SlideShare uma empresa Scribd logo
Números Complexos
Ao final dessa aula você
saberá:
 O que é um número complexo e sua
representação algébrica
 O que é um número imaginário puro e
igualdade dos complexos
 O que é conjugado
 As potências de i
 A representação trigonométrica de um número
complexo
 As operações matemática na forma algébrica e
na forma trigonométrica
O que é umO que é um númeronúmero
complexocomplexo??
É todo númeroÉ todo número zz escrito na formaescrito na forma a + bia + bi,,
sendosendo “a”“a” a partea parte realreal ee “bi”“bi” a partea parte
imagináriaimaginária. Também é chamado de número. Também é chamado de número
imaginário.imaginário.
Exemplos:Exemplos:
 z = 3 + 5iz = 3 + 5i
 z = 7iz = 7i
 z = ½ + 4iz = ½ + 4i
Formalmente,
escrevemos a parte
real assim: Re(z) =
a.
E a parte imaginária
assim: Im(z) = b
O que é o “O que é o “ii”?”?
É aÉ a unidade imagináriaunidade imaginária, sendo, sendo ii22
= - 1= - 1..
Dessa forma podemosDessa forma podemos calcularcalcular o valor dao valor da
raiz de números negativosraiz de números negativos comcom índice paríndice par..
Exemplo:Exemplo:
ii 636)36)(1(36 2
==−=−
O que é um númeroO que é um número
imaginário puroimaginário puro??
É um número complexo z = a + bi, cujaÉ um número complexo z = a + bi, cuja
parte real é igual a zeroparte real é igual a zero, ou seja, a = 0., ou seja, a = 0.
Exemplos:Exemplos:
 z = 3iz = 3i
 z = iz = i
 z = -10iz = -10i
Repare que um número
real é um número
complexo, com a parte
imaginária igual a zero.
Exemplo: 2+0i = 2
Logo, temos que o conjuntos dos
Números Reais é um subconjunto
dos Números Complexos.
N
Z
Q
R
I
C
Como sabemos se doisComo sabemos se dois
númerosnúmeros complexoscomplexos sãosão
iguaisiguais??
Sendo dois números complexos:Sendo dois números complexos:
zz11 = a + bi e z= a + bi e z22 = c + di,= c + di, se a = c e b = d, entãose a = c e b = d, então
zz11 = z= z22. Ou seja, dois complexos são iguais. Ou seja, dois complexos são iguais
se as partes reais e imaginárias são iguais.se as partes reais e imaginárias são iguais.
Exemplo:Exemplo:
Calcular o valor de x e y na equação:Calcular o valor de x e y na equação:
3x + 7yi = 12 – 21i3x + 7yi = 12 – 21i
3x = 123x = 12  x = 4x = 4
7y = -217y = -21  y = -3y = -3
Tente fazer sozinho!Tente fazer sozinho!
Determine m e n reais de modo queDetermine m e n reais de modo que
m + (n-1)i = 3im + (n-1)i = 3i
SoluçãoSolução
m + (n-1)i = 3im + (n-1)i = 3i
m = 0m = 0 e n – 1 = 3e n – 1 = 3  n = 4n = 4
Como representamos o
conjugado de um número
complexo?
Sendo o número complexo z = a + bi, seu
conjugado é representado por:
Exemplos:
 z = 5 + 3i 
 z = - 8i 
iz 35−=
iz 8=
biaz −=
Como calculamos as
potências de i?
Usando as regras de potência já conhecidas.
 i0
= 1
 i1
= i
 i2
= - 1
 i3
= i2
. i = (- 1) . i = - i
 i4
= i2
. i2
= (- 1) . (- 1) = 1
 i5
= i3
. i2
= (- i) . (- 1) = i
Note que a partir do
expoente 4, os
resultados começam
a repetir.
Exemplo:
(PUC-MG) O número complexo (1 + i)10
é
igual a:
a) 32 b) -32 c) 32i d) -32i e) 32(1+i)
[(1 + i)2
]5
= [1 + 2i + i2
]5
= [1 + 2i - 1]5
=
[2i]5
= 32.i5
= 32i  letra C
Tente fazer sozinho!
(Vunesp) Se a, b, c são números inteiros
positivos tais que c = (a + bi)2
– 14i, em
que i2
= -1, o valor de c é:
a) 48 b) 36 c) 24 d) 14 e) 7
Solução
c = (a + bi)2
– 14i
c = a2
+ 2abi + b2
i2
– 14i = a2
+ 2abi – b2
– 14i
c + 0i = (a2
– b2
) + (2ab – 14)i
2ab – 14 = 0  ab = 7
Logo, a = 7 e b = 1 ou a = 1 e b = 7
Como c é positivo, temos que:
c = 72
– 12
= 49 – 1 = 48
Resposta: letra A.
ComoComo somamossomamos ouou
subtraímossubtraímos númerosnúmeros
complexoscomplexos??
BastaBasta somarsomar (ou subtrair)as(ou subtrair)as partes reaispartes reais ee asas
partes imagináriaspartes imaginárias..
Exemplos:Exemplos:
 (3 + 4i) + (-13 + 7i) = -10 + 11 i(3 + 4i) + (-13 + 7i) = -10 + 11 i
 (7 – 25i) – (- 5 – 5i) = 12 – 15i(7 – 25i) – (- 5 – 5i) = 12 – 15i
Como multiplicamos
números complexos?
Basta aplicar a propriedade distributiva.
Exemplo:
(5 + 2i) (2 + 3i) = 10 + 15i + 4i – 6 = 4 + 19i
Como dividimos
números complexos?
Basta multiplicar o numerador e o denominador
pelo conjugado do denominador.
Exemplo:
( )( )
( )( )
i
i
ii
ii
ii
i
i
29
19
29
4
29
194
425
615410
2525
2532
25
32
+=
+
=
=
+
−++
=
+−
++
=
−
+
Tente fazer sozinho!
(Cefet-MG) O valor da expressão quando
x = i (unidade imaginária) é :
a) (i + 1) b) – (i – 1) c)
d) e)
1
1
3
2
−
−
x
x
( )
2
1+i
( )
2
1−i ( )
2
1−− i
Solução
( )
( )
( ) i
ii
ii
i
iiii
i
x
x
−=
−
=
+
−
=
−+
−
+
=
−−
−
=
−−
−−
=
−
−
=
−
−
1
2
12
11
22
11
12
1
2
1
2
1
11
1
1
1
1
3
2
3
2
Logo, a resposta é B, pois
– (i - 1) = -i +1 = 1-i
Como representamos um
número complexo no
gráfico?
Basta representar a parte real no eixo x
e a parte imaginária no eixo y.
Exemplos: z1 = - 1 + 2i e z2 = 3i
P2
x
y
P1
3
2
1
-1
O que é o módulo de
um número complexo?
É a distância entre a origem e o ponto que
corresponde a esse número.
Sendo z = a + bi, temos:
ρ
x
y
b
a
P (a,b)
ρ=z
Como calculamos o
módulo de um número
complexo?
Usando a fórmula .
Exemplo:
22
baz +== ρ
( ) 243131
31
22
==+=+=
+=
z
iz
Tente fazer sozinho!
(UFRRJ) Sendo a = 2 + 4i e b = 1 – 3i, o valor
de é:
a) b) c)
d) e)
b
a
3 2 5
22 21+
Solução
( )
2
10
20
10
20
91
164
31
42
22
22
===
+
+
=
−+
+
==
b
a
b
a
Resposta: letra B.
O que é argumento de um
número complexo?
É o ângulo que o módulo do número
faz com o eixo x.
ρ
x
y
b
a
P (a,b)
θ
ρ
θ
ρ
θ
a
b
sen
=
=
cos
Tente fazer sozinho!
(URRN) Se z = , então o argumento de z é:
a) – 135º b) – 45º c) 45º d) 90º e) 135º
( )
i
i
−
+
1
1
2
Solução
( )
( )
( )
i
ii
ii
ii
i
i
i
i
i
i
z
+−=
−
=
+
−
=
+−
+
=
−
=
−
−+
=
−
+
=
1
2
22
11
22
1)1(
12
1
2
1
121
1
1
2
ρ
θ
ρ
θ
a
e
b
sen == cos
( ) 21111 22
=+=+−=ρ
( )
( )
( )
( ) 2
2
2
2
2
1
cos
2
2
2
2
2
1
−
=
−
=
==
θ
θsen
sen
cos
45º135º
Logo, o argumento é 135º.
Resposta: letra E.
Como escrevemos a forma
trigonométrica de um número
complexo?
( )θθρ seniz += cos
iz 232 +=Exemplo:
( )
º30
2
1
4
2
2
3
4
32
cos
416412232 2222
=⇒







