Estrutura de Dados - Grafos

# Pesquisa e Ordenação #
Aula Apoio - Grafos
Prof. Leinylson Fontinele Pereira

17:20 2
TEOREMA
Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos

17:20 3
Um grafo conexo G é um grafo de
Euler se e somente se todos os seus
vértices são de grau par.

17:20 4
Grafos?

Grafo Não é Algo Recente
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 Quem se lembra das aulas de estrutura de dados?
 Vetores (arrays);
 Fila;
 Pilha;
 Árvores;
 Grafos...

O Mundo Não Gira Apenas no Banco Relacional
17:20
 Muita gente ainda está viciada
nos RDBMs, quando pensa em um
novo projeto, já começa imaginar a
estrutura de tabelas;
 Um arquiteto precisa pensar na
melhor solução para cada caso e
saber que o mundo da persistência
não tem apenas os RDBMs.

Pensar Fora da Caixa 
17:20

Ser Eficiente
17:20
 Usar a tecnologia certa no momento certo vai tornar seu trabalho
absurdamente eficiente!

Grafos?
17:20
 Leonhard Euler
 Inventor da teoria de grafos (1736)
 Qual a possibilidade de atravessar todas as
pontes da cidade sem repetir nenhuma?
 Grafo Euleriano

Exemplo Clássico: Rede Social
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Isso é um Grafo?
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Exemplos de Grafos
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Grafo Regular
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Multigrafo
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Subgrafo
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Grafos Estrela
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Teoria dosGrafos
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A teoria dos grafos é um ramo da matemática que estuda
as relações entre os objetos de um determinado conjunto.
Para tal são empregadas estruturas chamadas de grafos,
G(V,A), onde V é um conjunto não vazio de objetos
denominados vértices e A é um conjunto de pares não
ordenados de V, chamado arestas.

Representação de Grafos
17:20

Para que usar Grafos?
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 Sistemas de recomendação
 Catálogo de produtos
 Filtragem colaborativa
 Redes sociais (o clássico)
 Sistemas geoespaciais
 e muito mais...

Quais as Opções para usar Grafos?
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Neo4J
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 Persistência apenas em Grafos;
 Implementação em Java;
 É o banco mais popular em Grafos;
 GPL;
 Cypher Query Language

Neo4J
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MATCH (keanu:Person { name:'Keanu Reeves' })-
[:ACTED_IN]-(movie:Movie)
RETURN movie

ArangoDB
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 Multi Modelagem:
 Grafos
 Documentos
 Query Language poderosa (AQL);
 Desenvolvido em C++
 Interface REST HTTP;
 FOXX → Framework que auxilia desenvolvimento web;
 Drivers nativos para quase todas as linguagens;
 Livre, mas possui suporte comercial.

ArangoShell
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arangosh> var graph_module = require("org/arangodb/general-graph");
arangosh> var graph = graph_module._create("myGraph");
arangosh> graph;
[ Graph myGraph EdgeDefinitions: [ ] VertexCollections: [ ] ]
arangosh> graph._addVertexCollection("shop");
arangosh> graph._addVertexCollection("customer");
arangosh> graph._addVertexCollection("pet");
arangosh> graph
arangosh> var rel = graph_module._directedRelation("isCustomer", ["shop"], ["customer"]);
arangosh> graph._extendEdgeDefinitions(rel);
arangosh> graph;
[ Graph myGraph EdgeDefinitions: [
"isCustomer: [shop] -> [customer]"
] VertexCollections: [ ] ]

OrientDB
17:20
 Assim como ArangoDB, é multi-modelagem:
 Documento
 Grafos
 Desenvolvido em Java;
 Suporta transações ACID;
 Possui linguagem semelhante a SQL;
 Livre, mas possui suporte comercial também.

Query Language - Exemplos
17:20
orientdb> insert into V set name = 'Jay'
create record with RID #9:0
orientdb> create vertex V set name = 'Jay'
create vertex with RID #9:1
orientdb> create edge Eat from (select from Person where name =
'Luca') to (select from Restaurant where name = 'Dante')

Definição
17:20
 Como representar um conjunto de objetos e as suas relações?
Diversos tipos de aplicações necessitam disso
 Um grafo é um modelo matemático que
representa as relações entre objetos de um
determinado conjunto.

