Questões de matemática selecionadas a partir dos principais vestibulares militares.

1. APOSTILA DE EXERCÍCIOS
ÁREAS

2. ÁREAS
1
01. (Acafe 2015) A área da região que tem como vértices as extremidades dos arcos que verificam a equação
sen2x senx 0
+ =
no intervalo de [0, ],
π em unidades de área, é
a)
3
2
b)
3
4
c) 3
d)
3 3
4
02. (Acafe 2014) Analise as proposições abaixo e classifique-as em V - verdadeiras ou F - falsas.
( ) O triângulo ABC é equilátero e seu perímetro é 12cm. Sabendo que temos uma circunferência inscrita e outra
circunscrita ao triângulo ABC, então, a razão entre a área da circunferência inscrita e a área da circunferência
circunscrita é
1
.
4
( ) Uma das diagonais de um quadrado está contida na reta x y 4 0.
− − = Sabendo que a reta suporte da outra
diagonal passa pelo ponto de coordenadas (5, 3),
− pode-se concluir que o perímetro desse quadrado, em
unidades de comprimento, é igual a 16 2.
( ) Na figura abaixo, ABCD, é um quadrado inscrito num triângulo PRQ. Sendo RQ 36cm
= e a altura relativa a essa
base igual a 24cm, então, a área da região hachurada vale, aproximadamente, 225cm2
.
A sequência correta, de cima para baixo, é
a) V - V - F
b) V - F - V
c) V - F - F
d) F - F - V
03. (Ita 2014) Em um triângulo isósceles cuja área mede a razão entre as medidas da altura e da
base é igual a Das afirmações abaixo:
I. As medianas relativas aos lados e medem
II. O baricentro dista 4 cm do vértice A;
III. Se é o ângulo formado pela base com a mediana relativa ao lado então
é (são) verdadeira(s)
a) Apenas I b) Apenas II c) Apenas III d) Apenas I e III e) Apenas II e III
ABC, 2
48cm , AP
BC
2
.
3
AB AC 97 cm;
α BC BM, AC,
3
cos ,
97
α =

3. ÁREAS
2
04. (Col. naval 2014) Observe as figuras a seguir.
Uma dobra é feita no retângulo 10 cm 2 cm
× da figura I, gerando a figura plana II. Essa dobra está indicada pela reta
suporte de PQ. A área do polígono APQCBRD da figura II, em 2
cm , é
a) 8 5
b) 20
c) 10 2
d)
35
2
e)
13 6
2
05. (Espcex 2014) Em um treinamento da arma de Artilharia, existem 3 canhões A, B e C. Cada canhão, de acordo com
o seu modelo, tem um raio de alcance diferente e os três têm capacidade de giro horizontal de 360°. Sabendo que as
distâncias entre A e B é de 9 km, entre B e C é de 8 km e entre A e C é de 6 km, determine, em km2
, a área total que
está protegida por esses 3 canhões, admitindo que os círculos são tangentes entre si.
a)
23
2
π
b)
23
4
π
c)
385
8
π
d)
195
4
π
e)
529
4
π
06. (Esc. Naval 2014) Um recipiente cúbico de aresta 4 cm está apoiado em um plano horizontal e contém água até
uma altura de 3 cm. Inclina-se o cubo, girando de um ângulo α em torno de uma aresta da base, até que o líquido
comece a derramar. A tangente do ângulo α é
a)
1
3
b) 3
c)
3
2
d)
1
2
e) 1

4. ÁREAS
3
07. (Col. naval 2014) Considere que ABC é um triângulo retângulo em A, de lados AC b
= e BC a.
= Seja H o pé da
perpendicular traçada de A sobre BC, e M o ponto médio de AB, se os segmentos AH e CM cortam-se em P, a
razão
AP
PH
será igual a
a)
2
2
a
b
b)
3
2
a
b
c)
2
3
a
b
d)
3
3
a
b
e)
a
b
08. (Col. naval 2014) Sobre o lado BC do quadrado ABCD, marcam-se os pontos "E" e "F" tais que
BE 1
BC 3
= e
CF 1
.
BC 4
= Sabendo-se que os segmentos AF e ED intersectam-se em "P", qual é, aproximadamente, o percentual da
área do triângulo BPE em relação à área do quadrado ABCD?
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
09. (Acafe 2014) Na figura abaixo, o quadrado está inscrito na circunferência. Sabendo que a medida do lado do
quadrado é 8cm, então, a área da parte hachurada, em cm2
, é igual a
a) ( )
4 2 .
π +
b) ( )
8 4 .
π +
c) ( )
8 2 .
π +
d) ( )
4 4 .
π +

