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Estudo de Funções Quadráticas
Utilizando o GeoGebra
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
LANTE – Laboratório de Novas Tecnologias de Ensino
2015
Estudo de Funções Quadráticas
Utilizando o GeoGebra
 O que é “GeoGebra”?
O GeoGebra é um programa de matemática
dinâmica que mistura elementos de geometria e álgebra
em uma única interface.
Trata-se e um software livre, escrito na linguagem
Java, e por esse motivo ele está disponível para quase
todos os Sistemas Operacionais do mercado.
 Características Básicas
 Programa de código aberto e livre distribuição.
 Os gráficos Matemáticos, tabelas e os cálculos
algébricos são dinamicamente conectados, permitindo
sua interação.
 Interface com poderosos recursos e fácil de usar.
 Disponível em vários idiomas ao redor do mundo.
 Pode-se criar ferramentas de autoria que permite ser
disponibilizada como material de ensino interativo,
podendo ser visualizado na página de internet.
Estudo de Funções Quadráticas
Utilizando o GeoGebra
 Um Pouco Mais Sobre o Software
O GeoGebra foi criado por Markus Hohenwarter,
por meio de um projeto iniciado em 2001, para ser
utilizado no ambiente escolar.
O mesmo permite realizar construções geométricas
por meio de pontos, retas, segmentos e polígonos pré-
definidos.
É possível também inserir funções, equações e
coordenadas por meio de sua linha de comando e dessa
forma, conseguimos alterar as características dos
objetos geométricos finalizados em tempo real.
Estudo de Funções Quadráticas
Utilizando o GeoGebra
 A Instalação
 Sites para o Download:
Java (necessário para a execução do programa): http://www.java.com/pt_BR/download/
Geogebra: http://www.geogebra.org/cms/en/download
 Através do navegador:
Também é possível executar o GeoGebra diretamente
em seu navegador (Internet Explorer, Chrome, Opera,
Firefox, Safari, etc.). Basta clicar no botão Applet Start
na página de Download:
Estudo de Funções Quadráticas
Utilizando o GeoGebra
 Tela Inicial do GeoGebra
Estudo de Funções Quadráticas
Utilizando o GeoGebra
 Vídeo Tutorial Geogebra
Estudo de Funções Quadráticas
Utilizando o GeoGebra
• Barra de Ferramentas
Na tela inicial ainda temos a barra de ferramentas:
Cada ícone desta barra tem várias opções,
relacionadas com as funções descritas na janela. Estas
opções são acessadas clicando na seta do canto
inferior direito de cada ícone.
Exploraremos algumas delas na sequência, para
conhecermos seus nomes e utilidades.
Estudo de Funções Quadráticas
Utilizando o GeoGebra
Estudo de Funções Quadráticas
Utilizando o GeoGebra
 As opções do ícone ponto são as seguintes:
Novo ponto: Para criá-lo você precisa clicar primeiro no ícone, e depois
na parte geométrica. Após a representação gráfica do ponto, as suas
coordenadas aparecem na parte algébrica, se ela estiver ativada.
Interseção de dois objetos: Através da seleção de duas curvas quaisquer,
clicando nesse ícone, estaremos definindo seus pontos de interseção.
Interessante que os alunos poderão verificar através da solução do sistema
formado pelas equações, se as coordenadas conferem com as exibidas na
janela algébrica.
Ponto médio ou centro :
Para utilizar esta ferramenta, clique em:
• em um segmento para encontrar seu ponto médio;
• em uma secção cônica para obter seu centro.
 Teremos a seguir a apresentação das opções de cada ícone da
barra de ferramentas:
Não vamos detalhar o uso de cada ferramenta pois acreditamos que,
através da prática, da investigação e dos exemplos que mostraremos em
seguida, o estudante descobrirá o uso adequado de cada função.
Estudo de Funções Quadráticas
Utilizando o GeoGebra
 Teremos a seguir a apresentação das opções de cada ícone da
barra de ferramentas:
Estudo de Funções Quadráticas
Utilizando o GeoGebra
 Inserindo equações pela barra “Entrada”
Estudo de Funções Quadráticas
Utilizando o GeoGebra
 Vídeo Explorando a Barra de Menus
Estudo de Funções Quadráticas
Utilizando o GeoGebra
 Gráfico Resultante
Estudo de Funções Quadráticas
Utilizando o GeoGebra
• Valores da Equação
É possível mudar os valores da equação criando
variáveis dinâmicas para os valores de a, b e c.
Para isso é preciso clicar no penúltimo botão da
Barra de Comandos e selecionar “Controle
Deslizante” ou “Inserir Campo de Entrada”.
