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Univali - Matemática para jogos 
Sistemas Numéricos
Além dos aspectos de programação.... 
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Afinal de contas, qual o papel da matemática e das funções em 
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Afinal de contas, qual o papel da matemática e das funções em 
games ?
O movimento criado começa a 
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Afinal de contas, qual o papel da matemática e das funções em 
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Afinal de contas, qual o papel da matemática e das funções em 
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sucessivamente acrescendo o próximo elemento da sequência. 
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Decomposição de números base decimal em potências 
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N10= an.bn-1 + an-1.bn-2 + … + a1.b0 + am.b-1 + am-1.b-2 … 
n = dígitos da parte inteira 
m = dígitos da parte fracionária 
b = base ai = algarismo 
Ex.: 325.453 = 300 + 20 + 5 + 0.4 + 0.05 + 0.003 
(213)10 
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= 2 . 102 + 1 . 101 + 3 . 100 = 200 + 10 + 3 = 213 
= 4 . 101 + 3 . 100 + 8 . 10-1 + 4 . 10-2 = 40+3+0.8+0.04 = 43.84
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No computador, todas as informações são representadas e processadas na 
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Sistema Binário: possui apenas 2 algarismos – 0 e 1. 
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Sistemas Numéricos 
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Sistema Binário: possui apenas 2 algarismos – 0 e 1. 
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.....
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Sistemas Numéricos 
Sistema Binário: possui apenas 2 algarismos – 0 e 1. 
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0 0 
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2 10 
3 11 
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5 101 
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7 111 
8 1000 
9 1001 
10 1010 
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Sistemas Numéricos 
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O objetivo é facilitar a representação de cadeias binárias muito grandes: 
DEC BIN OCTAL DEC BIN OCTAL 
0 0 0 8 1000 10 
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2 10 2 10 1010 12 
3 11 3 11 1011 13 
4 100 4 12 1100 14 
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O objetivo é facilitar a representação de 
cadeias binárias muito grandes 
A = 10 ; B = 11; C = 12; D = 13; E = 14; F = 15;
Sistemas Numéricos 
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DEC 
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Utilizamos o método das divisões sucessivas pelo valor da respectiva base: 
Ex.: converter o número (213)10 para binário (???)2. 
213 / 2 = 106 e sobra 1 
106 / 2 = 53 e sobra 0 
53 / 2 = 26 e sobra 1 
213 = 1101 0101 
Exercícios de conversão de base: 
a) (75)10 → (100 1011)2 d) (254)10 → (1111 1110)2 
b) (324)10 → (1 0100 0100)2 e) (170)10 → (1010 1010)2 
c) (129)10 → (1000 0001)2 f) (32.768)10 → (1000 0000 0000 0000)2
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3. Conversão de decimal para qualquer base 
Utilizamos o método das divisões sucessivas pelo valor da respectiva base: 
Ex.: converter o número (213)10 para octal (???)8. 
213 / 8 = 26 e sobra 5 
26 / 8 = 3 e sobra 2 
213 = 325 
Exercícios de conversão de base: 
a) (75)10 → (113)8 d) (254)10 → (376)8 
b) (324)10 → (504)8 e) (170)10 → (252)8 
c) (129)10 → (201)8 f) (32.768)10 → (100000)8
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3. Conversão de decimal para qualquer base 
Utilizamos o método das divisões sucessivas pelo valor da respectiva base: 
Ex.: converter o número (213)10 para hexadecimal (???)16. 
