O documento discute coloração de grafos e suas aplicações. Em 3 frases:
1) A coloração de grafos envolve atribuir cores a vértices de um grafo de forma que vértices adjacentes recebam cores diferentes. 2) Isso tem aplicações como separar produtos químicos explosivos e atribuir frequências de rádio, entre outras. 3) Determinar o número cromático mínimo de um grafo é um problema NP-difícil, mas existem algoritmos como força bruta e heurísticas.
O documento discute a Teoria dos Grafos, incluindo: (1) O problema das sete pontes de Königsberg que inspirou Euler a desenvolver a teoria; (2) A definição formal de grafo e elementos básicos como vértices, arestas e graus; (3) O teorema de Euler sobre a existência de caminhos eulerianos.
Este documento apresenta um resumo de uma disciplina de álgebra. Ele discute os objetivos gerais do curso, o conteúdo programático organizado em cinco unidades sobre relações, grupos, homomorfismos, classes laterais e anéis/corpos, e fornece uma breve introdução histórica sobre o desenvolvimento da álgebra no século XIX.
O documento discute grafos e sua representação em computação. Ele define grafos, apresenta conceitos básicos como vértices, arestas e grau. Também descreve tipos de grafos como completos, regulares e ponderados. Por fim, aborda formas de representar grafos no computador como matriz e lista de adjacência.
1) O documento apresenta uma introdução ao sistema matemático de análise de circuitos lógicos conhecido como Álgebra de Boole, incluindo blocos lógicos básicos e suas equivalências.
2) Historicamente, a Álgebra Booleana foi desenvolvida pelo matemático George Boole no século XIX e passou a ser usada para análise e projeto de circuitos de comutação sugerida por Claude Shannon no século XX.
3) Nos primórdios da eletrônica, problemas eram solucionados por sistemas
O documento discute perspectiva isométrica e apresenta exercícios para desenhar formas geométricas nessa perspectiva, incluindo eixos isométricos, linhas isométricas e não isométricas, cubos, prisma, cilindros e desenhos técnicos.
O documento introduz os conceitos básicos de teoria dos grafos, incluindo definições formais e informais de grafos, exemplos de grafos, terminologia comum e aplicações. Além disso, aborda conceitos específicos como grafos isomorfos, grafos planares, árvores e percursos em árvores.
O documento discute grafos e suas propriedades. Em três frases:
Discutiu os conceitos básicos de grafos incluindo vértices, arestas e graus. Apresentou exemplos de grafos simples e direcionados e discutiu representações computacionais como matriz de adjacências e lista de adjacências. Também abordou problemas clássicos em grafos como busca em largura, busca em profundidade e conectividade.
O documento discute a Teoria dos Grafos, incluindo: (1) O problema das sete pontes de Königsberg que inspirou Euler a desenvolver a teoria; (2) A definição formal de grafo e elementos básicos como vértices, arestas e graus; (3) O teorema de Euler sobre a existência de caminhos eulerianos.
Este documento apresenta um resumo de uma disciplina de álgebra. Ele discute os objetivos gerais do curso, o conteúdo programático organizado em cinco unidades sobre relações, grupos, homomorfismos, classes laterais e anéis/corpos, e fornece uma breve introdução histórica sobre o desenvolvimento da álgebra no século XIX.
O documento discute grafos e sua representação em computação. Ele define grafos, apresenta conceitos básicos como vértices, arestas e grau. Também descreve tipos de grafos como completos, regulares e ponderados. Por fim, aborda formas de representar grafos no computador como matriz e lista de adjacência.
1) O documento apresenta uma introdução ao sistema matemático de análise de circuitos lógicos conhecido como Álgebra de Boole, incluindo blocos lógicos básicos e suas equivalências.
2) Historicamente, a Álgebra Booleana foi desenvolvida pelo matemático George Boole no século XIX e passou a ser usada para análise e projeto de circuitos de comutação sugerida por Claude Shannon no século XX.
3) Nos primórdios da eletrônica, problemas eram solucionados por sistemas
O documento discute perspectiva isométrica e apresenta exercícios para desenhar formas geométricas nessa perspectiva, incluindo eixos isométricos, linhas isométricas e não isométricas, cubos, prisma, cilindros e desenhos técnicos.
O documento introduz os conceitos básicos de teoria dos grafos, incluindo definições formais e informais de grafos, exemplos de grafos, terminologia comum e aplicações. Além disso, aborda conceitos específicos como grafos isomorfos, grafos planares, árvores e percursos em árvores.
O documento discute grafos e suas propriedades. Em três frases:
Discutiu os conceitos básicos de grafos incluindo vértices, arestas e graus. Apresentou exemplos de grafos simples e direcionados e discutiu representações computacionais como matriz de adjacências e lista de adjacências. Também abordou problemas clássicos em grafos como busca em largura, busca em profundidade e conectividade.
1) A teoria dos grafos surgiu a partir do problema das sete pontes de Königsberg na Alemanha no século 18.
2) Euler resolveu o problema ao modelá-lo matematicamente usando vértices e arestas, fundando assim a teoria dos grafos.
3) Grafos podem ser usados para modelar diversos sistemas reais como redes de transporte, relações sociais em redes sociais.
Apresentação utilizada na aula sobre como construir expressões matemáticas com o LaTeX, do curso "Usando LaTeX; pensando em TeX". É também um ótimo exemplo da capacidade da classe de apresentações Beamer.
Inteligência Artificial - Aula2 - Busca em GrafosRafael Pinto
O documento discute problemas e algoritmos de busca em inteligência artificial. Aborda o que são problemas e algoritmos de busca, definindo características de um problema de busca e tipos de algoritmos como busca em profundidade, largura e informada. Explica conceitos como estado inicial, ações possíveis, modelo de transição e objetivo para definir formalmente um problema de busca.
