2. Determinantes
1. Introdução:
A teoria dos determinantes teve origem em meados do século
XVII, quando eram estudados processos para resolução de
sistemas lineares de equações. Hoje em dia, embora não sejam
um sistema prático para a resolução de sistemas, os
determinantes são utilizados, por exemplo, para sintetizar
certas expressões matemáticas complicadas.
2. Definição:
A toda matriz quadrada associa-se um número, denominado
determinante da matriz, que é obtido por meio de operações
entre os elementos da matriz.
3. MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
3.1. Determinantes da matriz de 1ª ordem
O determinante da matriz quadrada de 1ª ordem é igual ao próprio elemento da
matriz .
Ex.:
3. Cálculo dos Determinantes:
3
2
3
2
−
=
−
O determinante da matriz quadrada de 2ª ordem é igual diferença entre os
produtos dos elementos da diagonal principal e da diagonal secundária .
3.2. Determinantes da matriz de 2ª ordem
Ex.: 5
3
8
1)]
(
.
3)
[(
4)
.
(2
4
1
3
2
=
−
=
−
−
−
=
−
−
4. A =
a11 a12
a21 a22
O determinante associado à matriz A é o
número real obtido pela diferença entre o
produto dos elementos da diagonal
principal e o produto dos elementos da
diagonal secundária.
a11 a12
a21 a22
= a11 · a22 – a12 · a21
a11 · a22
- (a12 ·a21)
MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
6. MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
3.3. Determinantes da matriz de 3ª ordem (Regra de Sarrus)
1. Ao lado direito da matriz copiam-se as duas primeiras colunas.
2. Multiplicam-se os elementos da diagonal principal e, na mesma direção da
diagonal principal, multiplicam-se os elementos das outras duas filas à sua direita.
3. Multiplicam-se os elementos da diagonal secundária e, na mesma direção, os
elementos das outras duas filas à sua direita.
4. O determinante da matriz é a subtração dos produtos obtidos em 2 e 3.
Ex.:
=
− 5
3
1
4
2
0
3
2
1
=
− 3
1
-
2
0
2
1
5
3
1
4
2
0
3
2
1
- -
- + +
+
10 – 8 + 0 + 6 – 12 + 0 = - 4
8. MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
4. Cofator de uma matriz
Seja A uma matriz quadrada de ordem n 2. Chama-se cofator de um elemento aij
de A ao número real Cij = (-1)i + j . Dij, em que Dij é o determinante obtido da matriz
A quando se eliminam a linha e a coluna em que se encontram o elemento aij
.
Ex.: 𝑆𝑒𝑗𝑎 A =
1 2 0
3 −1 2
4 −2 5
, calcule C12
𝐶12 = (−1)1+2
.
3 2
4 5
)
8
15
(
.
1 −
−
= C12 = -7
5. Teorema de Laplace
O determinante de uma matriz A, de ordem n 2, é a soma dos produtos dos
elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos seus respectivos cofatores.
Ex.:
=
− 5
2
3
4
2
0
0
3
3
4
1
2
1
1
2
1
3 . C31 + 0 . C32 + 0 . C33+ 2 . C34 =
2
3
4
4
1
2
1
2
1
.
2
5
2
3
3
4
1
1
1
2
.
3 −
−
12. Propriedades dos Determinantes
P1. Fila Nula
Se todos os elementos de uma fila de uma matriz A forem nulos, então det A = 0 .
Ex.:
=
−
−
−
6
2
0
1
0
0
0
0
4
4
1
3
5
4
2
1
0
MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
• Quando todos os elementos de uma fila são nulos
Ex: 0
0
0
0
8
9
2
5
3
1
=
−
0
16
0
5
8
0
2
5
0
1
=
Ex:
13. P2. Filas Paralelas Iguais ou Proporcionais
Se duas filas paralelas de uma matriz A forem iguais ou proporcionais, então
det A = 0 .
Ex.: 0
8
0
8
5
4
5
2
3
2
=
−
0
5
0
4
4
2
6
2
1
3
=
−
−
−
e
2ª linha = 2 x 1ª linha
Se liguem, sempre que
nos referimos a filas,
estamos falando de
linhas e também de
colunas!
