado “nó”.
25. Percursos
Observações
Estamos conhecendo: GRAFOS
Em um grafo nem sempre é possível atingir todos os demais “nó” a
partir do “nó” inicial;
Não existe uma sequência natural entre os sucessores de um
determinado “nó”;
26. Tipos de Percursos
Pesquisa Inicial em Profundidade (DFS):
“Depth First Search”.
Pesquisa Inicial em Largura (BFS):
“Breadth First Search”.
Estamos conhecendo: GRAFOS
27. Pesquisa em profundidade (DFS)
Estamos conhecendo: GRAFOS
Faz uma análise nos arcos de um grafo.
28. Pesquisa em profundidade (DFS)
Estamos conhecendo: GRAFOS
A busca em profundidade procura acessar todos os vértices em um
grafo. Para acessar todos os possíveis vértices, varre a lista de arestas
de cada vértice do grafo.
29. Pesquisa em profundidade (DFS)
empilha primeiro vértice (origem)
repita enquanto pilha não vazia{
"V" <- vértice do topo da pilha
se (existir vértice adjacente){
remove o arco que está incidindo
se o vértice adjacente não está marcado{
marca o vértice adjacente
empilha o vértice adjacente
}
}
senao desempilha "V"
}
Estamos conhecendo: GRAFOS
30. Pesquisa em amplitude (BFS)
Estamos conhecendo: GRAFOS
Faz uma análise nos vértices de um grafo.
31. Pesquisa em amplitude (BFS)
Estamos conhecendo: GRAFOS
Dado um grafo e um vértice de origem, a busca em largura
explora as arestas do grafo até explorar todos os vértices
alcançáveis a partir do vértice de origem.
32. Pesquisa em amplitude (BFS)
insere o primeiro vértice na fila
repita enquanto fila não vazia{
"V" <- primeiro vértice da fila
repita para todos os arcos incidentes a "V“ (adjac.){
se (vértice adjacente não está marcado){
marca o vértice adjacente
insere o vértice adjacente no final da fila
}
}
remova o vértice da fila
}
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34. REFERÊNCIAS
Estamos conhecendo: GRAFOS
• Material do Curso de Extensão de Grafos, ministrado pelo Professor
M.Sc. Alex Sandro da Cunha Rêgo;
• Material do Projeto Olímpico de Programação, ministrado pela Ms.
Valéria Maria Bezerra Cavalcanti;
• ASCENCIO, A. F. G.; ARAÚJO, G. S.. Estrutura de Dados: Algoritmos,
análise da Complexidade e Implementações em Java e
C/C++. Editora PEARSON, 2010.
• VELOSO, Paulo.; SANTOS, Clesio dos; AZEREDO, Paulo; FURTADO,
Antonio Estruturas de Dados. Rio de Janeiro: Editora Campus, 1984.