===
===
==+=+=+=
θ
ρ
θ
ρ
θ
ρ
b
sen
a
ba
Logo, z = 4(cos 30º + i sen 30º)
Tente fazer sozinho!
(Cefet-PR) A forma algébrica do complexo
ize
izd
izc
izb
iza
éisenz
2
3
2
33
)
2
3
2
33
)
2
3
2
33
)
2
33
2
3
)
2
33
2
3
)
:
6
7
6
7
cos3
−=
+−=
−−=
−=
−−=






+=
ππ
Solução
( )
2
1
º30º210
2
3
º30cosº210cos
º210
6
7
,3cos
6
7
6
7
cos3
−=−=
−=−=
===⇒+=






+=
sensen
isenz
isenz
π
θρθθρ
ππ
2
33
32
3
cos
−=
=−
=
a
a
a
ρ
θ
2
3
32
1
−=
=−
=
b
b
b
sen
ρ
θ
i
2
3
2
33
−−Logo, a forma algébrica é
Resposta: letra C.
Como multiplicamos
complexos na forma
trigonométrica?






+=





+=
22
cos3
33
cos2 21
ππππ
isenzeisenz
( ) ( )[ ]21212121 cos... θθθθρρ +++= isenzz
Exemplo:






+=












++





+=
6
5
6
5
cos6.
2323
cos3.2.
21
21
ππ
ππππ
isenzz
isenzz
Como dividimos
complexos na forma
trigonométrica?






+=





+=
33
cos3
22
cos6 21
ππππ
isenzeisenz
( ) ( )[ ]2121
2
1
2
1
cos θθθθ
ρ
ρ
−+−= isen
z
z
Exemplo:






+=












−+





−=
66
cos2
3232
cos
3
6
2
1
2
1
ππ
ππππ
isen
z
z
isen
z
z
Como calculamos uma
potência complexos na
forma trigonométrica?






+=
33
cos2
ππ
isenz
( ) ( )[ ]θθρ nisennz nn
+= cos.
Exemplo:






+=












+





=
3
2
3
2
cos4
3
.2
3
.2cos2
2
22
ππ
ππ
isenz
isenz
Tente fazer sozinho!
(UPF-RS) Quanto ao número complexo ,
a alternativa incorreta é:
a) Escrito na forma algébrica é z = 6i
b) O módulo de z é 6.
c) O argumento de z é rad.
d) Escrito na forma trigonométrica tem-se:
e) z2
é um número real.
i
i
z
−
+
=
1
66
2
π
( )ππ seniz += cos6
Solução
a) Escrito na forma algébrica é z = 6i
b) O módulo de z é 6.
( )( )
( )( )
i
iii
ii
ii
i
i
z 6
2
12
11
6666
11
166
1
66
==
+
−++
=
+−
++
=
−
+
=
6660 222
==+=z
c) O argumento de z é rad.
2
π
2
º90
1
6
6
0
6
0
cos
π
θ
ρ
θ
ρ
θ
==⇒







===
===
b
sen
a
i
i
z
−
+
=
1
66
d) Escrito na forma trigonométrica
tem-se:
e) z2
é um número real.
Resposta: letra D.
( )ππ seniz += cos6
( ) ( )º90º90cos6cos isenisenz +=+= θθρ
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
[ ] 360.136
º180º180cos36
º90.2º90.2cos6
cos
2
2
22
−=+−=
=+=
=+=
=+=
iz
isenz
isenz
nisennz nn
θθρ

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Números complexos
Números complexos Números complexos
Números complexos
Jorge Barros
 
Números Complexos - Representação Geométrica
Números Complexos - Representação GeométricaNúmeros Complexos - Representação Geométrica
Números Complexos - Representação Geométrica
Raphael Silveira
 
Conjunto dos números complexos
Conjunto dos números complexosConjunto dos números complexos
Conjunto dos números complexos
rosania39
 
www.AulasDeMatematicaApoio.com - Matemática - Números Complexos
www.AulasDeMatematicaApoio.com  - Matemática - Números Complexoswww.AulasDeMatematicaApoio.com  - Matemática - Números Complexos
www.AulasDeMatematicaApoio.com - Matemática - Números Complexos
Aulas De Matemática Apoio
 
Números complexos
Números complexosNúmeros complexos
Números complexos
Rodrigo Carvalho
 
Números complexos bom
Números complexos bomNúmeros complexos bom
Números complexos bom
Antonio Carneiro
 
Aula.número.complexo
Aula.número.complexoAula.número.complexo
Aula.número.complexo
vcbarros
 
Numeros complexos
Numeros complexosNumeros complexos
Numeros complexos
Luiza Kokkonen
 
Numeros complexos
Numeros complexosNumeros complexos
Numeros complexos
Adriano Souza
 
Números complexos
Números complexosNúmeros complexos
Números complexos
jorgehenriqueangelim
 
NúMeros Complexos
NúMeros ComplexosNúMeros Complexos
NúMeros Complexos
andreiacaetano
 

Mais procurados (11)