Definição
17:20
 Grafos em computação
Forma de solucionar problemas computáveis
Buscam o desenvolvimento de algoritmos mais
eficientes
 Qual a melhor rota da minha casa até o
restaurante?
 Duas pessoas tem amigos em comum?

Definição
17:20
 Um grafo G(V,A) é definido por dois conjuntos
Conjunto V de vértices (não vazio)
 Itens representados em um grafo;
Conjunto A de arestas
 Utilizadas para conectar pares de vértices, usando
um critério previamente estabelecido.

Definição
17:20

Conceitos Básicos
17:20
 Vértice é cada um dos itens representados no grafo.
 O seu significado depende da natureza
do problema modelado
 Pessoas, uma tarefa em um projeto,
lugares em um mapa, etc.

Conceitos Básicos
17:20
 Aresta liga dois vértices
 Diz qual a relação entre eles
 Dois vértices são adjacentes se existir
uma aresta ligando eles.
 Pessoas (parentesco entre elas ou amizade), tarefas
de um projeto (pré-requisito entre as tarefas),
lugares de um mapa (estradas que existem ligando
os lugares), etc.

Conceitos Básicos
17:20
 Praticamente qualquer objeto pode ser
representado como um grafo.

Conceitos Básicos
17:20
 As arestas podem ou não ter direção

Conceitos Básicos
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 Grau
 Indica o número de arestas que conectam um vértice do
grafo a outros vértices
•número de vizinhos que aquele vértice possui no grafo
 No caso dos dígrafos, temos dois tipos de grau:
•graude entrada: número de arestas que chegam ao vértice;
•graude saída: número de arestas que partem do vértice

Conceitos Básicos
17:20

Conceitos Básicos
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 Laço
 Uma aresta é chamada de laço
se seu vértice de partida é o
mesmo que o de chegada

Conceitos Básicos
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 Caminho
 Um caminho entre dois vértices é uma sequência de vértices onde cada
vértice está conectado ao vértice seguinte por meio de uma aresta.

Conceitos Básicos
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 Ciclo
 Caminho onde o vértice inicial e o final são o mesmo vértice.

Tipos de Grafos
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 Grafo trivial
 Possui um único vértice e nenhuma aresta
 Grafo simples
 Grafo não direcionado, sem laços e sem arestas
paralelas

Tipos de Grafos
17:20

Tipos de Grafos
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 Grafo completo
 Grafo simples onde cada vértice se conecta a todos os
outros vértices do grafo.

Tipos de Grafos
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 Grafo regular
 Grafo onde todos os seus vértices possuem o mesmo grau

Tipos de Grafos
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 Subgrafo
 Gs(Vs, As) é um subgrafo de G(V, A) se o conjunto de vértices Vs for um subconjunto
de V, Vs ⊆ V, e se o conjunto de arestas As for um subconjunto de A, As ⊆ A.

Tipos de Grafos
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 Grafo conexo e desconexo
 Grafo conexo: existe um caminho ligando quaisquer dois vértices.

Tipos de Grafos
17:20
 Grafos isomorfos
Dois grafos, G1(V1, A1) e G2(V2, A2),
são ditos isomorfos se existe uma função que
faça o mapeamento de vértices e arestas de
modo que os dois grafos se tornem coincidentes.

Tipos de Grafos
17:20
 Grafos isomorfos

Tipos de Grafos
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 Grafo ponderado
 É um grafo que possui pesos associados a cada uma de suas arestas.

Tipos de Grafos
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 Grafo Euleriano
 Grafo que possui um ciclo que visita todas as suas arestas apenas
uma vez, iniciando e terminando no mesmo vértice.

Tipos de Grafos
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 Grafo Semi-Euleriano
 Grafo que possui um caminho aberto que visita todas as
suas arestas apenas uma vez.

Tipos de Grafos
17:20
 Grafo Hamiltoniano
 Grafo que possui um caminho que visita todos os seus
vértices apenas uma vez.

Tipos de Representação
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 Como representar um grafo no computador?
 Matriz de Adjacência
 Lista de Adjacência
 Qual a representação que deve ser utilizada?
 Depende da aplicação!

