Este documento apresenta um projeto de aprendizagem sobre pontos notáveis de um triângulo envolvendo matemática e física no ensino médio. O projeto utiliza atividades práticas e o software Geogebra para que os alunos determinem pontos como o baricentro e compreendam suas aplicações na vida real e em outros campos.

1. Informática Educativa I :: Projeto de Aprendizagem
Título: PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO
Nome do Aluno: LUÍS ALBERTO - Tutor
1. Disciplina e anos envolvidos:
Matemática e Física do primeiro ano do ensino médio.
2. Tema central:
Trigonometria, seus pontos notáveis, Baricentro, Incentro, Circuncentro
Ortocentro, e aplicações na física – centro de massa de um corpo.
3. Temas de apoio:
Ponto médio de uma reta ou segmento de reta. Bissetriz de um ângulo.
Traçado de perpendicular de uma reta ou segmento de reta. Figuras
geométricas. Classificação de triângulos. Utilização de esquadros, régua e
compasso.
4. Justificativa:
Os pontos notáveis dos triângulos servem de base para diversas teorias
das relações trigonométricas em matemática, assim como na física.
Na matemática, por exemplo, poderíamos determinar um ponto
eqüidistante às arestas de um triângulo através da determinação do
Incentro do Triângulo.
Na matemática ainda, por exemplo, poderíamos determinar um ponto
eqüidistante dos vértices de um triângulo através da determinação do
Circuncentro do Triângulo.
Na física, por exemplo, o Baricentro representa o centro de gravidade da
superfície de um triângulo, centro de massa do corpo. A figura de um
triângulo suspenso estará em equilíbrio se este triângulo for suspenso
pelo Baricentro do Triângulo.
Desta forma, o domínio da teoria sobre os pontos notáveis de um
triângulo associado ao seu emprego irá propiciar um ambiente para o
desenvolvimento e assimilação dos alunos.
5. Objetivos gerais e específicos:
Objetivo Geral: Aprender relações existentes nos triângulos, os pontos
notáveis de um triângulo. O emprego dos pontos notáveis na solução de
problemas da vida real, utilização de um software dinâmico o Geogebra.
Objetivo Específico: Aprender a determinar os pontos notáveis de um
triângulo, assim como, a sua utilização em problemas de matemática e de
física. Exercitar os conhecimentos com o emprego do software dinâmico, o
Geogebra. Fazer exercícios em grupo, realização de pesquisa e discussões
sobre o tema.
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2. Através destas atividades propostas, os alunos irão:
- desenvolvimento do raciocínio;
- elaboração de atividades em grupo;
- interpretação de textos;
- aplicação na vida real das relações trigonométricas;
- integração de conteúdos de diferentes disciplinas.
6. Enfoque pedagógico :
O enfoque pedagógico será comportamentalista, construtivista e neo-
construtivista. Sabe-se que as escolas atualmente não empregam
somente uma corrente filosófica em seu processo de ensino.
Esta proposta considera que os alunos já possuem um conhecimento
prévio, pois este projeto de ensino considera que os alunos estejam no
primeiro ano do ensino médio. Os alunos vão construir conceitos para
aprender e dominar as teorias sobre pontos notáveis de um triângulo, vão
aprender a calcular este pontos notáveis de um triângulo utilizando
materiais disponíveis e vão, também aprender a determinar este pontos
notáveis de um triângulo através de um software dinâmico, o Geogebra.
Problemas serão propostos de forma crescente e desafiadores. Serão
propostos problemas de seu dia a dia, que podem ser resolvidos com base
nestas teorias apresentadas e assimiladas. Todas estas atividades estarão
sob a orientação de um professor.
7. Recursos tecnológicos:
Emprego do powerpoint para apresentação da teoria.
Disponibilizar a apresentação em um slideshare.
Emprego do software dinâmico Geogebra para calcular o: Baricentro;
Incentro; Circuncentro; e Ortocentro de um triângulo. Serão empregados
os diversos recursos do software tais como: ponto, reta, ponto médio de
um segmento, bissetriz de um ângulo, perpendicular de um ângulo,
circunferência, raio e diâmetro de circunferência.
8. Etapas e suas estratégias de realização:
1) Serão construídos pelos alunos, diversos pares de triângulos iguais, e
estes serão identificados por A1 e A2, B1 e B2, C1 e C2, e assim por
diante, até completar pelo menos dez pares idênticos de triângulos (isto
vai depender do tamanho da turma). Para construir estes triângulos pode-
se empregar, por exemplo, o papelão ou o isopor, materiais que os alunos
manuseiam em seu dia a dia.
