Descritivo matemática sétimo ano

2. ÍNDICE
Unidade 1 3
Unidade 2 10
Unidade 3 18
Unidade 4 26
Unidade 5 36
Unidade 6 44
Unidade 7 51
Unidade 8 57

3. Matemática
VOLUME 7
Unidade 1
Múltiplos, divisores, potências e raízes
3

4. Múltiplos e divisores
Um número natural é múltiplo de outro
caso o primeiro seja resultado da
multiplicação do segundo por um
número natural qualquer.
84 é múltiplo de 7, pois 7 · 12 = 84
Um número natural é divisor ou fator de
outro caso a divisão do segundo pelo
primeiro seja exata.
7
1 2
-
1 4
8 4
7
-
1 4
0 0
84 é múltiplo de 12, pois 12 · 7 = 84
7 é divisor de 84, pois 84 : 7 = 12 e resto 0
12 é divisor de 84, pois 84 : 12 = 7 e resto 0
4

5. Números primos e números compostos
Número primo
Número natural maior que 1 que possui
apenas dois divisores: o 1 e o próprio
número.
2
0 6 6
-
1 3
1 3 3
1 2
-
1 2
0 1
3
0 4 4
-
1 3
1 2
-
1 2
0 1
1 3 3 5
0 2 6
-
3 3
1 0
-
3 0
0 3
1 3 3 7
0 1 9
-
6 3
0 7
-
6 3
0 0
1 3 3
133 é primo ou composto?
133 é composto, pois 1, 7, 19 e 133 são seus divisores.
Número composto
Número natural maior que 1 possui que mais de
dois divisores.
5

6. Mínimo Múltiplo Comum
O mínimo múltiplo comum entre dois números
naturais é o menor número, diferente de zero,
que é múltiplo comum desses números. O
mínimo múltiplo comum entre dois números
naturais a e b pode ser indicado por mmc (a, b).
Múltiplos de 3
0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24,
27, 30, 33, ...
Múltiplos de 5 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, ...
Múltiplos de 10 0, 10, 20, 30, 40, ...
mmc (3, 5, 10) = 30
Também podemos obter o mínimo múltiplo
comum entre três ou mais números naturais.
6

7. Máximo Divisor Comum
O máximo divisor comum de dois números
naturais é o maior número que é divisor comum
deles. O máximo divisor comum de dois números
naturais a e b pode ser indicado por mdc (a, b).
Divisores de 28 1, 2, 4, 7, 14, 28
Divisores de 42 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42
Divisores de 63 1, 3, 7, 9, 21, 63
mdc (28, 42, 63) = 7
Também podemos obter o máximo divisor
comum entre três ou mais números naturais.
7

8. Potências
Para representar uma multiplicação de fatores iguais, podemos utilizar a
potenciação.
2
3
2 · 2 · 2
= = 8
O expoente 3 também pode ser lido usando a
expressão ao cubo.
5
2
5 · 5
= = 25
O expoente 2 também pode ser lido usando a
expressão ao quadrado.
8

9. Raízes
Ao determinar o número que multiplicado por ele
mesmo resulta em 36, obtemos a raiz quadrada
de 36.
Ao determinar o número a em que a3 = 8,
obtemos a raiz cúbica de 8.
9

10. Matemática
VOLUME 7
Unidade 2
Números inteiros
10

11. Os números negativos
Chama-se saldo de gols a diferença entre o número de gols marcados e o número de
gols sofridos por uma equipe em um torneio de futebol.
Saldo de gols
positivo
Saldo de gols
negativo
11

12. Os números negativos
Um termômetro marca uma temperatura de 10 graus Celsius (10 °C) afastados do zero.
+10°
–10°
12

13. Os números inteiros
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
ℤ = … , −5, −4, −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, …
O conjunto formado pelos inteiros positivos, pelos inteiros
negativos e pelo zero é chamado conjunto dos números inteiros
e é representado pela letra ℤ.
13

14. A distância de um ponto à origem da reta
Chama-se módulo (ou valor absoluto) de um número inteiro a
distância ou o afastamento desse número até o zero, na reta
numérica. O módulo é representado por: | |
O módulo de +6 é 6, e indica-se: |+6| = 6.
O módulo de – 4 é 4, e indica-se: |– 4| = 4.
14

