SlideShare uma empresa Scribd logo
QUESTÕES PUC-RIO - TRIÂNGULOS
Claudio Buffara – Rio de Janeiro
Hoje vamos dar sequência à nossa série Puc-Rio onde o tema de debate foi
sobre triângulos.
Num triângulo ABC, um dos ângulos que a mediana AM = m(a) forma com o
lado BC é igual ao ângulo que esta mesma mediana forma com a bissetriz do
ângulo A.
Demonstrar:
i. a²= 4bc ii. m(a) = raiz(2).(c - b)/2
ABC não pode ser isósceles, pois nesse caso teríamos AM perpendicular a BC
e coincidente com a bissetriz de A. Assim, suponhamos que AB < AC ==> c < b.
Seja P = ponto de interseção da bissetriz interna de BAC com o lado BC.
AM é mediana ⇒ BM = MC = a/2
AP é bissetriz interna ⇒ CP/BP = AC/AB ⇒ CP/BP = b/c
Como BP + PC = BC = a
Teremos:
CP = a*b/(b+c); BP = a*c/(b+c)
PAM = PMA ⇒ Triângulo APM é isósceles ⇒ AP = PM
Levando em conta que BP + PM = BM = a/2
Teremos:
a*c/(b+c) + PM = a/2 ⇒ PM = a*(b-c)/[2*(b+c)] = AP
Agora vamos aplicar o teorema de Stewart:
Primeiro em relação a bissetriz AP:
BC*(AP^2 + BP*PC) = AC^2*BP + AB^2*PC ⇒
a*(a^2*(b-c)^2/[4*(b+c)^2] + a^2*b*c/(b+c)^2) = b^2*a*c/(b+c) +
c^2*a*b/(b+c) ==>
(simplificando tudo)
a^2 = 4*b*c
Em seguida, em relação a mediana AM:
BC*(AM^2 + BM*MC) = AC^2*BM + AB^2*MC ==>
a*(m^2 + (a/2)*(a/2)) = b^2*a/2 + c^2*a/2 ==>
m^2 + a^2/4 = (b^2 + c^2)/2 ==>
m^2 = (2*b^2 + 2*c^2 - a^2)/4 ==>
(levando em conta que a^2 = 4*b*c)
m^2 = (2*b^2 + 2*c^2 - 4*b*c)/4 ==>
m^2 = (b - c)^2/2 ==>
m = (b - c)/raiz(2)
Confira essa discussão em:
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200303/msg00667.html

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Lei dos senos e lei dos cossenos
Lei dos senos e lei dos cossenosLei dos senos e lei dos cossenos
Lei dos senos e lei dos cossenos
KalculosOnline
 
Semelhança de triângulos
Semelhança de triângulosSemelhança de triângulos
Semelhança de triângulos
giselelamas
 
Semelhança de triângulos
Semelhança de triângulosSemelhança de triângulos
Semelhança de triângulos
ELIZEU GODOY JR
 
Lista de Exercícios 1 – Semelhança
Lista de Exercícios 1 – SemelhançaLista de Exercícios 1 – Semelhança
Lista de Exercícios 1 – Semelhança
Everton Moraes
 
Rela‡äEs M‚Tricas No Tri.RetƒNgulo Exelente
Rela‡äEs M‚Tricas No Tri.RetƒNgulo ExelenteRela‡äEs M‚Tricas No Tri.RetƒNgulo Exelente
Rela‡äEs M‚Tricas No Tri.RetƒNgulo Exelente
Antonio Carneiro
 
Aula sobre triângulos
Aula sobre triângulosAula sobre triângulos
Aula sobre triângulos
andreilson18
 
8º aula triângulos isósceles e equiláteros
8º aula   triângulos isósceles e equiláteros8º aula   triângulos isósceles e equiláteros
8º aula triângulos isósceles e equiláteros
jatobaesem
 
Mat triangulo 007
Mat triangulo  007Mat triangulo  007
Mat triangulo 007
trigono_metrico
 
2ª atividade - Relações Métricas no Triângulo Retângulo
2ª atividade - Relações Métricas no Triângulo Retângulo2ª atividade - Relações Métricas no Triângulo Retângulo
2ª atividade - Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Gabriela Maretti
 
Senos e-cossenos trigonometria
Senos e-cossenos trigonometriaSenos e-cossenos trigonometria
Senos e-cossenos trigonometriaAndrea de Souza
 
Relação entre perímetros e áreas em triângulos semelhantes
Relação entre perímetros e áreas em triângulos semelhantesRelação entre perímetros e áreas em triângulos semelhantes
Relação entre perímetros e áreas em triângulos semelhantes
aldaalves
 
Trigonometria – exercicios resolvidos lei dos cossenos
Trigonometria – exercicios resolvidos lei dos cossenosTrigonometria – exercicios resolvidos lei dos cossenos
Trigonometria – exercicios resolvidos lei dos cossenos
trigono_metria
 
Aula De Desenho Geometrico
Aula De Desenho GeometricoAula De Desenho Geometrico
Aula De Desenho Geometrico
João Alvaro de Souza Baptista
 
www.aulasapoio.com - Matemática - Semelhança de Triângulos
www.aulasapoio.com  - Matemática -  Semelhança de Triânguloswww.aulasapoio.com  - Matemática -  Semelhança de Triângulos
www.aulasapoio.com - Matemática - Semelhança de Triângulos
Aulas Apoio
 
