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Matemática para Colégio Naval e EPCAr .
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                              “NON MULTA SED MULTUM”

                                          Miscelânea

1) As raízes do trinômio do 2° grau y = ax 2 + bx + c são 1000 e 3000. Se quando x vale
2010 o valor numérico de y é 16, qual é o valor numérico de y quando x vale 1990?
(A)64 (B)32 (C)16 (D)8 (E) 4

                                                                   −1                      −1
2) Qual é o conjunto-solução S da inequação: ( x − 1) . ( x − 2)  > ( x − 2) . ( x − 3 )  ?
                                                                                         
(A) S = {x ∈ » / x < 1}
(B) S = {x ∈ » / x < 1 ou 1 < x < 2}
(C) S = {x ∈ » / x < 1 ou 2 < x < 3}
(D) S = {x ∈ » / x < 2}
(E) S = {x ∈ » / 2 < x < 3}



3) Os números reais positivos a e b satisfazem a igualdade: a ( a2 + 2b2 ) = b ( 9a 2 − b2 ) .
                       a
Um valor possível para   é:
                       b
      5+2 5          5+ 3              3+2 3             3+ 3             3+ 5
(A)              (B)             (C)               (D)              (E)
        2              2                 2                 2                2

4) Um professor de Matemática apresentou uma equação do 2° grau completa, com duas raízes
reais positivas, e mandou calcular, as médias aritmética, geométrica e harmônica entre essas
raízes, sem determiná-las. Nessas condições
(A) somente foi possível calcular a média aritmética.
(B) somente foi possível calcular as médias aritmética e geométrica.
(C) somente foi possível calcular as médias aritmética e harmônica.
(D) foi possível calcular as três médias pedidas.
(E) não foi possível calcular as três médias pedidas.
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5) Sabendo-se que a equação x 2 ( x 2 + 13 ) − 6 x ( x 2 + 2 ) + 4 = 0 pode ser escrita como um
produto de binômios do primeiro grau, a soma de duas das suas raízes reais distintas é igual
a : (A) -3 (B) -2 (C) -1 (D) 2 (E) 3

                                                                                    2

6) A interseção do conjunto solução, nos reais, da inequação
                                                                (x   2
                                                                                )
                                                                         − 2x + 1
                                                                                        ≤ 0 com o
                                                                     12 x − 4
conjunto { x ∈ » / x < 4} é dada por
(A)  x ∈ » / x <                                           (C)  x ∈ » / x <  ∪ {2}
                 1                                                            1
                                (B) { x ∈ » / x < 0}                         
                3                                                                      3

(D)  x ∈ » / x <  ∪ {1}
                 1
                               (E) { x ∈ » / x < 2}
                3



                                         3
7) Dada a equação na variável x: 7 x −     = k , pode-se concluir, em função do parâmetro real
                                         x
k, que essa equação
(A) tem raízes reais só se k for um número positivo.
(B) tem raízes reais só se k for um número negativo.
(C) tem raízes reais para qualquer valor de k.
(D) tem raízes reais somente para dois valores de k.
(E) nunca terá raízes reais.

8) Um funcionário usa uma empilhadeira para transportar bobinas de 70 kg ou de 45 kg,
sendo uma de cada vez. Quantas viagens com carga deverá fazer, no mínimo, para transportar
exatamente uma tonelada dessa carga?
(A) 18 (B) 17 (C) 16 (D) 15 (E) 14

9) A menor raiz da equação ax 2 + bx + c = 0 , com abc≠0, é a média geométrica entre “m” e
a maior raiz. A maior raiz é a média geométrica entre “n” e a menor raiz. Pode-se afirmar
que “m+n” é expresso por:
      3abc − b3          3abc + b 3          3abc − b3          abc + b3                  abc − b3
(A)                (B)                 (C)                (D)                       (E)
        a 2c               a 2c                c 2a               c 2a                      a 2c
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10) Quantos são os números inteiros com os quais é possível, no conjunto dos reais, calcular
o valor numérico da expressão algébrica 103x − x 2 − 300 ?
(A) 100 (B) 99 (C) 98 (D) 97 (E) 96

                        3x          1− x
11) Os números                 e           são inteiros, com   x ∈ » − {0;1} .   Nessas condições, determine a
                       1− x          3x
soma dos possíveis valores de x .
(A) ¼ (B) ½ (C) -1/4 (D) -1/2                              (E) ¾