15. Comparação de números inteiros
-2
-1 0
1
2
... -5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 ...
15

16. Adição e subtração de números inteiros
Quando adicionamos números inteiros com mesmo
sinal, a soma é obtida adicionando seus módulos e
mantendo o sinal.
Quando adicionamos dois números inteiros de sinais diferentes, a soma é
obtida efetuando-se a diferença entre seus módulos e mantendo o sinal do
número que está mais distante da origem.
(-16) + (+20) = +4
(+4) + (+5) = +9
(-2) + (-4) = -6
(-100) + (+42) = -58
Subtrair dois números inteiros é o mesmo
que adicionar o primeiro com o oposto do
segundo.
(+13) - (+2) = (+13) + (-2) = +11
(+7) - (+15) = (+7) + (-15) = -8
16

17. Multiplicação e divisão de números inteiros
A multiplicação de dois números inteiros positivos dá
um número inteiro positivo.
A multiplicação de um número inteiro positivo por um número inteiro
negativo, em qualquer ordem, resulta em um número inteiro negativo.
(+6) . (+4) = 6 · 4 = 24
A multiplicação de dois números inteiros negativos resulta em um número inteiro
positivo.
Quando efetuamos uma divisão exata entre dois números inteiros não nulos, o
quociente será um número inteiro positivo se o dividendo e o divisor tiverem
mesmo sinal; caso contrário, o quociente será um número inteiro negativo.
(+20) : (-5) = -4
(-20) : (+5) = -4
(-20) : (-5) = 4
(+6) · (-4) = 6 · (-4) = -24
(-6) · (-4) =
-(+6) · (-4) =
-(-24) =
24
17

18. Matemática
VOLUME 7
Unidade 3
Figuras geométricas planas
18

19. Ângulos
Ângulos formados por retas paralelas e uma transversal
Quando uma reta transversal cruza um par de retas
paralelas, podemos classificar alguns pares de
ângulos formados de acordo com a posição que
ocupam em relação às retas.
Ângulos opostos
pelo vértice
Ângulos
correspondentes
Ângulos
alternos
Ângulos
colaterais
19

20. O plano cartesiano
O plano cartesiano é composto de duas
retas numeradas e perpendiculares entre
si.
A reta horizontal é o eixo das abscissas
(eixo x), a reta vertical é o eixo das
ordenadas (eixo y) e o ponto em que
elas se cruzam é a origem.
20

21. Polígonos no plano cartesiano
A(–1, 4);
B(– 5, –3);
C(3, –2).
Vértices do triângulo no plano cartesiano
21

22. Triângulos
A construção de um triângulo é possível apenas quando a
medida do maior lado é menor que a soma das medidas
dos outros dois lados.
A soma das medidas dos ângulos internos de um
triângulo é igual a 180°.
a, b, c são as medidas dos ângulos internos;
x, y, z são as medidas dos ângulos externos.
22

23. Medidas dos ângulos internos de um polígono regular
Para determinar a soma das medidas dos ângulos internos de um
polígono qualquer, podemos decompô-lo em triângulos.
23

24. O círculo e a circunferência
Circunferência é a figura geométrica formada por todos os pontos de
um plano que têm a mesma distância de um ponto fixo desse plano.
O círculo é a figura geométrica formada pela circunferência e por todos
os pontos de seu interior.
24

25. Simetria
Quando duas imagens são reflexo uma da outra e esse
reflexo se dá em relação a uma linha, dizemos que há
simetria de reflexão e a linha é seu eixo de reflexão ou
ainda que as figuras são simétricas.
Duas imagens podem ser sobrepostas de uma maneira
que elas coincidam, no entanto, diferentemente da
simetria de reflexão, uma imagem não é reflexo da outra.
Nesse caso, dizemos que as duas figuras são simétricas
e que há entre elas uma simetria de translação.
Duas imagens obtidas podem ser sobrepostas de maneira
que elas coincidam, embora não tenhamos simetria de
reflexão nem simetria de translação.
Nesse caso, dizemos que as duas figuras são simétricas
e que há entre elas uma simetria de rotação.
25

26. Matemática
VOLUME 7
Unidade 4
Os números racionais
26

27. Os racionais na forma de fração
Todo número racional pode ser escrito na forma
𝒂
𝒃
,
com a e b inteiros e b ≠ 0.
27

28. Os racionais na forma de fração
Podemos obter frações equivalentes multiplicando ou dividindo o numerador e o
denominador de uma fração por um mesmo número natural, diferente de zero.
28

29. Os racionais na forma de fração
Ao dividir o numerador e o denominador de uma fração por um mesmo número
natural, maior do que 1, estamos fazendo a simplificação da fração.
fração irredutível
29

30. Comparação de frações
Como os denominadores das frações são iguais,
a maior fração é aquela que possui o numerador
maior.
Como os numeradores das frações são iguais, a
maior fração é aquela que possui o denominador
menor.
30

31. Comparação de frações
Ao comparar frações com numeradores e denominadores
diferentes, será preciso reduzi-las a um mesmo denominador.
31