Aula sobre triângulos
Aula sobre triângulosAula sobre triângulos
Aula sobre triângulos
andreilson18
 
Lei dos senos e cossenos
Lei dos senos e cossenosLei dos senos e cossenos
Lei dos senos e cossenos
Wellington Moreira
 
Polígonos semelhantes 2014 9 ano gabarito do 2
Polígonos semelhantes 2014 9 ano gabarito do 2Polígonos semelhantes 2014 9 ano gabarito do 2
Polígonos semelhantes 2014 9 ano gabarito do 2
CIEP 456 - E.M. Milcah de Sousa
 
distanciaplanos
distanciaplanosdistanciaplanos
distanciaplanos
Hugo Correia
 
01 teorema-de-tales
01 teorema-de-tales01 teorema-de-tales
01 teorema-de-tales
LciaRibeiro17
 
Razoes trig
Razoes trigRazoes trig
Razoes trig
Rildo Soares
 

Mais procurados (20)

Lei dos senos e lei dos cossenos
Lei dos senos e lei dos cossenosLei dos senos e lei dos cossenos
Lei dos senos e lei dos cossenos
 
Semelhança de triângulos
Semelhança de triângulosSemelhança de triângulos
Semelhança de triângulos
 
Semelhança de triângulos
Semelhança de triângulosSemelhança de triângulos
Semelhança de triângulos
 
Lista de Exercícios 1 – Semelhança
Lista de Exercícios 1 – SemelhançaLista de Exercícios 1 – Semelhança
Lista de Exercícios 1 – Semelhança
 
Rela‡äEs M‚Tricas No Tri.RetƒNgulo Exelente
Rela‡äEs M‚Tricas No Tri.RetƒNgulo ExelenteRela‡äEs M‚Tricas No Tri.RetƒNgulo Exelente
Rela‡äEs M‚Tricas No Tri.RetƒNgulo Exelente
 
Aula sobre triângulos
Aula sobre triângulosAula sobre triângulos
Aula sobre triângulos
 
8º aula triângulos isósceles e equiláteros
8º aula   triângulos isósceles e equiláteros8º aula   triângulos isósceles e equiláteros
8º aula triângulos isósceles e equiláteros
 
Mat triangulo 007
Mat triangulo  007Mat triangulo  007
Mat triangulo 007
 
2ª atividade - Relações Métricas no Triângulo Retângulo
2ª atividade - Relações Métricas no Triângulo Retângulo2ª atividade - Relações Métricas no Triângulo Retângulo
2ª atividade - Relações Métricas no Triângulo Retângulo
 
Senos e-cossenos trigonometria
Senos e-cossenos trigonometriaSenos e-cossenos trigonometria
Senos e-cossenos trigonometria
 
Relação entre perímetros e áreas em triângulos semelhantes
Relação entre perímetros e áreas em triângulos semelhantesRelação entre perímetros e áreas em triângulos semelhantes
Relação entre perímetros e áreas em triângulos semelhantes
 
Trigonometria – exercicios resolvidos lei dos cossenos
Trigonometria – exercicios resolvidos lei dos cossenosTrigonometria – exercicios resolvidos lei dos cossenos
Trigonometria – exercicios resolvidos lei dos cossenos
 
Aula De Desenho Geometrico
Aula De Desenho GeometricoAula De Desenho Geometrico
Aula De Desenho Geometrico
 
www.aulasapoio.com - Matemática - Semelhança de Triângulos
www.aulasapoio.com  - Matemática -  Semelhança de Triânguloswww.aulasapoio.com  - Matemática -  Semelhança de Triângulos
www.aulasapoio.com - Matemática - Semelhança de Triângulos
 
Aula sobre triângulos
Aula sobre triângulosAula sobre triângulos
Aula sobre triângulos
 
Lei dos senos e cossenos
Lei dos senos e cossenosLei dos senos e cossenos
Lei dos senos e cossenos
 
Polígonos semelhantes 2014 9 ano gabarito do 2
Polígonos semelhantes 2014 9 ano gabarito do 2Polígonos semelhantes 2014 9 ano gabarito do 2
Polígonos semelhantes 2014 9 ano gabarito do 2
 
distanciaplanos
distanciaplanosdistanciaplanos
distanciaplanos
 
01 teorema-de-tales
01 teorema-de-tales01 teorema-de-tales
01 teorema-de-tales
 
Razoes trig
Razoes trigRazoes trig
Razoes trig
 

Semelhante a QUESTÕES PUC-RIO - TRIÂNGULOS

Geometria plana mestre_miyagi_editora_xyz
Geometria plana mestre_miyagi_editora_xyzGeometria plana mestre_miyagi_editora_xyz
Geometria plana mestre_miyagi_editora_xyz
imperador Bruno Lafaeti
 
Mat triangulo 005
Mat triangulo  005Mat triangulo  005
Mat triangulo 005
trigono_metrico
 
Lista de exercicios_-_geometria_plana010620111337
Lista de exercicios_-_geometria_plana010620111337Lista de exercicios_-_geometria_plana010620111337
Lista de exercicios_-_geometria_plana010620111337
Alcides Cabral
 