Estudo de Funções Quadráticas
Utilizando o GeoGebra
Estudo de Funções
Utilizando o GeoGebra
 Controles Deslizantes
• Exemplo:
ax² + bx + c
Ao clicar em “Controle Deslizante”, e em seguida
na Área de trabalho do GeoGebra, você deverá criar 03
controles deslizantes cujos nomes devem ser a, b, e c,
além de poder definir seus valores mínimos e
máximos.
Estudo de Funções
Utilizando o GeoGebra
 Controles Deslizantes
Servem para alterar dinamicamente os valores das variáveis da
equação.
Estudo de Funções Quadráticas
Utilizando o GeoGebra
• Função Quadrática – Definição:
Em matemática, uma função quadrática é
Onde os coeficientes a, b e c:
a => valor Real, diferente de zero
b => valor Real
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Estudo de Funções Quadráticas
Utilizando o GeoGebra
O gráfico de coordenadas cartesianas é uma parábola
com as seguintes características:
 Se a > 0,concavidade voltada para cima:
Estudo de Funções
Utilizando o GeoGebra
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Estudo de Funções Quadráticas
Utilizando o GeoGebra
Chama-se de raiz ou zero da função, o valor de x para o
qual ax2+bx +c =0, ou seja, o valor de x que anula a função,
ou seja, f(x)=0, para isso usamos a fórmula de Bháskara.
 f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e “a” é
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Estudo de Funções Quadráticas
Utilizando o GeoGebra
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Estudo de Funções Quadráticas
Utilizando o GeoGebra
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Quadrática
Estudo de Funções Quadráticas
Utilizando o GeoGebra
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• Onde Usa a Função Quadrática?
Estudo de Funções Quadráticas
Utilizando o GeoGebra
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deslizante do software Geogebra e Exercício;
2 - Apresentação das telas do Softwares destacando-se sua
utilização;
3 – Atividade prática no exercício da atividade de 1;
4 – Resposta ao questionário proposto;
Nesse slide, cada participante individualmente, insere suas
propostas de atividades relacionadas ao conteúdo abordado pelos
mesmos.
Estudo de Funções Quadráticas
Utilizando o GeoGebra
Estudo de Funções Quadráticas
Utilizando o GeoGebra
• Exercício:
• Com base do que foi representado na oficina, construa gráficos com as
funções quadráticas utilizando o software de geometria dinâmica
GEOGEBRA e responda os itens abaixo :
1) Através das observações realizadas pelo software educacional represente
graficamente as funções quadráticas definidas nos Reais:
Nesse lide, cada participante individualmente, insere suas
propostas de atividades relacionadas ao conteúdo abordado pelos
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Estudo de Funções Quadráticas
Utilizando o GeoGebra
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2) Determine os Valores dos coeficientes a, b e c das funções definidas
no exercício anterior.
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n = = (m,n) n = =
Estudo de Funções Quadráticas
Utilizando o GeoGebra
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4) Compare o resultado calculado e contraste com os resultados obtidos
no programa educacional Geogebra. Resposta ao questionário proposto..
 Bibliografia:
Nesse slide, cada participante individualmente, insere suas
referencias bibliográficas utilizadas para a elaboração das
atividades e apresentação.
MORAIS Vilson. Lista de exercícios da Função Quadrática.Disponível
em < https://vilsonmorais.wordpress.com/2013/06/18/lista-de-
exercicios-sobre-funcao-quadratica/. >Acessado em 30 de Abril de
2015.
AQUINO Luiz C.M. Vídeos Tutorial Geogebra com Licença Livre.
Disponível em < http://www.lcmaquino.org/category/geogebra/. >.
Último acesso em 29 de Abril de 2015.
Estudo de Funções Quadráticas
Utilizando o GeoGebra
NOVAS TECNOLOGIAS NO ENSINO DA MATEMÁTICA
DISCIPLINA – METODOLOGIA DO TRABALHO CIENTÍFICO
Coordenadoras: Vera Werneck e Cely Araujo
Tutor: Raimundo José Macário Costa.
Alexandre Luiz Mazzei da Costa – Rio de Janeiro
Márcia Maria Martins – Nova Iguaçu
Maria Amelia de Moraes Corrêa – Niterói
Paulo Rogério dos Santos Silva – Niterói
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Estudo de-Funções-Quadráticas-Utilizando-o-Geogebra.

  • 1. Estudo de Funções Quadráticas Utilizando o GeoGebra UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE INSTITUTO DE MATEMÁTICA LANTE – Laboratório de Novas Tecnologias de Ensino 2015
  • 2. Estudo de Funções Quadráticas Utilizando o GeoGebra  O que é “GeoGebra”? O GeoGebra é um programa de matemática dinâmica que mistura elementos de geometria e álgebra em uma única interface. Trata-se e um software livre, escrito na linguagem Java, e por esse motivo ele está disponível para quase todos os Sistemas Operacionais do mercado.