Números complexos
Números complexos Números complexos
Números complexos
 
Números Complexos - Representação Geométrica
Números Complexos - Representação GeométricaNúmeros Complexos - Representação Geométrica
Números Complexos - Representação Geométrica
 
Conjunto dos números complexos
Conjunto dos números complexosConjunto dos números complexos
Conjunto dos números complexos
 
www.AulasDeMatematicaApoio.com - Matemática - Números Complexos
www.AulasDeMatematicaApoio.com  - Matemática - Números Complexoswww.AulasDeMatematicaApoio.com  - Matemática - Números Complexos
www.AulasDeMatematicaApoio.com - Matemática - Números Complexos
 
Números complexos
Números complexosNúmeros complexos
Números complexos
 
Números complexos bom
Números complexos bomNúmeros complexos bom
Números complexos bom
 
Aula.número.complexo
Aula.número.complexoAula.número.complexo
Aula.número.complexo
 
Numeros complexos
Numeros complexosNumeros complexos
Numeros complexos
 
Numeros complexos
Numeros complexosNumeros complexos
Numeros complexos
 
Números complexos
Números complexosNúmeros complexos
Números complexos
 
NúMeros Complexos
NúMeros ComplexosNúMeros Complexos
NúMeros Complexos
 

Semelhante a www.AulasEnsinoMedio.com.br - Matemática - Números Complexos

www.AulasDeMatematicaApoio.com.br - Matemática - Números Complexos
 www.AulasDeMatematicaApoio.com.br  - Matemática - Números Complexos www.AulasDeMatematicaApoio.com.br  - Matemática - Números Complexos
www.AulasDeMatematicaApoio.com.br - Matemática - Números Complexos
Beatriz Góes
 
www.videoaulagratisapoio.com.br - Matemática - Números Complexos
www.videoaulagratisapoio.com.br - Matemática -  Números Complexoswww.videoaulagratisapoio.com.br - Matemática -  Números Complexos
www.videoaulagratisapoio.com.br - Matemática - Números Complexos
Video Aulas Apoio
 
www.aulasapoio.com - - Matemática - Números Complexos
www.aulasapoio.com  -  - Matemática -  Números Complexoswww.aulasapoio.com  -  - Matemática -  Números Complexos
www.aulasapoio.com - - Matemática - Números Complexos
Aulas Apoio
 
www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br - Matemática - Números Complexos
 www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br  -  Matemática -  Números Complexos www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br  -  Matemática -  Números Complexos
www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br - Matemática - Números Complexos
Clarice Leclaire
 
www.AulaParticularApoio.Com.Br - Matemática - Números Complexos
www.AulaParticularApoio.Com.Br - Matemática -  Números Complexoswww.AulaParticularApoio.Com.Br - Matemática -  Números Complexos
www.AulaParticularApoio.Com.Br - Matemática - Números Complexos
ApoioAulaParticular
 
www.TutoresDePlantao.Com.Br - Matemática - Números Complexos
www.TutoresDePlantao.Com.Br - Matemática -  Números Complexoswww.TutoresDePlantao.Com.Br - Matemática -  Números Complexos
www.TutoresDePlantao.Com.Br - Matemática - Números Complexos
Antônia Sampaio
 
Salva vidas WGS
Salva vidas WGSSalva vidas WGS
Salva vidas WGS
Danilo Aparecido da Silva
 
Numeros complexos
Numeros complexosNumeros complexos
Numeros complexos
Luiza Kokkonen
 
Números Complexos_IME ITA
Números Complexos_IME ITANúmeros Complexos_IME ITA
Números Complexos_IME ITA
JARDEL LEITE
 
Números complexos
Números complexosNúmeros complexos
Números complexos
Isabela Garcia
 
Numeros complexos
Numeros complexosNumeros complexos
Numeros complexos
con_seguir
 
Números complexos 2008
Números complexos 2008Números complexos 2008
Números complexos 2008
SergioManoel1968
 
Números Complexos
Números ComplexosNúmeros Complexos
Números Complexos
Facegirl
 
2006 _ap___m04___comp_pol_equa
2006  _ap___m04___comp_pol_equa2006  _ap___m04___comp_pol_equa
2006 _ap___m04___comp_pol_equa
Emilson Moreira
 
Operações envolvendo números complexos.pptx
Operações envolvendo números complexos.pptxOperações envolvendo números complexos.pptx
Operações envolvendo números complexos.pptx
OSIELDEOLIVEIRAANDRA
 
Números Complexos
Números ComplexosNúmeros Complexos
Números Complexos
andreiacaetano
 
Números Complexos
Números ComplexosNúmeros Complexos
Números Complexos
andreiacaetano
 
Números Complexos
Números ComplexosNúmeros Complexos
Números Complexos
caetanoandreia
 
Números Complexos
Números ComplexosNúmeros Complexos
Números Complexos
andreiacaetano
 
NúMeros Complexos
NúMeros ComplexosNúMeros Complexos
NúMeros Complexos
caetanoandreia
 

Semelhante a www.AulasEnsinoMedio.com.br - Matemática - Números Complexos (20)

www.AulasDeMatematicaApoio.com.br - Matemática - Números Complexos
 www.AulasDeMatematicaApoio.com.br  - Matemática - Números Complexos www.AulasDeMatematicaApoio.com.br  - Matemática - Números Complexos
www.AulasDeMatematicaApoio.com.br - Matemática - Números Complexos
 
www.videoaulagratisapoio.com.br - Matemática - Números Complexos
www.videoaulagratisapoio.com.br - Matemática -  Números Complexoswww.videoaulagratisapoio.com.br - Matemática -  Números Complexos
www.videoaulagratisapoio.com.br - Matemática - Números Complexos
 
www.aulasapoio.com - - Matemática - Números Complexos
www.aulasapoio.com  -  - Matemática -  Números Complexoswww.aulasapoio.com  -  - Matemática -  Números Complexos
www.aulasapoio.com - - Matemática - Números Complexos
 
www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br - Matemática - Números Complexos
 www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br  -  Matemática -  Números Complexos www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br  -  Matemática -  Números Complexos
www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br - Matemática - Números Complexos
 
www.AulaParticularApoio.Com.Br - Matemática - Números Complexos
www.AulaParticularApoio.Com.Br - Matemática -  Números Complexoswww.AulaParticularApoio.Com.Br - Matemática -  Números Complexos
www.AulaParticularApoio.Com.Br - Matemática - Números Complexos
 
www.TutoresDePlantao.Com.Br - Matemática - Números Complexos
www.TutoresDePlantao.Com.Br - Matemática -  Números Complexoswww.TutoresDePlantao.Com.Br - Matemática -  Números Complexos
www.TutoresDePlantao.Com.Br - Matemática - Números Complexos
 