O documento apresenta uma introdução sobre árvores espalhadas mínimas e descreve dois algoritmos para encontrar tal árvore em um grafo: o algoritmo de Prim e o algoritmo de Kruskal. O documento discute o funcionamento, análise de complexidade e corretude de cada algoritmo e faz uma comparação entre eles.
Laboratório de Programação II: Grafos - Matriz de adjacência e Matriz de inci...Alex Camargo
Este documento discute as representações de grafos usando matrizes de adjacência e incidência. Explica o que são grafos, vértices e arestas. Também apresenta exemplos de grafos e como representá-los usando matrizes de adjacência e incidência.
O documento discute grafos e sua representação matemática. Grafos são usados para modelar diversos sistemas como redes de comunicação, estruturas moleculares e mapas da internet. Um grafo consiste de vértices e arestas. Grafos podem ser direcionados ou não direcionados e são usados para resolver problemas como o problema dos vegetarianos e canibais.
Este documento contém um resumo das principais ideias da lógica proposicional, incluindo:
1) Definições de proposições, conectivos lógicos e tabelas verdade;
2) Explicações detalhadas dos conectivos lógicos da negação, conjunção, disjunção, implicação e bicondicional;
3) Uma introdução aos predicados, quantificadores universais e existenciais e suas notações.
1) O documento apresenta um resumo da teoria de álgebra, incluindo operações binárias, grupos, anéis, corpos e polinômios. 2) É fornecido um conjunto de exercícios classificados por nível de dificuldade para ajudar na fixação do conteúdo. 3) O texto foi elaborado para a disciplina de Introdução à Álgebra ministrada na UAB/UFPB.
Este documento apresenta uma lista de exercícios sobre potência CA e triângulo de potências para um curso de eletrotécnica. Os exercícios abordam cálculos de corrente, potências, fator de potência e representação gráfica no triângulo de potências para diferentes circuitos elétricos.
Este documento discute a lógica fuzzy, definindo-a como uma lógica multivalorada que permite graus parciais de pertinência em conjuntos. Explica como a lógica fuzzy modela o raciocínio humano impreciso através de conjuntos fuzzy, regras fuzzy e um processo de inferência difusa estilo Mamdani. Finalmente, lista alguns domínios de aplicação como sistemas especialistas e controle inteligente.
3 ano mod 15 - medidores elétricos e ponte de wheatstoneeduardorsilva
O documento discute medições elétricas usando galvanômetros e a Ponte de Wheatstone. Explica que galvanômetros medem correntes fracas e podem ser usados como amperímetros ou voltímetros com a adição de resistores. A Ponte de Wheatstone mede resistências desconhecidas e está em equilíbrio quando a corrente no galvanômetro é zero.
O documento apresenta os principais conceitos da Teoria dos Grafos, incluindo definições de vértices, arestas, caminhos, ciclos, graus, matrizes de adjacência e diversos tipos de grafos como completos, bipartidos e árvores.
Grafos e árvores são estruturas matemáticas que representam relações. Grafos consistem em vértices e arestas, e podem ser direcionados ou não. Árvores são grafos acíclicos e conexos. Árvores binárias dividem cada nó em no máximo duas subárvores esquerda e direita.
1) O documento descreve funções polinomiais do 1o grau que relacionam variáveis dependentes (salário S e saldo bancário S) com variáveis independentes (vendas x e notas retiradas x).
2) Essas funções afins são representadas por equações na forma S(x) = ax + b, onde a é a inclinação da reta e b é o y-intercept.
3) O documento fornece exemplos de como calcular os coeficientes a e b para funções definidas em diferentes situações.
O documento apresenta informações sobre a Universidade Federal Rural de Pernambuco, incluindo seus principais cargos administrativos. Além disso, fornece detalhes sobre o plano de disciplina de Matemática Discreta, como ementa, objetivos, conteúdo programático e referências.
O documento discute o método de escalonamento para resolver sistemas lineares. Este método envolve transformar a matriz aumentada do sistema em uma forma escalonada através de combinações lineares para fazer zeros aparecerem, o que resulta na resolução do sistema. Exemplos demonstram o procedimento para sistemas com 2 e 3 incógnitas.
O documento discute o magnetismo dos materiais, abordando tópicos como a evolução histórica dos materiais magnéticos, suas propriedades magnéticas e aplicações. É explicado que diferentes materiais podem se comportar como diamagnéticos, paramagnéticos, ferromagnéticos, ferrimagnéticos ou antiferromagnéticos quando submetidos a um campo magnético, e exemplos dessas aplicações incluem gravação magnética, levitacao magnética e motores/geradores elétricos.
O documento apresenta uma lista de 10 exercícios de circuitos elétricos para serem resolvidos utilizando análise de malhas e nós. Os exercícios envolvem determinar valores de corrente, tensão e resistência equivalente em diferentes circuitos.
I. O documento discute sistemas lineares, definindo equações lineares e suas soluções. Sistemas lineares são conjuntos de equações lineares. II. Apresenta métodos para classificar e resolver sistemas lineares, incluindo a regra de Cramer e redução a forma escalonada. III. Discute sistemas lineares homogêneos e propriedades gerais de sistemas lineares.
O documento explica três formas principais de representar grafos em estruturas de dados: matriz de adjacência, lista de adjacência e matriz de incidência. Apresenta exemplos de cada uma e discute quando cada uma é mais apropriada dependendo do tipo e tamanho do grafo. Também introduz alguns algoritmos básicos para grafos como busca em profundidade.
O documento apresenta conceitos sobre números complexos, incluindo: a definição de i como a raiz quadrada de -1, as formas algébrica e trigonométrica de escrever números complexos, operações com números complexos e suas propriedades.
