Matrizes: Operações com matrizes; Determinantes; Regra de Sarruz; Regra de Cramer; Método matricial (adjunta de uma matriz); Condensação de matrizes.

1. numerosnamente 1
Matrizes
Exercícios resolvidos
1- Considere as matrizes:
[ ] [ ] [ ]
Determine a matriz resultante
Resolução:
[ ] [ ]
2- Sendo [ ] e [ ]
Determine as matrizes e , de ordem 3 2 e que satisfaçam o sistema:
,
Resolução:
{
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]

{
[ ] [ ]
[ ] [ ]

{ ; , ; , ; { ; , ;
{ ;
[ ] ; [ ]
3- Considere * + e [ ]
Determine e ̅
Resolução:
[ ] ; ̅ [ ]

2. numerosnamente 2
4- Considere a matriz * +.
Determine ̅ ̅ ̅̅̅̅̅.
Resolução:
̅ * + ; [ ] ; ̅ [ ] ; ̅̅̅̅̅ [ ]
se que ̅ ̅̅̅̅̅.
5- Considere a matriz [ ]
Determine a matriz inversa ( ).
Resolução:
[ ] [ ] [ ] ;
[ ] [ ] 
 { ; { ; {
; ;
[ ]
6- Considere a matriz * +
Determine .
Resolução:
* + * + * +  [ ] * + 
 , ; {
; ;
[ ] ; [ ] [ ] 

3. numerosnamente 3
 * +
* +
7- Considere as matrizes:
[ ] e [ ]
Determine para que valores dos parâmetros e , o produto das matrizes e ,
conduz a uma matriz:
a) Simétrica;
b) Diagonal;
c) Diagonal unida.
Resolução:
[ ] [ ] [ ]
a) Matriz simétrica: {  {
b) Matriz diagonal = é a matriz em que são nulos todos os elementos não principais. É
impossível.
c) Matriz diagonal unida = é a matriz em que os seus elementos principais são iguais,
mas diferentes de zero.
,  {
8- Considere a matriz * +
Mostre que a matriz é ortogonal.
Resolução:
Ortogonal 
* + ; * + * + 
 [ ] 
 [ ]  * +

4. numerosnamente 4
9- Calcule a matriz : * + * +
Resolução:
* + * +  Temos de calcular a inversa de * +
* + * + * +  * + * + 
 { …..* + [ ]
[ ] * + * +
10- Sabendo que * +, determine a matriz .
Resolução:
Sabe-se que
Fazendo * +, tem-se que:
* + * + * +  [ ] * + 
 { 
{
; [ ]  [ ]
11- Considere a seguinte matriz [ ]
Condense a matriz e diga qual é a sua característica.
Resolução:
Condensar a matriz obter uma matriz triangular inferior ou superior.
[ ] temos de reduzir : basta multiplicar a 1ª linha por -4 e
somar à 2ª linha;
[ ] [ ] temos de reduzir a zero: basta
multiplicar a 1ª linha por 2 e somar à 3ª linha;

5. numerosnamente 5
[ ] temos de reduzir a zero; basta multiplicar por a 2ª linha e
somar à 3ª linha;
[ ] A condensação está completa. A sua característica =
número de linhas independentes.
12- Determine a característica da matriz [ ]
[ ]…vamos tornar ; basta multiplicar a 1ª linha por -3 e somar á
2ª linha;
[ ]…vamos tornar ; basta multiplicar a 1ª linha por -5 e
somar á 3ª linha;
[ ]…vamos tornar ; basta multiplicar a 1ª linha por -7 e
somar à 4ª linha;
[ ]…vamos tornar ; basta multiplicar a 2ª linha por -1 e
somar à 3ª linha;
[ ]…vamos tornar ; basta multiplicar a 2ª linha por -2 e
somar à 4ª linha;
[ ] A submatriz de maior ordem ´´e de 2ª ordem:
13- Considere a matriz [ ]. Determine a característica da matriz.
Resolução:

6. numerosnamente 6
[ ] …tornar ; basta somar a 1ª linha com a 2ª linha;
[ ]…tornar ; basta multiplicar a 1ª linha por -1 e somar à 4ª
linha;
[ ]…tornar ; basta multiplicar a 2ª linha por -1 e somar à 3ª
linha;
[ ]…tornar ; basta somar a 2ª linha com a 4ª linha;
[ ]…trocando a 3ª linha pela 4ª linha;
[ ]… A submatriz de maior ordem é 3:
14- Determine de forma que a característica da matriz seguinte seja 2.
[ ]
:
Sempre que numa matriz existe um ou mais parâmetros, temos de lavar a figurar
esses parâmetros o mais à direita possível e em baixo (canto inferior direito).
[ ] tornar ; basta multiplicar a 1ª linha e somar com a 3ª linha:
[ ] tornar ; basta multiplicar a 1ª linha por ~k e somar à 4ª
linha:
[ ] Temos de ter como elemento redutor um número e não um
parâmetro. Assim trocamos a 2ª linha pela 3ª, tem-se:

