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1. MODELOS DE GRAFOS

2. Modelos de Grafos
Um grafo é um conjunto de pontos e de linhas unindo todos ou alguns desses pontos.
Vértices ou nós
Arestas ou arcos
O que é um grafo?!
Quantos vértices e quantas arestas tem este grafo?
R: 7 vértices, 8 arestas.
?

3. Modelos de Grafos
Quantos vértices e quantas arestas tem este grafo?
R: Considerando apenas as estações terminais e as de ligação:
13 vértices, 15 arestas.
?
Neste sentido, o mapa da rede de metro de Lisboa, é um grafo!

4. Modelos de Grafos
O grafo é uma ferramenta matemática, aparentemente simples, que espantosamente
serve para representar situações muito variadas.
Vejamos alguns exemplos.
E em que nos pode ser útil?!

5. Modelos de Grafos
O carteiro de Viana do Castelo
O percurso do carteiro pode ser representado por um grafo.
O que representam os vértices? E as arestas?
R: Os vértices representam cruzamentos entre as ruas a percorrer,
e as arestas troços de ruas entre cruzamentos.
?

6. Modelos de Grafos
O Castelo do Rei Euler
A planta de uma casa pode ser representada por um grafo.
Se o rei Euler estiver no exterior quais as ligações possíveis a cada uma das salas?
O que podem representar os vértices? E as arestas?
R: Os vértices representam salas, e as arestas ligações entre as salas (portas).
?

7. Modelos de Grafos
Brincadeiras de criança?!
Desenhar uma figura como a seguinte, sem levantar o lápis do papel
e sem passar duas vezes por qualquer das linhas.
? E
A D
C
B
Sim! Mas também Matemática…

8. Modelos de Grafos
E agora uma mais fácil (?!)
Desenhar uma figura como a seguinte, sem levantar o lápis do papel
e sem passar duas vezes por qualquer das linhas.
? A D
C
B

9. Modelos de Grafos
Problema do Caixeiro Viajante
Ou o Problema de Bill Gates
Bill Gates decidiu fazer uma ronda pelas 4 principais sedes das suas
empresas, sedeadas em:
Nova Iorque, Paris, Tokio e Sidney. Estudou as horas de voo entre cada
uma destas capitais.
Qual a melhor sequência de visitas, de forma a gastar o menor número
de horas de voo?
O que podem representar os vértices? E as arestas?
R: Os vértices representam as cidades a visitar, e as arestas as rotas aéreas
entre essas cidades.
?
NY P T S
NY 8h30 12h30 10h00
P 8h30 12h00 18h00
T 12h30 12h00 7h00
S 10h00 18h00 7h00

10. Modelos de Grafos
Problema da Rede Ferroviária
Os responsáveis do Parque Tecnológico FUTUROSCOPE, localizado em Poitiers,
França, querem construir um sistema ferroviário que leve os visitantes a cada
uma das oito atrações do parque.
1. Entrada Principal
2. Destino Cosmos
3. O Desafio da Atlântida
4. Mundo das Crianças
5. Cyber World
6. Sonho de Ícaro
7. Torre Giratória
8. Cyber Avenue
Tendo em conta o preço de cada ligação, como deve ser
formada essa rede de forma a que tenha um custo mínimo?

11. Modelos de Grafos
Os grafos podem ajudar na feitura de horários
A Universidade da 3.ª Idade “Viva Bem; Aprenda até aos Cem!”, tem 8 cursos de verão
para oferecer: Chinês, Matemática, História, Filosofia, Inglês, Russo, Espanhol e Química.
Na tabela seguinte estão assinalados os cursos que têm pelo menos um aluno em
comum inscrito.
Pretende-se definir um horário de modo que:
- cada curso ocupe uma tarde;
- cursos com alunos comuns não funcionem ao mesmo tempo;
- o horário do conjunto dos cursos seja tão compacto quanto possível.
?R: Os vértices representam cursos, e as arestas unem cursos que não podem
funcionar ao mesmo tempo (incompatibilidades).
O que podem representar os vértices? E as arestas?
C M
H
F
I
R
E
Q