1ª coluna = 3ª coluna
4
2
6
2
1
3
2
2
1
3 −
=
−
=
−
MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
15. P3. Matriz Transposta
O determinante de uma matriz é igual ao de sua transposta.
Ex.:
8
4
3
0
1
5
1
0
2 −
4
3
1
5
0
2
= 16 + 0 – 20 + 3 + 0 + 0 = -1
8
0
1
4
1
0
3
5
2
− 0
1
1
0
5
2
−
= 16 – 20 + 0 + 3 + 0 + 0 = -1
MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
• det(A)=det(At)
Ex:
1)
2)
,
6
12
18
9
4
3
2
=
−
= 6
12
18
9
3
4
2
, =
−
=
então
,
10
Se =
t
s
r
z
y
x
c
b
a
10
então =
t
z
c
s
y
b
r
x
a
16. P4. Teorema de Binet
Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem n, então:
det(A . B) = det A . det B
Ex.:
=
=
2
1
0
3
B
e
3
2
1
4
A
det A = 10, det B = 6 e det A . det B = 6 . 10 = 60
=
6
9
2
13
2
1
0
3
.
3
2
1
4
det A . det B = 13 . 6 – 2 . 9 = 78 – 18 = 60
MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
• det(A.B)=detA.detB
Ex: .
3
2
1
4
B
e
7
5
2
3
A
Sejam
=
=
det(A.B)?
vale
Quanto 110
11.10
det(A.B) =
=
11
detA = 10
detB =
17. P5. Matriz Triangular
O determinante de uma matriz triangular é igual ao
produto dos elementos da diagonal principal.
Ex.:
8
7
2
0
1
9
0
0
5
−
= 5 .1 .8 = 40
MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
18. 1)
2)
Ex:
• O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos
elementos da diagonal principal
=
7
9
7
0
3
5
0
0
2
42
7
.
3
.
2 =
=
−
2
0
0
0
5
3
0
0
6
8
5
0
0
8
7
2
60
2
.
3
.
5
.
2 −
=
−
MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
19. P6. Troca de Filas Paralelas
Se trocarmos de posição duas filas paralelas de uma matriz M, obteremos uma
outra matriz M´, tal que:
det M´ = - det M
Ex.: 22
28
6
2
7
4
3
−
=
−
= 22
6
28
4
3
2
7
=
−
=
MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
,
5
Se =
t
s
r
z
y
x
c
b
a
5
então −
=
c
b
a
z
y
x
t
s
r
Ex.:
20. P7. Produto de uma Fila por uma Constante
Se todos os elementos de uma fila, de uma matriz, forem multiplicados por um
mesmo número real k, o determinante da matriz assim obtida fica multiplicado
por k.
Ex.:
5
1
1
4
3
0
2
9
1
−
− 1
1
3
0
9
1
−
−
= 15 – 36 + 0 + 6 + 4 - 0 = -11
Multiplicando a 2ª coluna de A por (-3), temos:
5
3
1
4
9
0
2
27
1
−
−
−
3
1
9
0
27
1
−
−
−
= -45 + 108 + 0 – 18 – 12 + 0 = 33
MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
21. Ex: 1)
2)
6
9
4
3
2
= 30
6
.
5
9
4
.
5
3
2
.
5
=
=
,
10
Se =
t
s
r
z
y
x
c
b
a
• Se uma fila for multiplicada por um no, então o determinante também
fica multiplicado por esse no
70
10
.
7
.
7
.
7
.
7
então =
=
t
s
r
z
y
x
c
b
a
MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
22. P8. Determinante da Matriz Inversa
Seja A uma matriz e A-1 sua inversa, então:
A
det
1
A
det 1
-
=
5
2
3
1
2
1
3
A
det −
=
−
−
=
−
=
Ex.:
5
1
25
5
25
2
25
3
5
3
5
2
5
1
5
1
A
det 1
-
−
=
−
=
−
−
=
−
=
MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
24. • Quando uma das filas é a combinação linear de
outras filas paralelas.
5)
6)
0
9
11
4
0
5
3
9
6
1
=
0
0
9
5
7
8
7
7
0
9
7
1
3
0
5
3
1
=
−
−
3
2
1 L
L
L =
+
3
2
1 C
C
.C
2 =
+
Casos em que um determinante é igual a ZERO:
MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