32. Adição e subtração de frações
Em uma adição (ou subtração) de frações com denominadores iguais,
adiciona-se (ou subtrai-se) os numeradores e mantêm-se os
denominadores.
5
24
1
24
+ =
6
24
1
4
=
Em uma adição (ou subtração) de frações com denominadores diferentes,
obtém-se as frações equivalentes a elas com denominadores iguais e
realiza-se a adição (ou subtração) com as frações obtidas.
1
4
1
6
+ =
1
4
2
8
=
3
12
=
1
6
2
12
=
3
12
2
12
+ =
5
12
32

33. Multiplicação e divisão de frações
Para multiplicar um número inteiro por um
número racional na forma de fração,
multiplicamos o número inteiro pelo numerador
da fração e conservamos o denominador.
Para multiplicar números racionais na forma de
fração, multiplicam-se os numeradores entre si e
multiplicam-se os denominadores entre si.
Para dividir uma fração por outra fração, diferente
de zero, multiplicamos a primeira pelo inverso da
segunda.
33

34. Números racionais na forma decimal
A leitura de um número racional na forma decimal auxilia a escrita desse
número na forma de fração.
Para obter a forma decimal de um número racional na forma de
fração, podemos determinar uma fração decimal equivalente.
85
100
0,85 = 17
20
=
2
5
= 4
10
= 0,4
Para comparar as massas de dois desses pacotes, primeiro
comparamos a parte inteira em quilograma.
Caso a parte inteira seja igual, comparamos a parte decimal:
inicialmente os décimos, depois os centésimos, e assim por
diante.
34

35. Números racionais na forma decimal
adição, subtração, multiplicação e divisão
35

36. Matemática
VOLUME 7
Unidade 5
Expressões algébricas e equações
36

37. Expressões algébricas
Expressões matemáticas que apresentam números
e letras, ou somente letras, envolvendo operações
são denominadas expressões algébricas.
Em certa pizzaria, a taxa de entrega é calculada da seguinte maneira: um
valor fixo de R$ 3,00 mais R$ 1,25 por quilômetro de deslocamento.
As letras das expressões algébricas representam
números e são chamadas de variáveis.
37

38. Sequências
Nessa sequência numérica, podemos indicar o primeiro
termo por a1, o segundo por a2, o terceiro por a3, e assim por diante.
38

39. Sequências
Podemos usar a expressão an = 2n + 1 para obter um termo qualquer da sequência numérica (3, 5, 7, 9, ...)
sem necessariamente conhecermos o termo anterior.
Assim, dizemos que essa expressão define a sequência de maneira não recursiva.
39

40. Equações
Equação é toda sentença matemática expressa por uma igualdade em que letras
representam números desconhecidos.
2p + 24 = 50
Equação
p = 13
Raiz ou solução
Verificação
2 · 13 + 24 = 50
26 + 24 = 50
50 = 50
Resolver uma equação consiste em obter suas raízes ou soluções,
ou seja, determinar o número correspondente a cada incógnita que
torna a sentença verdadeira.
Essas letras são chamadas incógnitas.
40

41. Equações do 1° grau
Resolver a equação significa obter sua solução no universo dado, caso
exista.
Vamos resolver a equação 5x + 1 = 36, sendo U = ℚ.
Na prática
Como 7, temos que 7 é a raiz ou solução da equação.
41

42. Equações do 1° grau
Agora, vamos resolver a equação 7x = 4x + 5, sendo U = ℚ.
Na prática
Como
𝟓
𝟑
∈ ℚ, temos que
𝟓
𝟑
é a raiz ou solução da equação.
42

43. Equações do 1° grau
Vamos resolver a equação 9x - 7 = 5x + 13, sendo U =
Na prática
Como 5 ∈ ℚ, temos que 5 é a raiz ou solução da equação. 43

44. Matemática
VOLUME 7
Unidade 6
Proporcionalidade e simetria
44

45. Razão
A razão pode ser lida:
razão de a para b ou a está para b ou a para b.
Sendo a e b dois números racionais, com b ≠ 0, denomina-se
razão entre a e b ou razão de a para b o quociente
𝒂
𝒃
ou a : b.
A razão entre duas grandezas de mesma espécie é o quociente
dos números que exprimem as suas medidas, sempre tomadas
na mesma unidade.
45

46. Razão
A razão entre dois números ou entre duas grandezas (mesmo de
espécies diferentes) também pode ser expressa na forma decimal.
Além da forma fracionária e da forma decimal, a razão pode ser
representada na forma percentual, com o símbolo %.
=
45
90
5
10
=
1
2
0,5
=
Clarice acertou 45 questões de um
exame composto de 90 questões.
O desempenho de Clarice é medido
pela razão entre o número de
acertos e o total de questões.
30
100
= 0,30 30%
=
46