1) A teoria dos grafos surgiu a partir do problema das sete pontes de Königsberg na Alemanha no século 18.
2) Euler resolveu o problema ao modelá-lo matematicamente usando vértices e arestas, fundando assim a teoria dos grafos.
3) Grafos podem ser usados para modelar diversos sistemas reais como redes de transporte, relações sociais em redes sociais.
Apresentação utilizada na aula sobre como construir expressões matemáticas com o LaTeX, do curso "Usando LaTeX; pensando em TeX". É também um ótimo exemplo da capacidade da classe de apresentações Beamer.
Inteligência Artificial - Aula2 - Busca em GrafosRafael Pinto
O documento discute problemas e algoritmos de busca em inteligência artificial. Aborda o que são problemas e algoritmos de busca, definindo características de um problema de busca e tipos de algoritmos como busca em profundidade, largura e informada. Explica conceitos como estado inicial, ações possíveis, modelo de transição e objetivo para definir formalmente um problema de busca.
O documento apresenta uma introdução sobre árvores espalhadas mínimas e descreve dois algoritmos para encontrar tal árvore em um grafo: o algoritmo de Prim e o algoritmo de Kruskal. O documento discute o funcionamento, análise de complexidade e corretude de cada algoritmo e faz uma comparação entre eles.
Laboratório de Programação II: Grafos - Matriz de adjacência e Matriz de inci...Alex Camargo
Este documento discute as representações de grafos usando matrizes de adjacência e incidência. Explica o que são grafos, vértices e arestas. Também apresenta exemplos de grafos e como representá-los usando matrizes de adjacência e incidência.
O documento discute grafos e sua representação matemática. Grafos são usados para modelar diversos sistemas como redes de comunicação, estruturas moleculares e mapas da internet. Um grafo consiste de vértices e arestas. Grafos podem ser direcionados ou não direcionados e são usados para resolver problemas como o problema dos vegetarianos e canibais.
Este documento contém um resumo das principais ideias da lógica proposicional, incluindo:
1) Definições de proposições, conectivos lógicos e tabelas verdade;
2) Explicações detalhadas dos conectivos lógicos da negação, conjunção, disjunção, implicação e bicondicional;
3) Uma introdução aos predicados, quantificadores universais e existenciais e suas notações.
1) O documento apresenta um resumo da teoria de álgebra, incluindo operações binárias, grupos, anéis, corpos e polinômios. 2) É fornecido um conjunto de exercícios classificados por nível de dificuldade para ajudar na fixação do conteúdo. 3) O texto foi elaborado para a disciplina de Introdução à Álgebra ministrada na UAB/UFPB.
Este documento apresenta uma lista de exercícios sobre potência CA e triângulo de potências para um curso de eletrotécnica. Os exercícios abordam cálculos de corrente, potências, fator de potência e representação gráfica no triângulo de potências para diferentes circuitos elétricos.
Este documento discute a lógica fuzzy, definindo-a como uma lógica multivalorada que permite graus parciais de pertinência em conjuntos. Explica como a lógica fuzzy modela o raciocínio humano impreciso através de conjuntos fuzzy, regras fuzzy e um processo de inferência difusa estilo Mamdani. Finalmente, lista alguns domínios de aplicação como sistemas especialistas e controle inteligente.
3 ano mod 15 - medidores elétricos e ponte de wheatstoneeduardorsilva
O documento discute medições elétricas usando galvanômetros e a Ponte de Wheatstone. Explica que galvanômetros medem correntes fracas e podem ser usados como amperímetros ou voltímetros com a adição de resistores. A Ponte de Wheatstone mede resistências desconhecidas e está em equilíbrio quando a corrente no galvanômetro é zero.
O documento apresenta os principais conceitos da Teoria dos Grafos, incluindo definições de vértices, arestas, caminhos, ciclos, graus, matrizes de adjacência e diversos tipos de grafos como completos, bipartidos e árvores.
Grafos e árvores são estruturas matemáticas que representam relações. Grafos consistem em vértices e arestas, e podem ser direcionados ou não. Árvores são grafos acíclicos e conexos. Árvores binárias dividem cada nó em no máximo duas subárvores esquerda e direita.
1) O documento descreve funções polinomiais do 1o grau que relacionam variáveis dependentes (salário S e saldo bancário S) com variáveis independentes (vendas x e notas retiradas x).
2) Essas funções afins são representadas por equações na forma S(x) = ax + b, onde a é a inclinação da reta e b é o y-intercept.
3) O documento fornece exemplos de como calcular os coeficientes a e b para funções definidas em diferentes situações.
O documento apresenta informações sobre a Universidade Federal Rural de Pernambuco, incluindo seus principais cargos administrativos. Além disso, fornece detalhes sobre o plano de disciplina de Matemática Discreta, como ementa, objetivos, conteúdo programático e referências.
O documento discute o método de escalonamento para resolver sistemas lineares. Este método envolve transformar a matriz aumentada do sistema em uma forma escalonada através de combinações lineares para fazer zeros aparecerem, o que resulta na resolução do sistema. Exemplos demonstram o procedimento para sistemas com 2 e 3 incógnitas.
O documento discute o magnetismo dos materiais, abordando tópicos como a evolução histórica dos materiais magnéticos, suas propriedades magnéticas e aplicações. É explicado que diferentes materiais podem se comportar como diamagnéticos, paramagnéticos, ferromagnéticos, ferrimagnéticos ou antiferromagnéticos quando submetidos a um campo magnético, e exemplos dessas aplicações incluem gravação magnética, levitacao magnética e motores/geradores elétricos.
O documento apresenta uma lista de 10 exercícios de circuitos elétricos para serem resolvidos utilizando análise de malhas e nós. Os exercícios envolvem determinar valores de corrente, tensão e resistência equivalente em diferentes circuitos.