7. numerosnamente 7
[ ] tornar ; basta multiplicar a 2ª linha por k e a 3ª linha
por -2 e somar:
[ ] tornar basta multiplicar a 2ª linha por k e a
3ª linha por -2 e somar:
[ ] tornar ; basta multiplicar a 3ª linha por -1 e
somar à 4ª linha:
[ ] Como se pretende que a então os
elementos da 2ª e 3ª linhas têm que ser nulos:
{  { 
15- Dada a matriz [ ].Determine ?
Resolução:
[ ] [ ]
[ ]tornar ; basta multiplicar a 1ª linha por -3 e somar com
a 3ª linha:
[ ]tornar ; basta multiplicar a 2ª linha por -1 e somar
à 1ª linha:
[ ]tornar basta multiplicar a 2ª linha por 2 e
somar à 3ª linha:
[ ]tornar ; basta multiplicar a 3ª linha por -1:

8. numerosnamente 8
[ ]tornar ; basta multiplicar a 3ª linha por -1 e somar à
1ª linha:
[ ]…então [ ]
16- Considere a matriz [ ] Determine o seu determinante pela regra de Sarrus.
Resolução:
| |
det A = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32 – a13.a22.a31 – a11.a23.a33 – a12.a21.a33
| | ((1)*(-2)*(-1))+((-2)*(5)*(5))+((3)*(4)*(3))-((5)*(-2)*(3))-((3)*(5)*((1))-((-1)*(4)*(-
2)) | | 2-50+36-(-30)-(15)-(8)=-5
17- Considere a matriz [ ]. Determine o complemento algébrico de
cada um dos elementos da 2ª linha.
Resolução:
2ª linha =
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]

9. numerosnamente 9
18- Considere a matriz [ ]. Aplicando o teorema de Laplace, determine o
determinante de
Resolução:
Teorema de Laplace: todo o determinante é igual á soma dos produtos elementares
duma fila (linha ou coluna) pelos respetivos complementos algébricos.
Vamos fazer o desenvolvimento segundo os elementos da 1ª linha:
| |
* +
* + ( )
* +
| | 2(-8)-3(22)+4(-13)=-134
19- Resolva a equação:
[ ]
Resolução:
Vamos fixar a 2ª coluna e vamos somar a 1ª coluna com a 2ª coluna multiplicada por -1
e somar a 3ª coluna com a 2ª multiplicada por -1.
[ ] [ ]
Vamos dividir a 1ª coluna e a 3ª coluna por
[ ] [ ]
Vamos somar a 1ª linha à 2ª linha:
[ ]
.[ * + * + * +]
( )  
20- Considere a matriz * +. Determine adj e .
Resolução:

10. numerosnamente 10
Matriz adjunta é a matriz transposta da matriz original, que se obtém substituindo
cada elemento pelo respectivo complemento algébrico .
adj
)
adj [ ] * +
.adj(A) ; ( )
* +  [ ]
21- Considere as matrizes [ ]e [ ]. Diga se as matrizes são
matrizes regulares ou singulares.
Resolução:
Matriz regular  det
Matriz singular  det
+1(9)-2(6-2)-1(-6)=7
+1(-5)-2(-3)-1(10-9)=
A matriz é uma matriz regular.
A matriz é uma matriz singular.
22- Determine a valor de de forma que a matriz seja a) regular b) singular:
[ ]
a) det( =3(6-1)-1(12)+ (4)   ( é regular)
b) det( =3(6-1)-1(12)+ (4)   ( é singular)
23- Resolva o sistema {
Resolução:
 ; [ ]
; adj( =[ ]

11. numerosnamente 11
=
=
=
=
=
=
=
=
=
[ ] ; [ ] ; [ ]
det(A)=1(-1+1)-1(-2+3)+1(-2-3)=-6
adj (A)=[ ]
[ ] [ ] [ ]  [ ] [ ]
24- Considere o sistema { . Resolva-o usando a regra de Cramer.
Resolução:
[ ]…det 1 ; [ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]

12. numerosnamente 12
[ ]
[ ]
25- Considere o sistema { .
a) Resolva-o pela regra de Cramer.
b) Resolva-o pelo método matricial
Resolução:
[ ]….det 8-6+27-6+1-6=18 ; [ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
c) Método matricial
; det( )=18 ; [ ] ; [ ]

13. numerosnamente 13
Adj( )=
[
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ]
( )
[ ] [ ] [ ] {