  • 3.  Características Básicas  Programa de código aberto e livre distribuição.  Os gráficos Matemáticos, tabelas e os cálculos algébricos são dinamicamente conectados, permitindo sua interação.  Interface com poderosos recursos e fácil de usar.  Disponível em vários idiomas ao redor do mundo.  Pode-se criar ferramentas de autoria que permite ser disponibilizada como material de ensino interativo, podendo ser visualizado na página de internet. Estudo de Funções Quadráticas Utilizando o GeoGebra
  • 4.  Um Pouco Mais Sobre o Software O GeoGebra foi criado por Markus Hohenwarter, por meio de um projeto iniciado em 2001, para ser utilizado no ambiente escolar. O mesmo permite realizar construções geométricas por meio de pontos, retas, segmentos e polígonos pré- definidos. É possível também inserir funções, equações e coordenadas por meio de sua linha de comando e dessa forma, conseguimos alterar as características dos objetos geométricos finalizados em tempo real. Estudo de Funções Quadráticas Utilizando o GeoGebra
  • 5.  A Instalação  Sites para o Download: Java (necessário para a execução do programa): http://www.java.com/pt_BR/download/ Geogebra: http://www.geogebra.org/cms/en/download  Através do navegador: Também é possível executar o GeoGebra diretamente em seu navegador (Internet Explorer, Chrome, Opera, Firefox, Safari, etc.). Basta clicar no botão Applet Start na página de Download: Estudo de Funções Quadráticas Utilizando o GeoGebra
  • 6.  Tela Inicial do GeoGebra Estudo de Funções Quadráticas Utilizando o GeoGebra
  • 7.  Vídeo Tutorial Geogebra Estudo de Funções Quadráticas Utilizando o GeoGebra
  • 8. • Barra de Ferramentas Na tela inicial ainda temos a barra de ferramentas: Cada ícone desta barra tem várias opções, relacionadas com as funções descritas na janela. Estas opções são acessadas clicando na seta do canto inferior direito de cada ícone. Exploraremos algumas delas na sequência, para conhecermos seus nomes e utilidades. Estudo de Funções Quadráticas Utilizando o GeoGebra
  • 9. Estudo de Funções Quadráticas Utilizando o GeoGebra  As opções do ícone ponto são as seguintes: Novo ponto: Para criá-lo você precisa clicar primeiro no ícone, e depois na parte geométrica. Após a representação gráfica do ponto, as suas coordenadas aparecem na parte algébrica, se ela estiver ativada. Interseção de dois objetos: Através da seleção de duas curvas quaisquer, clicando nesse ícone, estaremos definindo seus pontos de interseção. Interessante que os alunos poderão verificar através da solução do sistema formado pelas equações, se as coordenadas conferem com as exibidas na janela algébrica. Ponto médio ou centro : Para utilizar esta ferramenta, clique em: • em um segmento para encontrar seu ponto médio; • em uma secção cônica para obter seu centro.
  • 10.  Teremos a seguir a apresentação das opções de cada ícone da barra de ferramentas: Não vamos detalhar o uso de cada ferramenta pois acreditamos que, através da prática, da investigação e dos exemplos que mostraremos em seguida, o estudante descobrirá o uso adequado de cada função. Estudo de Funções Quadráticas Utilizando o GeoGebra
  • 11.  Teremos a seguir a apresentação das opções de cada ícone da barra de ferramentas: Estudo de Funções Quadráticas Utilizando o GeoGebra
  • 12.  Inserindo equações pela barra “Entrada” Estudo de Funções Quadráticas Utilizando o GeoGebra
  • 13.  Vídeo Explorando a Barra de Menus Estudo de Funções Quadráticas Utilizando o GeoGebra
  • 14.  Gráfico Resultante Estudo de Funções Quadráticas Utilizando o GeoGebra
  • 15. • Valores da Equação É possível mudar os valores da equação criando variáveis dinâmicas para os valores de a, b e c. Para isso é preciso clicar no penúltimo botão da Barra de Comandos e selecionar “Controle Deslizante” ou “Inserir Campo de Entrada”. Estudo de Funções Quadráticas Utilizando o GeoGebra
  • 16. Estudo de Funções Utilizando o GeoGebra  Controles Deslizantes
  • 17. • Exemplo: ax² + bx + c Ao clicar em “Controle Deslizante”, e em seguida na Área de trabalho do GeoGebra, você deverá criar 03 controles deslizantes cujos nomes devem ser a, b, e c, além de poder definir seus valores mínimos e máximos. Estudo de Funções Utilizando o GeoGebra