Salva vidas WGS
Salva vidas WGSSalva vidas WGS
Salva vidas WGS
 
Numeros complexos
Numeros complexosNumeros complexos
Numeros complexos
 
Números Complexos_IME ITA
Números Complexos_IME ITANúmeros Complexos_IME ITA
Números Complexos_IME ITA
 
Números complexos
Números complexosNúmeros complexos
Números complexos
 
Numeros complexos
Numeros complexosNumeros complexos
Numeros complexos
 
Números complexos 2008
Números complexos 2008Números complexos 2008
Números complexos 2008
 
Números Complexos
Números ComplexosNúmeros Complexos
Números Complexos
 
2006 _ap___m04___comp_pol_equa
2006  _ap___m04___comp_pol_equa2006  _ap___m04___comp_pol_equa
2006 _ap___m04___comp_pol_equa
 
Operações envolvendo números complexos.pptx
Operações envolvendo números complexos.pptxOperações envolvendo números complexos.pptx
Operações envolvendo números complexos.pptx
 
Números Complexos
Números ComplexosNúmeros Complexos
Números Complexos
 
Números Complexos
Números ComplexosNúmeros Complexos
Números Complexos
 
Números Complexos
Números ComplexosNúmeros Complexos
Números Complexos
 
Números Complexos
Números ComplexosNúmeros Complexos
Números Complexos
 
NúMeros Complexos
NúMeros ComplexosNúMeros Complexos
NúMeros Complexos
 

Mais de AulasEnsinoMedio

www.AulasEnsinoMedio.com.br- Física - Exercícios Reslvidos de Equilíbrio de u...
www.AulasEnsinoMedio.com.br- Física - Exercícios Reslvidos de Equilíbrio de u...www.AulasEnsinoMedio.com.br- Física - Exercícios Reslvidos de Equilíbrio de u...
www.AulasEnsinoMedio.com.br- Física - Exercícios Reslvidos de Equilíbrio de u...
AulasEnsinoMedio
 
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Física - Lentes Esféricas
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Física - Lentes Esféricaswww.AulasEnsinoMedio.com.br - Física - Lentes Esféricas
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Física - Lentes Esféricas
AulasEnsinoMedio
 
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Física - Exercícios resolvidos de Leis de Newton
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Física - Exercícios resolvidos de Leis de Newtonwww.AulasEnsinoMedio.com.br - Física - Exercícios resolvidos de Leis de Newton
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Física - Exercícios resolvidos de Leis de Newton
AulasEnsinoMedio
 
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Física - Exercício calorimetria
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Física - Exercício calorimetriawww.AulasEnsinoMedio.com.br - Física - Exercício calorimetria
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Física - Exercício calorimetria
AulasEnsinoMedio
 
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Física - Trabalho e Energia Mecânica
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Física -  Trabalho e Energia Mecânicawww.AulasEnsinoMedio.com.br - Física -  Trabalho e Energia Mecânica
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Física - Trabalho e Energia Mecânica
AulasEnsinoMedio
 
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Física - Dinâmica e Movimento
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Física -  Dinâmica e Movimentowww.AulasEnsinoMedio.com.br - Física -  Dinâmica e Movimento
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Física - Dinâmica e Movimento
AulasEnsinoMedio
 
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Física - Colisão
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Física -  Colisãowww.AulasEnsinoMedio.com.br - Física -  Colisão
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Física - Colisão
AulasEnsinoMedio
 
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Biologia – Origem da Vida
www.AulasEnsinoMedio.com.br -  Biologia – Origem da Vidawww.AulasEnsinoMedio.com.br -  Biologia – Origem da Vida
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Biologia – Origem da Vida
AulasEnsinoMedio
 
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Biologia - Genética
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Biologia - Genéticawww.AulasEnsinoMedio.com.br - Biologia - Genética
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Biologia - Genética
AulasEnsinoMedio
 
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Biologia - Evolução
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Biologia -  Evoluçãowww.AulasEnsinoMedio.com.br - Biologia -  Evolução
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Biologia - Evolução
AulasEnsinoMedio
 
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Biologia - Teia Alimentar e Cadeia Alimentar
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Biologia -  Teia Alimentar e Cadeia Alimentarwww.AulasEnsinoMedio.com.br - Biologia -  Teia Alimentar e Cadeia Alimentar
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Biologia - Teia Alimentar e Cadeia Alimentar
AulasEnsinoMedio
 
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Química - Química Orgânica
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Química -  Química Orgânicawww.AulasEnsinoMedio.com.br - Química -  Química Orgânica
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Química - Química Orgânica
AulasEnsinoMedio
 
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Química - Cálculo Estequimétrico (Parte 1)
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Química -  Cálculo Estequimétrico (Parte 1)www.AulasEnsinoMedio.com.br - Química -  Cálculo Estequimétrico (Parte 1)
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Química - Cálculo Estequimétrico (Parte 1)
AulasEnsinoMedio
 
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Português - Sujeito e Vozes do Verbo
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Português -  Sujeito e Vozes do Verbowww.AulasEnsinoMedio.com.br - Português -  Sujeito e Vozes do Verbo
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Português - Sujeito e Vozes do Verbo
AulasEnsinoMedio
 
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Português - Novo Acordo Ortográfico
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Português -  Novo Acordo Ortográficowww.AulasEnsinoMedio.com.br - Português -  Novo Acordo Ortográfico
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Português - Novo Acordo Ortográfico
AulasEnsinoMedio
 
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Português - Contos e Crônicas
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Português -  Contos e Crônicaswww.AulasEnsinoMedio.com.br - Português -  Contos e Crônicas
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Português - Contos e Crônicas
AulasEnsinoMedio
 
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Matemática - Probabilidade
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Matemática -  Probabilidadewww.AulasEnsinoMedio.com.br - Matemática -  Probabilidade
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Matemática - Probabilidade
AulasEnsinoMedio
 
Ciclo trigonométrico e razões trigonométricas
Ciclo trigonométrico e razões trigonométricasCiclo trigonométrico e razões trigonométricas
Ciclo trigonométrico e razões trigonométricas
AulasEnsinoMedio
 
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Matemática - Prismas e Cilindros
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Matemática -  Prismas e Cilindroswww.AulasEnsinoMedio.com.br - Matemática -  Prismas e Cilindros
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Matemática - Prismas e Cilindros
AulasEnsinoMedio
 
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Matemática - Números Complexos
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Matemática -  Números Complexoswww.AulasEnsinoMedio.com.br - Matemática -  Números Complexos
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Matemática - Números Complexos
AulasEnsinoMedio
 

Mais de AulasEnsinoMedio (20)

www.AulasEnsinoMedio.com.br- Física - Exercícios Reslvidos de Equilíbrio de u...
www.AulasEnsinoMedio.com.br- Física - Exercícios Reslvidos de Equilíbrio de u...www.AulasEnsinoMedio.com.br- Física - Exercícios Reslvidos de Equilíbrio de u...
www.AulasEnsinoMedio.com.br- Física - Exercícios Reslvidos de Equilíbrio de u...
 