Lista de exercicios_-_geometria_plana010620111337
Lista de exercicios_-_geometria_plana010620111337Lista de exercicios_-_geometria_plana010620111337
Lista de exercicios_-_geometria_plana010620111337
Alcides Cabral
 
OBM Aula 0 primeiro contato com a geometria olímpica
OBM Aula 0   primeiro contato com a geometria olímpicaOBM Aula 0   primeiro contato com a geometria olímpica
OBM Aula 0 primeiro contato com a geometria olímpica
Aline Muniz
 
Geometria - Aula 0 primeiro contato com a geometria olímpica
Geometria - Aula 0   primeiro contato com a geometria olímpicaGeometria - Aula 0   primeiro contato com a geometria olímpica
Geometria - Aula 0 primeiro contato com a geometria olímpica
vinicius196
 
Matematica 2 exercicios gabarito 02
Matematica 2 exercicios gabarito 02Matematica 2 exercicios gabarito 02
Matematica 2 exercicios gabarito 02
comentada
 
Áreas 4
Áreas 4Áreas 4
Áreas 4
KalculosOnline
 
Mat em distancias e angulos sol vol2 cap9
Mat em distancias e angulos sol vol2 cap9Mat em distancias e angulos sol vol2 cap9
Mat em distancias e angulos sol vol2 cap9
trigono_metrico
 
Mat em geometria analitica sol vol3 cap1
Mat em geometria analitica sol vol3 cap1Mat em geometria analitica sol vol3 cap1
Mat em geometria analitica sol vol3 cap1
trigono_metrico
 
Geometria analitica exercicios resolvidos
Geometria analitica exercicios resolvidosGeometria analitica exercicios resolvidos
Geometria analitica exercicios resolvidos
con_seguir
 
Tales semelhanca 12
Tales semelhanca 12Tales semelhanca 12
Tales semelhanca 12
Edenize
 
Tales semelhanca 12
Tales semelhanca 12Tales semelhanca 12
Tales semelhanca 12
Edenize
 
Relações métricas no triângulo retângulo
Relações métricas no triângulo retânguloRelações métricas no triângulo retângulo
Relações métricas no triângulo retângulo
Neil Azevedo
 
Definições
DefiniçõesDefinições
Apostila mt maurion
Apostila mt maurionApostila mt maurion
Apostila mt maurion
Celso Berredo
 
12 areas
12 areas12 areas
Relações trigonométricas no triângulo retângulo
Relações trigonométricas no triângulo retânguloRelações trigonométricas no triângulo retângulo
Relações trigonométricas no triângulo retângulo
grpoliart
 
Relações trigonométricas no triângulo retângulo
Relações trigonométricas no triângulo retânguloRelações trigonométricas no triângulo retângulo
Relações trigonométricas no triângulo retângulo
grpoliart
 
Angulos na circunferência
Angulos na circunferênciaAngulos na circunferência
Angulos na circunferência
Clauzir Paiva Nascim Paiva
 

Semelhante a QUESTÕES PUC-RIO - TRIÂNGULOS (20)

Geometria plana mestre_miyagi_editora_xyz
Geometria plana mestre_miyagi_editora_xyzGeometria plana mestre_miyagi_editora_xyz
Geometria plana mestre_miyagi_editora_xyz
 
Mat triangulo 005
Mat triangulo  005Mat triangulo  005
Mat triangulo 005
 
Lista de exercicios_-_geometria_plana010620111337
Lista de exercicios_-_geometria_plana010620111337Lista de exercicios_-_geometria_plana010620111337
Lista de exercicios_-_geometria_plana010620111337
 
Lista de exercicios_-_geometria_plana010620111337
Lista de exercicios_-_geometria_plana010620111337Lista de exercicios_-_geometria_plana010620111337
Lista de exercicios_-_geometria_plana010620111337
 
OBM Aula 0 primeiro contato com a geometria olímpica
OBM Aula 0   primeiro contato com a geometria olímpicaOBM Aula 0   primeiro contato com a geometria olímpica
OBM Aula 0 primeiro contato com a geometria olímpica
 
Geometria - Aula 0 primeiro contato com a geometria olímpica
Geometria - Aula 0   primeiro contato com a geometria olímpicaGeometria - Aula 0   primeiro contato com a geometria olímpica
Geometria - Aula 0 primeiro contato com a geometria olímpica
 
Matematica 2 exercicios gabarito 02
Matematica 2 exercicios gabarito 02Matematica 2 exercicios gabarito 02
Matematica 2 exercicios gabarito 02
 
Áreas 4
Áreas 4Áreas 4
Áreas 4
 
Mat em distancias e angulos sol vol2 cap9
Mat em distancias e angulos sol vol2 cap9Mat em distancias e angulos sol vol2 cap9
Mat em distancias e angulos sol vol2 cap9
 
Mat em geometria analitica sol vol3 cap1
Mat em geometria analitica sol vol3 cap1Mat em geometria analitica sol vol3 cap1
Mat em geometria analitica sol vol3 cap1
 
Geometria analitica exercicios resolvidos
Geometria analitica exercicios resolvidosGeometria analitica exercicios resolvidos
Geometria analitica exercicios resolvidos
 
Tales semelhanca 12
Tales semelhanca 12Tales semelhanca 12
Tales semelhanca 12
 
Tales semelhanca 12
Tales semelhanca 12Tales semelhanca 12
Tales semelhanca 12
 
Relações métricas no triângulo retângulo
Relações métricas no triângulo retânguloRelações métricas no triângulo retângulo
Relações métricas no triângulo retângulo
 