  • 18.  Controles Deslizantes Servem para alterar dinamicamente os valores das variáveis da equação. Estudo de Funções Quadráticas Utilizando o GeoGebra
  • 19. • Função Quadrática – Definição: Em matemática, uma função quadrática é Onde os coeficientes a, b e c: a => valor Real, diferente de zero b => valor Real c => valor Real Estudo de Funções Quadráticas Utilizando o GeoGebra
  • 20. O gráfico de coordenadas cartesianas é uma parábola com as seguintes características:  Se a > 0,concavidade voltada para cima: Estudo de Funções Utilizando o GeoGebra • Função Quadrática – Gráficos:
  • 21.  Se a < 0,concavidade voltada para baixo: Estudo de Funções Quadráticas Utilizando o GeoGebra
  • 22. Chama-se de raiz ou zero da função, o valor de x para o qual ax2+bx +c =0, ou seja, o valor de x que anula a função, ou seja, f(x)=0, para isso usamos a fórmula de Bháskara.  f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e “a” é diferente de zero. Estudo de Funções Quadráticas Utilizando o GeoGebra • Função Quadrática – Raiz ou Zero da Função:
  • 23.  Podemos ter as seguintes referências nos gráficos: Estudo de Funções Quadráticas Utilizando o GeoGebra
  • 24. • Analisando o Vértice da Função Quadrática Estudo de Funções Quadráticas Utilizando o GeoGebra
  • 25.  Os valores de máximo e de mínimo são utilizados na Física, Biologia, Engenharia, entre outros. • Onde Usa a Função Quadrática? Estudo de Funções Quadráticas Utilizando o GeoGebra
  • 26. • Atividades: 1 - Apresentação do conteúdo visto na utilização do Software: Função Quadrática, Definição, Concavidade da parábola, Raízes da função Quadráticas, Coeficiente a, b e c com o uso do controle deslizante do software Geogebra e Exercício; 2 - Apresentação das telas do Softwares destacando-se sua utilização; 3 – Atividade prática no exercício da atividade de 1; 4 – Resposta ao questionário proposto; Nesse slide, cada participante individualmente, insere suas propostas de atividades relacionadas ao conteúdo abordado pelos mesmos. Estudo de Funções Quadráticas Utilizando o GeoGebra
  • 27. Estudo de Funções Quadráticas Utilizando o GeoGebra • Exercício: • Com base do que foi representado na oficina, construa gráficos com as funções quadráticas utilizando o software de geometria dinâmica GEOGEBRA e responda os itens abaixo : 1) Através das observações realizadas pelo software educacional represente graficamente as funções quadráticas definidas nos Reais: Nesse lide, cada participante individualmente, insere suas propostas de atividades relacionadas ao conteúdo abordado pelos mesmos.
  • 28. Estudo de Funções Quadráticas Utilizando o GeoGebra • Exercício: 2) Determine os Valores dos coeficientes a, b e c das funções definidas no exercício anterior. a= a= b= b= c= c= 3) Determine os pontos máximos ou mínimos das funções anteriores: m = = m = = n = = (m,n) n = =
  • 29. Estudo de Funções Quadráticas Utilizando o GeoGebra • Exercício: 4) Compare o resultado calculado e contraste com os resultados obtidos no programa educacional Geogebra. Resposta ao questionário proposto..
  • 30.  Bibliografia: Nesse slide, cada participante individualmente, insere suas referencias bibliográficas utilizadas para a elaboração das atividades e apresentação. MORAIS Vilson. Lista de exercícios da Função Quadrática.Disponível em < https://vilsonmorais.wordpress.com/2013/06/18/lista-de- exercicios-sobre-funcao-quadratica/. >Acessado em 30 de Abril de 2015. AQUINO Luiz C.M. Vídeos Tutorial Geogebra com Licença Livre. Disponível em < http://www.lcmaquino.org/category/geogebra/. >. Último acesso em 29 de Abril de 2015. Estudo de Funções Quadráticas Utilizando o GeoGebra
  • 31. NOVAS TECNOLOGIAS NO ENSINO DA MATEMÁTICA DISCIPLINA – METODOLOGIA DO TRABALHO CIENTÍFICO Coordenadoras: Vera Werneck e Cely Araujo Tutor: Raimundo José Macário Costa. Alexandre Luiz Mazzei da Costa – Rio de Janeiro Márcia Maria Martins – Nova Iguaçu Maria Amelia de Moraes Corrêa – Niterói Paulo Rogério dos Santos Silva – Niterói Estudo de Funções Utilizando o GeoGebra