I. O documento discute sistemas lineares, definindo equações lineares e suas soluções. Sistemas lineares são conjuntos de equações lineares. II. Apresenta métodos para classificar e resolver sistemas lineares, incluindo a regra de Cramer e redução a forma escalonada. III. Discute sistemas lineares homogêneos e propriedades gerais de sistemas lineares.
O documento explica três formas principais de representar grafos em estruturas de dados: matriz de adjacência, lista de adjacência e matriz de incidência. Apresenta exemplos de cada uma e discute quando cada uma é mais apropriada dependendo do tipo e tamanho do grafo. Também introduz alguns algoritmos básicos para grafos como busca em profundidade.
O documento apresenta conceitos sobre números complexos, incluindo: a definição de i como a raiz quadrada de -1, as formas algébrica e trigonométrica de escrever números complexos, operações com números complexos e suas propriedades.
Graph Theory - Exercises - Chapter 2 - Part IIMichel Alves
O documento apresenta resumos de exercícios de teoria dos grafos, incluindo: 1) a definição de grafo complementar e bipartido complementar; 2) critérios para isomorfismo de grafos; 3) definição de grafo fortemente conexo e exemplos.
1. O documento apresenta questões sobre polígonos, quadriláteros e suas propriedades. Inclui questões sobre cálculo de áreas e classificação de figuras geométricas.
2. São solicitadas informações como o número de diagonais de um polígono de seis lados, a classificação de quadriláteros dados e a resolução de equações.
3. Inclui também a determinação de ângulos internos de polígonos e triângulos, cálculo de áreas de figuras planas e identificação de figuras semelhantes
Introdução às Linguagens de Programação com ProcessingArticacc, Lda
Este documento introduz conceitos básicos de programação visual com a linguagem Processing, incluindo como definir o tamanho da janela, a cor de fundo, representar pontos, linhas, retângulos, elipses e triângulos utilizando coordenadas x e y, e como controlar a cor e transparência desses objetos com os comandos fill(), stroke() e definindo valores alpha.
Teoria de Grafos.ppt.pptx para estudar MACSsandra soares
Este documento apresenta alguns conceitos básicos sobre grafos, incluindo vértices, arestas, grau de vértices e tipos de grafos como grafos regulares e completos. Ilustra como grafos podem ser usados para modelar diversas situações como rotas de carteiros, plantas de casas e problemas de otimização.
Este documento apresenta exercícios sobre números reais e cálculos envolvendo o número pi. No primeiro exercício, pede-se para escrever exemplos de diferentes tipos de números reais. O segundo exercício solicita representar números na reta real. O terceiro pede para determinar frações irredutíveis de dízimas periódicas. O quarto contém um cálculo envolvendo as dimensões de um pneu. E o quinto apresenta uma estimativa histórica de Arquimedes para o valor de pi e pede para representá-la graficamente
O documento apresenta uma introdução aos grafos, começando por definir o que é um grafo através de exemplos de problemas que podem ser representados por grafos. É apresentada a definição formal de grafo como um par ordenado constituído por um conjunto de vértices e um conjunto de arestas. São definidos os conceitos de vértice adjacente, aresta incidente e grau de um vértice. Por fim, é enunciado o primeiro resultado sobre a soma dos graus de um grafo.
Slides da disciplina de Análise de Algoritmos, ministrada pelo Prof. Marcelo H. Carvalho no curso de Pós-Graduação em Ciência da Computação, FACOM - UFMS.
O documento contém 12 questões de múltipla escolha da prova Fuvest 2020. As questões abordam tópicos como matemática, probabilidade, geometria e análise combinatória e têm como objetivo avaliar os conhecimentos dos candidatos em diferentes áreas.
Este documento contém 8 questões de matemática sobre geometria, álgebra e números. As questões incluem identificar propriedades de figuras geométricas, calcular pontuações de times esportivos com base em vitórias e derrotas, e realizar operações algébricas como raiz quadrada e potenciação.
Treinamento Para competições de Programação do INF-UFG - Grafos Parte 1 - Tur...Murilo Adriano Vasconcelos
O documento fornece uma introdução sobre grafos, definindo seus principais conceitos como vértices, arestas e tipos de grafos. Explica as representações de grafos por matrizes de adjacência e listas de adjacência e apresenta os algoritmos de busca em largura e profundidade como aplicações importantes de grafos.
Este documento apresenta uma introdução sobre grafos. Ele discute conceitos básicos como vértices, arestas e grau de vértices usando exemplos de um torneio de vôlei entre turmas de escola. Também introduz formas de representar grafos através de listas e desenhos.
Este documento apresenta uma introdução sobre grafos. Ele discute conceitos básicos como vértices, arestas e grau de vértices usando exemplos de um torneio de vôlei entre turmas de escola. Também introduz formas de representar grafos através de listas e desenhos.
Este documento contém uma série de exercícios matemáticos sobre proporcionalidade, equações, funções, probabilidades e geometria. Os exercícios incluem completar tabelas, classificar sistemas de equações, resolver inequações e determinar probabilidades em diferentes cenários.
O algoritmo de Floyd-Warshall se propõe a resolver o problema de encontrar o menor caminho entre todos os pares de vértices de um grafo orientado e ponderado. Ele utiliza programação dinâmica para calcular de forma eficiente as distâncias mínimas entre todos os pares de vértices do grafo.
Este documento fornece instruções e informações gerais sobre uma prova de matemática para o 12o ano, incluindo: a duração da prova, itens permitidos, instruções de preenchimento, cotações dos itens, e um formulário com fórmulas úteis. A prova contém 8 itens cobrindo tópicos como geometria, probabilidade, limites e progressões.