Definições
DefiniçõesDefinições
Definições
 
Apostila mt maurion
Apostila mt maurionApostila mt maurion
Apostila mt maurion
 
12 areas
12 areas12 areas
12 areas
 
Relações trigonométricas no triângulo retângulo
Relações trigonométricas no triângulo retânguloRelações trigonométricas no triângulo retângulo
Relações trigonométricas no triângulo retângulo
 
Relações trigonométricas no triângulo retângulo
Relações trigonométricas no triângulo retânguloRelações trigonométricas no triângulo retângulo
Relações trigonométricas no triângulo retângulo
 
Angulos na circunferência
Angulos na circunferênciaAngulos na circunferência
Angulos na circunferência
 

Mais de Antonio Claudio Lage Buffara

ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - TÉCNICAS CRIATIVAS DE MEDIÇÕES: RESOLVENDO PRO...
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - TÉCNICAS CRIATIVAS DE MEDIÇÕES: RESOLVENDO PRO...ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - TÉCNICAS CRIATIVAS DE MEDIÇÕES: RESOLVENDO PRO...
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - TÉCNICAS CRIATIVAS DE MEDIÇÕES: RESOLVENDO PRO...
Antonio Claudio Lage Buffara
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - APROXIMAÇÃO DE LOG
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - APROXIMAÇÃO DE LOGANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - APROXIMAÇÃO DE LOG
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - APROXIMAÇÃO DE LOG
Antonio Claudio Lage Buffara
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - O USO DE QUEBRA-CABEÇAS NO DESENVOLVIMENTO LÓG...
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - O USO DE QUEBRA-CABEÇAS NO DESENVOLVIMENTO LÓG...ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - O USO DE QUEBRA-CABEÇAS NO DESENVOLVIMENTO LÓG...
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - O USO DE QUEBRA-CABEÇAS NO DESENVOLVIMENTO LÓG...
Antonio Claudio Lage Buffara
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - PROBABILIDADE
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - PROBABILIDADEANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - PROBABILIDADE
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - PROBABILIDADE
Antonio Claudio Lage Buffara
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - JOGO DO CÂMBIO: UMA PROPOSTA PARA EDUCAÇÃO INF...
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - JOGO DO CÂMBIO: UMA PROPOSTA PARA EDUCAÇÃO INF...ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - JOGO DO CÂMBIO: UMA PROPOSTA PARA EDUCAÇÃO INF...
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - JOGO DO CÂMBIO: UMA PROPOSTA PARA EDUCAÇÃO INF...
Antonio Claudio Lage Buffara
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - AUTO-ESPAÇOS
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - AUTO-ESPAÇOSANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - AUTO-ESPAÇOS
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - AUTO-ESPAÇOS
Antonio Claudio Lage Buffara
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - APRENDENDO A ESTUDAR: ERROS COMUNS E SUAS POSS...
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - APRENDENDO A ESTUDAR: ERROS COMUNS E SUAS POSS...ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - APRENDENDO A ESTUDAR: ERROS COMUNS E SUAS POSS...
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - APRENDENDO A ESTUDAR: ERROS COMUNS E SUAS POSS...
Antonio Claudio Lage Buffara
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - ENEM 2018: POSSÍVEIS NOTAS DE CORTE
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - ENEM 2018: POSSÍVEIS NOTAS DE CORTEANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - ENEM 2018: POSSÍVEIS NOTAS DE CORTE
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - ENEM 2018: POSSÍVEIS NOTAS DE CORTE
Antonio Claudio Lage Buffara
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC- RIO - ESFERAS E TETRAEDROS
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC- RIO - ESFERAS E TETRAEDROSANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC- RIO - ESFERAS E TETRAEDROS
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC- RIO - ESFERAS E TETRAEDROS
Antonio Claudio Lage Buffara
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - ORTOGONAIS?
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO  - ORTOGONAIS?ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO  - ORTOGONAIS?
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - ORTOGONAIS?
Antonio Claudio Lage Buffara
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - PROPOSIÇÕES: UM EXERCÍCIO COMENTADO
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - PROPOSIÇÕES: UM EXERCÍCIO COMENTADOANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - PROPOSIÇÕES: UM EXERCÍCIO COMENTADO
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - PROPOSIÇÕES: UM EXERCÍCIO COMENTADO
Antonio Claudio Lage Buffara
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - DESAFIO MATEMÁTICO: QUANTO É 2 + 5 X 3 + 4 ?
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - DESAFIO MATEMÁTICO: QUANTO É 2 + 5 X 3 + 4 ?ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - DESAFIO MATEMÁTICO: QUANTO É 2 + 5 X 3 + 4 ?
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - DESAFIO MATEMÁTICO: QUANTO É 2 + 5 X 3 + 4 ?
Antonio Claudio Lage Buffara
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO PROBLEMA VETORIAL
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO PROBLEMA VETORIALANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO PROBLEMA VETORIAL
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO PROBLEMA VETORIAL
Antonio Claudio Lage Buffara
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO EM - UMA SOBRE COMPLEXOS
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO EM - UMA SOBRE COMPLEXOSANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO EM - UMA SOBRE COMPLEXOS
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO EM - UMA SOBRE COMPLEXOS
Antonio Claudio Lage Buffara
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO PRIMOS E PA
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO PRIMOS E PAANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO PRIMOS E PA
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO PRIMOS E PA
Antonio Claudio Lage Buffara
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO AXIOMAS PARA RESOLUÇÃ...
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO AXIOMAS PARA RESOLUÇÃ...ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO AXIOMAS PARA RESOLUÇÃ...
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO AXIOMAS PARA RESOLUÇÃ...
Antonio Claudio Lage Buffara
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO PROBLEMA SIMPLES DE P.A
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO PROBLEMA SIMPLES DE P.AANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO PROBLEMA SIMPLES DE P.A
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO PROBLEMA SIMPLES DE P.A
Antonio Claudio Lage Buffara
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - DÚVIDA EPCAR
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - DÚVIDA EPCARANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - DÚVIDA EPCAR
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - DÚVIDA EPCAR
Antonio Claudio Lage Buffara
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - PROGRESSÃO ARITMÉTICA
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - PROGRESSÃO ARITMÉTICAANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - PROGRESSÃO ARITMÉTICA
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - PROGRESSÃO ARITMÉTICA
Antonio Claudio Lage Buffara
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - CONGRUÊNCIA
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - CONGRUÊNCIAANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - CONGRUÊNCIA
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - CONGRUÊNCIA
Antonio Claudio Lage Buffara
 