2) Um triângulo de cada par idêntico, por exemplo, A2, B2, C2 e assim por
diante, serão separados e guardados, e os alunos irão trabalhar somente
com um de seus elementos, A1, B1 e C1.
3) Os alunos irão fixar o fio em um ponto destes triângulos de modo a
suspendê-lo em equilíbrio. Os alunos neste momento estarão trabalhando
com os conjuntos de triângulos (A1, B1 e C1) para suspendê-los através
de um fio. A expectativa é que estes triângulos estejam desequilibrados,
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3. pois os furos não devem ter sido feito no baricentro.
4) Uma proposição será feito aos alunos, “Existe algum ponto que
possamos identificar no triângulo que ao suspendermos estes por um fio,
o mesmo fique em equilíbrio?”.
5) A física explica que todo corpo tem um ponto de equilíbrio.
Considerando este corpo no espaço, isto é, as três dimensões, ou uma
figura no plano (duas dimensões - um triângulo no plano), estes também
possuem um pondo de equilíbrio.
6) Considerando agora uma superfície de um triângulo (no plano – duas
dimensões) este também possui um ponto de equilíbrio que é o seu
baricentro.
7) Apresentar neste momento as teorias de pontos notáveis de um
triângulo, através do powerpoint e slideshare, e blog.
8) Apresentar o software Geogebra.
9) Ensinar a determinar os pontos notáveis de um triângulo através do
software Geogebra.
10) Realização de pesquisa pelos alunos sobre o tema, com o objetivo de
aplicação dos pontos notáveis de um triângulo no dia a dia.
11) Com os outros pares idênticos, por exemplo, A2, B2, C2 e assim por
diante, que estavam guardados em separado, os alunos agora irão
determinar o baricentro destes e os suspenderão com um fio através
deste ponto. A expectativa agora, e que os triângulos fiquem em
equilíbrio, pois foram suspensos pelo seu baricentro.
12) Discutir com os alunos, erros que possam acontecer. Considerações
que assumimos para a realização desta tarefa (desconsideramos a
espessura, por exemplo). Desconsideramos erros que podemos ter
cometido na hora de traçar/determinar os pontos.
13) Realização de aula no laboratório, para a prática e domínio do
software.
14) Problemas que podem ser colocados para discussão em grupo:
a) O seu pai tem um terreno em forma triangular. Ele quer instalar
uma luminária em cada lateral do terreno de modo a gastar a menor
quantidade possível de fio para instalar três luminárias, uma em
cada parede, do terreno de seu pai a partir de um ponto central
eqüidistante de todas as luminárias fixadas, uma em cada parede.
Como determinar um ponto eqüidistante de todas as paredes
(arestas) de um triângulo. (Através da determinação do Incentro
do Triângulo nos conseguimos resolver este problema do dia a dia).
b) Onde instalar uma antena para celulares de um bairro de uma
cidade, considerando três pontos quaisquer desta cidade, de tal
forma que o sinal do celular atinja, no mínimo, estes três pontos,
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4. com a mesma intensidade do sinal do celular. (Através da
determinação do Circuncentro do Triângulo nos conseguimos
resolver este problema do dia a dia, instalando a antena dos
celulares no Circuncentro).
9. Definição de papéis:
Os alunos juntamente com o professor irão definir com que materiais eles
irão construir os pares de triângulo idênticos (com papelão, com isopor,
com plástico resistente), e com que fio eles irão suspender os triângulos.
O professor irá propor as atividades, separar um triângulo. O outro
triângulo será utilizado pelos alunos para a determinação do baricentro
(neste momento sem conhecimento da determinação do baricentro).
Os alunos irão construir o seu conhecimento sob orientação do professor,
se existe um ponto no triângulo de equilíbrio.
O professor apresenta a teoria necessária para a determinação destes
pontos – os pontos notáveis de um triângulo.
Os alunos irão com o conhecimento adquirido determinar nos seus
triângulos o baricentro, comprovando as teorias.
Os alunos irão fazer pesquisa.
Os alunos nos laboratórios vão utilizar o software para praticar e
aprender os seus recursos.
O professor irá propor desafios do dia a dia para resolução do problema
em grupo.
10. Sites e bibliografia de apoio:
Disponível em, <http://geometria-semlimite.com.br/teosexta.html>.
Acessado em 20/10/2012.
Disponível em,
<http://www.prof2000.pt/users/secjeste/modtri01/Pg000520.htm>.
Acessado em 20/10/2012.