213 / 16 = 13 e sobra 5 
213 = D5 
Exercícios de conversão de base: 
a) (75)10 → (4B)16 d) (254)10 → (FE)16 
b) (324)10 → (144)16 e) (170)10 → (AA)16 
c) (129)10 → (81)16 f) (32.768)10 → (8000)16
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4. Conversão de qualquer base para Decimal 
BIN OCT HEX 
DEC 
N10= an.bn-1 + an-1.bn-2 + … + a1.b0 + am.b-1 + am-1.b-2 … 
n = dígitos da parte inteira 
m = dígitos da parte fracionária 
b = base ai = algarismo 
(1000 1101)2 → (141)10 (1101 0000 0101)2 → (3333)10 
(0101 0101)2 → (85)10 (1010 1011 1100)2 → (2748)10 
(1001 1111)2 → (159)10 (1111 1100 1101)2 → (4045)10
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4. Conversão de qualquer base para Decimal 
BIN OCT HEX 
DEC 
N10= an.bn-1 + an-1.bn-2 + … + a1.b0 + am.b-1 + am-1.b-2 … 
n = dígitos da parte inteira 
m = dígitos da parte fracionária 
b = base ai = algarismo 
(215)8 → (141)10 (6405)8 → (3333)10 
(125)8 → (85)10 (5274)8 → (2748)10 
(707)8 → (455)10 (1425)8 → (789)10
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4. Conversão de qualquer base para Decimal 
BIN OCT HEX 
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N10= an.bn-1 + an-1.bn-2 + … + a1.b0 + am.b-1 + am-1.b-2 … 
n = dígitos da parte inteira 
m = dígitos da parte fracionária 
b = base ai = algarismo 
(8D)16 → (141)10 (D05)16 → (3333)10 
(55)16 → (85)10 (ABC)16 → (2748)10 
(A6)16 → (166)10 (99BA)16 → (39354)10
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5. Conversão de binário ←→ octal 
e binário ←→ hexadecimal 
Binário-Octal, os bits são agrupados de 3 a 3, a partir do bit da direita. 
A conversão é realizada associando o algarismo numérico octal 
correspondente. 
(0001 0010 1110)2 
(100 101 110)2 
( 4 5 6 )8 
( 6 0 7 1 )8 
( 110 000 111 001 )2 
( 1100 0011 1001 )2
Sistemas Numéricos 
5. Conversão de binário ←→ octal 
e binário ←→ hexadecimal 
Binário-Hexadecimal, os bits são agrupados de 4 a 4, a partir do bit da direita. 
A conversão é realizada associando o algarismo numérico hexadecimal 
(0010 1101 1011 1101)2 
( 2 D B D )16 
( 9 5 C )16 
( 1001 0101 1100 )2
Sistemas Numéricos 
6. Conversão de octal ←→ hexadecimal 
Converter para binário e logo após para o sistema numérico desejado. 
octal ←→ binário ←→ hexadecimal 
( AF35 )16 → (127465)8 
( 3173 )8 → (67B)16
Sistemas Numéricos 
7. Operações aritméticas no sistema binário 
Adição Sistema Binário 
0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=10 
(11)2 (3)10 (110)2 (6)10 
+ (10)2 (2)10 + (111)2 (7)10 
= (101)2 (5)10 = (1101)2 (13)10 
Resolvam e tirem a prova em base decimal 
1. (11001)2 + (1011)2 = ? 
2. (100111)2 + (1110)2 + (1011)2 = ? 
3. (11011)2 + (1111)2 + (1110)2 = ?
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7. Operações aritméticas no sistema binário 
Subtração Sistema Binário 
0–0 = 0 0–1=1 1–0=1 1–1=0 
Obs.: 0–1 = 1 e passa 1 para próximo bit 
(111)2 (7)10 (10110)2 (22)10 
– (100)2 (4)10 – (1101)2 (13)10 
= (011)2 (3)10 = (01001)2 (9)10 
Resolvam e tirem a prova em base decimal 
1. (1111 1111)2 – (1010 0100)2 = ? 
2. (11001)2 – (1110)2 = ? 
3. (110001)2 – (11010)2 = ? 
4. (1111 0001)2 – (1110 0101)2 = ?
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7. Operações aritméticas no sistema binário 
Multiplicação Sistema Binário 
0*0 = 0 0*1 = 0 1*0 = 0 1*1 = 1 
(110)2 (6)10 
x (11)2 (3)10 
110+110 = 10010 (18)10 
Resolvam e tirem a prova em base decimal 
1. (11011)2 x (101)2 = ? 
2. (101110)2 x (1101)2 = ? 
3. (0110 0100)2 x (1100 1000)2 = ?
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8. Números Positivos e Negativos 
Representação decimal de números negativos +, – 
Computacionalmente, estes símbolos não podem ser utilizados. 
Forma 1 – definir um bit de sinal. 