17:20
 Matriz de adjacência
 Utiliza uma matriz N x N para armazenar o grafo, onde
N é o número de vértices
• Alto custo computacional, O(N2
)
Uma aresta é representada por uma marca na posição
(i , j) da matriz
• Aresta liga o vértice i ao j

17:20
 Matriz de adjacência

17:20
 Lista de adjacência
 Utiliza uma lista de vértices para descrever as relações entre
os vértices.
•Um grafo contendo N vértices utiliza um array de ponteiros de
tamanho N para armazenar os vértices do grafo
•Para cada vértice é criada uma lista de arestas, onde cada
posição da lista armazena o índice do vértice a qual aquele
vértice se conecta

17:20
 Lista de adjacência

17:20
 Qual representação utilizar?
Lista de adjacência é mais indicada para um grafo que
possui muitos vértices mas poucas arestas ligando-os.
A medida que o número de arestas cresce e não havendo
nenhuma outra informação associada a aresta, o uso de
uma matriz de adjacência se torna mais eficiente

Material: https://sites.google.com/site/leinylsonuespi
17:20
Material baseado nas aulas de:
 Christiano Anderson, Grafos - Uma abordagem divertida
 Matemática com o Google Earth, Professor Fernando Brito
 Linguagem C Descomplicada , Dr. André R. Backes

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Desafio!

Desafio MatematicamenteImpossível!!
17:20

Do que Trata o Desafio?
17:20

Explicaçãodo Desafio
17:20

17:20 80
Atividade

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Konigsberg Bridges

Situação-problema
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 Por muito tempo os moradores da cidade de Königsberg
(atualmente Kaliningrado, na Rússia) perguntavam-se se era
possível fazer um passeio na cidade cruzando todas as sete
pontes que cortavam o rio Pregel.
 Passando apenas uma vez por cada ponte, retornando ao
ponto de partida, ou seja, percorrendo um caminho fechado.

Mapa de Königsberg de 1652
17:20

Konigsberg Bridges
17:20
 Muitos tentaram fazer um percurso,
mas as tentativas foram sempre
falhas.
 Até que o matemático suíço
Leonhard Euler (1707 − 1783),
usando argumentos muito simples,
provou em 1736 que não era
possível realizar tal feito.

Konigsberg Bridges
17:20
 Ele usou um diagrama, chamado de grafo2, para reproduzir os principais
elementos do mapa, onde desenhou pontos (vértices) representando as porções de
terra e linhas (arestas) representando os percursos pelas sete pontes.

Konigsberg Bridges
17:20
 Daí Euler percebeu que só seria possível fazer o trajeto
passando uma única vez em cada ponte e retornando ao ponto
de partida, se houvesse, partindo de cada vértice, um número
par de arestas
 Isto é, todos os vértices deveriam ser de grau par.
 Assim, esse famoso problema matemático tornou-se ponto de
partida para o desenvolvimento da Teoria dos Grafos.

Konigsberg Bridges
17:20
 Da mesma forma, outras situações reais podem ser
representadas por grafos como, por exemplo:
 Esquemas de circuitos integrados; rotas otimizadas para empresas de transporte
 sistemas de engenharia de tráfego;
 Distribuição de serviços de energia, água, e telefone.
 Além disso, também é possível modelar relações de
hierarquia, amizade e trabalho.

Konigsberg Bridges
17:20

Konigsberg Bridges – Várias Abstrações
17:20

Modelo do Problema
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𝑉 = { 𝑚 | 𝑚 é 𝑢𝑚𝑎 𝑖𝑙ℎ𝑎 𝑜𝑢 𝑢𝑚𝑎 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑒𝑚 }
𝐴 = { (𝑚1, 𝑚2, 𝑝} | 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑒 𝑝 𝑢𝑛𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑠 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑒𝑛𝑠/𝑖𝑙ℎ𝑎𝑠 𝑚1 𝑒 𝑚2 }
𝑉 = { 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 }
𝐴 = { (𝐴, 𝐶, 𝑐), (𝐴, 𝐶, 𝑑), (𝐴, 𝐵, 𝑎), (𝐴, 𝐵, 𝑏), (𝐴, 𝐷, 𝑒), (𝐵, 𝐷, 𝑓), (𝐶, 𝐷, 𝑔) }

Kaliningrado - Federação Russa (Atualmente)
17:20

Konigsberg Bridges (Atualmente)
17:20

Relaçãodo DesafiocomKonigsberg Bridges
17:20

Teoria dos Grafos
17:20
 Um Caminho Euleriano é um caminho em um
grafo que visita cada aresta apenas uma vez.
 Com caso especial, um Circuito Euleriano é um
caminho Euleriano que começa e termina no
mesmo vértice.

