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MATEMÁTICA – PRODUTOS NOTÁVEIS 01 - 2013 Página 1
MATEMÁTICA – PRODUTOS NOTÁVEIS 01 - 2013
QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS
Observe: (a + b)² = ( a + b) . (a + b)
_______________= a² + ab+ ab + b²
_______________= a² + 2ab + b²
Conclusão:
(primeiro termo)² + 2.(primeiro termo) . (segundo termo) +
(segundo termo)²
QUADRADO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS
Observe: (a - b)² = ( a - b) . (a - b)
______________= a² - ab- ab + b²
______________= a² - 2ab + b²
Conclusão:
(primeiro termo)² - 2.(primeiro termo) . (segundo termo) +
(segundo termo)²
PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS
(a + b). (a – b) = a² - ab + ab - b² = a²- b²
conclusão:
(primeiro termo)² - (segundo termo)²
CUBO DA SOMA OU DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS
a) (a + b)³ = (a + b) . (a + b)²
------------=(a + b) . (a² + 2ab + b²)
-------------= a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³
-------------= a³ + 3a²b + 3ab² + b³
b) (a – b)³ = (a - b) . (a – b)²
-------------= ( a – b) . ( a² - 2ab + b²)
------------ = a³ - 2a²b + ab² - a²b + 2ab² - b³
------------ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
c) ( x + 5 )³ = x³ + 3x²5 + 3x5² + 5 ³
-------------- = x³ + 15x² + 75x +125
d) (2x – y )³ = (2x)³ - 3(2x)²y + 3(2x)y² - y³
--------------- = 8x³ - 3(4x²)y + 6xy² - y³
--------------- = 8x³ - 12x²y + 6xy² - y³
Não freqüentemente usadas:
(a + b)4
= a4
+ 4a3
b + 6a2
b2
+ 4ab3
+ b4
(a + b)5
= a5
+ 5a4
b + 10a3
b2
+ 10a2
b3
+ 5ab4
+ b5
(a + b)6
= a6
+ 6a5
b + 15a4
b2
+
+ 20a3
b3
+ 15a2
b4
+ 6ab5
+ b6
GRUPO 01
01) Calcule:
a) (3 + x)² =
b) (x + 5)² =
c) ( x + y)² =
d) (x + 2)² =
e) ( 3x + 2)² =
f) (2x + 1)² =
g) ( 5+ 3x)² =
h) (2x + y)² =
i) (r + 4s)² =
j) ( 10x + y)² =
l) (3y + 3x)² =
m) (-5 + n)² =
n) (-3x + 5)² =
o) (a + ab)² =
p) (2x + xy)² =
q) (a² + 1)² =
r) (y³ + 3)² =
s) (a² + b²)² =
t) ( x + 2y³)² =
u) ( x + ½)² =
v) ( 2x + ½)² =
x) ( x/2 +y/2)² =
02) Calcule
a) ( 5 – x)² =
b) (y – 3)² =
c) (x – y)² =
d) ( x – 7)² =
e) (2x – 5) ² =
f) (6y – 4)² =
g) (3x – 2y)² =
h) (2x – b)² =
i) (5x² - 1)² =
j) (x² - 1)² =
l) (9x² - 1)² =
m) (x³ - 2)² =
n) (2m⁵ - 3)² =
o) (x – 5y³)² =
p) (1 - mx)² =