                                                                                               15       10

12) O conjunto solução de números reais, tal que o valor da expressão ( x − 5 ) ( 2x8− 1) é
                                                                            ( 3x + 1)
maior do que, ou igual a zero, é:
(A) [5; +∞[ ∪ − 1 ; 1 
                        (B)  −∞; 1  ∪ [5; +∞[
                                     
                                                  (C) ]−∞, +∞[
                   3 2                       2
(D)     1 1                        (E)    1
        − 3 ; 2  ∪ [5; +∞[                 ∪ [5; +∞[
                                         2


13) O combustível A é composto de uma mistura de 20% de álcool e 80% de gasolina. O
combustível B é constituído exclusivamente de álcool. Um motorista quer encher
completamente o tanque do seu carro com 50% de álcool e 50% de gasolina. Para alcançar o
seu objetivo colocou x litros de A e y litros de B. A razão x/y é dada por:
(A) 5/3 (B) 3/5 (C) 2/5 (D) 5/2 (E) 3/2




                                             Equação do segundo grau

1) Achar o produto dos valores inteiros de                         M   que fazem com que a equação em x ,
   2
 4x       M
     − Mx+ = 0 não             tenha raízes reais.
  M       4
(A) 0 (B) 1 (C) −1             (D)    −4    (E)   4
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2)Calcular a soma dos valores de      de modo que as equações
                                                           m       e   n
                   (2n + m)x − 4mx+ 4 = 0 e (6 n + m)x2 + 3(n − 1 x − 2 = 0
                                                     2
                                                                 )
tenham as mesmas raízes.
(A) 9 (B) 7 (C) − 9 (D) 0 (E) 1
      5                 5              5


3)Sabendo que na equação x2 + Bx − 17= 0 B é positivo e que as raízes são inteiras, achar a
soma das raízes :
(A) 17 (B) 16 (C) −17 (D) −10 (E) −16

4)Sejam        r        e   s as   raízes da equação                       x2 3 + 3 x − 7 = 0 .     O valor numérico da expressão
(r + s + 1 r + s − 1 é
          )(        )
      2                 3          9             4
(A)           (B)           (C)        (D)               (E)   2
      7                 7          7             3


5) O conjunto dos valores de m para os quais as equações                                            3 x2 − 8 x + 2m = 0       e   2 x2 − 5 x + m = 0
possuem uma e apenas uma raiz real comum é
(A) unitário, de elemento positivo.
(B) unitário, de elemento não negativo.
(C) composto de dois elementos não positivos.
(D)composto de dois elementos não negativos.
(E) vazio.

6) A equação do 2º grau x2 − 2x + m = 0 ,                                      m< 0    , tem raízes      x1   e   x2 .   Se   xn−2 + xn−2 = a
                                                                                                                               1      2            e
 xn−1 + xn− 1 = b , então xn + xn é igual a :
  1      2                 1    2

(A) 2a + mb (B) 2b − ma                (C) ma+ 2b                                 (D)   ma− 2b      (E) m(a − 2b)

7) As raízes da equação                              2x2 − x − 16 = 0            são    r   e    s , (r > s ) .   O valor da expressão
          4         4
      r −s
                               ,é
 r + r 2 s + rs 2 + r 3
 3

                                                 127                   129
(A) 129 (B) 127                            (C)                 (D)             (E) impossível calcular.
       2                2                         4                     4
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8) Um aluno, ao tentar determinar as raízes     x1   e   x2 da   equação   ax2 + bx+ c = 0        ,   a.b.c. ≠ 0 ,
explicitou x da seguinte forma:
                                            − b ± b2 − 4 ac
                                       x=
                                                  2c
Sabendo-se que não teve erro de contas, encontrou como resultado
(A) x1 e x2 (B) − x1 e − x2 C) x1−1 e x2 −1      (D) c.x1 e c.x2 (E)            a.x1   e   a.x2




9) Um professor elaborou três modelos de prova. No 1o m odelo colocou uma equação
do 2 o grau; no 2o modelo , colocou a mesma equação trocando apenas o coeficiente do
termo do 2 o grau; e no 3 o m o d e lo , colocou a mesma equação do 1o m o d e lo
trocando apenas o term o independente . Sabendo que as raízes da equação do
 2 o m odelo são 2 e 3 e que as raízes do 3 o m o d e lo são 2 e −7 , pode-se afirmar
sobre a equação do 1o m odelo , que :
(A) não tem raízes reais.
(B) a diferença entre a sua maior e a sua menor raiz é 7 .
(C) a sua maior raiz é 6 .
(D) a sua menor raiz é 1.
(E) a soma dos inversos das suas raízes é 2 .
                                            3


10) Um relógio indica dois minutos menos do que a hora certa e adianta t minutos por dia.
Se estivesse atrasado três minutos e adiantasse ( t + ½) minutos por dia, então marcaria a
hora certa exatamente um dia antes do que vai marcar. O tempo t, em minutos, que esse
relógio adianta por dia está compreendido entre
(A) 1/9 e 2/9       (B) 2/9 e 3/9       (C) 4/9 e 5/9     (D) 6/9 e 7/9     (E) 8/9 e 9/9



                                    Equação biquadrada

1)A soma das duas menores raízes da equação      x 4 − 13x 2 + 36 = 0      é:
(A) 0 (B) –4 (C) –5 (D) –6 (E) –13
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2) A diferença entre a maior e a menor raiz da equação      x 4 − 6x 2 + 8 = 0   é:
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4

3) O produto das raízes positivas da equação   4x 4 − 17 x 2 + 18 = 0   é:
       2                      3 2
(A)        (B)   2      (C)             (D)   2 2         (E)   5 2
      2                        2


4)A soma dos valores absolutos das raízes da equação x 4 − 11x 2 + 18 = 0 é:
(A) 6 2 (B) 2 2 (C) 4 + 2 2 (D) 5 + 2 2 (E) 6 + 2 2

5)(CN) Duas das raízes da equação biquadrada x 4 + bx 2 + c = 0 são 0,2333... e 30/7. O
valor de c é:
(A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 7 (E) 11

6)(CN) A equação x 4 − (a − 6) x 2 + (9 − a) = 0 , na variável x, tem quatro raízes reais e
distintas, se e somente se:
(A) a > 8       (B) 6 < a < 8    (C) 8 < a < 9 (D) 6 < a < 9         (E) a > 9

7)(CN) A equação x 4 − 8 x 2 + k 2 − 5 = 0 , onde k é um número inteiro, tem 4 raízes reais. A
soma dos valores absolutos de k é:
(A) 13 (B) 14 (C) 15 (D) 16 (E) 17




                                    Equações irracionais


1)(CN) Quantas raízes tem a equação x + 20 = x ?
(A) Nenhuma
(B) Uma
(C) Duas, positivas.
(D) Duas, negativas.
(E) Duas, de sinais opostos.
Matemática para Colégio Naval e EPCAr .
                        Equipe: Álgebra - Prof. Ivan Monteiro
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                        Email e Messenger: mathaleph@yahoo.com.br
                        Blog:                mathaleph.blogspot.com.br



2)(CN) O conjunto solução da equação x − x + 4 = 2 é:
(A)unitário de elemento par
(B)unitário de elemento ímpar e primo
(C)unitário de elemento ímpar e não primo
(D)binário
(E)vazio

3)(CN) Sobre o conjunto solução em R da equação (2 x + 1)2 = x − 3 , podemos afirmar que:
(A)é unitário cujo elemento é positivo.
(B)Possui dois elementos em que um é racional e o outro irracional.
(C)É vazio.
(D)É unitário cujo elemento é negativo.
(E)Possui dois elementos irracionais.

4)A soma das raízes reais da equação ( x + 4)( x + 1) − 3 x 2 + 5 x + 2 = 6 é:
(A) –1      (B) –2       (C) –3 (D) –4 (E) -5

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  • 1. Matemática para Colégio Naval e EPCAr . Equipe: Álgebra - Prof. Ivan Monteiro Aritmética - Prof. Adilson Masa Geometria - Prof. Alex Ricardo Email e Messenger: mathaleph@yahoo.com.br Blog: mathaleph.blogspot.com.br “NON MULTA SED MULTUM” Miscelânea 1) As raízes do trinômio do 2° grau y = ax 2 + bx + c são 1000 e 3000. Se quando x vale 2010 o valor numérico de y é 16, qual é o valor numérico de y quando x vale 1990? (A)64 (B)32 (C)16 (D)8 (E) 4 −1 −1 2) Qual é o conjunto-solução S da inequação: ( x − 1) . ( x − 2)  > ( x − 2) . ( x − 3 )  ?     (A) S = {x ∈ » / x < 1} (B) S = {x ∈ » / x < 1 ou 1 < x < 2} (C) S = {x ∈ » / x < 1 ou 2 < x < 3} (D) S = {x ∈ » / x < 2} (E) S = {x ∈ » / 2 < x < 3} 3) Os números reais positivos a e b satisfazem a igualdade: a ( a2 + 2b2 ) = b ( 9a 2 − b2 ) . a Um valor possível para é: b 5+2 5 5+ 3 3+2 3 3+ 3 3+ 5 (A) (B) (C) (D) (E) 2 2 2 2 2 4) Um professor de Matemática apresentou uma equação do 2° grau completa, com duas raízes reais positivas, e mandou calcular, as médias aritmética, geométrica e harmônica entre essas raízes, sem determiná-las. Nessas condições (A) somente foi possível calcular a média aritmética. (B) somente foi possível calcular as médias aritmética e geométrica. (C) somente foi possível calcular as médias aritmética e harmônica. (D) foi possível calcular as três médias pedidas. (E) não foi possível calcular as três médias pedidas.
  • 2. Matemática para Colégio Naval e EPCAr . Equipe: Álgebra - Prof. Ivan Monteiro Aritmética - Prof. Adilson Masa Geometria - Prof. Alex Ricardo Email e Messenger: mathaleph@yahoo.com.br Blog: mathaleph.blogspot.com.br 5) Sabendo-se que a equação x 2 ( x 2 + 13 ) − 6 x ( x 2 + 2 ) + 4 = 0 pode ser escrita como um produto de binômios do primeiro grau, a soma de duas das suas raízes reais distintas é igual a : (A) -3 (B) -2 (C) -1 (D) 2 (E) 3 2 6) A interseção do conjunto solução, nos reais, da inequação (x 2 ) − 2x + 1 ≤ 0 com o 12 x − 4 conjunto { x ∈ » / x < 4} é dada por (A)  x ∈ » / x <  (C)  x ∈ » / x <  ∪ {2} 1 1   (B) { x ∈ » / x < 0}    3  3 (D)  x ∈ » / x <  ∪ {1} 1   (E) { x ∈ » / x < 2}  3 3 7) Dada a equação na variável x: 7 x − = k , pode-se concluir, em função do parâmetro real x k, que essa equação (A) tem raízes reais só se k for um número positivo. (B) tem raízes reais só se k for um número negativo. (C) tem raízes reais para qualquer valor de k. (D) tem raízes reais somente para dois valores de k. (E) nunca terá raízes reais. 8) Um funcionário usa uma empilhadeira para transportar bobinas de 70 kg ou de 45 kg, sendo uma de cada vez. Quantas viagens com carga deverá fazer, no mínimo, para transportar exatamente uma tonelada dessa carga? (A) 18 (B) 17 (C) 16 (D) 15 (E) 14 9) A menor raiz da equação ax 2 + bx + c = 0 , com abc≠0, é a média geométrica entre “m” e a maior raiz. A maior raiz é a média geométrica entre “n” e a menor raiz. Pode-se afirmar que “m+n” é expresso por: 3abc − b3 3abc + b 3 3abc − b3 abc + b3 abc − b3 (A) (B) (C) (D) (E) a 2c a 2c c 2a c 2a a 2c
  • 3. Matemática para Colégio Naval e EPCAr . Equipe: Álgebra - Prof. Ivan Monteiro Aritmética - Prof. Adilson Masa Geometria - Prof. Alex Ricardo Email e Messenger: mathaleph@yahoo.com.br Blog: mathaleph.blogspot.com.br 10) Quantos são os números inteiros com os quais é possível, no conjunto dos reais, calcular o valor numérico da expressão algébrica 103x − x 2 − 300 ? (A) 100 (B) 99 (C) 98 (D) 97 (E) 96 3x 1− x 11) Os números e são inteiros, com x ∈ » − {0;1} . Nessas condições, determine a 1− x 3x soma dos possíveis valores de x . (A) ¼ (B) ½ (C) -1/4 (D) -1/2 (E) ¾ 15 10 12) O conjunto solução de números reais, tal que o valor da expressão ( x − 5 ) ( 2x8− 1) é ( 3x + 1) maior do que, ou igual a zero, é: (A) [5; +∞[ ∪ − 1 ; 1    (B)  −∞; 1  ∪ [5; +∞[   (C) ]−∞, +∞[  3 2  2 (D)  1 1 (E)  1  − 3 ; 2  ∪ [5; +∞[   ∪ [5; +∞[   2 13) O combustível A é composto de uma mistura de 20% de álcool e 80% de gasolina. O combustível B é constituído exclusivamente de álcool. Um motorista quer encher completamente o tanque do seu carro com 50% de álcool e 50% de gasolina. Para alcançar o seu objetivo colocou x litros de A e y litros de B. A razão x/y é dada por: (A) 5/3 (B) 3/5 (C) 2/5 (D) 5/2 (E) 3/2 Equação do segundo grau 1) Achar o produto dos valores inteiros de M que fazem com que a equação em x , 2 4x M − Mx+ = 0 não tenha raízes reais. M 4 (A) 0 (B) 1 (C) −1 (D) −4 (E) 4
  • 4. Matemática para Colégio Naval e EPCAr . Equipe: Álgebra - Prof. Ivan Monteiro Aritmética - Prof. Adilson Masa Geometria - Prof. Alex Ricardo Email e Messenger: mathaleph@yahoo.com.br Blog: mathaleph.blogspot.com.br 2)Calcular a soma dos valores de de modo que as equações m e n (2n + m)x − 4mx+ 4 = 0 e (6 n + m)x2 + 3(n − 1 x − 2 = 0 2 ) tenham as mesmas raízes. (A) 9 (B) 7 (C) − 9 (D) 0 (E) 1 5 5 5 3)Sabendo que na equação x2 + Bx − 17= 0 B é positivo e que as raízes são inteiras, achar a soma das raízes : (A) 17 (B) 16 (C) −17 (D) −10 (E) −16 4)Sejam r e s as raízes da equação x2 3 + 3 x − 7 = 0 . O valor numérico da expressão (r + s + 1 r + s − 1 é )( ) 2 3 9 4 (A) (B) (C) (D) (E) 2 7 7 7 3 5) O conjunto dos valores de m para os quais as equações 3 x2 − 8 x + 2m = 0 e 2 x2 − 5 x + m = 0 possuem uma e apenas uma raiz real comum é (A) unitário, de elemento positivo. (B) unitário, de elemento não negativo. (C) composto de dois elementos não positivos. (D)composto de dois elementos não negativos. (E) vazio. 6) A equação do 2º grau x2 − 2x + m = 0 , m< 0 , tem raízes x1 e x2 . Se xn−2 + xn−2 = a 1 2 e xn−1 + xn− 1 = b , então xn + xn é igual a : 1 2 1 2 (A) 2a + mb (B) 2b − ma (C) ma+ 2b (D) ma− 2b (E) m(a − 2b) 7) As raízes da equação 2x2 − x − 16 = 0 são r e s , (r > s ) . O valor da expressão 4 4 r −s ,é r + r 2 s + rs 2 + r 3 3 127 129 (A) 129 (B) 127 (C) (D) (E) impossível calcular. 2 2 4 4
  • 5. Matemática para Colégio Naval e EPCAr . Equipe: Álgebra - Prof. Ivan Monteiro Aritmética - Prof. Adilson Masa Geometria - Prof. Alex Ricardo Email e Messenger: mathaleph@yahoo.com.br Blog: mathaleph.blogspot.com.br 8) Um aluno, ao tentar determinar as raízes x1 e x2 da equação ax2 + bx+ c = 0 , a.b.c. ≠ 0 , explicitou x da seguinte forma: − b ± b2 − 4 ac x= 2c Sabendo-se que não teve erro de contas, encontrou como resultado (A) x1 e x2 (B) − x1 e − x2 C) x1−1 e x2 −1 (D) c.x1 e c.x2 (E) a.x1 e a.x2 9) Um