– positivo bit de sinal 1 
– negativo bit de sinal 0 
Forma 2 – Complemento 2 
– mas primeiro precisa-se converter um número para complemento 1. 
Exemplo: 
1100 1101 → 0011 0010 + 1 = 0011 0011

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Sistemas numericos

  • 1. Univali - Matemática para jogos Sistemas Numéricos
  • 2. Além dos aspectos de programação.... Alguns jogos digitais apesar da dificuldade do desafio não possuem grandes problemas de matemática. Ex.: PACMAN Controle nas setas Movimentos contínuos Objetivos simples Just for fun !!! Afinal de contas, qual o papel da matemática e das funções em games ?
  • 3. A necessidade de criar uma “realidade” nos implica em incluir num jogo movimentos mais elaborados, desde os mais simples, como pulos... Ex.: Alloy Setas para controles Pulo com variação de velocidade Just for fun !!! Afinal de contas, qual o papel da matemática e das funções em games ?
  • 4. Efeitos podem ser inseridos alterando a escala de objetos. Ex.: Mars Battle No movimento das armas a altura do canhão é alterada para dar a impressão de movimento “para cima e para baixo” Just for fun !!! Afinal de contas, qual o papel da matemática e das funções em games ?
  • 5. O movimento criado começa a parecer real na medida que a velocidade, a aceleração e a posição são controladas a cada instante. Ex.: Jupiter / Hero Controle de velocidade pelo teclado É necessário “dosar” as velocidades horizontais e verticais para evitar que o veículo venha a colidir com as paredes Just for fun !!! Afinal de contas, qual o papel da matemática e das funções em games ?
  • 6. Os fenômenos podem ser mais sofisticados incluindo outros princípios: como de sistemas mecânicos. Ex.: Teste da Ponte Construir uma ponte por onde devem passar “monges” A ponte não deve cair Just for fun !!! Afinal de contas, qual o papel da matemática e das funções em games ? Construção da ponte Teste da ponte
  • 7. Jogos de controle de bicicletas ou motos Just for fun !!! Afinal de contas, qual o papel da matemática e das funções em games ?
  • 8. Sistemas Numéricos Sistemas Numéricos 1. Definição: Sistema numérico é um conjunto de caracteres e regras matemáticas que são utilizados para representar números. Sistemas Numéricos Antigos Sistema Romano; Chinês; Grego; Arábico; etc...
  • 9. Sistemas Numéricos Sistemas Numéricos 1. Definição: O sistema decimal (arábico) contém 10 algarismos, sendo: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Depois do nove a contagem reinicia acrescendo-se uma dezena, e sucessivamente acrescendo o próximo elemento da sequência. 9... 10... 11... 12 19... 20... 21... 22... 99... 100... 101... 102....
  • 10. Sistemas Numéricos Decomposição de números base decimal em potências de 10 (b = 10). N10= an.bn-1 + an-1.bn-2 + … + a1.b0 + am.b-1 + am-1.b-2 … n = dígitos da parte inteira m = dígitos da parte fracionária b = base ai = algarismo Ex.: 325.453 = 300 + 20 + 5 + 0.4 + 0.05 + 0.003 (213)10 (43.84)10 = 2 . 102 + 1 . 101 + 3 . 100 = 200 + 10 + 3 = 213 = 4 . 101 + 3 . 100 + 8 . 10-1 + 4 . 10-2 = 40+3+0.8+0.04 = 43.84
  • 11. Sistemas Numéricos Sistemas Numéricos 2. Sistemas Numéricos Computacionais No computador, todas as informações são representadas e processadas na forma binária. Sistema Binário: possui apenas 2 algarismos – 0 e 1. Razão: simplicidade de representação dos mesmos por: – dispositivos elétricos – eletrônicos – mecatrônicos – magnéticos
  • 12. Sistemas Numéricos Sistemas Numéricos Sistema Binário: possui apenas 2 algarismos – 0 e 1. Na prática cada dígito recebe a denominação de bit (binary digit) ex.: (101001)2 6 bits – base 2 O conjunto de 8 bits é chamado de byte – termo bastante utilizado na informática. Logo, se n = número de bits, 2n é quantidade de números representados. 1. quantos e quais números podem ser representados em 4 bits ? 2. e em 1 byte ? 3. e em 4 bytes ?