5. ÁREAS
4
10. (Col. naval 2014) Seja ABC um triângulo retângulo de hipotenusa 26 e perímetro 60. A razão entre a área do círculo
inscrito e do círculo circunscrito nesse triângulo é, aproximadamente
a) 0,035
b) 0,055
c) 0,075
d) 0,095
e) 0,105
11. (Espcex 2014) As regras que normatizam as construções em um condomínio definem que a área construída não
deve ser inferior a 40% da área do lote e nem superior a 60% desta. O proprietário de um lote retangular pretende
construir um imóvel de formato trapezoidal, conforme indicado na figura.
Para respeitar as normas acima definidas, assinale o intervalo que contém todos os possíveis valores de x.
a) [6, 10]
b) [8,14]
c) [10,18]
d) [16, 24]
e) [12, 24]
12. (Col. naval 2014) Suponha que ABC seja um triângulo isósceles com lados AC BC,
= e que "L" seja a
circunferência de centro "C", raio igual a "3" e tangente ao lado AB. Com relação à área da superfície comum ao
triângulo ABC e ao círculo de "L", pode-se afirmar que
a) não possui um valor máximo.
b) pode ser igual a 5 .
π
c) não pode ser igual a 4 .
π
d) possui um valor mínimo igual a 2 .
π
e) possui um valor máximo igual a 4,5 .
π

6. ÁREAS
5
13. (Epcar 2014) Na figura abaixo, os três círculos têm centro sobre a reta AB e os dois de maior raio têm centro sobre
a circunferência de menor raio.
A expressão que fornece o valor da área sombreada é
a) 2
17 6 3
r
9
π −
b) 2
11 9 3
r
12
π +
c) 2
15 4 3
r
9
π −
d) 2
13 6 3
r
12
π +
14. (Col. naval 2014) Observe a figura a seguir.
Na figura, o paralelogramo ABCD tem lados 9 cm e 4 cm. Sobre o lado CD está marcado o ponto R, de modo que
CR 2 cm;
= sobre o lado BC está marcado o ponto S tal que a área do triângulo BRS seja
1
36
da área do
paralelogramo; e o ponto P é a interseção do prolongamento do segmento RS com o prolongamento da diagonal
DB. Nessas condições, é possível concluir que a razão entre as medidas dos segmentos de reta
DP
BP
vale
a) 13,5
b) 11
c) 10,5
d) 9
e) 7,5

7. ÁREAS
6
15. (Esc. Naval 2014) Desenha-se no plano complexo o triângulo T com vértices nos pontos correspondentes aos
números complexos 1 2 3
z , z , z , que são raízes cúbicas da unidade. Desenha-se o triângulo
S, com vértices nos pontos correspondentes aos números complexos 1 2 3
w , w , w , que são raízes cúbicas de 24 3.
Se A é a área de T e B é a área de S, então
a) B 12A
=
b) B 18A
=
c) B 24A
=
d) B 36A
=
e) B 42A
=
16. (Epcar 2013) Samuel possui 12 palitos iguais e resolveu formar um único triângulo por vez, usando os 12 palitos
sem parti-los. Ele verificou que é possível formar x triângulos retângulos, y triângulos isósceles, z triângulos
equiláteros e w triângulos escalenos. A soma x y z w
+ + + é igual a
a) 7
b) 6
c) 5
d) 4
17. (Epcar 2013) Na figura abaixo, ABCDE é um pentágono regular de lado a e AB BC CD DE EA
= = = = são arcos de
circunferência cujo raio mede a.
Assim, a área hachurada nessa figura, em função de a, é igual a
a)
2
5a 3
2 3 2
π
 
−
 
 
b) 2 3
5a
3 2
π
 
−
 
 
c) ( )
2
a
4 5 3
4
π −
d) ( )
2
a 4 5 3
π −

8. ÁREAS
7
18. (Esc. Naval 2012) O triângulo da figura abaixo é equilátero, AM MB 5
= = e CD 6.
= A área do triângulo MAE vale
a)
200 3
11
b)
100 3
11
c)
100 2
2
d)
200 2
11
e)
200 2
2
19. (Epcar 2012) Considere a área S da parte sombreada no triângulo retângulo isósceles 1 2
OO O . AD, AB e BC são
arcos de circunferência com centros em 2
O , O e 1
O respectivamente, cujos raios medem 2r.
Das figuras abaixo, a única em que a área sombreada não é igual a S, é
a) Circunferência de diâmetro AB e semicircunferências de diâmetros OA e OB
b) Circunferência de centro O
c) Circunferência de centro O
d) Circunferência de centro O inscrita num quadrado. Dois setores circulares de raio r

9. ÁREAS
8
20. (Epcar 2012) Conforme a figura abaixo, A é o ponto de tangência das circunferências de centros 1
C , 2
C e 3
C .
Sabe-se que os raios dessas circunferências formam uma progressão geométrica crescente.
Se os raios das circunferências de centros 1
C e 2
C medem, respectivamente, 2r e 3r, então a área da região
sombreada vale, em unidades de área,
a) 2
55
r
8
π
b) 2
29
r
4
π
c) 2
61
r
8
π
d) 2
8 r
π
GABARITO
1 - A 2 - B 3 - A 4 - D 5 - D
6 - D 7 - A 8 - D 9 - C 10 - D
11 - E 12 - A 13 - D 14 - C 15 - A
16 - C 17 - A 18 - B 19 - D 20 - C