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Física - Lentes Esféricas
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Física - Lentes Esféricaswww.AulasEnsinoMedio.com.br - Física - Lentes Esféricas
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Física - Lentes Esféricas
 
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Física - Exercícios resolvidos de Leis de Newton
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Física - Exercícios resolvidos de Leis de Newtonwww.AulasEnsinoMedio.com.br - Física - Exercícios resolvidos de Leis de Newton
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Física - Exercícios resolvidos de Leis de Newton
 
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Física - Exercício calorimetria
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Física - Exercício calorimetriawww.AulasEnsinoMedio.com.br - Física - Exercício calorimetria
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Física - Exercício calorimetria
 
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Física - Trabalho e Energia Mecânica
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Física -  Trabalho e Energia Mecânicawww.AulasEnsinoMedio.com.br - Física -  Trabalho e Energia Mecânica
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Física - Trabalho e Energia Mecânica
 
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Física - Dinâmica e Movimento
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Física -  Dinâmica e Movimentowww.AulasEnsinoMedio.com.br - Física -  Dinâmica e Movimento
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Física - Dinâmica e Movimento
 
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Física - Colisão
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Física -  Colisãowww.AulasEnsinoMedio.com.br - Física -  Colisão
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Física - Colisão
 
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Biologia – Origem da Vida
www.AulasEnsinoMedio.com.br -  Biologia – Origem da Vidawww.AulasEnsinoMedio.com.br -  Biologia – Origem da Vida
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Biologia – Origem da Vida
 
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Biologia - Genética
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Biologia - Genéticawww.AulasEnsinoMedio.com.br - Biologia - Genética
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Biologia - Genética
 
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Biologia - Evolução
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Biologia -  Evoluçãowww.AulasEnsinoMedio.com.br - Biologia -  Evolução
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Biologia - Evolução
 
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Biologia - Teia Alimentar e Cadeia Alimentar
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Biologia -  Teia Alimentar e Cadeia Alimentarwww.AulasEnsinoMedio.com.br - Biologia -  Teia Alimentar e Cadeia Alimentar
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Biologia - Teia Alimentar e Cadeia Alimentar
 
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Química - Química Orgânica
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Química -  Química Orgânicawww.AulasEnsinoMedio.com.br - Química -  Química Orgânica
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Química - Química Orgânica
 
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Química - Cálculo Estequimétrico (Parte 1)
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Química -  Cálculo Estequimétrico (Parte 1)www.AulasEnsinoMedio.com.br - Química -  Cálculo Estequimétrico (Parte 1)
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Química - Cálculo Estequimétrico (Parte 1)
 
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Português - Sujeito e Vozes do Verbo
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Português -  Sujeito e Vozes do Verbowww.AulasEnsinoMedio.com.br - Português -  Sujeito e Vozes do Verbo
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Português - Sujeito e Vozes do Verbo
 
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Português - Novo Acordo Ortográfico
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Português -  Novo Acordo Ortográficowww.AulasEnsinoMedio.com.br - Português -  Novo Acordo Ortográfico
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Português - Novo Acordo Ortográfico
 
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Português - Contos e Crônicas
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Português -  Contos e Crônicaswww.AulasEnsinoMedio.com.br - Português -  Contos e Crônicas
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Português - Contos e Crônicas
 
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Matemática - Probabilidade
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Matemática -  Probabilidadewww.AulasEnsinoMedio.com.br - Matemática -  Probabilidade
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Matemática - Probabilidade
 
Ciclo trigonométrico e razões trigonométricas
Ciclo trigonométrico e razões trigonométricasCiclo trigonométrico e razões trigonométricas
Ciclo trigonométrico e razões trigonométricas
 
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Matemática - Prismas e Cilindros
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Matemática -  Prismas e Cilindroswww.AulasEnsinoMedio.com.br - Matemática -  Prismas e Cilindros
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Matemática - Prismas e Cilindros
 
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Matemática - Números Complexos
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Matemática -  Números Complexoswww.AulasEnsinoMedio.com.br - Matemática -  Números Complexos
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Matemática - Números Complexos
 

Último

Vogais Ilustrados para alfabetização infantil
Vogais Ilustrados para alfabetização infantilVogais Ilustrados para alfabetização infantil
Vogais Ilustrados para alfabetização infantil
mamaeieby
 
Redação e Leitura_7º ano_58_Produção de cordel .pptx
Redação e Leitura_7º ano_58_Produção de cordel .pptxRedação e Leitura_7º ano_58_Produção de cordel .pptx
Redação e Leitura_7º ano_58_Produção de cordel .pptx
DECIOMAURINARAMOS
 
000. Para rezar o terço - Junho - mês do Sagrado Coração de Jesús.pdf
000. Para rezar o terço - Junho - mês do Sagrado Coração de Jesús.pdf000. Para rezar o terço - Junho - mês do Sagrado Coração de Jesús.pdf
000. Para rezar o terço - Junho - mês do Sagrado Coração de Jesús.pdf
YeniferGarcia36
 
Atividades de Inglês e Espanhol para Imprimir - Alfabetinho
Atividades de Inglês e Espanhol para Imprimir - AlfabetinhoAtividades de Inglês e Espanhol para Imprimir - Alfabetinho
Atividades de Inglês e Espanhol para Imprimir - Alfabetinho
MateusTavares54
 
Aula 2 - Revisando o significado de fração - Parte 2.pptx
Aula 2 - Revisando o significado de fração - Parte 2.pptxAula 2 - Revisando o significado de fração - Parte 2.pptx
Aula 2 - Revisando o significado de fração - Parte 2.pptx
LILIANPRESTESSCUDELE
 
Pintura Romana .pptx
Pintura Romana                     .pptxPintura Romana                     .pptx
Pintura Romana .pptx
TomasSousa7
 
UFCD_3546_Prevenção e primeiros socorros_geriatria.pdf
UFCD_3546_Prevenção e primeiros socorros_geriatria.pdfUFCD_3546_Prevenção e primeiros socorros_geriatria.pdf
UFCD_3546_Prevenção e primeiros socorros_geriatria.pdf
Manuais Formação
 
347018542-PAULINA-CHIZIANE-Balada-de-Amor-ao-Vento-pdf.pdf
347018542-PAULINA-CHIZIANE-Balada-de-Amor-ao-Vento-pdf.pdf347018542-PAULINA-CHIZIANE-Balada-de-Amor-ao-Vento-pdf.pdf
347018542-PAULINA-CHIZIANE-Balada-de-Amor-ao-Vento-pdf.pdf
AntnioManuelAgdoma
 
Fernão Lopes. pptx
Fernão Lopes.                       pptxFernão Lopes.                       pptx
Fernão Lopes. pptx
TomasSousa7
 
cronograma-enem-2024-planejativo-estudos.pdf
cronograma-enem-2024-planejativo-estudos.pdfcronograma-enem-2024-planejativo-estudos.pdf
cronograma-enem-2024-planejativo-estudos.pdf
todorokillmepls
 