47. Proporção
Quando a razão entre os números a e b, nessa ordem, e a razão
entre os números c e d, nessa ordem, são iguais, elas formam uma
proporção.
Nesse caso,
𝒂
𝒃
=
𝒄
𝒅
é uma proporção que pode ser lida da
seguinte maneira: a está para b, assim como c está para d.
Dizemos que os números a, b, c e d são os termos da proporção.
Além disso, os números a e d (primeiro e último termos) são os
extremos da proporção. Já os números b e c (segundo e terceiro
termos) são os meios da proporção.
Em uma proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos
meios.
47

48. Relação entre grandezas
Os números racionais x, y e z são diretamente proporcionais aos
números racionais a, b e c, quando se tem:
Uma torneira é aberta para encher um reservatório. De tempos em
tempos, a altura da água no reservatório é medida, e os resultados
dessas medições encontram-se na tabela a seguir.
48

49. Relação entre grandezas
Os números racionais x, y e z são inversamente proporcionais
aos números racionais a, b e c, quando se tem: x · a = y · b = z · c.
Uma bolinha deve se deslocar de um ponto A até um ponto B. A
velocidade da bolinha e o tempo correspondente que ela gasta
nesse deslocamento estão indicados na tabela seguinte:
49

50. Relação entre grandezas
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando,
dobrando uma delas, a outra também dobra; triplicando uma delas,
a outra também triplica, e assim por diante.
Quando duas grandezas variam sempre na mesma razão, dizemos
que essas grandezas são diretamente proporcionais.
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando,
dobrando uma delas, a outra se reduz para a metade; triplicando
uma delas, a outra se reduz para a terça parte, e assim por diante.
Quando duas grandezas variam uma na razão inversa da outra,
dizemos que essas grandezas são inversamente proporcionais.
50

51. Matemática
VOLUME 7
Unidade 7
Medidas de superfície
51

52. Medidas de superfície
Área do retângulo
Área do quadrado
52

53. Medidas de superfície
Área do paralelogramo
Área do triângulo
53

54. Medidas de superfície
Área do trapézio
54

55. Medidas de volume
Volume do paralelepípedo
Volume do cubo
55

56. Unidades de medidas de volume
A unidade de medida de volume do Sistema Internacional de Unidades
(SI) é o metro cúbico (m³). Um metro cúbico corresponde ao volume
de um cubo com a medida da aresta 1 m.
Um decímetro cúbico (1 dm3) corresponde ao volume de um cubo
com a medida da aresta 1 dm.
Um centímetro cúbico (1 cm3) corresponde ao volume de um cubo
com a medida da aresta 1 cm.
56

57. Matemática
VOLUME 7
Unidade 8
Estatística e probabilidade
57

58. Estatística
Tabelas
simples
de dupla entrada
Pesquisa
Estatística
Medidas de
centralidade
Gráficos
de colunas
de barras
de segmentos
de setores
Média aritmética
58

59. Estatística
Tabelas simples
59

60. Estatística
Tabelas de dupla entrada
60

61. Estatística
Gráfico de colunas
61

62. Estatística
Gráfico de barras
62

63. Estatística
Gráfico de setores Gráfico de segmentos
63

64. Estatística
Média
A média ou média aritmética é uma medida
de tendência central que pode ser usada
para apresentar de maneira resumida um
conjunto de dados.
64

65. Pesquisa estatística
O conjunto de todos os elementos, que tem
a característica do interesse da pesquisa, é
chamado de população.
Uma amostra é um subconjunto
dos elementos da população.
Em Estatística, temos dois tipos de pesquisa, a censitária e a amostral.
Na pesquisa censitária, todos os elementos de determinada população são
pesquisados.
A pesquisa amostral é feita com uma parte predeterminada da população de
interesse.
Elaboração
do
questionário
Definição do
público
entrevistado
Coleta de
dados
Organização
dos dados
Apresentação
dos
resultados
65

66. Probabilidade
Ao lançarmos uma moeda honesta, conhecemos todos os resultados possíveis (cara ou coroa),
mas não sabemos qual será o resultado antes do lançamento. Esse tipo de experimento, que,
mesmo repetido várias vezes sob as mesmas condições, apresenta resultados imprevisíveis, é
chamado de experimento aleatório.
A probabilidade (P) é dada pela razão entre
o número de possibilidades favoráveis e o
número total de possibilidades.
Todos os resultados possíveis de um experimento aleatório formam um
conjunto chamado espaço amostral, e cada subconjunto do espaço
amostral é chamado de evento.
66