professor elaborou três modelos de prova. No 1o m odelo colocou uma equação do 2 o grau; no 2o modelo , colocou a mesma equação trocando apenas o coeficiente do termo do 2 o grau; e no 3 o m o d e lo , colocou a mesma equação do 1o m o d e lo trocando apenas o term o independente . Sabendo que as raízes da equação do 2 o m odelo são 2 e 3 e que as raízes do 3 o m o d e lo são 2 e −7 , pode-se afirmar sobre a equação do 1o m odelo , que : (A) não tem raízes reais. (B) a diferença entre a sua maior e a sua menor raiz é 7 . (C) a sua maior raiz é 6 . (D) a sua menor raiz é 1. (E) a soma dos inversos das suas raízes é 2 . 3 10) Um relógio indica dois minutos menos do que a hora certa e adianta t minutos por dia. Se estivesse atrasado três minutos e adiantasse ( t + ½) minutos por dia, então marcaria a hora certa exatamente um dia antes do que vai marcar. O tempo t, em minutos, que esse relógio adianta por dia está compreendido entre (A) 1/9 e 2/9 (B) 2/9 e 3/9 (C) 4/9 e 5/9 (D) 6/9 e 7/9 (E) 8/9 e 9/9 Equação biquadrada 1)A soma das duas menores raízes da equação x 4 − 13x 2 + 36 = 0 é: (A) 0 (B) –4 (C) –5 (D) –6 (E) –13
  • 6. Matemática para Colégio Naval e EPCAr . Equipe: Álgebra - Prof. Ivan Monteiro Aritmética - Prof. Adilson Masa Geometria - Prof. Alex Ricardo Email e Messenger: mathaleph@yahoo.com.br Blog: mathaleph.blogspot.com.br 2) A diferença entre a maior e a menor raiz da equação x 4 − 6x 2 + 8 = 0 é: (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4 3) O produto das raízes positivas da equação 4x 4 − 17 x 2 + 18 = 0 é: 2 3 2 (A) (B) 2 (C) (D) 2 2 (E) 5 2 2 2 4)A soma dos valores absolutos das raízes da equação x 4 − 11x 2 + 18 = 0 é: (A) 6 2 (B) 2 2 (C) 4 + 2 2 (D) 5 + 2 2 (E) 6 + 2 2 5)(CN) Duas das raízes da equação biquadrada x 4 + bx 2 + c = 0 são 0,2333... e 30/7. O valor de c é: (A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 7 (E) 11 6)(CN) A equação x 4 − (a − 6) x 2 + (9 − a) = 0 , na variável x, tem quatro raízes reais e distintas, se e somente se: (A) a > 8 (B) 6 < a < 8 (C) 8 < a < 9 (D) 6 < a < 9 (E) a > 9 7)(CN) A equação x 4 − 8 x 2 + k 2 − 5 = 0 , onde k é um número inteiro, tem 4 raízes reais. A soma dos valores absolutos de k é: (A) 13 (B) 14 (C) 15 (D) 16 (E) 17 Equações irracionais 1)(CN) Quantas raízes tem a equação x + 20 = x ? (A) Nenhuma (B) Uma (C) Duas, positivas. (D) Duas, negativas. (E) Duas, de sinais opostos.
  • 7. Matemática para Colégio Naval e EPCAr . Equipe: Álgebra - Prof. Ivan Monteiro Aritmética - Prof. Adilson Masa Geometria - Prof. Alex Ricardo Email e Messenger: mathaleph@yahoo.com.br Blog: mathaleph.blogspot.com.br 2)(CN) O conjunto solução da equação x − x + 4 = 2 é: (A)unitário de elemento par (B)unitário de elemento ímpar e primo (C)unitário de elemento ímpar e não primo (D)binário (E)vazio 3)(CN) Sobre o conjunto solução em R da equação (2 x + 1)2 = x − 3 , podemos afirmar que: (A)é unitário cujo elemento é positivo. (B)Possui dois elementos em que um é racional e o outro irracional. (C)É vazio. (D)É unitário cujo elemento é negativo. (E)Possui dois elementos irracionais. 4)A soma das raízes reais da equação ( x + 4)( x + 1) − 3 x 2 + 5 x + 2 = 6 é: (A) –1 (B) –2 (C) –3 (D) –4 (E) -5