1ª LEI DE OHN, CARACTERISTICAS IMPORTANTES.
1ª LEI DE OHN, CARACTERISTICAS IMPORTANTES.1ª LEI DE OHN, CARACTERISTICAS IMPORTANTES.
1ª LEI DE OHN, CARACTERISTICAS IMPORTANTES.
LeticiaRochaCupaiol
 
Leis de Mendel - as ervilhas e a maneira simples de entender.ppt
Leis de Mendel - as ervilhas e a maneira simples de entender.pptLeis de Mendel - as ervilhas e a maneira simples de entender.ppt
Leis de Mendel - as ervilhas e a maneira simples de entender.ppt
PatriciaZanoli
 
Slides Lição 11, Central Gospel, Os Mortos Em CRISTO, 2Tr24.pptx
Slides Lição 11, Central Gospel, Os Mortos Em CRISTO, 2Tr24.pptxSlides Lição 11, Central Gospel, Os Mortos Em CRISTO, 2Tr24.pptx
Slides Lição 11, Central Gospel, Os Mortos Em CRISTO, 2Tr24.pptx
LuizHenriquedeAlmeid6
 
Reino-Vegetal plantas e demais conceitos .pptx
Reino-Vegetal plantas e demais conceitos .pptxReino-Vegetal plantas e demais conceitos .pptx
Reino-Vegetal plantas e demais conceitos .pptx
CarinaSantos916505
 
Slides Lição 11, CPAD, A Realidade Bíblica do Inferno, 2Tr24.pptx
Slides Lição 11, CPAD, A Realidade Bíblica do Inferno, 2Tr24.pptxSlides Lição 11, CPAD, A Realidade Bíblica do Inferno, 2Tr24.pptx
Slides Lição 11, CPAD, A Realidade Bíblica do Inferno, 2Tr24.pptx
LuizHenriquedeAlmeid6
 
2020_09_17 - Biomas Mundiais [Salvo automaticamente].pptx
2020_09_17 - Biomas Mundiais [Salvo automaticamente].pptx2020_09_17 - Biomas Mundiais [Salvo automaticamente].pptx
2020_09_17 - Biomas Mundiais [Salvo automaticamente].pptx
PatriciaZanoli
 
A QUESTÃO ANTROPOLÓGICA: O QUE SOMOS OU QUEM SOMOS.pdf
A QUESTÃO ANTROPOLÓGICA: O QUE SOMOS OU QUEM SOMOS.pdfA QUESTÃO ANTROPOLÓGICA: O QUE SOMOS OU QUEM SOMOS.pdf
A QUESTÃO ANTROPOLÓGICA: O QUE SOMOS OU QUEM SOMOS.pdf
AurelianoFerreirades2
 
As sequências didáticas: práticas educativas
As sequências didáticas: práticas educativasAs sequências didáticas: práticas educativas
As sequências didáticas: práticas educativas
rloureiro1
 
A Evolução da história da Física - Albert Einstein
A Evolução da história da Física - Albert EinsteinA Evolução da história da Física - Albert Einstein
A Evolução da história da Física - Albert Einstein
WelberMerlinCardoso
 
1_10_06_2024_Criança e Cultura Escrita, Ana Maria de Oliveira Galvão.pdf
1_10_06_2024_Criança e Cultura Escrita, Ana Maria de Oliveira Galvão.pdf1_10_06_2024_Criança e Cultura Escrita, Ana Maria de Oliveira Galvão.pdf
1_10_06_2024_Criança e Cultura Escrita, Ana Maria de Oliveira Galvão.pdf
SILVIAREGINANAZARECA
 

Último (20)

Vogais Ilustrados para alfabetização infantil
Vogais Ilustrados para alfabetização infantilVogais Ilustrados para alfabetização infantil
Vogais Ilustrados para alfabetização infantil
 
Redação e Leitura_7º ano_58_Produção de cordel .pptx
Redação e Leitura_7º ano_58_Produção de cordel .pptxRedação e Leitura_7º ano_58_Produção de cordel .pptx
Redação e Leitura_7º ano_58_Produção de cordel .pptx
 
000. Para rezar o terço - Junho - mês do Sagrado Coração de Jesús.pdf
000. Para rezar o terço - Junho - mês do Sagrado Coração de Jesús.pdf000. Para rezar o terço - Junho - mês do Sagrado Coração de Jesús.pdf
000. Para rezar o terço - Junho - mês do Sagrado Coração de Jesús.pdf
 
Atividades de Inglês e Espanhol para Imprimir - Alfabetinho
Atividades de Inglês e Espanhol para Imprimir - AlfabetinhoAtividades de Inglês e Espanhol para Imprimir - Alfabetinho
Atividades de Inglês e Espanhol para Imprimir - Alfabetinho
 
Aula 2 - Revisando o significado de fração - Parte 2.pptx
Aula 2 - Revisando o significado de fração - Parte 2.pptxAula 2 - Revisando o significado de fração - Parte 2.pptx
Aula 2 - Revisando o significado de fração - Parte 2.pptx
 
Pintura Romana .pptx
Pintura Romana                     .pptxPintura Romana                     .pptx
Pintura Romana .pptx
 
UFCD_3546_Prevenção e primeiros socorros_geriatria.pdf
UFCD_3546_Prevenção e primeiros socorros_geriatria.pdfUFCD_3546_Prevenção e primeiros socorros_geriatria.pdf
UFCD_3546_Prevenção e primeiros socorros_geriatria.pdf
 
347018542-PAULINA-CHIZIANE-Balada-de-Amor-ao-Vento-pdf.pdf
347018542-PAULINA-CHIZIANE-Balada-de-Amor-ao-Vento-pdf.pdf347018542-PAULINA-CHIZIANE-Balada-de-Amor-ao-Vento-pdf.pdf
347018542-PAULINA-CHIZIANE-Balada-de-Amor-ao-Vento-pdf.pdf
 
Fernão Lopes. pptx
Fernão Lopes.                       pptxFernão Lopes.                       pptx
Fernão Lopes. pptx
 
cronograma-enem-2024-planejativo-estudos.pdf
cronograma-enem-2024-planejativo-estudos.pdfcronograma-enem-2024-planejativo-estudos.pdf
cronograma-enem-2024-planejativo-estudos.pdf
 
1ª LEI DE OHN, CARACTERISTICAS IMPORTANTES.
1ª LEI DE OHN, CARACTERISTICAS IMPORTANTES.1ª LEI DE OHN, CARACTERISTICAS IMPORTANTES.
1ª LEI DE OHN, CARACTERISTICAS IMPORTANTES.
 