q) (2 - x⁵)² =
r) (-3x – 5)² =
s) (x³ - m³)² =
03) Calcule o produto da soma pela diferença de dois termos:
a) (x + y) . ( x - y) =
b) (y – 7 ) . (y + 7) =
c) (x + 3) . (x – 3) =
d) (2x + 5 ) . (2x – 5) =
e) (3x – 2 ) . ( 3x + 2) =
f) (5x + 4 ) . (5x – 4) =
g) (3x + y ) (3x – y) =
h) ( 1 – 5x) . (1 + 5x) =
i) (2x + 3y) . (2x – 3y) =
j) (7 – 6x) . ( 7 + 6x) =
l) (1 + 7x²) . ( 1 – 7x²) =
m) (3x² - 4 ) ( 3x² + 4) =
n) (3x² - y²) . ( 3x² + y²) =
o) (x + 1/2 ) . ( x – 1/2 ) =
p)(x – 2/3) . ( x + 2/3) =
q)( x/4 + 2/3) . ( x/4 – 2/3) =
04) Desenvolva:
MATEMÁTICA – PRODUTOS NOTÁVEIS 01 - 2013 Página 2
a) ( x + y)³ =
b) (x – y)³ =
c) (m + 3)³ =
d) (a – 1 )³ =
e) ( 5 – x)³ =
f) (-a - b)³ =
g) (x + 2y)³ =
h) ( 2x – y )³ =
i) (1 + 2y)³ =
j) ( x – 2x)³ =
k) ( 1 – pq)³ =
l) (x – 1)³ =
m) ( x + 2 )³ =
n) ( 2x – 1)³ =
o) ( 2x + 5 )³ =
p) (3x – 2 )³ =
05) Desenvolva:
a) (3x + y)2
=
b) [(1/2) + x2
]2
=
c) [(2x/3) + 4y3
]2
=
d) (2y + 3x)2
=
e) [x4
+ (1/x2
)]2
=
f) [(2x/3) + (4y/5)]2
=
g) (x4
+ 2)2
=
h) [ m + (1/2)]2
=
i) [(x2
) + (y2
/2)]2
=
06) Calcule:
a) (x + 1)² + (x + 2)² - (2x + 1)² =
b) (x + 1).(x + 2) – 2.(x + 2)² + (x + 2).(x + 3) =
c) (a2
+ b2
)2
=
d) (2x – 1)² - (x – 2)² + 3.(1 – x²) =
e) [4x² - 4x + 1] – [x² - 4x + 4] + 3 – 3x² =
f) (a + b)² - (a – b)² =
g) (5a – 2)² + (5a + 2)² - (5a + 2)(5a – 2) =
h) (a + b)(a – b)(a² + b²) =
i) (x + 5)(x – 5)(x² - 25) =
07) Calcule, usando produtos notáveis:
a) (103)² =
b) 53 . 47 =
c) 10162
=
d) 10001212
=
e) 97 . 103 =
f) 41 . 39 =
g) 101 . 99 =
08) Simplificando-se a expressão
09)
10)
11) Simplifique:
12) Observando a figura abaixo, notamos que a área de um
dos quadrados é x² e a área de um dos retângulos é 6x.
Nessas condições responda:
a) Qual é a área do retângulo 1?
b) Qual é a área do quadrado 2?
c) Qual é a área total da figura?
13) Qual é o polinômio P que devemos adicionar a (x – 2)³
para obter ( x + 3 )³ ?
14) Dois números, x e y, são tais que x = 2a + 2 e y = 2a.
Sabendo que x² - y² = 20, determine o valor de a e o valor
do quociente x : y.
15) Sabe-se que x² + y² = 25 e que xy = 12. Nessas
condições, qual é o valor da expressão (x + y)² ?
16) Dada a expressão (x² + 2y)², adicione a ela o polinômio
x4
– y² - 3x²y. Qual é o polinômio que você vai obter?