Grafo de Königsberg
17:20

Teoria dos Grafos
17:20
 Pela análise do grafo modelo G para o problema das pontes
de Königsberg, observa-se que Para Todo v E V, gr(v) é ímpar.
Logo, o grafo G não é um grafo de Euler.
 Isso significa que o problema não possui solução. Note que
não é necessário que tenhamos Para Todo v E V, gr(v) é impar ,
basta que Exista Pelo Menos Um v E V | gr(v) é impar para
concluirmos que o grafo em questão não é um grafo de Euler.

Grafo Euleriano
17:20

Caminho Hamiltoniano
17:20
Um caminho hamiltoniano é um caminho que permite passar
por todos os vértices de um grafo G, não repetindo nenhum, ou,
seja, passar por todos uma e uma só vez por cada.

Caminho Hamiltoniano
17:20

Matriz de Adjacência
17:20
 Uma matriz de adjacência é uma das formas de se representar um grafo.
 Dado um grafo G com n vértices, podemos representá-lo em uma matriz 𝑛 𝑥 𝑛
𝐴(𝐺) = [𝑎𝑖𝑗] (ou simplesmente 𝐴).

Listade Adjacência
17:20

Problema do Caixeiro-Viajante – (PCV)
17:20
 É um problema que tenta determinar a menor rota para
percorrer uma série de cidades (visitando uma única vez cada
uma delas), retornando à cidade de origem.
 Trata-se de um problema de otimização inspirado na
necessidade dos vendedores em realizar entregas em diversos
locais (as cidades) percorrendo o menor caminho possível,
reduzindo o tempo necessário para a viagem e os possíveis
custos com transporte e combustível.

Problema do Caixeiro-Viajante – (PCV)
17:20

AlgoritmoACO (Ant Colony Optimization)
17:20
 Nos algoritmos ACO, as formigas são simples agentes que, no caso
do PCV, constroem circuitos através do movimento entre cidades
no grafo do problema.
 A solução construída pelas formigas é elaborada por trilhos de
feromonas (artificiais) e pela disponibilidade de informação
heurística, à priori.
 Quando o algoritmo ACO é aplicado, é associada uma força da
feromona, onde 𝜏𝑖𝑗(𝑡) é uma informação numérica que é
modificada durante o algoritmo, e t é o contador das iterações

AlgoritmoACO (Ant Colony Optimization)
17:20

Teorema das QuatroCores
17:20

17:20 110
Agora é sua vez!

Atividade como Google Maps
17:20
 As Sete Pontes de Königsberb
 Construa o grafo no quadro (indicando as coordenadas) e
determine um percurso optimizado do trecho descrito a seguir:
 Partindo da sua residência, trace o menor percurso para chegar à
Faculdade Maurício de NASSAU. Seu trajeto deve incluir uma visita à
Catedral de N. S. das Graças, Rodoviária de Municipal e Parnaíba
Shopping, retornando à sua residência, sem repetir nenhuma rua ou
ponte, não necessariamente nesta ordem.

Atividade como Google Maps
17:20

Alguma Dúvida?
17:20
Até a prova!
leinylson@gmail.com

Prática 
17:20 115
As aulas práticas foram baseadas no material de
Linguagem C Descomplicada , Dr. André R. Backes.
Disponível em: https://programacaodescomplicada.wordpress.com/
Estrutura de Dados - Aula Apoio - Grafos

ListaEstática Sequencial
17:20
 ListaSequencial.h
 Os protótipos das funções
 O tipo de dado armazenado na lista
 O ponteiro lista
 Tamanho do vetor usado na lista

ListaEstática Sequencial
17:20
 ListaSequencial.c
 O tipo de dados lista
 Implementar as suas funções

17:20 118
Definindo o Grafo

Definindoo Grafo: TADGrafo
17:20

17:20 120
Criando o Grafo

Criandoo Grafo
17:20

17:20 123
Destruindo o Grafo

Destruindoo Grafo
17:20

17:20 126
Inserindo uma
Aresta no Grafo

Inserindo uma Aresta no Grafo
17:20

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