Introdução aos grafos: Principais conceitosssusera0fc94
O documento descreve conceitos básicos de grafos, incluindo o problema das pontes de Königsberg que inspirou a teoria dos grafos. Ele define grafos, vértices, arestas e conceitos como ordem, adjacência e grau de um vértice. Também apresenta formas de representar grafos como matrizes de adjacência e lista de adjacência.
O documento discute o problema das pontes de Königsberg e como ele levou ao desenvolvimento da teoria dos grafos. Ele introduz o problema original das sete pontes de Königsberg e como Euler resolveu o problema em 1736, o que é considerado o primeiro artigo sobre teoria dos grafos. Em seguida, o documento apresenta conceitos básicos de grafos, incluindo definições de vértices, arestas, grau de vértices, subgrafos e representações de grafos como matrizes de adjacência e lista de adjacência.
O documento discute conceitos de combinatória e probabilidade, incluindo fatorial, triângulo de Pascal, coeficientes binomiais e aplicações em genética e herança.
1. O documento apresenta uma introdução sobre ciência de dados com R, abordando tópicos como o que é ciência de dados, workflow da ciência de dados, linguagens para ciência de dados e o que é R e por que deve ser aprendido.
2. São apresentados conceitos básicos sobre o uso do R, incluindo o console, scripts, salvando scripts e buscando ajuda.
3. O documento serve como uma introdução geral sobre ciência de dados com R, apresentando conceitos fundamentais da área e da linguagem R.
O documento apresenta um estudo de caso sobre o município de Iperó, SP. Ele descreve o contexto atual do município com base em indicadores socioeconômicos, analisa seu potencial para se tornar uma cidade inteligente e sugere recomendações para a elaboração de um Plano Diretor de Tecnologia da Cidade Inteligente.
O documento discute classes container no Qt, incluindo containers sequenciais como QVector e QLinkedList, e associativos como QMap e QHash. Os containers Qt oferecem vantagens como comportamento consistente entre plataformas e compartilhamento implícito para melhor desempenho. Iteradores são fornecidos para percorrer os itens armazenados.
O documento descreve como habilitar funcionalidades de arrastar e soltar em aplicações Qt, incluindo: 1) como fazer uma aplicação aceitar arraste de arquivos externos; 2) como iniciar um arraste de itens de uma lista e aceitar arraste entre listas; 3) como usar tipos MIME para controlar os formatos de dados arrastados.
O documento discute processamento de eventos no Qt, especificamente reimplementando manipuladores de eventos e instalando filtros de eventos. Eventos são gerados em resposta a ações do usuário ou independentemente e são tratados por objetos através da função event(). Dois tipos comuns de eventos discutidos são eventos de teclado e eventos de timer.
1) O documento discute vários métodos de layout de widgets em Qt, incluindo posicionamento absoluto, layout manual e gerenciadores de layout. 2) Gerenciadores de layout como QHBoxLayout e QGridLayout automatizam o layout e garantem uma interface adaptável. 3) Outras classes como QStackedLayout e QSplitter permitem layouts flexíveis e interfaces de múltiplos documentos.
Este documento descreve a implementação de funcionalidades básicas em uma aplicação de planilha eletrônica, incluindo carregamento e salvamento de arquivos, implementação de menus e subclasses para armazenamento de células. A classe Spreadsheet é derivada de QTableWidget e armazena células como objetos da classe Cell. Funções são implementadas para manipular células, carregar/salvar arquivos e implementar ações dos menus.
O documento discute entrada e saída de dados em Qt, incluindo leitura e escrita de dados binários e texto. Qt fornece a classe QIODevice como uma abstração poderosa para dispositivos de entrada e saída, e subclasses como QFile para acessar arquivos. QDataStream é usado para ler e escrever dados binários de forma independente de plataforma entre aplicações Qt.
Este livro fornece uma introdução completa ao desenvolvimento de interfaces gráficas com Qt 4.3, cobrindo tópicos como:
1) Criação de janelas, dialogs e widgets básicos
2) Layouts, processamento de eventos e gráficos 2D
3) Banco de dados, multithreading, rede e XML
4) Internacionalização, personalização, gráficos 3D e plugins
5) Ajuda on-line, recursos de plataforma específicos e programação incorporada
3. O que é um grafo?
Estrutura matemática abstrata.
Formada por dois conjuntos:
conjunto de vértices (pontos);
conjunto de arestas (arcos).
4. O que é um grafo?
Estrutura matematica abstrata.
Formada por dois conjuntos:
conjunto de vértices (pontos);
conjunto de arestas (arcos).
Pode ser usado para modelar situações do mundo real:
vértices representam pessoas, máquinas, etc.
arestas representam existência de ligação entre nós, distância
entre os nós, etc.
3 / 49
5. Coloração de grafos
Um problema de coloração em grafos consiste em atribuir cores a
certos elementos do grafo sujeito a determinadas condições
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6. Coloração de grafos
Um problema de coloração em grafos consiste em atribuir cores a
certos elementos do grafo sujeito a determinadas condições.
Exemplo: coloração própria de vértices.
v1
v2 v3
v4
v5
4 / 49
8. Origem da coloração de grafos
Francis Guthrie (1852): Qualquer mapa político pode ser colorido
com no máximo quatro cores?
Francis Guthrie
9. Mapas e Grafos
Um mapa no plano pode ser representado por um grafo chamado de
grafo dual.
10. Teorema das Quatro Cores
Teorema das Quatro Cores [Appel e Haken, 1977]
Todo grafo planar possui uma coloração de vértices com no máximo
quatro cores.
12. Separaçãoo de produtos explosivos
Os vértices representam produtos quíımicos necessários em algum
processo de produção
Existe uma aresta ligando cada par de produtos que podem
explodir, se combinados.