Mais de Antonio Claudio Lage Buffara (20)

ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - TÉCNICAS CRIATIVAS DE MEDIÇÕES: RESOLVENDO PRO...
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - TÉCNICAS CRIATIVAS DE MEDIÇÕES: RESOLVENDO PRO...ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - TÉCNICAS CRIATIVAS DE MEDIÇÕES: RESOLVENDO PRO...
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - TÉCNICAS CRIATIVAS DE MEDIÇÕES: RESOLVENDO PRO...
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - APROXIMAÇÃO DE LOG
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - APROXIMAÇÃO DE LOGANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - APROXIMAÇÃO DE LOG
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - APROXIMAÇÃO DE LOG
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - O USO DE QUEBRA-CABEÇAS NO DESENVOLVIMENTO LÓG...
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - O USO DE QUEBRA-CABEÇAS NO DESENVOLVIMENTO LÓG...ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - O USO DE QUEBRA-CABEÇAS NO DESENVOLVIMENTO LÓG...
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - O USO DE QUEBRA-CABEÇAS NO DESENVOLVIMENTO LÓG...
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - PROBABILIDADE
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - PROBABILIDADEANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - PROBABILIDADE
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - PROBABILIDADE
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - JOGO DO CÂMBIO: UMA PROPOSTA PARA EDUCAÇÃO INF...
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - JOGO DO CÂMBIO: UMA PROPOSTA PARA EDUCAÇÃO INF...ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - JOGO DO CÂMBIO: UMA PROPOSTA PARA EDUCAÇÃO INF...
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - JOGO DO CÂMBIO: UMA PROPOSTA PARA EDUCAÇÃO INF...
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - AUTO-ESPAÇOS
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - AUTO-ESPAÇOSANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - AUTO-ESPAÇOS
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - AUTO-ESPAÇOS
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - APRENDENDO A ESTUDAR: ERROS COMUNS E SUAS POSS...
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - APRENDENDO A ESTUDAR: ERROS COMUNS E SUAS POSS...ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - APRENDENDO A ESTUDAR: ERROS COMUNS E SUAS POSS...
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - APRENDENDO A ESTUDAR: ERROS COMUNS E SUAS POSS...
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - ENEM 2018: POSSÍVEIS NOTAS DE CORTE
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - ENEM 2018: POSSÍVEIS NOTAS DE CORTEANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - ENEM 2018: POSSÍVEIS NOTAS DE CORTE
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - ENEM 2018: POSSÍVEIS NOTAS DE CORTE
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC- RIO - ESFERAS E TETRAEDROS
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC- RIO - ESFERAS E TETRAEDROSANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC- RIO - ESFERAS E TETRAEDROS
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC- RIO - ESFERAS E TETRAEDROS
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - ORTOGONAIS?
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO  - ORTOGONAIS?ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO  - ORTOGONAIS?
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - ORTOGONAIS?
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - PROPOSIÇÕES: UM EXERCÍCIO COMENTADO
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - PROPOSIÇÕES: UM EXERCÍCIO COMENTADOANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - PROPOSIÇÕES: UM EXERCÍCIO COMENTADO
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - PROPOSIÇÕES: UM EXERCÍCIO COMENTADO
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - DESAFIO MATEMÁTICO: QUANTO É 2 + 5 X 3 + 4 ?
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - DESAFIO MATEMÁTICO: QUANTO É 2 + 5 X 3 + 4 ?ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - DESAFIO MATEMÁTICO: QUANTO É 2 + 5 X 3 + 4 ?
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - DESAFIO MATEMÁTICO: QUANTO É 2 + 5 X 3 + 4 ?
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO PROBLEMA VETORIAL
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO PROBLEMA VETORIALANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO PROBLEMA VETORIAL
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO PROBLEMA VETORIAL
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO EM - UMA SOBRE COMPLEXOS
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO EM - UMA SOBRE COMPLEXOSANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO EM - UMA SOBRE COMPLEXOS
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO EM - UMA SOBRE COMPLEXOS
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO PRIMOS E PA
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO PRIMOS E PAANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO PRIMOS E PA
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO PRIMOS E PA
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO AXIOMAS PARA RESOLUÇÃ...
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO AXIOMAS PARA RESOLUÇÃ...ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO AXIOMAS PARA RESOLUÇÃ...
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO AXIOMAS PARA RESOLUÇÃ...
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO PROBLEMA SIMPLES DE P.A
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO PROBLEMA SIMPLES DE P.AANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO PROBLEMA SIMPLES DE P.A
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO PROBLEMA SIMPLES DE P.A
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - DÚVIDA EPCAR
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - DÚVIDA EPCARANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - DÚVIDA EPCAR
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - DÚVIDA EPCAR
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - PROGRESSÃO ARITMÉTICA
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - PROGRESSÃO ARITMÉTICAANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - PROGRESSÃO ARITMÉTICA
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - PROGRESSÃO ARITMÉTICA
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - CONGRUÊNCIA
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - CONGRUÊNCIAANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - CONGRUÊNCIA
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - CONGRUÊNCIA
 

