1) O documento discute os números de Fibonacci, uma sequência numérica onde cada número é a soma dos dois anteriores. 2) Fibonacci aplicou esta sequência para modelar o crescimento populacional de coelhos, chegando à conclusão de que os números de pares de coelhos em cada mês correspondem aos números de Fibonacci. 3) O documento apresenta propriedades interessantes dos números de Fibonacci, como fórmulas para calcular a soma dos primeiros termos pares/ímpares.

1. 1 = 1 Os Números de Fibonacci Sujeito simpático o velho Fibonacchi. C Como a maioria das boas Ideias, sua invenção começa com o número 1. Ou, mais exatamente, com dois uns 1 + 1 = 2. Daí ele pega os dois últimos números e os soma. 1 + 1 = 2 1 + 2 = 3 2 + 3 = 5 3 + 5 = 8 5 + 8 = 1 3 8 + 1 3 = 21

2. Os Números de Fibonacci Os coelhos de Fibonacci O problema original investigado por Fibonacci (no ano 1202) referia-se a velocidade com que coelhos se reproduzem em circunstâncias ideais. Suponha um par de coelhos recém-nascidos, um macho, um fêmea, seja posto em um campo. Coelhos podem se acasalar com a idade de um mês de forma que ao término do seu segundo mês uma fêmea pode produzir outro par de coelhos. Suponha que nossos coelhos nunca morrem e que a fêmea sempre produz um par novo (um macho, uma fêmea) todos os meses do segundo mês. O quebra-cabeça formulado por Fibonacci era... Quantos casais de coelhos existirão em um ano? 1. Ao término do primeiro mês, eles se acasalam, mas ainda existe um 1 par. 2. Ao término do segundo mês a fêmea produz um par novo, agora há 2 pares de coelhos no campo. 3. Ao término do terceiro mês, a fêmea original produz um segundo par e temos um total de 3 pares em todo o campo. 4. Ao término do quarto mês, a fêmea original produziu ainda outro par novo, a fêmea nascida há dois meses atrás produz também seu par, temos então 5 pares.

3. Os Números de Fibonacci O número de pares de coelhos no campo ao começo de cada mês é 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,... Você já sabe como a série é formada e como continua? Se não, retorne ao primeiro slide! Os primeiros 16 números de Fibonacci estão aqui 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 .... e algumas perguntas para você responder. Agora você pode ver por que esta é a resposta do nosso problema dos Coelhos? Se não, aqui está o por quê. ( aguarde as figuras) Uma outra visão da geneologia dos coelhos.

4. Os Números de Fibonacci - Propriedades 1 o 2 o 3 o 4 o 5 o 6 o 7 o 8 o 9 o 10 o 11 o 12 o 13 o n = 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 O numero 3 é o quarto termo (1, 1, 2, 3). Soma = 7 Se quisermos a soma dos termos, simplesmente olhe para o 6 o termo o numero ( n+2 ) da sequência é 8 , e subtraia 1. Logo, quando quisermos saber a soma de números de Fibonacci , basta pular dois termos à frente e dele diminuir 1. Logo, 8 - 1 = 7

5. Os Números de Fibonacci - Propriedades A sma dos n primeiros termos pares ( 1 + 3 + 8 + 21 + 55 = 88 ) Se quisermos a soma dos primeiros 5 termos pares , simplesmente olhamos para o termo 2n+ 1 ( 2 x 5 + 1 = 11 ), o 11 o termo. A seguir localizamos o valor do 11 o número da sequência, é 89 , e subtraia 1. Logo, quando quisermos saber a soma dos n números pares de Fibonacci , basta localizar o valor do termo 2n + 1 e dele diminuir 1. Logo, 89 - 1 = 88 1 o 2 o 3 o 4 o 5 o 6 o 7 o 8 o 9 o 10 o 11 o 12 o 13 on n = 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233

6. Os Números de Fibonacci - Propriedades A soma dos n primeiros termos impares ( 1 + 2 + 5 + 13 + 34 = 55 ) Se quisermos a soma dos primeiros 5 termos impares, simplesmente olhamos para o termo 2n ( 2 x 5 = 10 ), o 10 o termo, é 55. Logo, quando quisermos saber a soma dos n números impares de Fibonacci , basta localizar o valor do termo 2n. Logo, 2n = 2 x 5 = 10 o termo = 55. 1 o 2 o 3 o 4 o 5 o 6 o 7 o 8 o 9 o 10 o 11 o 12 o 13 o n = 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233

7. Os Números de Fibonacci - P ropriedades A soma dos n primeiros termos ao quadrado ( 1 2 + 1 2 + 2 2 + 3 2 = 15 ) Se quisermos a soma dos primeiros 4 termos ao quadrado, simplesmente olhamos para o termo n = 4 e n+1 = 5, o 4 o termo, é 3 e o 5 o termo é 5 . Produto 3 x 5 = 15 Logo, quando quisermos saber a soma dos n números de Fibonacci ao quadrado , basta localizar o valor do termo n e n+1 e multiplicá-los. Logo, n = 4 = 3 e n + 1 = 5 = 5 , temos : 3 x 5 = 15. 1 o 2 o 3 o 4 o 5 o 6 o 7 o 8 o 9 o 10 o 11 o 12 o 13 o n = 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233

8. 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 3 4 6 4 5 5 10 10 28 6 20 56 15 15 6 21 28 56 70 35 35 7 7 21 126 8 9 8 9 84 36 36 126 84 Você está vendo as escadinhas de mesma cor que descem em diagonal da direita para a esquerda ? Vamos somar todos os números de cada uma destas escadinhas e ver quanto dá. Vamos começar com : Vermelha no topo : 1 ; Amarela abaixo 1 ; Azul 1 + 1 = 2 ; Verde 2 + 1 = 3 ; Vermelha de novo 1 + 3 + 1 = 5 ; Amarela de novo 3 + 4 + 1 = 8 ; Azul de novo 1 + 6 + 5 + 1 = 13 . Verde de novo 4 + 10 + 6 + 1 = 21 Sacou ? Não ? Dê clique ou enter Triângulo dos Números São os números de Fibonacci, é claro: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, etc.