17) Calcular o valor numérico da expressão abaixo para:
7a²b + 4ab² + 3a³ + (2ab – b).b²
a) a =3 e b =2 b) a = 5 e b = - 1
18) Calcule os produtos notáveis:
a) (a+2)(a-2)
b) (xy+3z)(xy-3z) =
c) (x²-4y)(x²+4y) =
d) =
e) (x+3)² =
f) (2a-5)² =
g) (2xy+4)² =
h) =
i) (x+4)³ =
j) (2a+b)³ =
l) (a-1)³ =
19) Reduzir as expressões abaixo:
a) (x + 1) . (x – 1) . (x2
+ 1) . (x4
- 1) =
b) (2x – 5)2
– (x – 2) . (x + 3) =
c) (a + b)2
– (a + b) . (a – b) =
d) 900.[a/3 + b/2 + c/5].[a/3 – b/2 – c/5] =

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  • 1. MATEMÁTICA – PRODUTOS NOTÁVEIS 01 - 2013 Página 1 MATEMÁTICA – PRODUTOS NOTÁVEIS 01 - 2013 QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS Observe: (a + b)² = ( a + b) . (a + b) _______________= a² + ab+ ab + b² _______________= a² + 2ab + b² Conclusão: (primeiro termo)² + 2.(primeiro termo) . (segundo termo) + (segundo termo)² QUADRADO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS Observe: (a - b)² = ( a - b) . (a - b) ______________= a² - ab- ab + b² ______________= a² - 2ab + b² Conclusão: (primeiro termo)² - 2.(primeiro termo) . (segundo termo) + (segundo termo)² PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS (a + b). (a – b) = a² - ab + ab - b² = a²- b² conclusão: (primeiro termo)² - (segundo termo)² CUBO DA SOMA OU DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS a) (a + b)³ = (a + b) . (a + b)² ------------=(a + b) . (a² + 2ab + b²) -------------= a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³ -------------= a³ + 3a²b + 3ab² + b³ b) (a – b)³ = (a - b) . (a – b)² -------------= ( a – b) . ( a² - 2ab + b²) ------------ = a³ - 2a²b + ab² - a²b + 2ab² - b³ ------------ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ c) ( x + 5 )³ = x³ + 3x²5 + 3x5² + 5 ³ -------------- = x³ + 15x² + 75x +125 d) (2x – y )³ = (2x)³ - 3(2x)²y + 3(2x)y² - y³ --------------- = 8x³ - 3(4x²)y + 6xy² - y³ --------------- = 8x³ - 12x²y + 6xy² - y³ Não freqüentemente usadas: (a + b)4 = a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4 (a + b)5 = a5 + 5a4 b + 10a3 b2 + 10a2 b3 + 5ab4 + b5 (a + b)6 = a6 + 6a5 b + 15a4 b2 + + 20a3 b3 + 15a2 b4 + 6ab5 + b6 GRUPO 01 01) Calcule: a) (3 + x)² = b) (x + 5)² = c) ( x + y)² = d) (x + 2)² = e) ( 3x + 2)² = f) (2x + 1)² = g) ( 5+ 3x)² = h) (2x + y)² = i) (r + 4s)² = j) ( 10x + y)² = l) (3y + 3x)² = m) (-5 + n)² = n) (-3x + 5)² = o) (a + ab)² = p) (2x + xy)² = q) (a² + 1)² = r) (y³ + 3)² = s) (a² + b²)² = t) ( x + 2y³)² = u) ( x + ½)² = v) ( 2x + ½)² = x) ( x/2 +y/2)² = 02) Calcule a) ( 5 – x)² = b) (y – 3)² = c) (x – y)² = d) ( x – 7)² = e) (2x – 5) ² = f) (6y – 4)² = g) (3x – 2y)² = h) (2x – b)² = i) (5x² - 1)² = j) (x² - 1)² = l) (9x² - 1)² = m) (x³ - 2)² = n) (2m⁵ - 3)² = o) (x – 5y³)² = p) (1 - mx)² = q) (2 - x⁵)² = r) (-3x – 5)² = s) (x³ - m³)² = 03) Calcule o produto da soma pela diferença de dois termos: a) (x + y) . ( x - y) = b) (y – 7 ) . (y + 7) = c) (x + 3) . (x – 3) = d) (2x + 5 ) . (2x – 5) = e) (3x – 2 ) . ( 3x + 2) = f) (5x + 4 ) . (5x – 4) = g) (3x + y ) (3x – y) = h) ( 1 – 5x) . (1 + 5x) = i) (2x + 3y) . (2x – 3y) = j) (7 – 6x) . ( 7 + 6x) = l) (1 + 7x²) . ( 1 – 7x²) = m) (3x² - 4 ) ( 3x² + 4) = n) (3x² - y²) . ( 3x² + y²) = o) (x + 1/2 ) . ( x – 1/2 ) = p)(x – 2/3) . ( x + 2/3) = q)( x/4 + 2/3) . ( x/4 – 2/3) = 04) Desenvolva:
  • 2. MATEMÁTICA – PRODUTOS NOTÁVEIS 01 - 2013 Página 2 a) ( x + y)³ = b) (x – y)³ = c) (m + 3)³ = d) (a – 1 )³ = e) ( 5 – x)³ = f) (-a - b)³ = g) (x + 2y)³ = h) ( 2x – y )³ = i) (1 + 2y)³ = j) ( x – 2x)³ = k) ( 1 – pq)³ = l) (x – 1)³ = m) ( x + 2 )³ = n) ( 2x – 1)³ = o) ( 2x + 5 )³ = p) (3x – 2 )³ = 05) Desenvolva: a) (3x + y)2 = b) [(1/2) + x2 ]2 = c) [(2x/3) + 4y3 ]2 = d) (2y + 3x)2 = e) [x4 + (1/x2 )]2 = f) [(2x/3) + (4y/5)]2 = g) (x4 + 2)2 = h) [ m + (1/2)]2 = i) [(x2 ) + (y2 /2)]2 = 06) Calcule: a) (x + 1)² + (x + 2)² - (2x + 1)² = b) (x + 1).(x + 2) – 2.(x + 2)² + (x + 2).(x + 3) = c) (a2 + b2 )2 = d) (2x – 1)² - (x – 2)² + 3.(1 – x²) = e) [4x² - 4x + 1] – [x² - 4x + 4] + 3 – 3x² = f) (a + b)² - (a – b)² = g) (5a – 2)² + (5a + 2)² - (5a + 2)(5a – 2) = h) (a + b)(a – b)(a² + b²) = i) (x + 5)(x – 5)(x² - 25) = 07) Calcule, usando produtos notáveis: a) (103)² = b) 53 . 47 = c) 10162 = d) 10001212 = e) 97 . 103 = f) 41 . 39 = g) 101 . 99 = 08) Simplificando-se a expressão 09) 10) 11) Simplifique: 12) Observando a figura abaixo, notamos que a área de um dos quadrados é x² e a área de um dos retângulos é 6x. Nessas condições responda: a) Qual é a área do retângulo 1? b) Qual é a área do quadrado 2? c) Qual é a área total da figura? 13) Qual é o polinômio P que devemos adicionar a (x – 2)³ para obter ( x + 3 )³ ? 14) Dois números, x e y, são tais que x = 2a + 2 e y = 2a. Sabendo que x² - y² = 20, determine o valor de a e o valor do quociente x : y. 15) Sabe-se que x² + y² = 25 e que xy = 12. Nessas condições, qual é o valor da expressão (x + y)² ? 16) Dada a expressão (x² + 2y)², adicione a ela o polinômio x4 – y² - 3x²y. Qual é o polinômio que você vai obter? 17) Calcular o valor numérico da expressão abaixo para: 7a²b + 4ab² + 3a³ + (2ab – b).b² a) a =3 e b =2 b) a = 5 e b = - 1 18) Calcule os produtos notáveis: a) (a+2)(a-2) b) (xy+3z)(xy-3z) = c) (x²-4y)(x²+4y) = d) = e) (x+3)² = f) (2a-5)² = g) (2xy+4)² = h) = i) (x+4)³ = j) (2a+b)³ = l) (a-1)³ = 19) Reduzir as expressões abaixo: a) (x + 1) . (x – 1) . (x2 + 1) . (x4 - 1) = b) (2x – 5)2 – (x – 2) . (x + 3) = c) (a + b)2 – (a + b) . (a – b) = d) 900.[a/3 + b/2 + c/5].[a/3 – b/2 – c/5] =