Último

Roteiro para análise do Livro Didático.pptx
Roteiro para análise do Livro Didático.pptxRoteiro para análise do Livro Didático.pptx
Roteiro para análise do Livro Didático.pptx
pamellaaraujo10
 
Slides Lição 12, CPAD, A Bendita Esperança, A Marca do Cristão, 2Tr24.pptx
Slides Lição 12, CPAD, A Bendita Esperança, A Marca do Cristão, 2Tr24.pptxSlides Lição 12, CPAD, A Bendita Esperança, A Marca do Cristão, 2Tr24.pptx
Slides Lição 12, CPAD, A Bendita Esperança, A Marca do Cristão, 2Tr24.pptx
LuizHenriquedeAlmeid6
 
12072423052012Critica_Literaria_-_Aula_07.pdf
12072423052012Critica_Literaria_-_Aula_07.pdf12072423052012Critica_Literaria_-_Aula_07.pdf
12072423052012Critica_Literaria_-_Aula_07.pdf
JohnnyLima16
 
Vogais Ilustrados para alfabetização infantil
Vogais Ilustrados para alfabetização infantilVogais Ilustrados para alfabetização infantil
Vogais Ilustrados para alfabetização infantil
mamaeieby
 
UFCD_6580_Cuidados na saúde a populações mais vulneráveis_índice.pdf
UFCD_6580_Cuidados na saúde a populações mais vulneráveis_índice.pdfUFCD_6580_Cuidados na saúde a populações mais vulneráveis_índice.pdf
UFCD_6580_Cuidados na saúde a populações mais vulneráveis_índice.pdf
Manuais Formação
 
FUNCAO EQUAÇÃO DO 2° GRAU SLIDES AULA 1.ppt
FUNCAO EQUAÇÃO DO 2° GRAU SLIDES AULA 1.pptFUNCAO EQUAÇÃO DO 2° GRAU SLIDES AULA 1.ppt
FUNCAO EQUAÇÃO DO 2° GRAU SLIDES AULA 1.ppt
MarceloMonteiro213738
 
Telepsiquismo Utilize seu poder extrassensorial para atrair prosperidade (Jos...
Telepsiquismo Utilize seu poder extrassensorial para atrair prosperidade (Jos...Telepsiquismo Utilize seu poder extrassensorial para atrair prosperidade (Jos...
Telepsiquismo Utilize seu poder extrassensorial para atrair prosperidade (Jos...
fran0410
 
Testes + soluções_Mensagens12 )11111.pdf
Testes + soluções_Mensagens12 )11111.pdfTestes + soluções_Mensagens12 )11111.pdf
Testes + soluções_Mensagens12 )11111.pdf
lveiga112
 
As sequências didáticas: práticas educativas
As sequências didáticas: práticas educativasAs sequências didáticas: práticas educativas
As sequências didáticas: práticas educativas
rloureiro1
 
D20 - Descritores SAEB de Língua Portuguesa
D20 - Descritores SAEB de Língua PortuguesaD20 - Descritores SAEB de Língua Portuguesa
D20 - Descritores SAEB de Língua Portuguesa
eaiprofpolly
 
PP Slides Lição 11, Betel, Ordenança para exercer a fé, 2Tr24.pptx
PP Slides Lição 11, Betel, Ordenança para exercer a fé, 2Tr24.pptxPP Slides Lição 11, Betel, Ordenança para exercer a fé, 2Tr24.pptx
PP Slides Lição 11, Betel, Ordenança para exercer a fé, 2Tr24.pptx
LuizHenriquedeAlmeid6
 
-Rudolf-Laban-e-a-teoria-do-movimento.ppt
-Rudolf-Laban-e-a-teoria-do-movimento.ppt-Rudolf-Laban-e-a-teoria-do-movimento.ppt
-Rudolf-Laban-e-a-teoria-do-movimento.ppt
fagnerlopes11
 
O Mito da Caverna de Platão_ Uma Jornada em Busca da Verdade.pdf
O Mito da Caverna de Platão_ Uma Jornada em Busca da Verdade.pdfO Mito da Caverna de Platão_ Uma Jornada em Busca da Verdade.pdf
O Mito da Caverna de Platão_ Uma Jornada em Busca da Verdade.pdf
silvamelosilva300
 
