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Por: Joana Pinto
São representações esquemáticas
constituídas por conjuntos finitos de pontos
(vértices) e por segmentos (arestas), que
unem os pontos.
No quotidiano, os grafos são utilizados para
encontrar soluções ótimas para
determinadas situações: na definição de
redes de distribuição de mercadorias, na
organização de roteiros, na definição de
horários ou de sequências de tarefas.
 Grafo conexo1 – grafo onde existe sempre uma
sequência de arestas a unir quaisquer dois dos seus
vértices.
 Digrafo (ou grafo orientado)2 – grafo em que as
arestas têm orientações (sentidos) definidas (com
setas).
 Grafo completo3 – grafo em que cada um dos
vértices é adjacente a todos os outros.
Por exemplo, o grafo 3 é de ordem 5 pois tem 5
vértices
1
2 3
 Grau (ou valência) de um vértice é o número de
arestas que nele concorrem. Diz-se que um vértice
tem grau par se nele concorre um número par de
arestas e que tem grau ímpar no caso de esses
números ser ímpar.
 Passeio – sequência de vértices em que cada dois
vértices consecutivos estão ligados por uma
aresta, podendo haver repetição;
 Caminho – passeio em que apenas se passa uma
vez em cada vértice;
 Trajeto (ou trilho) – é um passeio em que apenas
se passa uma vez por cada aresta;
 Circuito (ou ciclo) – é um caminho que começa e
acaba no mesmo vértice.
Trajeto euleriano – percorre todas as arestas e
um grafo uma única vez.
 Regra: Num grafo conexo, podemos encontrar um
trajeto euleriano se e só se existirem, no máximo,
dois vértices de grau ímpar.
Circuito euleriano – é um trajeto euleriano (ou
seja, percorre todas as arestas do grafo uma
única vez) que começa e acaba no mesmo
vértice
 Regra: Num grafo conexo podemos encontrar um
circuito euleriano se e só se todos os vértices
tiverem grau par.
Problemas eulerianos – problemas que
envolvem as arestas de um grafo.
Eulerização de grafos – eulerizar um grafo
consiste em acrescentar-lhe arestas, por forma a
tornar possível encontrar um circuito euleriano.
Se pretendermos eulerizar um grafo, devemos:
1. Verificar o grau de cada vértice para localizar
os que têm grau ímpar;
2. Adicionar arestas sempre com o objetivo de
que todos os vértices fiquem com grau par.
No entanto, adicionar arestas corretamente significa
que só podemos duplicar uma aresta já existente
entre dois vértices. A melhor eulerização é sempre
aquela que acrescenta o menor número de arestas.
Circuito hamiltoniano é um caminho que
começa e acaba no mesmo vértice
percorrendo todos os vértices uma só
vez. Um grafo diz-se hamiltoniano se
nele se pode encontrar, pelo menos, um
circuito hamiltoniano.
Pesos – número que se atribui a cada
uma das arestas de um grafo. Pode
representar distâncias, custos, tempo,
etc. A um grafo com pesos atribuídos
chamamos grafo ponderado.
Métodos de resolução de problemas
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sem circuitos.
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sucessivos (ou do vizinho
mais próximo)
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pesos das arestas (ou das
arestas classificadas
(Com valores e totais)
O objetivo é começar o
percurso numa cidade e
seguir sempre para a
cidade mais próxima
ainda não visitada
Ex.: A  B  C (t = 30
km)
1. Começa-se por ordenar as
arestas do grafo por ordem
crescente de distâncias;
2. Escolhe-se sucessivamente
a aresta que corresponde ao
valor mais baixo, tendo em
conta que:
• Um vértice não pode ter
mais de duas arestas
que lhe concorram;
• Não se pode fechar
circuito enquanto
houverem mais vértices
a visitar.
Dica: desenha o grafo à medida
que eliminas as arestas.
 Árvore abrangente (ou árvore geradora)
é uma árvore que contém todos os
vértices de um grafo dado.
 Árvore abrangente mínima – árvore
em que a soma dos pesos das arestas
é mínima.
 Nos tipos de problemas que compreendem
as árvores abrangentes mínimas, não temos
de regressar ao ponto de partida: só temos
de encontrar um percurso que visite todos
os vértices sem criar circuitos. Por isso, os
vértices podem ter tantas retas a concorrer-
lhes quantas necessárias.
Para descobrir a árvore abrangente
mínima num grafo existe o Algoritmo de
Kruskal.
Algoritmo de Kurskal: Vão-se unindo as
arestas do grafo por ordem crescente
dos pesos, desde que não formem
circuitos e se garanta que no final todos
os vértices estão na árvore.
Caminho crítico é uma
sequência de tarefas que
deve ser realizada no tempo
previsto, de forma que
determinado trabalho ou
projeto seja concretizado
dentro do prazo. A sua
duração é aquela que
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global
Tarefa Tempo (dias) Dependências
T1 1 Nenhuma
T2 2 T1
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 Crescimento populacional positivo: há
um aumento da população;
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 Crescimento contínuo – as mudanças
acontecem a todo o instante;
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acontecem de tempos a tempos e
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Progressão aritmética – sucessão em que a
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qual chamamos razão, r, da progressão.
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MACS - grafos, trajetos e circuitos eulerianos; circuitos eulerianos...

  • 2. São representações esquemáticas constituídas por conjuntos finitos de pontos (vértices) e por segmentos (arestas), que unem os pontos. No quotidiano, os grafos são utilizados para encontrar soluções ótimas para determinadas situações: na definição de redes de distribuição de mercadorias, na organização de roteiros, na definição de horários ou de sequências de tarefas.