O número cromático representa o número mı́nimo de
compartimentos para guardar estes produtos químicos em segurança.
13. Atribuição de frequências de rádio
Os vértices representam os transmissores das estaçõesde rádio.
Duas estações são adjacentes quando suas áreas de transmissão se
sobrepõem,o que resultaria em interferência se elas usassem a mesma
frequência.
Cada cor contém estaçõesque podem receber a mesma frequência.
15. Sudoku
6 1 4 5
8 3 5 6
1
8 4 7 6
6 3
7 9 1 4
5 2
7 2 6 9
4 5 8 7
9 6 3 1 7 4 2 5 8
1 7 8 3 2 5 6 4 9
2 5 4 6 8 9 7 3 1
8 2 1 4 3 7 5 9 6
4 9 6 8 5 2 3 1 7
7 3 5 9 6 1 8 2 4
5 8 9 7 1 3 4 6 2
3 1 7 2 4 6 9 8 5
6 4 2 5 9 8 1 7 3
O sudoku é uma variação da coloração de vértices.
Cada célula representa um vértice e existe uma aresta entre dois
vértices se eles estão em uma mesma linha, mesma coluna ou no
mesmo bloco.
At´ılio Gomes Luiz Colora¸cão de grafos e suas aplicac¸ões 17 / 49
16. Semáforos
Existem oito pistas de tráfego no cruzamento de duas ruas. Um
semáforoestá localizado na intersecção.Durante cada fase do semáforo,
somente os carros em pistas para as quais a luz está verde podem
prosseguir com segurança. Qual é o númeromínimode fases necessárias
de modo que, eventualmente, todos os carros possam prosseguir
através do cruzamento?
17. Semaforos
Existem oito pistas de tráfego no cruzamento de duas ruas. Um
semáforoestálocalizado na intersecção.Durante cada fase do semáforo,
somente os carros em pistas para as quais a luz estáverde podem
prosseguir com segurança. Qual é o númeromiınimode fases necessarias
de modo que, eventualmente, todos os carros possam prosseguir
através do cruzamento?
L1
L6 L4
L5
L2
L3
L7
L8
18. Semaforos
Existem oito pistas de tráfego no cruzamento de duas ruas. Um
semaforoesta localizado na intersecção. Durante cada fase do semáforo,
somente os carros em pistas para as quais a luz está verde podem
prosseguir com segurança. Qual é o númeromínimode fases necessárias
de modo que, eventualmente, todos os carros possam prosseguir
através do cruzamento?
L1
L6 L4
L5
L2
L3
L7
L8
20. Definições
Não consideramos grafos com loops.
Não consideramos grafos com arestas múltiplas.
Considerados apenas grafos simples.
loop
arestas múltiplas
21. Definições
Dado um grafo simples G e v um vértice de G:
grau(v): o número de arestas incidentes em v.
grau(v1) = grau(v4) = 1
grau(v2) = grau(v3) = 3
grau(v5) = 2
v1 v2 v3 v4
v5
22. Definições
Dado um grafo simples G e v um vértice de G:
grau(v): o número de arestas incidentes em v.
grau(v1) = grau(v4) = 1
grau(v2) = grau(v3) = 3
grau(v5) = 2
v1 v2 v3 v4
v5
∆(G ) (Grau maximo de G ): é o maior grau dentre todos os graus
dos vértices de G.
23. Definicoes
Dado um grafo simples G e v um v´ertice de G:
grau(v): o número de arestas incidentes em v.
grau(v1) = grau(v4) = 1
grau(v2) = grau(v3) = 3
grau(v5) = 2
v1 v2 v3 v4
v5
∆(G ) (Grau maximo de G ): é o maior dentre todos os graus dos
vértices de G.
Dois vértices que possuem uma aresta em comum sãoditos
adjacentes.
25. Definicoes
α(G) = 2
Conjunto independente: subconjunto de vérticesde G que não
possuem arestas em comum.
α(G): tamanho do maior conjunto independente de G.
27. Definicoes
Grafo bipartido: seus vertices podem ser particionados em dois
conjuntos independentes.
Kn (Grafo completo com n vertices): quaisquer dois vertices sao
ligados por uma aresta.
28. Número cromático de um grafo
Numero cromatico de um grafo G: o menor inteiro positivo k tal
que G possui uma k-coloracaopropria de vertices.
Esse número é representado por χ(G).
G1 G2
χ(G1) = 1
χ(G2) = 2
Grafo bipartido
30. Número cromático de um grafo
1
1
2
2
3
v1
v2 v3
v4
v5
Grafo H
χ(H) ≤3.
É possı
́ vel colorir H com menos que três cores?
31. Número cromático de um grafo
1
1
2
2
3
v1
v2 v3
v4
v5
Grafo H
χ(H) ≤3.
É possı
́ vel colorir H com menos que três cores?
Como H contemum triangulo,temos que χ(H) ≥3.
Logo, χ(H) = 3.
32. Grafos bipartidos
Teorema
Um grafo G é bipartido se e somente se ele nao contem ciclo ımpar.
1
1
1 2
2
2
2
2
3
3
3
3
v1
v1
v2
v2
v3
v3 v4
v4
v5
v5
v6
v7
χ(G) = 3 χ(G) = 3
34. Algoritmo para checar se χ(G) = 2
Algorithm 1 Algoritmo para checar se G eh bipartido
Entrada: Vertice G. Vertice inicial
Comece com o vertice inicial v e pinte-o de AZUL.
2: Pinte todos os vizinhos de v de VERMELHO.
3: Continue a coloracao pintando os vizinhos dos vertices j
a coloridos,
usando ou o AZUL ou o VERMELHO. Ao atribuir cores, se
encontrarmos um vizinho colorido com a mesma cor do vertice
atual, entao o grafo naopode ser colorido com duas cores.