Gênero Textual sobre Crônicas, 8º e 9º
Gênero Textual sobre Crônicas,  8º e  9ºGênero Textual sobre Crônicas,  8º e  9º
Gênero Textual sobre Crônicas, 8º e 9º
sjcelsorocha
 
Cartinhas de solidariedade e esperança.pptx
Cartinhas de solidariedade e esperança.pptxCartinhas de solidariedade e esperança.pptx
Cartinhas de solidariedade e esperança.pptx
Zenir Carmen Bez Trombeta
 
Planejamento BNCC - 4 ANO -TRIMESTRAL - ENSINO FUNDAMENTAL
Planejamento BNCC - 4 ANO -TRIMESTRAL - ENSINO FUNDAMENTALPlanejamento BNCC - 4 ANO -TRIMESTRAL - ENSINO FUNDAMENTAL
Planejamento BNCC - 4 ANO -TRIMESTRAL - ENSINO FUNDAMENTAL
katbrochier1
 
Atpcg PEI Rev Irineu GESTÃO DE SALA DE AULA.pptx
Atpcg PEI Rev Irineu GESTÃO DE SALA DE AULA.pptxAtpcg PEI Rev Irineu GESTÃO DE SALA DE AULA.pptx
Atpcg PEI Rev Irineu GESTÃO DE SALA DE AULA.pptx
joaresmonte3
 
O Profeta Jeremias - A Biografia de Jeremias.pptx4
O Profeta Jeremias - A Biografia de Jeremias.pptx4O Profeta Jeremias - A Biografia de Jeremias.pptx4
O Profeta Jeremias - A Biografia de Jeremias.pptx4
DouglasMoraes54
 
Educação trabalho HQ em sala de aula uma excelente ideia
Educação  trabalho HQ em sala de aula uma excelente  ideiaEducação  trabalho HQ em sala de aula uma excelente  ideia
Educação trabalho HQ em sala de aula uma excelente ideia
joseanesouza36
 
Atividade de reforço de matemática 2º ano
Atividade de reforço de matemática 2º anoAtividade de reforço de matemática 2º ano
Atividade de reforço de matemática 2º ano
fernandacosta37763
 

Último (20)

Roteiro para análise do Livro Didático.pptx
Roteiro para análise do Livro Didático.pptxRoteiro para análise do Livro Didático.pptx
Roteiro para análise do Livro Didático.pptx
 
Slides Lição 12, CPAD, A Bendita Esperança, A Marca do Cristão, 2Tr24.pptx
Slides Lição 12, CPAD, A Bendita Esperança, A Marca do Cristão, 2Tr24.pptxSlides Lição 12, CPAD, A Bendita Esperança, A Marca do Cristão, 2Tr24.pptx
Slides Lição 12, CPAD, A Bendita Esperança, A Marca do Cristão, 2Tr24.pptx
 
12072423052012Critica_Literaria_-_Aula_07.pdf
12072423052012Critica_Literaria_-_Aula_07.pdf12072423052012Critica_Literaria_-_Aula_07.pdf
12072423052012Critica_Literaria_-_Aula_07.pdf
 
Vogais Ilustrados para alfabetização infantil
Vogais Ilustrados para alfabetização infantilVogais Ilustrados para alfabetização infantil
Vogais Ilustrados para alfabetização infantil
 
UFCD_6580_Cuidados na saúde a populações mais vulneráveis_índice.pdf
UFCD_6580_Cuidados na saúde a populações mais vulneráveis_índice.pdfUFCD_6580_Cuidados na saúde a populações mais vulneráveis_índice.pdf
UFCD_6580_Cuidados na saúde a populações mais vulneráveis_índice.pdf
 
FUNCAO EQUAÇÃO DO 2° GRAU SLIDES AULA 1.ppt
FUNCAO EQUAÇÃO DO 2° GRAU SLIDES AULA 1.pptFUNCAO EQUAÇÃO DO 2° GRAU SLIDES AULA 1.ppt
FUNCAO EQUAÇÃO DO 2° GRAU SLIDES AULA 1.ppt
 
Telepsiquismo Utilize seu poder extrassensorial para atrair prosperidade (Jos...
Telepsiquismo Utilize seu poder extrassensorial para atrair prosperidade (Jos...Telepsiquismo Utilize seu poder extrassensorial para atrair prosperidade (Jos...
Telepsiquismo Utilize seu poder extrassensorial para atrair prosperidade (Jos...
 
Testes + soluções_Mensagens12 )11111.pdf
Testes + soluções_Mensagens12 )11111.pdfTestes + soluções_Mensagens12 )11111.pdf
Testes + soluções_Mensagens12 )11111.pdf
 
As sequências didáticas: práticas educativas
As sequências didáticas: práticas educativasAs sequências didáticas: práticas educativas
As sequências didáticas: práticas educativas
 
D20 - Descritores SAEB de Língua Portuguesa
D20 - Descritores SAEB de Língua PortuguesaD20 - Descritores SAEB de Língua Portuguesa
D20 - Descritores SAEB de Língua Portuguesa
 
PP Slides Lição 11, Betel, Ordenança para exercer a fé, 2Tr24.pptx
PP Slides Lição 11, Betel, Ordenança para exercer a fé, 2Tr24.pptxPP Slides Lição 11, Betel, Ordenança para exercer a fé, 2Tr24.pptx
PP Slides Lição 11, Betel, Ordenança para exercer a fé, 2Tr24.pptx
 