Leis de Mendel - as ervilhas e a maneira simples de entender.ppt
Leis de Mendel - as ervilhas e a maneira simples de entender.pptLeis de Mendel - as ervilhas e a maneira simples de entender.ppt
Leis de Mendel - as ervilhas e a maneira simples de entender.ppt
 
Slides Lição 11, Central Gospel, Os Mortos Em CRISTO, 2Tr24.pptx
Slides Lição 11, Central Gospel, Os Mortos Em CRISTO, 2Tr24.pptxSlides Lição 11, Central Gospel, Os Mortos Em CRISTO, 2Tr24.pptx
Slides Lição 11, Central Gospel, Os Mortos Em CRISTO, 2Tr24.pptx
 
Reino-Vegetal plantas e demais conceitos .pptx
Reino-Vegetal plantas e demais conceitos .pptxReino-Vegetal plantas e demais conceitos .pptx
Reino-Vegetal plantas e demais conceitos .pptx
 
Slides Lição 11, CPAD, A Realidade Bíblica do Inferno, 2Tr24.pptx
Slides Lição 11, CPAD, A Realidade Bíblica do Inferno, 2Tr24.pptxSlides Lição 11, CPAD, A Realidade Bíblica do Inferno, 2Tr24.pptx
Slides Lição 11, CPAD, A Realidade Bíblica do Inferno, 2Tr24.pptx
 
2020_09_17 - Biomas Mundiais [Salvo automaticamente].pptx
2020_09_17 - Biomas Mundiais [Salvo automaticamente].pptx2020_09_17 - Biomas Mundiais [Salvo automaticamente].pptx
2020_09_17 - Biomas Mundiais [Salvo automaticamente].pptx
 
A QUESTÃO ANTROPOLÓGICA: O QUE SOMOS OU QUEM SOMOS.pdf
A QUESTÃO ANTROPOLÓGICA: O QUE SOMOS OU QUEM SOMOS.pdfA QUESTÃO ANTROPOLÓGICA: O QUE SOMOS OU QUEM SOMOS.pdf
A QUESTÃO ANTROPOLÓGICA: O QUE SOMOS OU QUEM SOMOS.pdf
 
As sequências didáticas: práticas educativas
As sequências didáticas: práticas educativasAs sequências didáticas: práticas educativas
As sequências didáticas: práticas educativas
 
A Evolução da história da Física - Albert Einstein
A Evolução da história da Física - Albert EinsteinA Evolução da história da Física - Albert Einstein
A Evolução da história da Física - Albert Einstein
 
1_10_06_2024_Criança e Cultura Escrita, Ana Maria de Oliveira Galvão.pdf
1_10_06_2024_Criança e Cultura Escrita, Ana Maria de Oliveira Galvão.pdf1_10_06_2024_Criança e Cultura Escrita, Ana Maria de Oliveira Galvão.pdf
1_10_06_2024_Criança e Cultura Escrita, Ana Maria de Oliveira Galvão.pdf
 