  • 3.  Grafo conexo1 – grafo onde existe sempre uma sequência de arestas a unir quaisquer dois dos seus vértices.  Digrafo (ou grafo orientado)2 – grafo em que as arestas têm orientações (sentidos) definidas (com setas).  Grafo completo3 – grafo em que cada um dos vértices é adjacente a todos os outros. Por exemplo, o grafo 3 é de ordem 5 pois tem 5 vértices 1 2 3
  • 4.  Grau (ou valência) de um vértice é o número de arestas que nele concorrem. Diz-se que um vértice tem grau par se nele concorre um número par de arestas e que tem grau ímpar no caso de esses números ser ímpar.  Passeio – sequência de vértices em que cada dois vértices consecutivos estão ligados por uma aresta, podendo haver repetição;  Caminho – passeio em que apenas se passa uma vez em cada vértice;  Trajeto (ou trilho) – é um passeio em que apenas se passa uma vez por cada aresta;  Circuito (ou ciclo) – é um caminho que começa e acaba no mesmo vértice.
  • 5. Trajeto euleriano – percorre todas as arestas e um grafo uma única vez.  Regra: Num grafo conexo, podemos encontrar um trajeto euleriano se e só se existirem, no máximo, dois vértices de grau ímpar. Circuito euleriano – é um trajeto euleriano (ou seja, percorre todas as arestas do grafo uma única vez) que começa e acaba no mesmo vértice  Regra: Num grafo conexo podemos encontrar um circuito euleriano se e só se todos os vértices tiverem grau par. Problemas eulerianos – problemas que envolvem as arestas de um grafo.
  • 6. Eulerização de grafos – eulerizar um grafo consiste em acrescentar-lhe arestas, por forma a tornar possível encontrar um circuito euleriano. Se pretendermos eulerizar um grafo, devemos: 1. Verificar o grau de cada vértice para localizar os que têm grau ímpar; 2. Adicionar arestas sempre com o objetivo de que todos os vértices fiquem com grau par. No entanto, adicionar arestas corretamente significa que só podemos duplicar uma aresta já existente entre dois vértices. A melhor eulerização é sempre aquela que acrescenta o menor número de arestas.
  • 7. Circuito hamiltoniano é um caminho que começa e acaba no mesmo vértice percorrendo todos os vértices uma só vez. Um grafo diz-se hamiltoniano se nele se pode encontrar, pelo menos, um circuito hamiltoniano. Pesos – número que se atribui a cada uma das arestas de um grafo. Pode representar distâncias, custos, tempo, etc. A um grafo com pesos atribuídos chamamos grafo ponderado.
  • 8. Métodos de resolução de problemas Árvores – grafo conexo e sem circuitos. Algoritmo dos mínimos sucessivos (ou do vizinho mais próximo) Algoritmo por ordenação dos pesos das arestas (ou das arestas classificadas (Com valores e totais) O objetivo é começar o percurso numa cidade e seguir sempre para a cidade mais próxima ainda não visitada Ex.: A  B  C (t = 30 km) 1. Começa-se por ordenar as arestas do grafo por ordem crescente de distâncias; 2. Escolhe-se sucessivamente a aresta que corresponde ao valor mais baixo, tendo em conta que: • Um vértice não pode ter mais de duas arestas que lhe concorram; • Não se pode fechar circuito enquanto houverem mais vértices a visitar. Dica: desenha o grafo à medida que eliminas as arestas.
  • 9.  Árvore abrangente (ou árvore geradora) é uma árvore que contém todos os vértices de um grafo dado.  Árvore abrangente mínima – árvore em que a soma dos pesos das arestas é mínima.  Nos tipos de problemas que compreendem as árvores abrangentes mínimas, não temos de regressar ao ponto de partida: só temos de encontrar um percurso que visite todos os vértices sem criar circuitos. Por isso, os vértices podem ter tantas retas a concorrer- lhes quantas necessárias.
  • 10. Para descobrir a árvore abrangente mínima num grafo existe o Algoritmo de Kruskal. Algoritmo de Kurskal: Vão-se unindo as arestas do grafo por ordem crescente dos pesos, desde que não formem circuitos e se garanta que no final todos os vértices estão na árvore.
  • 11. Caminho crítico é uma sequência de tarefas que deve ser realizada no tempo previsto, de forma que determinado trabalho ou projeto seja concretizado dentro do prazo. A sua duração é aquela que determina o menor tempo para a conclusão do projeto e corresponde à maior duração global Tarefa Tempo (dias) Dependências T1 1 Nenhuma T2 2 T1 T3 3 T2 T4 4 T2 T5 5 T2 T6 7 T3 e T5 T7 6 T4 e T5 T8 8 T5 T9 9 T8
  • 12.  Crescimento populacional positivo: há um aumento da população;  Crescimento populacional negativo: há uma diminuição/declínio da população  Crescimento contínuo – as mudanças acontecem a todo o instante;  Crescimento discreto – as mudanças acontecem de tempos a tempos e sempre que se dá uma mudança, diz-se que ocorreu uma transição
  • 13. Progressão aritmética – sucessão em que a diferença entre transições é constante, à qual chamamos razão, r, da progressão. No caso de crescimento populacional, a razão representa a taxa de crescimento da população. Modelo de crescimento linear discreto: é um modelo em que a evolução da população é descrita por uma progressão aritmética (Pn + 1 – Pn = r)  diferença entre cada termo e o anterior é constante. Para um modelo linear discreto: Pn = P0 + n x r ou y = ax + b