-Rudolf-Laban-e-a-teoria-do-movimento.ppt
-Rudolf-Laban-e-a-teoria-do-movimento.ppt-Rudolf-Laban-e-a-teoria-do-movimento.ppt
-Rudolf-Laban-e-a-teoria-do-movimento.ppt
 
O Mito da Caverna de Platão_ Uma Jornada em Busca da Verdade.pdf
O Mito da Caverna de Platão_ Uma Jornada em Busca da Verdade.pdfO Mito da Caverna de Platão_ Uma Jornada em Busca da Verdade.pdf
O Mito da Caverna de Platão_ Uma Jornada em Busca da Verdade.pdf
 
Gênero Textual sobre Crônicas, 8º e 9º
Gênero Textual sobre Crônicas,  8º e  9ºGênero Textual sobre Crônicas,  8º e  9º
Gênero Textual sobre Crônicas, 8º e 9º
 
Cartinhas de solidariedade e esperança.pptx
Cartinhas de solidariedade e esperança.pptxCartinhas de solidariedade e esperança.pptx
Cartinhas de solidariedade e esperança.pptx
 
Planejamento BNCC - 4 ANO -TRIMESTRAL - ENSINO FUNDAMENTAL
Planejamento BNCC - 4 ANO -TRIMESTRAL - ENSINO FUNDAMENTALPlanejamento BNCC - 4 ANO -TRIMESTRAL - ENSINO FUNDAMENTAL
Planejamento BNCC - 4 ANO -TRIMESTRAL - ENSINO FUNDAMENTAL
 
Atpcg PEI Rev Irineu GESTÃO DE SALA DE AULA.pptx
Atpcg PEI Rev Irineu GESTÃO DE SALA DE AULA.pptxAtpcg PEI Rev Irineu GESTÃO DE SALA DE AULA.pptx
Atpcg PEI Rev Irineu GESTÃO DE SALA DE AULA.pptx
 
O Profeta Jeremias - A Biografia de Jeremias.pptx4
O Profeta Jeremias - A Biografia de Jeremias.pptx4O Profeta Jeremias - A Biografia de Jeremias.pptx4
O Profeta Jeremias - A Biografia de Jeremias.pptx4
 
Educação trabalho HQ em sala de aula uma excelente ideia
Educação  trabalho HQ em sala de aula uma excelente  ideiaEducação  trabalho HQ em sala de aula uma excelente  ideia
Educação trabalho HQ em sala de aula uma excelente ideia
 
Atividade de reforço de matemática 2º ano
Atividade de reforço de matemática 2º anoAtividade de reforço de matemática 2º ano
Atividade de reforço de matemática 2º ano
 

QUESTÕES PUC-RIO - TRIÂNGULOS

  • 1. QUESTÕES PUC-RIO - TRIÂNGULOS Claudio Buffara – Rio de Janeiro
  • 2. Hoje vamos dar sequência à nossa série Puc-Rio onde o tema de debate foi sobre triângulos. Num triângulo ABC, um dos ângulos que a mediana AM = m(a) forma com o lado BC é igual ao ângulo que esta mesma mediana forma com a bissetriz do ângulo A.
  • 3. Demonstrar: i. a²= 4bc ii. m(a) = raiz(2).(c - b)/2 ABC não pode ser isósceles, pois nesse caso teríamos AM perpendicular a BC e coincidente com a bissetriz de A. Assim, suponhamos que AB < AC ==> c < b. Seja P = ponto de interseção da bissetriz interna de BAC com o lado BC. AM é mediana ⇒ BM = MC = a/2 AP é bissetriz interna ⇒ CP/BP = AC/AB ⇒ CP/BP = b/c Como BP + PC = BC = a
  • 4. Teremos: CP = a*b/(b+c); BP = a*c/(b+c) PAM = PMA ⇒ Triângulo APM é isósceles ⇒ AP = PM Levando em conta que BP + PM = BM = a/2
  • 5. Teremos: a*c/(b+c) + PM = a/2 ⇒ PM = a*(b-c)/[2*(b+c)] = AP Agora vamos aplicar o teorema de Stewart: Primeiro em relação a bissetriz AP: BC*(AP^2 + BP*PC) = AC^2*BP + AB^2*PC ⇒ a*(a^2*(b-c)^2/[4*(b+c)^2] + a^2*b*c/(b+c)^2) = b^2*a*c/(b+c) + c^2*a*b/(b+c) ==> (simplificando tudo) a^2 = 4*b*c
  • 6. Em seguida, em relação a mediana AM: BC*(AM^2 + BM*MC) = AC^2*BM + AB^2*MC ==> a*(m^2 + (a/2)*(a/2)) = b^2*a/2 + c^2*a/2 ==> m^2 + a^2/4 = (b^2 + c^2)/2 ==> m^2 = (2*b^2 + 2*c^2 - a^2)/4 ==>
  • 7. (levando em conta que a^2 = 4*b*c) m^2 = (2*b^2 + 2*c^2 - 4*b*c)/4 ==> m^2 = (b - c)^2/2 ==> m = (b - c)/raiz(2) Confira essa discussão em: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200303/msg00667.html