1. Nome: Colégio: Data:
1. TRIÂNGULO RETÂNGULO PROPRIEDADE 01: O seno de um ângulo é igual ao
TRIÂNGULO RETÂNGULO é aquele que possui um cosseno de seu complementar.
ângulo reto (90º). Dizemos que o triângulo a seguir é
retângulo em A, veja: senB = cosC ou senC = cosB
B
PROPRIEDADE 02: A tangente de um ângulo é igual
a ao inverso da tangente de seu complementar.
c
1 1
tgB = ou tgC =
A b C tgC tgB
Onde:
a é a hipotenusa (maior lado);
b e c são os catetos (formam o ângulo reto);
4. TABELA
B e C são ângulos agudos complementares, isto é, Os valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos
B + C = 90º ; 30º, 45º e 60º são mostrados na tabela a seguir:
30º 45º 60º
2. RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO
TRIÂNGULO RETÂNGULO sen
1 2 3
No TRIÂNGULO RETÂNGULO ABC são válidas as 2 2 2
seguintes RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS (entre os
3 2 1
elementos mencionadas acima): cos
2 2 2
RAZÃO 01: SENO DO ÂNGULO B – É a razão entre
3
o cateto oposto ao ângulo B e a hipotenusa. tg 1 3
3
cateto oposto a B
senB =
hipotenusa 5. EXEMPLOS RESOLVIDOS
RAZÃO 02: COSSENO DO ÂNGULO B – É a razão 01. (UEPA) O mastro (CD ) de um navio é preso
entre o cateto adjacente ao ângulo B e a hipotenusa. verticalmente por cabos de aço fixo na proa (A) e na popa
cateto adjacente a B (B), conforme mostra a figura a seguir. Se o cabo BC
cosB =
hipotenusa mede 10 3 m então, a altura do mastro é:
C
a) 2 3 m
RAZÃO 03: TANGENTE DO ÂNGULO B – É a razão
entre o cateto oposto e o cateto adjacente ao ângulo B . b) 5 3m
c) 8 3m B 30° A
cateto oposto a B D
tgB = d) 10 3 m
cateto adjacente a B
e) 20 3 m
De modo análogo podemos definir as razões seno,
cosseno e tangente do ângulo agudo C . Resolução:
Destacamos o triângulo BCD retângulo em D:
3. PROPRIEDADES C
Observe os valores de seno, cosseno e tangente dos
10 3
ângulos agudos B :
cateto oposto a B b cateto oposto a C c 30º
senB = = sen C = = B D
hipotenusa a hipotenusa a
cateto adjacente a B c cateto adjacente a C b
cosB = = cosC = = Para calcular a altura do mastro que corresponde ao
( )
hipotenusa a hipotenusa a
segmento CD aplicamos o seno, pois o mastro CD é o
cateto oposto a B b cateto oposto a C c
tgB = = tgC = =
cateto adjacente a B c cateto adjacente a C b cateto oposto ao ângulo de 30º e o cabo BC é a
hipotenusa.
Para dois ângulos complementares B e C , isto é,
CD 1
sen 30º = e como sen 30º = , temos:
B + C = 90º , são válidas as seguintes PROPRIEDADES: 10 3 2
Matemática • www.georgechrist.mat.br • Página 1

2. 1
=
CD 10 3 6. EXERCÍCIOS (DESTRUIÇÃO TOTAL)
⇒ CD = 01. (UFSM-RS) Um estudante de engenharia vê um
2 10 3 2
2.CD = 10 3 CD = 5 3 prédio do campus da UFSM construído em um terreno
plano, sob um ângulo de 30º. Aproximando-se do prédio
Portanto a altura do mastro é 5 3 m (alternativa b). mais 40 m, passa a vê-lo sob um ângulo de 60º.
Considerando que a base do prédio está no mesmo nível
02. (UEPA – PRISE) Um botânico interessado em dos olhos do estudante, então a altura h do prédio é igual
descobrir qual o comprimento da copa de uma árvore fez a:
as observações indicadas na figura abaixo a partir de um a) 30 3 b) 20 3 c) 10 d) 10 3 e) 28
ponto no solo. O comprimento (H), em metros, dessa
copa é:
a) 10 ( 3 − 1)
02. (UFJF-MG) Um topógrafo foi chamado para obter a
H altura de um edifício. Para fazer isto, ele colocou um
teodolito (instrumento para medir ângulos) a 200 m do
b) 15 edifício e mediu o ângulo de 30º, como indicado na figura
c) 10 3 a seguir: (Utilize 3 ≅ 1,73 )
d) 10 ( 3 + 1) 60º 45º
e) 30 10 m 30º
Resolução:
Observe o esquema:
Sabendo que o teodolito está a 1,5 m do solo, pode-
se concluir que, dentre os valores a seguir, o que melhor
H aproxima a altura do edifício, em metros, é:
a) 112 b) 115 c) 117 d) 120 e) 124
y H+x=y
03. (CEFET-PR) A Rua Tenório Quadros e a avenida
x Teófilo Silva, ambas retilíneas, se cruzam segundo um
ângulo de 30º. O posto de gasolina Estrela do Sul se
encontra na Avenida Teófilo Silva a 4000 m do citado
Destacamos os dois triângulos retângulos a seguir: cruzamento. Portanto, a distância entre o posto de
Observe que x gasolina Estrela do Sul e a rua Tenório Quadros, em
representa a medida do quilômetros, é igual a:
x a) 4 b) 12 c) 2 d) 5 e) 8
tronco da árvore e para
45º
calcular este valor aplicamos
10 m a tangente de 45º, pois x é o 04. (CEFET-PR) Patrik Onom Étrico, um jovem curioso,
cateto oposto e 10 m é a medida do cateto adjacente. observa da janela do seu quarto (A) uma banca de
revistas (R), bem em frente ao seu prédio, segundo um
x
tg 45º = e como tg 45º = 1 , temos: ângulo de 60º com a vertical. Desejando avaliar a
10 distância do prédio à banca, Patrik sobe seis andares
x (aproximadamente 16 metros) até o apartamento de um
1= , logo x = 10 .
10 amigo seu, e passa a avistar a banca (do ponto B)
A medida do tronco da árvore é 10 m. segundo um ângulo de 30º com a vertical. Calculando a
Observe que y distância “d”, Patrik deve encontrar, aproximadamente, o
representa a altura da valor: (Dados: 2 = 1,4 ; 3 = 1,7 )
árvore e para calcular este a) 8,0 m b) 11,2 m c) 12,4 m d) 13,6 m e)15,0 m
y valor aplicamos a tangente
60º de 60º, pois y é o cateto B
10 m oposto e a medida 10 m é o
cateto adjacente. 30 o
y
tg 60º = e como tg 60º = 3 , temos:
10
A
y
3= , logo y = 10 3 . 60o
10 R
Substituindo x e y na relação H + x = y , temos:
H + 10 = 10 3 d
05. (UFSC) Dois pescadores P1 e P2, estão na beira de
H = 10 3 − 10 um rio de margens paralelas e conseguem ver um bote B
Colocando o fator comum 10 em evidência, temos: na outra margem. Sabendo que P1P2=63 m, os ângulos
H = 10. ( 3 −1 ) BP1P2 = α e BP2P1 = β e que tg α = 2 e tg β = 4 ,
Portanto o comprimento da copa da árvore é determine a distância (em metros) entre as margens.
10. ( )
3 − 1 metros. GABARITO 01 B 02 C 03 C 04 D 05 84m
Matemática • www.georgechrist.mat.br • Página 2