12. Modelos de Grafos
Tarefa A – desembarcar os passageiros – 13 minutos
Tarefa B – descarregar as bagagens – 25 minutos
Tarefa C – limpar a cabine – 15 minutos
Tarefa D – carregar as bagagens dos novos passageiros – 22 minutos
Tarefa E – embarcar os novos passageiros – 27 minutos
Qual o tempo mínimo para realizar este conjunto de tarefas?
Os grafos podem ajudar na otimização de um conjunto de tarefas
Um avião chega a um aeroporto e tem de cumprir um certo protocolo de tarefas antes
de ser considerado pronto a descolar de novo.
O responsável pela gestão de um aeroporto definiu que enquanto um avião está naquele
aeroporto é necessário realizar o seguinte conjunto de tarefas:
?R: Os vértices representam as tarefas, onde se indica a sua duração,
e as arestas ligam as tarefas que têm de suceder a outras.
O que podem representar os vértices? E as arestas?
A
13
B
25
C
15
D
22
E
27

13. Modelos de Grafos
Estrutura da Unidade
Modelos de Grafos
Grafos de
Euler
Circuitos de
Euler
Eulerização de
um grafo
Grafos de
Hamilton
Ciclos de
Hamilton
Algoritmos
Árvores
Árvore
abrangente
Outros tipos
de Problemas
Digrafos
Número
Cromático
Noções Básicas

14. Modelos de Grafos
Noções Básicas
Vértices Adjacentes - Dois vértices dizem-se adjacentes quando estão ligados por uma
aresta. Uma aresta que une dois vértices diz-se, por sua vez, aresta incidente em cada
um dos seus vértices.
? R: Clique no rato para ver.
Que vértices são adjacentes neste grafo?
R: Clique no rato para ver.
E vértices não adjacentes?

15. Modelos de Grafos
Noções Básicas
Grau de um vértice - É dado pelo número de arestas incidentes nesse vértice. Caso existam
vértices nos quais não incida nenhuma aresta, tais vértices dizem-se vértices isolados.
? R: Clique no rato para ver.
Qual o grau de cada vértice neste grafo?
R: Não.
Existem vértices isolados?
(2)
(2)
(2)
(3)
(2)
(3)
(2)

16. Modelos de Grafos
Noções Básicas
Arestas Paralelas - Duas arestas dizem-se paralelas quando ligam o mesmo par de vértices.
Uma aresta com ambos os extremos no mesmo vértice designa-se por lacete.
? R: Clique no rato para ver.
Existem arestas paralelas neste grafo?
R: Não.
E lacetes?
Trata-se de um Multigrafo

17. Modelos de Grafos
Noções Básicas
Grafo Regular - Grafo em que todos os seus vértices têm o mesmo grau.
?R: Não, já vimos que existem vértices com graus diferentes.
Este grafo é regular?
R: Clique no rato para ver uma possibilidade.
Que arestas se podem acrescentar para que o grafo passe
a ser um grafo regular?
Todos os vértices
têm grau 4

18. Modelos de Grafos
Noções Básicas
Grafo Completo - Grafo simples em que todos os pares de vértices são adjacentes.
?R: Clique no rato para ver.
Como obter um grafo completo?

19. Modelos de Grafos
Noções Básicas
Grafos Isomorfos - Dois grafos dizem-se idênticos ou isomorfos se for possível fazer
corresponder a cada vértice de um, um vértice do outro, de forma a que cada
aresta que uma dois vértices no primeiro, corresponda à que une os dois vértices
correspondentes no segundo.
?R: Clique no rato para ver uma possibilidade.
Serão estes dois grafos isomorfos?
(2) (3)
(2)
(3)
(2)
(3)
(2)
A
D
B
C
A B
C D
(3)

20. MODELOS DE GRAFOS