O documento discute números complexos, incluindo: (1) a definição de números complexos como a união dos números reais e imaginários, (2) operações com números complexos, e (3) representações geométricas de números complexos no plano complexo.

1. numerosnamente 1
Números Complexos
O conjunto que se obtém da reunião do conjunto dos números reais com o conjunto dos
números imaginários, chama-se conjunto dos números complexos e representa-se por .
 é um número complexo, em que:
 parte real e represente-se por
 parte imaginária
 coeficiente da parte imaginária e representa-se por Im
Se  , o complexo é um número real
Se  , o complexo é um imaginário puro
“ ”  é a unidade imaginária ; √ ou
A representação geométrica de um número complexo é:
1- Igualdade de números complexos
{
2- Conjugado de números complexos
Seja o complexo o seu conjugado representa-se por ̅ e ̅

2. numerosnamente 2
Operações com números complexos
1- Adição de números complexos
2- Subtração de números complexos
3- Multiplicação de números complexos
4- Divisão de números complexos
Conjugado de
5- Potenciação
√ ;
Assim para tem-se que dividir por 4 e depois substituir pelo valor obtido no resto da
divisão anterior.
Exemplos de aplicação:
1- Considere os complexos . Calcule:
a)
b)
c)
d)

3. numerosnamente 3
Resolução:
a)
b)
c)
d)
2- Calcular
Resolução:
18 4 100 4
2 4 20 25
0
Então:
Estudo dos Números Complexos na forma trigonométrica
Seja o complexo , a representação do complexo no plano de Argand é a seguinte:
O módulo do complexo representa-se por | | ou . O módulo corresponde ao
comprimento ̅̅̅̅ na figura acima.
| | √
O argumento de um complexo representa-se por e é a amplitude em radianos do
ângulo formado por ̅̅̅̅ com o eixo das abcissas ( ). O ponto é o afixo do complexo .

4. numerosnamente 4
ângulo
0 √
√ nd
 complexo na forma trigonométrica.
O argumento de é e representa-se por arg
O argumento principal é . Por vezes também se considera
Fórmulas de Moivre
1- Multiplicação
Se e , então:
2- Divisão
Se e , então:

5. numerosnamente 5
3- Potenciação
Se e então:
4- Radiciação
Se , então:
√ √ ( )
- √ ( ) representa uma das raízes de índice do complexo .
- ( ) representa as raízes de índice da unidade.
Os afixos das raízes de índice de um complexo estão todos sobre uma circunferência de
centro na origem e raio √
Os argumentos de √ estão em progressão geométrica de razão , ficando assim a
circunferência dividida em partes.
As raízes de índice de qualquer complexo podem obter-se multiplicando uma delas pelas
raízes de índice da unidade.
Conjugado de um complexo na forma trigonométrica
Se , então:
̅
Igualdade de complexos na forma trigonométrica
Se e , então:
{
Propriedades:
1- | | | ̅| | |
2- ̅ | |

6. numerosnamente 6
Exemplos de aplicação:
1-Determine em , o conjunto solução da equação ̅
Resolução
̅ ( ) ( )
( ) { {
Para { ; { ; { ;
As soluções são: ( ) ( )
2-Considere e √ . Calcule na forma trigonométrica e .
Resolução:
√ ; (
√
) (1º quadrante)
| | √ √
( ) ( ( )) ( )
( )
( )

7. numerosnamente 7
Conjuntos definidos por condições envolvendo números complexos
Sendo , a representação no plano de Argand:
a) | | é uma circunferência de centro em e raio .
b) | | é um circulo de centro e raio .
c) | | são os pontos exteriores à circunferência de centro e raio

8. numerosnamente 8
d) | | | | é a mediatriz do segmento de reta definido pelos afixos de .
Se ; {
e) | | | | é o semiplano definido pela mediatriz do segmento de reta
definido pelos afixos de .

9. numerosnamente 9
f) | | | | é o semiplano definido pela mediatriz do segmento de reta
definido pelos afixos de .
g) é a reta paralela ao eixo dos ou ao eixo imaginário.
( )

10. numerosnamente 10
h) é a reta paralela ao eixo dos ou eixo dos reais.
i) Arg( representa a semi-reta com origem no afixo de e formando um
ângulo de amplitude com a semi-reta paralela ao eixo dos com origem no mesmo
afixo de
( )

11. numerosnamente 11
Exemplos de aplicação:
1-Represente o conjunto dos afixos dos complexos que satisfazem as condições:
a)| | | | | |
b)  | |
Resolução:
a) | | | | | |
| | , centro da circunferência …são os pontos exteriores à
circunferência.
| | | |, semiplano é determinado pela mediatriz definida pelos pontos
. O ponto médio:
{
b)  | |
, representa o ângulo definido pelas semi-retas que fazem um
ângulo de e um ângulo de com a semi-reta de origem em e que é paralela ao eixo
real ( .
| | , é um círculo de centro e raio 2

12. numerosnamente 12