Apostila de Exercícios da
Disciplina de Pesquisa
Operacional I
Luís Alberto Duncan Rangel
UFF – EEIMVR – Volta Redonda
Dep...
SUMÁRIO
4. Solução do PPL pelo Método Gráfico
4.1 Introdução
4.2 Características de um PPL
4.3 Abordagem de um PPL pelo Mé...
SUMÁRIO
4. Solução de um PPL através do Método Gráfico
4.1 Introdução
4.2 Características de um PPL
4.3 Limitação do Métod...
4.1 Introdução ao Método Gráfico
Existem diferentes métodos e algoritmos que resolvem PPL. O
Método Gráfico é um deles. Po...
4.2 Características do PPL pelo Método Gráfico
Variáveis de decisão, representadas por xi (i=1, 2, ...,n), sendo
n o númer...
4.3 Introdução ao Método Gráfico
Limitações do Método Gráfico:
Este método de solução de um PPL limita-se a problemas de n...
4.4 Interpretação no Plano R2, R3 e no Rn
No plano R2 a equação da reta é dada por: Ax + By + C = 0, com
A, B e C ∈ ℜ.
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4.4 Interpretação no Plano R2, R3 e no Rn
Exemplo 1:
3x + 4y – 12 = 0
4. Solução do PPL pelo Método Gráfico
4.4 Interpretação no Plano R2, R3 e no Rn
Exemplo 2:
- 2x + 3y + 6 = 0
4. Solução do PPL pelo Método Gráfico
4.4 Interpretação no Plano R2, R3 e no Rn
No R3 a equação do plano é dada por: Ax + By + Cz + D = 0, com
A, B, C e D ∈ ℜ.
...
4.4 Interpretação no Plano R2, R3 e no Rn
Estendendo-se para o Rn pode-se definir o hiperplano como um
conjunto de pontos ...
4.5 Esquema Gráfico:
Apresenta-se abaixo um esquema gráfico dos PPL´s no R2 e no Rn.
4. Solução do PPL pelo Método Gráfico
4.5 Esquema Gráfico:
A busca de solução de um PPL pelo Método Gráfico exige o uso de
escala e par de esquadros.
4. Solução...
4.6 Tipos de Soluções de um PPL no R2
O PPL apresenta uma única solução ótima.
Caso 1: MAX Z = 3X + 2Y (FO)
S.A. 2X + 4Y <...
4. Solução do PPL pelo Método Gráfico
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4.6 Tipos de Soluções de um PPL no R2
O PPL apresenta infinitas ou múltiplas soluçõe...
4. Solução do PPL pelo Método Gráfico
4. Solução do PPL pelo Método Gráfico
4.6 Tipos de Soluções de um PPL no R2
O PPL apresenta solução ilimitada.
Caso 3: MAX...
4. Solução do PPL pelo Método Gráfico
4. Solução do PPL pelo Método Gráfico
4.6 Tipos de Soluções de um PPL no R2
O PPL não tem solução.
Caso 4: MAX Z = X + 2Y ...
4. Solução do PPL pelo Método Gráfico
4. Solução do PPL pelo Método Gráfico
4.6 Tipos de Soluções de um PPL no R2
O PPL apresenta solução degenerada.
Caso 5: MA...
4. Solução do PPL pelo Método Gráfico
4. Solução do PPL pelo Método Gráfico
4.7 Exercícios:
Resolva os seguintes PPL através do Método Gráfico:
i. Identifique t...
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4.7 Exercícios:
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  1. 1. Apostila de Exercícios da Disciplina de Pesquisa Operacional I Luís Alberto Duncan Rangel UFF – EEIMVR – Volta Redonda Departamento de Engenharia de Produção Capítulo 4
  2. 2. SUMÁRIO 4. Solução do PPL pelo Método Gráfico 4.1 Introdução 4.2 Características de um PPL 4.3 Abordagem de um PPL pelo Método Gráfico–R2 4.4 Limitação do Método Gráfico 4.5 Interpretação no Plano R2, R3 e no Rn 4.6 Esquema Gráfico4.6 Esquema Gráfico 4.7 Tipos de Soluções de um PPL no R2 4.7.1 Uma única solução ótima 4.7.2 Múltiplas ou infinitas soluções ótimas 4.7.3 Solução ilimitada 4.7.4 Sem solução 4.7.5 Degenerada 4.7.6 Exercícios 4.8 Software Winplot
  3. 3. SUMÁRIO 4. Solução de um PPL através do Método Gráfico 4.1 Introdução 4.2 Características de um PPL 4.3 Limitação do Método Gráfico 4.4 Interpretação no Plano R2, R3 e no Rn 4.5 Esquema Gráfico 4.6 Tipos de Soluções de um PPL no R2 Uma única solução ótima Múltiplas ou infinitas soluções ótimas Solução ilimitada Sem solução Degenerada
  4. 4. 4.1 Introdução ao Método Gráfico Existem diferentes métodos e algoritmos que resolvem PPL. O Método Gráfico é um deles. Porém impõe restrições em relação a quantidade de variáveis de decisão do modelo, um vez que está limitado a apenas duas variáveis de decisão. Esta limitação é devido a representação do modelo através de um plano 4. Solução do PPL pelo Método Gráfico devido a representação do modelo através de um plano cartesiano. Estuda-se o Método Gráfico pois é um método de fácil entendimento e as ocorrências que se verifica com a utilização de somente duas variáveis vai ocorrer no R3, R4 e no Rn.