43. Limitantes inferiores para χ(G)
Mahnoticia: Ate hoje, nao se conhece nenhum bom algoritmo
para checar se um grafo G possui χ(G) = k, para k ≥3.
44. Limitantes inferiores para χ(G)
Mah noticia: Ate hoje, nao se conhece nenhum bom algoritmo
para checar se um grafo G possui χ(G) = k, para k ≥3.
Dado um grafo G , gostariamosde determinar limitantes inferiores e
superiores para χ(G).
45. Limitantes inferiores para χ(G)
a2
a3
a4
Mahnoticia: Atehoje, naoseconhece nenhum bom algoritmo
para checar se um grafo G possui χ(G) = k, para k ≥3.
Dado um grafo G , gostariamosde determinar limitantes inferiores e
superiores para χ(G).
a1
a5
a6
a7
χ(G) ≤ 4
46. Limitantes inferiores para χ(G)
a2
a3
a4
Mah noticia: Atehoje, nao conhece nenhum bom algoritmo
para checar se um grafo G possui χ(G) = k, para k ≥3.
Dado um grafo G , gostariamosde determinar limitantes inferiores e
superiores para χ(G).
a1
a5
a6
a7
χ(G) ≤4
Limitante 1: Para todo grafo G, χ(G) ≥ω(G).
47. Limitantes inferiores para χ(G)
Manoticia: Existe um grafo G sem triangulos e com numero cromatico
χ(G) = k, para todo k ≥1. [Mycielski, 1955]
χ(G) = 1 χ(G) = 2 χ(G) = 3 χ(G) = 4
31 / 49
48. Limitantes inferiores para χ(G)
Limitante 2
α(G)
Se G é um grafo com n vértices, então χ(G ) ≥ n .
χ(G) = 3 χ(G) = 4
50. Complexidade da Coloracao de Vertices
(Garey e Johnson, 1974): O problema de achar o numero
cromático de um grafo é NP-difı́cil.
51. Algoritmo de força bruta
Seja G um grafo simples com n v´ertices.
kn
v1 v2 v3 v4 v5 vn
k k k k k k =
52. Algoritmo de força bruta
Seja G um grafo simples com n v´ertices.
v1 v2 v3 v4 v5 vn
k k k k k k = kn
O algoritmo de forcabruta busca por uma k-coloracaode G
considerando cada uma das kn atribuicoespossiveis e checa se cada
uma delas é correta.
53. Algoritmo de força bruta
Seja G um grafo simples com n v´ertices.
v1 v2 v3 v4 v5 vn
k k k k k k = kn
O algoritmo de forcabruta busca por uma k-coloracaode G
considerando cada uma das kn atribuicoes possiveis e checa se cada
uma delas é correta.
Para calcular χ(G ), este procedimento é testado
k = 1, . . ., n −1.
=⇒ Computacionalmente inviavel para grandes instancias.
54. Algoritmo guloso
Algoritmo guloso é aquele que sempre realiza a escolha que
parece ser a melhor no momento, fazendo uma escolha otima local,
na esperanca de que esta escolha leve atéa solução otima global.
– Ele nunca volta atras.
55. Algoritmo guloso
Algoritmo guloso é aquele que sempre realiza a escolha que
parece ser a melhor no momento, fazendo uma escolha otima local,
na esperanca de que esta escolha leve até a solução otima global.
– Ele nunca volta atras.
“Como na vida real, algoritmos gulosos, algumas vezes podem levar a
melhor solucao, outras vezes podem levar a solucoes muito boas, e outras
vezes levara solucoesruins. O truque é determinar quando ser
ganancioso”— Ian Parberry, Problems on Algorithms.
56. Algoritmo guloso
Algorithm 2 Algoritmo Guloso para coloracaode vertices
Input: Vert
iices de G listados em ordem v1,v2, ... ,vn.
Conjunto de cores disponı́veis C = {1,2,... ,n}.
Output: Uma coloracao propria dos vertices de G.
37 / 49
66. Algoritmo guloso
1
1 2
2 3
3
4
5
v1
v2 v3
v5
v6 v7
v4 v8
C = {1, 2, . . ., 8}
Temos que χ(G) = 2, mas o algoritmo guloso de coloracao usou 5 cores.
67. Algoritmo guloso – Limitante superior
Teorema
Para todo grafo G, χ(G) ≤∆ (G) + 1.
Demonstracao:
68. Algoritmo guloso – Limitante superior
Teorema
Para todo grafo G, χ(G) ≤∆ (G) + 1.
Demonstracao:
Suponha que os vertices de G sejam listados na ordem v1,v2, . . . , vn
e que o algoritmo guloso é aplicado.
69. Algoritmo guloso – Limitante superior
Teorema
Para todo grafo G, χ(G) ≤∆ (G) + 1.
Demonstracao:
Suponha que os vértices de G sejam listados na ordem v1,v2, . . . , vn
e que o algoritmo guloso é aplicado.
1 2 3 ∆ (G)
vi
∆ (G) + 1
70. Algoritmo guloso – Limitante superior
Teorema
Para todo grafo G, χ(G) ≤∆ (G) + 1.
Demonstracao
Suponha que os vertices de G sejam listados na ordem v1,v2, . . . , vn
e que o algoritmo guloso é aplicado.
1 2 3 ∆ (G)
vi
∆ (G) + 1
Na i-esima iteracao do lacoao colorir o vertice vi , no maximo
∆(G ) cores terao sido utilizadas para colorir seus vizinhos. Se este
for o caso, entao escolhemos uma cor adicional para colorir vi .
Deste modo, teremos utilizados ∆(G ) + 1 cores para colorir G.