  • 13. Sistemas Numéricos Sistemas Numéricos Unidades da base binária 1 nibble - 4 bits 1 byte - 8 bits 1 KB - 1024 bytes (210) 1 MB - 1024 KB (220) 1 GB - 1024 MB (230) 1 TB - 1024 GB (240) 1 PB - 1024 TB (250) .....
  • 14. Sistemas Numéricos Sistemas Numéricos Sistema Binário: possui apenas 2 algarismos – 0 e 1. Contagem decimal Contagem binária 0 0 1 1 2 10 3 11 4 100 5 101 6 110 7 111 8 1000 9 1001 10 1010 ... ... Como exercício – dê sequência da contagem até 32.
  • 15. Sistemas Numéricos Sistemas Numéricos Sistema Octal (base)8: no sistema de numeração hexadecimal existem 7 algarismos: 0 1 2 3 4 5 6 7 O objetivo é facilitar a representação de cadeias binárias muito grandes: DEC BIN OCTAL DEC BIN OCTAL 0 0 0 8 1000 10 1 1 1 9 1001 11 2 10 2 10 1010 12 3 11 3 11 1011 13 4 100 4 12 1100 14 5 101 5 13 1101 15 6 110 6 14 1110 16 7 111 7 15 1111 17
  • 16. Sistemas Numéricos Sistemas Numéricos Sistema Hexadecimal (base)16: no sistema de numeração hexadecimal existem 16 algarismos: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F O objetivo é facilitar a representação de cadeias binárias muito grandes A = 10 ; B = 11; C = 12; D = 13; E = 14; F = 15;
  • 17. Sistemas Numéricos Tabela dos Decimais Considerando a ordem de contagem de cada base é possível montar uma tabela em que se possa observar qual relação existe entre 2 números de bases diferentes. DEC BIN OCT HEX
  • 18. Sistemas Numéricos 3. Conversão de decimal para qualquer base Utilizamos o método das divisões sucessivas pelo valor da respectiva base: Ex.: converter o número (213)10 para binário (???)2. 213 / 2 = 106 e sobra 1 106 / 2 = 53 e sobra 0 53 / 2 = 26 e sobra 1 213 = 1101 0101 Exercícios de conversão de base: a) (75)10 → (100 1011)2 d) (254)10 → (1111 1110)2 b) (324)10 → (1 0100 0100)2 e) (170)10 → (1010 1010)2 c) (129)10 → (1000 0001)2 f) (32.768)10 → (1000 0000 0000 0000)2
  • 19. Sistemas Numéricos 3. Conversão de decimal para qualquer base Utilizamos o método das divisões sucessivas pelo valor da respectiva base: Ex.: converter o número (213)10 para octal (???)8. 213 / 8 = 26 e sobra 5 26 / 8 = 3 e sobra 2 213 = 325 Exercícios de conversão de base: a) (75)10 → (113)8 d) (254)10 → (376)8 b) (324)10 → (504)8 e) (170)10 → (252)8 c) (129)10 → (201)8 f) (32.768)10 → (100000)8
  • 20. Sistemas Numéricos 3. Conversão de decimal para qualquer base Utilizamos o método das divisões sucessivas pelo valor da respectiva base: Ex.: converter o número (213)10 para hexadecimal (???)16. 213 / 16 = 13 e sobra 5 213 = D5 Exercícios de conversão de base: a) (75)10 → (4B)16 d) (254)10 → (FE)16 b) (324)10 → (144)16 e) (170)10 → (AA)16 c) (129)10 → (81)16 f) (32.768)10 → (8000)16
  • 21. Sistemas Numéricos 4. Conversão de qualquer base para Decimal BIN OCT HEX DEC N10= an.bn-1 + an-1.bn-2 + … + a1.b0 + am.b-1 + am-1.b-2 … n = dígitos da parte inteira m = dígitos da parte fracionária b = base ai = algarismo (1000 1101)2 → (141)10 (1101 0000 0101)2 → (3333)10 (0101 0101)2 → (85)10 (1010 1011 1100)2 → (2748)10 (1001 1111)2 → (159)10 (1111 1100 1101)2 → (4045)10
