Hoje vamos dar sequência à nossa série Puc-Rio onde o tema de debate foi sobre triângulos.

1. QUESTÕES PUC-RIO - TRIÂNGULOS
Claudio Buffara – Rio de Janeiro

2. Hoje vamos dar sequência à nossa série Puc-Rio onde o tema de debate foi
sobre triângulos.
Num triângulo ABC, um dos ângulos que a mediana AM = m(a) forma com o
lado BC é igual ao ângulo que esta mesma mediana forma com a bissetriz do
ângulo A.

3. Demonstrar:
i. a²= 4bc ii. m(a) = raiz(2).(c - b)/2
ABC não pode ser isósceles, pois nesse caso teríamos AM perpendicular a BC
e coincidente com a bissetriz de A. Assim, suponhamos que AB < AC ==> c < b.
Seja P = ponto de interseção da bissetriz interna de BAC com o lado BC.
AM é mediana ⇒ BM = MC = a/2
AP é bissetriz interna ⇒ CP/BP = AC/AB ⇒ CP/BP = b/c
Como BP + PC = BC = a

4. Teremos:
CP = a*b/(b+c); BP = a*c/(b+c)
PAM = PMA ⇒ Triângulo APM é isósceles ⇒ AP = PM
Levando em conta que BP + PM = BM = a/2

5. Teremos:
a*c/(b+c) + PM = a/2 ⇒ PM = a*(b-c)/[2*(b+c)] = AP
Agora vamos aplicar o teorema de Stewart:
Primeiro em relação a bissetriz AP:
BC*(AP^2 + BP*PC) = AC^2*BP + AB^2*PC ⇒
a*(a^2*(b-c)^2/[4*(b+c)^2] + a^2*b*c/(b+c)^2) = b^2*a*c/(b+c) +
c^2*a*b/(b+c) ==>
(simplificando tudo)
a^2 = 4*b*c

6. Em seguida, em relação a mediana AM:
BC*(AM^2 + BM*MC) = AC^2*BM + AB^2*MC ==>
a*(m^2 + (a/2)*(a/2)) = b^2*a/2 + c^2*a/2 ==>
m^2 + a^2/4 = (b^2 + c^2)/2 ==>
m^2 = (2*b^2 + 2*c^2 - a^2)/4 ==>

7. (levando em conta que a^2 = 4*b*c)
m^2 = (2*b^2 + 2*c^2 - 4*b*c)/4 ==>
m^2 = (b - c)^2/2 ==>
m = (b - c)/raiz(2)
Confira essa discussão em:
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200303/msg00667.html