O documento discute a Teoria dos Grafos, incluindo: (1) O problema das sete pontes de Königsberg que inspirou Euler a desenvolver a teoria; (2) A definição formal de grafo e elementos básicos como vértices, arestas e graus; (3) O teorema de Euler sobre a existência de caminhos eulerianos.

1. Teoria dos
Grafos

2. Entendendo os grafos
• Relações entre os membros de um conjunto
Um conjunto pode possuir elementos que possuem
alguma relação entre si. Por exemplo, um conjunto
pode consistir de uma coleção de pessoas, países,
carros, etc. Supondo o conjunto que consiste numa
coleção de pessoas, duas pessoas, ou seja, dois
elementos do conjunto podem possuir uma relação
entre si, nesse exemplo, essas pessoas podem ser
parentes.

3. Entendendo os grafos
O problema de Euler:
A cidade de Königsberg que pertencia a antiga Prússia, é banhada pelo rio Pregel
que, ao atravessar a cidade se ramifica forma uma ilha (Kneiphof) que está ligada à
restante parte da cidade por sete pontes. Dizia-se que os habitantes da cidade, nos
dias soalheiros de descanso, tentavam efetuar um percurso que os obrigasse a
passar por todas as pontes, mas apenas uma vez em cada uma. Como as suas
tentativas foram sempre falhadas, muitos deles acreditavam que não era possível
encontrar tal percurso. Será que tinham razão?

4. Entendendo os grafos
Leonhard Euler , em 1736, não somente
elucidou a natureza desse problema, como
acabou por criar uma teoria que se aplica a
vários problemas desse tipo.
Euler pensou: “este é um tipo de problema no
qual as distâncias envolvidas são irrelevantes,
o que importa é como as várias porções de
terra estão interligadas entre si.”

5. Ele usou um modelo simplificado das ligações entre as regiões.
Euler estabeleceu um teorema que diz em que condições é possível
percorrer cada linha exatamente uma vez e voltar ao ponto inicial. Foi o
primeiro teorema da Teoria dos Grafos.
Euler provou que para o problema das 7 pontes de Königsberg não existia
solução...

6. Um grafo é uma estrutura G(V,E) em que V é o
um conjunto finito não vazio e E é um
conjunto de pares não ordenados de
elementos distintos de V.

7. Visualmente, os grafos são representados por um conjunto de
pontos e um conjunto de linhas ou setas ligando esses pontos.
V = {1, 2, 3, 4, 5}
E = {(1, 2), (1, 4), (2, 3), (2, 5), (4, 3), (5, 1)}

8. Definições básicas
• Laço: uma aresta que incide com um único
vértice é chamada de laço.

9. • Orientação – é a direção para a qual uma seta aponta. Se a
aresta não tiver seta, diz-se que ela não tem orientação.
• Incidente – Diz-se que uma aresta é incidente com os vértices
que ela liga (não importa a orientação).

10. • Vértices Adjacentes – dois vértices são adjacentes se estão
ligados por uma aresta.
• Vértice isolado – Um vértice é dito isolado se não existe
aresta incidente sobre ele.
• Arestas paralelas – Duas arestas incidentes nos mesmos
vértices (não importa a orientação). Ou seja, se a1 = (v,w) e
a2 = (v,w), então as arestas a1 e a2 são paralelas.

11. • Ordem – Ordem de um grafo é definida pelo número de vértices.
• Dimensão – A dimensão de um grafo representa o número de arestas
desse grafo.
• Passeio – É uma sequência de vértices e arestas com eventual
repetições de ambos.
• Caminho – É uma sequencia de arestas adjacentes que liga dois
vértices, sem repetições de arestas.
• Circuito – É um caminho que acaba e começa no mesmo vértice,
repetições de arestas.
• Grafo conexo – É um grafo em que para cada par de vértices existe
pelo menos um passeio que os une.
• Grau – Grau de um vértice v equivale ao número de arestas incidentes
sobre ele (um laço equivale a duas arestas)

12. Caminhos de Euler
• Um grafo G conexo possui caminho euleriano se e somente se
ele tem exatamente zero ou dois vértices de grau impar.
• Portanto, prova-se que o problema das 7 pontes de
Königsberg, não tem solução pelo fato de existir mais de 2
vértices com grau ímpares no grafo resultante do problema.

13. Grafos Dirigidos
Basicamente, um grafo é chamado dirigido se
suas arestas possuem orientação.

14. Matriz de vértices
Dado um grafo dirigido de n vértices, podemos
associar ao grafo uma matriz M = [mij] de
tamanho n x n chamada matriz de vértices, cujos
elementos são definidos da seguinte maneira:
Logo, por definição:
i – Todas as entradas são 1 ou 0.
ii – Todas as entradas na diagonal principal são 0.

16. Teorema: Seja M a matriz de vértices de um
grafo dirigido e seja m(r)
ij o (i,j)-ésimo
elemento de Mr, então m(r)
ij é igual ao número
de conexões de r passo de Pi para Pj.

18. Panelas
Um subconjunto de um grafo dirigido é chamado panela
se satisfaz as três condições a seguir:
• i - O subconjunto contém pelo menos três vértices;
• ii - para cada par de vértices Pi e Pj no subconjunto,
ambos Pi→ Pj e Pj → Pi são verdadeiros;
• iii - O subconjunto é tão grande quanto possível, ou
seja, não é possível acrescentar mais um vértice ao
subconjunto e ainda satisfazer a condição ii

19. Grafos dirigidos por dominância
• Um grafo dirigido por dominância é um grafo dirigido tal que, para
qualquer par de vértices distintos Pi e Pj, ocorre Pi → Pj ou Pj → Pi,
não ambos.
• Em grafos dirigidos por dominância, existe pelo menos um vértice
do qual existem conexões de 1 ou 2 passos para qualquer outro
vértice.
• O poder de um vértice num grafo dirigido por dominância é o
número total de suas conexões de 1 e de 2 passos para os outros
vértices do grafo. Alternativamente, o poder de um vértice Pi é a
soma das entradas da i-ésima linha da matriz A = M + M2, onde M
é a matriz de vértices do grafo dirigido.

20. • Exemplo – Torneio de Tênis
Suponha que cinco tenistas jogam exatamente uma vez entre
si e que os resultados são indicados no grafo dirigido por
dominância a seguir:

21. A matriz de vértices do grafo é:
Então:
A soma das linhas de A é:
1ª linha - 4; 2ª linha - 9; 3ª linha - 2; 4ª linha - 4; 5ª linha - 7
Como a segunda linha tem a maior soma de entradas, o vértice P2 deve ter uma conexão de
um ou dois passos com cada um dos demais vértices (o que pode ser verificado observando a
representação gráfica do grafo).
Podemos também, dessa maneira, classificar os tenistas quanto ao seu “poder”: O segundo
tenista é o mais forte, o quinto tenista vem depois, seguido pelo primeiro e quarto tenistas
empatados, e por último o terceiro tenista, o mais fraco entre eles.

22. Exercícios
• Construa a matriz dos vértices da cada um dos
grafos explicitados abaixo:

23. Exercícios
• Desenhe um diagrama do grafo
correspondente a cada uma das seguintes
matrizes de vértices: