O documento descreve a resolução de um exercício de geometria analítica de um plano. Ele usa propriedades de triângulos regulares e produto escalar para mostrar que o produto escalar entre dois vetores é igual ao quadrado do comprimento de um dos vetores.

1. Ficha de Matemática A – Geometria Analítica de Plano e Espaço
MatemáticaA – 11.º Ano
Lista de Exercícios – Unidade 2
Tema:Exercício Resolvido1(página110 manual Dimensões11.ºAno)
20__/20__ - 1.º Período
Resolução:
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝐹𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ (𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐹𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝐹𝐷⃗⃗⃗⃗⃗
Logo, utilizando a figura e tendo em conta que o hexágono é regular:
O triângulo [ 𝐴𝐵𝐷] é triângulo e o lado 𝐴𝐵̅̅̅̅ tem
de comprimento 𝑎, pelo que:
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝐹𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = ‖𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ × ‖𝐹𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ × cos(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ^𝐹𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ) =
= ‖𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ × ‖𝐹𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ ×
‖𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ‖
‖𝐹𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ‖
= ‖𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ‖
2
= 𝑎2