  5. 5. 4.2 Características do PPL pelo Método Gráfico Variáveis de decisão, representadas por xi (i=1, 2, ...,n), sendo n o número de variáveis de decisão do modelo. No caso do método gráfico n está restrito a somente duas variáveis de decisão. É sobre estas variáveis que queremos tomar decisão. 4. Solução do PPL pelo Método Gráfico Função objetivo, representado por equações matemáticas. É o objetivo do problema. Restrições tecnológicas, representado por equações ou inequações escritas com a utilização das variáveis de decisão. Restrições de não-negatividades, indicam que as variáveis de decisão só podem assumir valores não-negativos. Os Modelos, buscam representar uma visão simplificada da realidade.
  6. 6. 4.3 Introdução ao Método Gráfico Limitações do Método Gráfico: Este método de solução de um PPL limita-se a problemas de no máximo duas variáveis. Uma variável associada a cada eixo. Por exemplo, uma variável x1 ou x associada ao eixo horizontal e uma 4. Solução do PPL pelo Método Gráfico exemplo, uma variável x1 ou x associada ao eixo horizontal e uma variável x2 ou y associada ao eixo vertical.
  7. 7. 4.4 Interpretação no Plano R2, R3 e no Rn No plano R2 a equação da reta é dada por: Ax + By + C = 0, com A, B e C ∈ ℜ. Uma reta separa o plano em duas regiões chamadas de semi- planos: 4. Solução do PPL pelo Método Gráfico planos: Ax + By + C < 0 e Ax + By + C > 0. Exemplo 1: 3x + 4y – 12 = 0
  8. 8. 4.4 Interpretação no Plano R2, R3 e no Rn Exemplo 1: 3x + 4y – 12 = 0 4. Solução do PPL pelo Método Gráfico
  9. 9. 4.4 Interpretação no Plano R2, R3 e no Rn Exemplo 2: - 2x + 3y + 6 = 0 4. Solução do PPL pelo Método Gráfico
  10. 10. 4.4 Interpretação no Plano R2, R3 e no Rn No R3 a equação do plano é dada por: Ax + By + Cz + D = 0, com A, B, C e D ∈ ℜ. Um plano separa o R3 em duas regiões chamadas de semi- espaços: 4. Solução do PPL pelo Método Gráfico espaços: Ax + By + Cz + D < 0 e Ax + By + Cz + D > 0 Exemplo: 2x+2y+2z–10=0
  11. 11. 4.4 Interpretação no Plano R2, R3 e no Rn Estendendo-se para o Rn pode-se definir o hiperplano como um conjunto de pontos da forma: x1, x2, x3, . . . , xn tais que: 4. Solução do PPL pelo Método Gráfico x1, x2, x3, . . . , xn tais que: a1x1 + a2x2 + a3x3 + . . . + anxn, + a0 = 0 sendo que: a1, a2, a3, . . ., an, a0 ∈ ℜ O hiperplano divide o Rn em dois semi-espaços: a1x1 + a2x2 + a3x3 + . . . + anxn > a0 e a1x1 + a2x2 + a3x3 + . . . + anxn, < a0.