71. Heurı́stica
Heuristica é́ um método ou processo criado com o objetivo
de encontrar soluções para um problema. É um
procedimento simplificador que, em face de questões
difı ́ceis, envolve a substituição destas por outras de
resolução mais fácil a fim de encontrar respostas viáveis,
ainda que imperfeitas
Muitas heurı ́sticas para coloração de vértices se baseiam na
intuição de que um vértice de maior grau será mais difı ́cil de
colorir mais tarde do que um de menor grau.
72. Heurı́stica
Algorithm 3 Algoritmo de Welsh-Powell
Input: Grafo G com n vertices v1, v2,... ,vn.
Output: Uma coloracao propria dos vertices de G.
1: Calcule o grau de cada vértice de G .
2: Liste os vértices em ordem decrescente de grau.
3: Associe a cor 1 ao primeiro vértice da lista e ao próximo vértice da lista
não adjacente a ele, e sucessivamente para cada nó da lista não adjacente
a um nó com a cor 1.
4: Associe a cor 2 ao próximo vértice da lista ainda sem cor.
Sucessivamente associe a cor 2 para o próximo vértice da lista não
adjacente aos vértices com cor 2 e que ainda não está colorido.
5: Continue esse processo até que todos os vértices sejam coloridos.
73. Execucao do Algoritmo de Welsh-Powell
Exemplo de uma instância e uma ordenação ruim:
b
a
c
d
e
f
g
h
Ordenação dos vértices
Passo 1: b e c d g f a h
74. Execucao do Algoritmo de Welsh-Powell
Exemplo de uma instância e uma ordenação ruim:
1
a
b
c
d
e
f
g
h
Ordenação dos vértices
Passo 1: b e c d g f a h
75. Execucao do Algoritmo de Welsh-Powell
Exemplo de uma instância e uma ordenação ruim:
1
a
1
b
c
d
e
f
g
h
Ordenação dos vértices
Passo 1: b e c d g f a h
76. Execucao do Algoritmo de Welsh-Powell
Exemplo de uma instância e uma ordenação ruim:
1
a
1
b
c
d
e
f
g
h
Ordenação dos vértices
Passo 1: b e c d g f a h
Passo 2: b e c d g f a h
77. Execucao do Algoritmo de Welsh-Powell
Exemplo de uma instância e uma ordenação ruim:
1
a
1
2
b
c
d
e
f
g
h
Ordenação dos vértices
Passo 1: b e c d g f a h
Passo 2: b e c d g f a h
78. Execucao do Algoritmo de Welsh-Powell
Exemplo de uma instância e uma ordenação ruim:
1
a
1
2
2
b
c
d
e
f
g
h
Ordenação dos vértices
Passo 1: b e c d g f a h
Passo 2: b e c d g f a h
79. Execucao do Algoritmo de Welsh-Powell
Exemplo de uma instância e uma ordenação ruim:
1
a 2
1
2
2
b
c
d
e
f
g
h
Ordenação dos vértices
Passo 1: b e c d g f a h
Passo 2: b e c d g f a h
80. Execucao do Algoritmo de Welsh-Powell
Exemplo de uma instância e uma ordenação ruim:
1
a 2
1
2
2
2
b
c
d
e
f
g
h
Ordenação dos vértices
Passo 1: b e c d g f a h
Passo 2: b e c d g f a h
81. Execucao do Algoritmo de Welsh-Powell
Exemplo de uma instância e uma ordenação ruim:
1
a 2
1
2
2
2
b
c
d
e
f
g
h
Ordenação dos vértices
Passo 1: b e c d g f a h
Passo 2: b e c d g f a h
Passo 3: b e c d g f a h
82. Execucao do Algoritmo de Welsh-Powell
Exemplo de uma instância e uma ordenação ruim:
1
a 2
1
2
2
2
b
c
d
3 e
f
g
h
Ordenação dos vértices
Passo 1: b e c d g f a h
Passo 2: b e c d g f a h
Passo 3: b e c d g f a h
83. Execucao do Algoritmo de Welsh-Powell
Exemplo de uma instância e uma ordenação ruim:
1
a 2
1
2
2
2
b
c
d
3 e
3 f
g
h
Ordenação dos vértices
Passo 1: b e c d g f a h
Passo 2: b e c d g f a h
Passo 3: b e c d g f a h
84. Execucao do Algoritmo de Welsh-Powell
Exemplo de uma instância e uma ordenação ruim:
1
1
2
2
2
2
a
b
c
d
3 e
3 f
g
h
Ordenação dos vértices
No entanto, χ(G) = 2,
pois G naopossui ciclo impar
Passo 1: b e c d g f a h
Passo 2: b e c d g f a h
Passo 3: b e c d g f a h
85. Limitantes superiores para χ(G)
A partir do algoritmo de Welsh-Powell tambem ehpossivelprovarque
χ(G) ≤∆ (G) + 1.
44 / 49
86. Limitantes superiores para χ(G)
A partir do algoritmo de Welsh-Powell tambémé possível provar que
χ(G) ≤∆ (G) + 1.
Teorema [Brooks, 1941]
Se G é um grafo conexo que não é um grafo completo e nem um
ciclo impar, então χ(G) ≤∆ (G).
88. Conclusao
1. Coloracao de vertices de um grafo surgiu em 1852 a partir de um
problema de coloração de mapas.
2. Coloração de vértices possui diversas aplicações práticas.
3. Nao existem algoritmos eficientes que garantam uma coloracao
minima para grafos arbitrarios
1. Algoritmo guloso.
2. Algoritmo de Welsh-Powell.
1. Coloração de Grafos é uma área de pesquisa muito ativa em
Teoria dos Grafos.
89. Referências
Luiz, Atı́lio Gomes
- V Workshop de Tecnologia da Informação do Sertão Central
- Universidade Federal do Ceará – Campus Quixadá
- 13 de maio 2015