  • 22. Sistemas Numéricos 4. Conversão de qualquer base para Decimal BIN OCT HEX DEC N10= an.bn-1 + an-1.bn-2 + … + a1.b0 + am.b-1 + am-1.b-2 … n = dígitos da parte inteira m = dígitos da parte fracionária b = base ai = algarismo (215)8 → (141)10 (6405)8 → (3333)10 (125)8 → (85)10 (5274)8 → (2748)10 (707)8 → (455)10 (1425)8 → (789)10
  • 23. Sistemas Numéricos 4. Conversão de qualquer base para Decimal BIN OCT HEX DEC N10= an.bn-1 + an-1.bn-2 + … + a1.b0 + am.b-1 + am-1.b-2 … n = dígitos da parte inteira m = dígitos da parte fracionária b = base ai = algarismo (8D)16 → (141)10 (D05)16 → (3333)10 (55)16 → (85)10 (ABC)16 → (2748)10 (A6)16 → (166)10 (99BA)16 → (39354)10
  • 24. Sistemas Numéricos 5. Conversão de binário ←→ octal e binário ←→ hexadecimal Binário-Octal, os bits são agrupados de 3 a 3, a partir do bit da direita. A conversão é realizada associando o algarismo numérico octal correspondente. (0001 0010 1110)2 (100 101 110)2 ( 4 5 6 )8 ( 6 0 7 1 )8 ( 110 000 111 001 )2 ( 1100 0011 1001 )2
  • 25. Sistemas Numéricos 5. Conversão de binário ←→ octal e binário ←→ hexadecimal Binário-Hexadecimal, os bits são agrupados de 4 a 4, a partir do bit da direita. A conversão é realizada associando o algarismo numérico hexadecimal (0010 1101 1011 1101)2 ( 2 D B D )16 ( 9 5 C )16 ( 1001 0101 1100 )2
  • 26. Sistemas Numéricos 6. Conversão de octal ←→ hexadecimal Converter para binário e logo após para o sistema numérico desejado. octal ←→ binário ←→ hexadecimal ( AF35 )16 → (127465)8 ( 3173 )8 → (67B)16
  • 27. Sistemas Numéricos 7. Operações aritméticas no sistema binário Adição Sistema Binário 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=10 (11)2 (3)10 (110)2 (6)10 + (10)2 (2)10 + (111)2 (7)10 = (101)2 (5)10 = (1101)2 (13)10 Resolvam e tirem a prova em base decimal 1. (11001)2 + (1011)2 = ? 2. (100111)2 + (1110)2 + (1011)2 = ? 3. (11011)2 + (1111)2 + (1110)2 = ?
  • 28. Sistemas Numéricos 7. Operações aritméticas no sistema binário Subtração Sistema Binário 0–0 = 0 0–1=1 1–0=1 1–1=0 Obs.: 0–1 = 1 e passa 1 para próximo bit (111)2 (7)10 (10110)2 (22)10 – (100)2 (4)10 – (1101)2 (13)10 = (011)2 (3)10 = (01001)2 (9)10 Resolvam e tirem a prova em base decimal 1. (1111 1111)2 – (1010 0100)2 = ? 2. (11001)2 – (1110)2 = ? 3. (110001)2 – (11010)2 = ? 4. (1111 0001)2 – (1110 0101)2 = ?
  • 29. Sistemas Numéricos 7. Operações aritméticas no sistema binário Multiplicação Sistema Binário 0*0 = 0 0*1 = 0 1*0 = 0 1*1 = 1 (110)2 (6)10 x (11)2 (3)10 110+110 = 10010 (18)10 Resolvam e tirem a prova em base decimal 1. (11011)2 x (101)2 = ? 2. (101110)2 x (1101)2 = ? 3. (0110 0100)2 x (1100 1000)2 = ?
  • 30. Sistemas Numéricos 8. Números Positivos e Negativos Representação decimal de números negativos +, – Computacionalmente, estes símbolos não podem ser utilizados. Forma 1 – definir um bit de sinal. – positivo bit de sinal 1 – negativo bit de sinal 0 Forma 2 – Complemento 2 – mas primeiro precisa-se converter um número para complemento 1. Exemplo: 1100 1101 → 0011 0010 + 1 = 0011 0011