  12. 12. 4.5 Esquema Gráfico: Apresenta-se abaixo um esquema gráfico dos PPL´s no R2 e no Rn. 4. Solução do PPL pelo Método Gráfico
  13. 13. 4.5 Esquema Gráfico: A busca de solução de um PPL pelo Método Gráfico exige o uso de escala e par de esquadros. 4. Solução do PPL pelo Método Gráfico
  14. 14. 4.6 Tipos de Soluções de um PPL no R2 O PPL apresenta uma única solução ótima. Caso 1: MAX Z = 3X + 2Y (FO) S.A. 2X + 4Y <= 8 (R1) 4. Solução do PPL pelo Método Gráfico 5X + 3Y <= 15 (R2) X >= 0 (R3) Y >= 0 (R4) A área em vermelho representa a região viável de PPL. Esta área é um conjunto convexo. Justificativa de Solução do PPL: Este PPL apresenta uma única solução ótima, pois a FO atinge o seu valor ótimo em um vértice, quando x=2,57 e y=0,71. Neste ponto o Z* = 9,13.
  15. 15. 4. Solução do PPL pelo Método Gráfico
  16. 16. 4. Solução do PPL pelo Método Gráfico 4.6 Tipos de Soluções de um PPL no R2 O PPL apresenta infinitas ou múltiplas soluções ótimas. Caso 2: MAX Z = X + 2Y (FO) S.A. 2X + 4Y <= 8 (R1) 5X + 3Y <= 15 (R2) X >= 0, Y >=0 (R3) e (R4) A área em vermelho representa a região viável de PPL. Justificativa de Solução do PPL: Este PPL apresenta múltiplas soluções ótimas, pois a FO atinge o seu valor ótimo em um trecho da aresta. A FO é paralela a uma aresta. O valor ótimo de Z* = 4. Este valor é obtido entre os pares de pontos (0;2) e (2,57;0,71). Portanto, existem infinitos pontos neste trecho da reta R1 que gera um valor ótimo de Z*=4
  17. 17. 4. Solução do PPL pelo Método Gráfico
  18. 18. 4. Solução do PPL pelo Método Gráfico 4.6 Tipos de Soluções de um PPL no R2 O PPL apresenta solução ilimitada. Caso 3: MAX Z = X + 2Y (FO) S.A. 2X <= 6 (R1) 5X + 3Y >= 15 (R2) X >= 0 (R3) Y >=0 (R4) A área em vermelho representa a região viável de PPL. Esta área é um conjunto convexo. Este conjunto não é fechado, é aberto. Justificativa de Solução do PPL: Este PPL apresenta solução ilimitada, pois a FO pode crescer indefinidamente. Não há restrição impedindo o crescimento da FO.
  19. 19. 4. Solução do PPL pelo Método Gráfico
  20. 20. 4. Solução do PPL pelo Método Gráfico 4.6 Tipos de Soluções de um PPL no R2 O PPL não tem solução. Caso 4: MAX Z = X + 2Y (FO) S.A. 2X + Y <= 2 (R1) 5X + 4Y >= 12 (R2) X >= 0 (R3) Y >=0 (R4) Não há região viável neste PPL. Justificativa de Solução do PPL: Este PPL não apresenta solução, pois as restrições não geram um conjunto de soluções viáveis.
  21. 21. 4. Solução do PPL pelo Método Gráfico
  22. 22. 4. Solução do PPL pelo Método Gráfico 4.6 Tipos de Soluções de um PPL no R2 O PPL apresenta solução degenerada. Caso 5: MAX Z = 9X + Y (FO) S.A. X + 2Y <= 6 (R1) 5X + 6Y <= 30 (R2)5X + 6Y <= 30 (R2) 4X + 6Y <= 24 (R3) X >= 0 (R4) Y >=0 (R5) No PPL degenerado há região viável neste PPL. Justificativa de Solução do PPL: A solução ótima ocorre na interseção de diversas retas no ponto (X=6, Y=0). [(R1,R2), (R1,R5), (R1,R2), (R1,R3), (R2,R5), (R2,R3), (R3,R5)]. O valor ótimo do PPL Z* = 54.
  23. 23. 4. Solução do PPL pelo Método Gráfico
  24. 24. 4. Solução do PPL pelo Método Gráfico 4.7 Exercícios: Resolva os seguintes PPL através do Método Gráfico: i. Identifique todas as restrições do PPL (R1, R2, . . ., Rn). ii. Identifique a Região Viável se houver (RG); iii. Os pontos de interseções da Região Viável se houver;iii. Os pontos de interseções da Região Viável se houver; iv. O valor ótimo da Função Objetivo se houver (FO); v. Todos os valores ótimos das variáveis de decisão se houver; vi. Identifique o tipo de solução que o PPL apresenta. vii. Justifique a sua resposta.
  25. 25. 4. Solução do PPL pelo Método Gráfico 4.7 Exercícios:

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