Disponível em,
<http://www.catolica.edu.br/ubec/publicacao/download.wsp?tmp.arqui
vo=2596>. Acessado em 20/10/2012.
http://www.singularsaocaetano.com.br/portal/ef2/ar/exercicios/ATT00
014.pdf. >. Acessado em 20/10/2012.
http://www.professores.uff.br/dirceuesu/GBaula6.pdf. >. Acessado em
20/10/2012.
Disponível em, <http://www.geogebra.org/cms/>. Acessado em
20/10/2012.
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5. 11. Coleta de dados:
Os alunos irão utilizar materiais disponíveis que possuem em suas casas
(papelão ou isopor, por exemplo), de seu dia a dia e irão construir dois
triângulos idênticos com estes materiais para a execução de sua tarefa.
Em um dos triângulos construídos pelos alunos serão utilizados no início
das atividades, sem conhecimento da teoria de pontos notáveis do
triângulo. Aos alunos serão solicitados que determinam um ponto no
triângulo de modo a suspendê-lo a partir deste ponto, o triângulo em
equilíbrio. Considerando que estes pontos não são os baricentros dos
triângulos, os triângulos irão ficar em desequilíbrio quando suspenso for
um fio neste ponto que ele determinou.
A teoria de pontos notáveis de um triângulo será construída pelos alunos
com auxilio do professor.
Os alunos agora, com conhecimento da teoria de pontos notáveis de um
triângulo, irão determinar o baricentro e irão suspender o triângulo
através do seu baricentro. Verificando o equilíbrio do triângulo,
comprovando desta forma que o baricentro é o ponto de equilíbrio para
suspender o triângulo.
12. Seleção do material:
De acordo com cada etapa de processo de aprendizagem os materiais
serão selecionados e utilizados.
Na primeira etapa deste processo será utilizado: papelão, isopor, fio,
régua, escala, tesoura.
Numa segunda etapa será utilizado recurso do WEB 2.0.
Folhas com exercícios e os problemas propostos.
13. Programação visual:
Um arquivo em powerpoint (slideshare – blog) será utilizado com fotos,
figuras elaboradas através do Geogebra, para a exposição das atividades
a serem feitas e com os conceitos do pontos notáveis de um triângulo.
Será feito um registro através de fotos de cada etapa desenvolvida pelos
alunos, mostrando os conhecimentos antes e após a apresentação dos
conceitos deste processo de aprendizagem.
14. Meios para a execução:
Diversos meios serão utilizados para o desenvolvimento deste processo
de aprendizagem.
Recursos físicos, como papelão, isopor, tesoura, lápis, escala, livros,
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6. biblioteca, laboratório de informática.
Recursos de meios digitais, acesso a internet, emprego de software
dinâmico como o Geogebra, emprego do slideshare, powerpoint, blog.
Orientação do professor.
15. Avaliação:
A participação dos alunos nas atividades propostas.
A participação dos alunos nas atividades de grupo.
A apresentação de suas pesquisas sobre o tema através de um relatório.
Avaliação do aluno pelo professor através de uma prova.
16. Cronograma:
Na aula anterior – antes deste tema ser abordado, o professor deve
solicitar o aluno os materiais necessários para a elaboração das
atividades, tesoura, papelão, régua, isopor, fio.
Primeira Aula:
O professor irá propor aos alunos a construção de dois triângulos iguais
com os materiais que eles trouxeram de suas casas. Em um dos
triângulos, será solicitado aos alunos que eles executem um único furo de
modo a equilibrar o triângulo.
Segunda Aula:
O professor irá apresentar as teorias e definições sobre os pontos
notáveis em um triângulo empregando os recursos por ele desenvolvido
(arquivo em powerpoint – slideshare – blog).
Terceira Aula:
O professor vai apresentar o software Geogebra e as funções necessárias
deste software para a construção e determinação do baricentro, incentro,
circuncentro ortocentro de um triângulo.
Quarta Aula:
Os alunos irão trazer de suas casas e apresentar as pesquisas realizadas
sobre este tema, sobre o software Geogebra. Exercício em grupo no
laboratório. Serão discutidas as dúvidas dos alunos em relação ao tema e
ao emprego do software.
Quinta Aula:
O professor irá propor aos alunos a determinação do baricentro do
segundo triângulos e a sua suspensão por um fio através deste ponto
determinado.
Sexta Aula:
Proposta de execícios para serem resolvidos através do conhecimento
adquiridos.
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7. Sétima Aula:
Proposta de execícios para serem resolvidos através do conhecimento
adquiridos.
Oitava Aula:
Avaliação dos conhecimentos adquiridos e participação dos alunos neste
processo de aprendizagem.
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