www.AulasEnsinoMedio.com.br - Matemática - Números Complexos

  • 2. Ao final dessa aula você saberá:  O que é um número complexo e sua representação algébrica  O que é um número imaginário puro e igualdade dos complexos  O que é conjugado  As potências de i  A representação trigonométrica de um número complexo  As operações matemática na forma algébrica e na forma trigonométrica
  • 3. O que é umO que é um númeronúmero complexocomplexo?? É todo númeroÉ todo número zz escrito na formaescrito na forma a + bia + bi,, sendosendo “a”“a” a partea parte realreal ee “bi”“bi” a partea parte imagináriaimaginária. Também é chamado de número. Também é chamado de número imaginário.imaginário. Exemplos:Exemplos:  z = 3 + 5iz = 3 + 5i  z = 7iz = 7i  z = ½ + 4iz = ½ + 4i Formalmente, escrevemos a parte real assim: Re(z) = a. E a parte imaginária assim: Im(z) = b
  • 4. O que é o “O que é o “ii”?”? É aÉ a unidade imagináriaunidade imaginária, sendo, sendo ii22 = - 1= - 1.. Dessa forma podemosDessa forma podemos calcularcalcular o valor dao valor da raiz de números negativosraiz de números negativos comcom índice paríndice par.. Exemplo:Exemplo: ii 636)36)(1(36 2 ==−=−
  • 5. O que é um númeroO que é um número imaginário puroimaginário puro?? É um número complexo z = a + bi, cujaÉ um número complexo z = a + bi, cuja parte real é igual a zeroparte real é igual a zero, ou seja, a = 0., ou seja, a = 0. Exemplos:Exemplos:  z = 3iz = 3i  z = iz = i  z = -10iz = -10i Repare que um número real é um número complexo, com a parte imaginária igual a zero. Exemplo: 2+0i = 2
  • 6. Logo, temos que o conjuntos dos Números Reais é um subconjunto dos Números Complexos. N Z Q R I C
  • 7. Como sabemos se doisComo sabemos se dois númerosnúmeros complexoscomplexos sãosão iguaisiguais?? Sendo dois números complexos:Sendo dois números complexos: zz11 = a + bi e z= a + bi e z22 = c + di,= c + di, se a = c e b = d, entãose a = c e b = d, então zz11 = z= z22. Ou seja, dois complexos são iguais. Ou seja, dois complexos são iguais se as partes reais e imaginárias são iguais.se as partes reais e imaginárias são iguais. Exemplo:Exemplo: Calcular o valor de x e y na equação:Calcular o valor de x e y na equação: 3x + 7yi = 12 – 21i3x + 7yi = 12 – 21i 3x = 123x = 12  x = 4x = 4 7y = -217y = -21  y = -3y = -3
  • 8. Tente fazer sozinho!Tente fazer sozinho! Determine m e n reais de modo queDetermine m e n reais de modo que m + (n-1)i = 3im + (n-1)i = 3i
  • 9. SoluçãoSolução m + (n-1)i = 3im + (n-1)i = 3i m = 0m = 0 e n – 1 = 3e n – 1 = 3  n = 4n = 4
  • 10. Como representamos o conjugado de um número complexo? Sendo o número complexo z = a + bi, seu conjugado é representado por: Exemplos:  z = 5 + 3i   z = - 8i  iz 35−= iz 8= biaz −=
  • 11. Como calculamos as potências de i? Usando as regras de potência já conhecidas.  i0 = 1  i1 = i  i2 = - 1  i3 = i2 . i = (- 1) . i = - i  i4 = i2 . i2 = (- 1) . (- 1) = 1  i5 = i3 . i2 = (- i) . (- 1) = i Note que a partir do expoente 4, os resultados começam a repetir.
  • 12. Exemplo: (PUC-MG) O número complexo (1 + i)10 é igual a: a) 32 b) -32 c) 32i d) -32i e) 32(1+i) [(1 + i)2 ]5 = [1 + 2i + i2 ]5 = [1 + 2i - 1]5 = [2i]5 = 32.i5 = 32i  letra C
  • 13. Tente fazer sozinho! (Vunesp) Se a, b, c são números inteiros positivos tais que c = (a + bi)2 – 14i, em que i2 = -1, o valor de c é: a) 48 b) 36 c) 24 d) 14 e) 7
  • 14. Solução c = (a + bi)2 – 14i c = a2 + 2abi + b2 i2 – 14i = a2 + 2abi – b2 – 14i c + 0i = (a2 – b2 ) + (2ab – 14)i 2ab – 14 = 0  ab = 7 Logo, a = 7 e b = 1 ou a = 1 e b = 7 Como c é positivo, temos que: c = 72 – 12 = 49 – 1 = 48 Resposta: letra A.
  • 15. ComoComo somamossomamos ouou subtraímossubtraímos númerosnúmeros complexoscomplexos?? BastaBasta somarsomar (ou subtrair)as(ou subtrair)as partes reaispartes reais ee asas partes imagináriaspartes imaginárias.. Exemplos:Exemplos:  (3 + 4i) + (-13 + 7i) = -10 + 11 i(3 + 4i) + (-13 + 7i) = -10 + 11 i  (7 – 25i) – (- 5 – 5i) = 12 – 15i(7 – 25i) – (- 5 – 5i) = 12 – 15i
  • 16. Como multiplicamos números complexos? Basta aplicar a propriedade distributiva. Exemplo: (5 + 2i) (2 + 3i) = 10 + 15i + 4i – 6 = 4 + 19i
  • 17. Como dividimos números complexos? Basta multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Exemplo: ( )( ) ( )( ) i i ii ii ii i i 29 19 29 4 29 194 425 615410 2525 2532 25 32 += + = = + −++ = +− ++ = − +
  • 18. Tente fazer sozinho! (Cefet-MG) O valor da expressão quando x = i (unidade imaginária) é : a) (i + 1) b) – (i – 1) c) d) e) 1 1 3 2 − − x x ( ) 2 1+i ( ) 2 1−i ( ) 2 1−− i
  • 19. Solução ( ) ( ) ( ) i ii ii i iiii i x x −= − = + − = −+ − + = −− − = −− −− = − − = − − 1 2 12 11 22 11 12 1 2 1 2 1 11 1 1 1 1 3 2 3 2 Logo, a resposta é B, pois – (i - 1) = -i +1 = 1-i
  • 20. Como representamos um número complexo no gráfico? Basta representar a parte real no eixo x e a parte imaginária no eixo y. Exemplos: z1 = - 1 + 2i e z2 = 3i P2 x y P1 3 2 1 -1
  • 21. O que é o módulo de um número complexo? É a distância entre a origem e o ponto que corresponde a esse número. Sendo z = a + bi, temos: ρ x y b a P (a,b) ρ=z
  • 22. Como calculamos o módulo de um número complexo? Usando a fórmula . Exemplo: 22 baz +== ρ ( ) 243131 31 22 ==+=+= += z iz
  • 23. Tente fazer sozinho! (UFRRJ) Sendo a = 2 + 4i e b = 1 – 3i, o valor de é: a) b) c) d) e) b a 3 2 5 22 21+
  • 25. O que é argumento de um número complexo? É o ângulo que o módulo do número faz com o eixo x. ρ x y b a P (a,b) θ ρ θ ρ θ a b sen = = cos
  • 26. Tente fazer sozinho! (URRN) Se z = , então o argumento de z é: a) – 135º b) – 45º c) 45º d) 90º e) 135º ( ) i i − + 1 1 2
  • 27. Solução ( ) ( ) ( ) i ii ii ii i i i i i i z +−= − = + − = +− + = − = − −+ = − + = 1 2 22 11 22 1)1( 12 1 2 1 121 1 1 2 ρ θ ρ θ a e b sen == cos ( ) 21111 22 =+=+−=ρ
  • 28. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 cos 2 2 2 2 2 1 − = − = == θ θsen sen cos 45º135º Logo, o argumento é 135º. Resposta: letra E.
  • 29. Como escrevemos a forma trigonométrica de um número complexo? ( )θθρ seniz += cos iz 232 +=Exemplo: ( ) º30 2 1 4 2 2 3 4 32 cos 416412232 2222 =⇒        === === ==+=+=+= θ ρ θ ρ θ ρ b sen a ba Logo, z = 4(cos 30º + i sen 30º)
  • 30. Tente fazer sozinho! (Cefet-PR) A forma algébrica do complexo ize izd izc izb iza éisenz 2 3 2 33 ) 2 3 2 33 ) 2 3 2 33 ) 2 33 2 3 ) 2 33 2 3 ) : 6 7 6 7 cos3 −= +−= −−= −= −−=       += ππ
  • 33. Como multiplicamos complexos na forma trigonométrica?       +=      += 22 cos3 33 cos2 21 ππππ isenzeisenz ( ) ( )[ ]21212121 cos... θθθθρρ +++= isenzz Exemplo:       +=             ++      += 6 5 6 5 cos6. 2323 cos3.2. 21 21 ππ ππππ isenzz isenzz
  • 34. Como dividimos complexos na forma trigonométrica?       +=      += 33 cos3 22 cos6 21 ππππ isenzeisenz ( ) ( )[ ]2121 2 1 2 1 cos θθθθ ρ ρ −+−= isen z z Exemplo:       +=             −+      −= 66 cos2 3232 cos 3 6 2 1 2 1 ππ ππππ isen z z isen z z
  • 35. Como calculamos uma potência complexos na forma trigonométrica?       += 33 cos2 ππ isenz ( ) ( )[ ]θθρ nisennz nn += cos. Exemplo:       +=             +      = 3 2 3 2 cos4 3 .2 3 .2cos2 2 22 ππ ππ isenz isenz
  • 36. Tente fazer sozinho! (UPF-RS) Quanto ao número complexo , a alternativa incorreta é: a) Escrito na forma algébrica é z = 6i b) O módulo de z é 6. c) O argumento de z é rad. d) Escrito na forma trigonométrica tem-se: e) z2 é um número real. i i z − + = 1 66 2 π ( )ππ seniz += cos6
  • 37. Solução a) Escrito na forma algébrica é z = 6i b) O módulo de z é 6. ( )( ) ( )( ) i iii ii ii i i z 6 2 12 11 6666 11 166 1 66 == + −++ = +− ++ = − + = 6660 222 ==+=z
  • 38. c) O argumento de z é rad. 2 π 2 º90 1 6 6 0 6 0 cos π θ ρ θ ρ θ ==⇒        === === b sen a i i z − + = 1 66
  • 39. d) Escrito na forma trigonométrica tem-se: e) z2 é um número real. Resposta: letra D. ( )ππ seniz += cos6 ( ) ( )º90º90cos6cos isenisenz +=+= θθρ ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] [ ] 360.136 º180º180cos36 º90.2º90.2cos6 cos 2 2 22 −=+−= =+= =+= =+= iz isenz isenz nisennz nn θθρ